2021年高中数学解析几何解题方法
2021年宁波市高中数学竞赛解析几何
2021年宁波市高中数学竞赛解析几何一、赛事背景2021年宁波市高中数学竞赛是宁波市教育局主办的一项重要的数学竞赛活动，旨在促进高中学生数学学科的学习和应用能力的提高，激发学生对数学的兴趣，选拔和培养数学人才。
其中，解析几何是竞赛中的一个重要组成部分，也是考察学生几何思维和分析解决问题能力的重要内容。
二、竞赛题型解析几何作为竞赛科目的一部分，覆盖了较广泛的内容，包括点、直线、圆、三角形、四边形等几何图形的性质、定理和应用。
在竞赛中，解析几何题型通常包括如下几种类型：1.定理证明。
通过已知的几何定理和性质，结合已知条件，推导出目标结论，或者证明目标定理。
2.应用问题。
通过几何知识，解决实际问题，如建筑测量、地图绘制、工程设计等。
3.三角形的性质和判定。
包括三角形的边长关系、角度关系、面积计算、全等、相似、共线等性质。
4.圆的性质和判定。
包括圆的圆心角、弦长关系、切线定理、圆幂定理等。
三、解题思路解析几何作为数学竞赛中的一道难题，要求学生不仅要熟练掌握几何学的基本概念和定理，还需要具备较强的逻辑推理能力和应用能力。
在解析几何的题目中，学生需要注意以下几点：1.审题。
仔细阅读题目，理清题目要求和已知条件，找出关键信息。
2.图像。
根据题意，绘制几何图形，有时可以通过图像找到解题思路。
3.定理应用。
熟练掌握相关的几何定理和公式，灵活应用到解决问题中。
4.逻辑推理。
善于运用逻辑推理，从已知条件出发，推导出未知结论。
5.反证法。
当直接证明困难时，可以尝试采用反证法进行推理。
四、解析几何典型题目以下列举了一些典型的解析几何竞赛题目，供参赛选手练习和思考： 1.已知△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，使得AD是△ABC的高，求证：AD=CD。
2.已知△ABC中，内角A=60°，AB=3cm，AC=2√3cm，求BC的长度。
3.已知点P到圆心的距离为5cm，点P到圆上任意一点的距离为4cm，求圆的半径。
高中数学解析几何中的解题技巧总结
高中数学解析几何中的解题技巧总结作者：李轩宇来源：《消费导刊》2018年第03期摘要：在高中数学的几何问题的处理过程中，有人将解析法比喻为一把锋利的快刀，这是有一定的道理的。
而在运用解析法的过程中，如果使用不当，就会使运算过程非常复杂。
因此，我们有必要总结出一些解题技巧。
本文根据高中数学学习过程中的总结的经验，例谈高中数学解析几何中的解题技巧。
关键词：高中数学解析几何解题技巧前言在整个高中数学知识系统中，解析几何这部分内容非常重要。
然而，当我们在学习这些这部分内容时，往往感觉难度不小。
从历年高考试题解析几何部分的得分情况来看，不容乐观。
随着新课程改革的到来，其对我们学生的分析问题能力和解决问题的能力提出了越来越高的要求。
对于这部分内容的学习，我们有必要重视起重要性，并总结出一些解题技巧，从而为我们以后解析几何的解题提供参考。
一、高中数学引入解析几何的重要性分析纵观高中数学课程的整个体系，解析几何这部分内容占据了重要的地位，该部分内容对于我们学生的顺序思维和能力的培养有较大的帮助。
具体而言，可以从下面三个角度来分析。
首先，高中解析几何这部分内容有着承上启下的功能，这部分内容不仅能够对初中所学的平面几何内容进行了补充，还是为我们进入大学之后的《空间解析几何》等课程的学习打下坚实的基础。
其次，在高中数学所有知识点中，解析几何这部分内容是一个交叉点。
这部分内容往往要将已经学习过的代数和向量部分的内容结合起来。
如果缺乏这部分内容的基础，那么就很难真正学好解析几何。
因此，我们要在基于学习和掌握这部分数学知识之后，灵活加以运用，从而提升自己的数学能力。
再次，解析几何这部分内容注重方法论。
总体来看，其特点不仅抽象，而且系统性也很强，知识体系比较完善。
因此，解析几何这部分内容的深入学习，不但能够培养我们是数学思维，而且能够增强我们对其他学科或领域的应用。
二、高中数学解析几何中的解题技巧总结（一）紧密结合代数知识解题通过大量几何试题的求解经验可知，在解析几何问题中，使用坐标系，根据代数的方法来研究几何问题，这种方法是非常普遍。
147分学霸分享丨解析几何的解题方法
147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。
具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。
分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。
针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。
大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。
然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。
为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。
第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。
第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。
毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。
解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。
2021_年全国高中数学联赛（A1）卷解析几何题的解法探究
２０２１年全国高中数学联赛(Ａ１)卷解析几何题的解法探究宋长芬(福建省福州第八中学ꎬ福建福州３５０００４)摘㊀要:２０２１年全国高中数学联赛(Ａ１)卷一试第１１题是解析几何题ꎬ考查的是椭圆ꎬ求的是两三角形内切圆半径之差的最大值.本文利用解析法与参数法给出试题的四种解法.关键词:２０２１年全国高中数学联赛ꎻ解析几何ꎻ内切圆ꎻ最大值ꎻ参数方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００７７－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:宋长芬(１９７８.１０－)ꎬ女ꎬ福建省福州人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２１年全国数学联赛(Ａ１)卷的解析几何题ꎬ作为一试的最后一题ꎬ对考生的数学能力要求较高ꎬ有很好的区分度ꎬ有助于选拔优秀的竞赛选手ꎬ是个难得的好题.笔者经过探究ꎬ从解析法和参数法两个视角给出四种解法ꎬ供读者参考㊁研究.１赛题再现如图１所示ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ椭圆Γ:ｘ２２＋ｙ２＝１的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２.设Ｐ是第一象限内Γ上一点ꎬＰＦ１㊁ＰＦ２的延长线分别交Γ于点Ｑ１㊁Ｑ２.设ｒ１㊁ｒ２分别为әＰＦ１Ｑ２㊁әＰＦ２Ｑ１的内切圆半径.求ｒ１－ｒ２的最大值[１].图１㊀竞赛题图２解法探究解法１㊀易知Ｆ１的坐标为(－１ꎬ０)ꎬＦ２的坐标为(１ꎬ０).设Ｐ㊁Ｑ１㊁Ｑ２的坐标分别为ｘ０ꎬｙ０()㊁ｘ１ꎬｙ１()㊁ｘ２ꎬｙ２()ꎬ由条件知ｘ０ꎬｙ０>０ꎬｙ１<０ꎬｙ２<０.由椭圆定义ꎬ得ＰＦ１＋ＰＦ２＝Ｑ１Ｆ１＋Ｑ１Ｆ２＝Ｑ２Ｆ１＋Ｑ２Ｆ２＝２２故әＰＦ１Ｑ２与әＰＦ２Ｑ１的周长均为ｌ＝４２.又Ｆ１Ｆ２＝２ꎬ因此ｒ１＝２ＳәＰＦ１Ｑ２ｌ＝ｙ０－ｙ２() Ｆ１Ｆ２ｌ＝ｙ０－ｙ２２２同理可得ｒ２＝ｙ０－ｙ１２２ꎬ所以ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２.以下先求ｙ１－ｙ２.直线ＰＦ１的方程为ｘ＝ｘ０＋１()ｙｙ０－１ꎬ将其代入ｘ２２＋ｙ２＝１ꎬ整理得ｘ０＋１()２２ｙ２０＋１[]ｙ２－ｘ０＋１ｙ０ｙ－１２＝０两边乘以２ｙ２０ꎬ并注意到ｘ２０＋２ｙ２０＝２ꎬ可得３＋２ｘ０()ｙ２－２ｘ０＋１()ｙ０ｙ－ｙ２０＝０该方程的两根为ｙ０㊁ｙ１ꎬ由韦达定理ꎬ得ｙ０ｙ１＝－ｙ２０３＋２ｘ０ꎬ于是ｙ１＝－ｙ０３＋２ｘ０.７７同理可得ｙ２＝－ｙ０３－２ｘ０.因此ｙ１－ｙ２＝ｙ０３－２ｘ０－ｙ０３＋２ｘ０＝４ｘ０ｙ０９－４ｘ２０由于９－４ｘ２０＝１２ｘ２０＋９ｙ２０ȡ２１２ｘ２０ ９ｙ２０＝３２ｘ０ｙ０故ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２＝２ｘ０ｙ０９－４ｘ２０ɤ２ｘ０ｙ０３２ｘ０ｙ０＝１３其中等号成立时要求１２ｘ２０＝９ｙ２０ꎬ相应地ꎬ有ｘ０＝３５５ꎬｙ０＝１０１０.所以ｒ１－ｒ２的最大值为１３.解法２㊀利用椭圆的参数方程.易知Ｆ１的坐标为(－１ꎬ０)ꎬＦ２的坐标为(１ꎬ０).设Ｐｘ０ꎬｙ０()＝(２ｃｏｓαꎬｓｉｎα)ꎬＱ１ｘ１ꎬｙ１()ꎬＱ２(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由条件知０<α<π２ꎬｙ１<０ꎬｙ２<０.由椭圆定义ꎬ得ＰＦ１＋ＰＦ２＝Ｑ１Ｆ１＋Ｑ１Ｆ２＝Ｑ２Ｆ１＋Ｑ２Ｆ２＝２２ꎬ故әＰＦ１Ｑ２与әＰＦ２Ｑ１的周长均为ｌ＝４２.又Ｆ１Ｆ２＝２ꎬ因此ｒ１＝２ＳәＰＦ１Ｑ２ｌ＝ｙ０－ｙ２() Ｆ１Ｆ２ｌ＝ｙ０－ｙ２２２同理可得ｒ２＝ｙ０－ｙ１２２ꎬ所以ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２.以下先求ｙ１－ｙ２.直线ＰＦ１的方程为ｙ＝ｓｉｎα２ｃｏｓα＋１(ｘ＋１)ꎬ即ｘ＝２ｃｏｓα＋１ｓｉｎαｙ－１.将其代入ｘ２２＋ｙ２＝１ꎬ整理得(３＋２２ｃｏｓα)ｙ２－２ｓｉｎα(２ｃｏｓα＋１)ｙ－ｓｉｎ２α＝０这个方程的两个根分别为ｙ０＝ｓｉｎα和ｙ１ꎬ由韦达定理得ｙ０ｙ１＝－ｓｉｎ２α３＋２２ｃｏｓαꎬ所以ｙ１＝－ｓｉｎα３＋２２ｃｏｓα同理可得ｙ２＝－ｓｉｎα３－２２ｃｏｓα所以ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２＝２ｓｉｎαｃｏｓα９－８ｃｏｓ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα９ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２αɤ２ｓｉｎαｃｏｓα２９ｓｉｎ２α ｃｏｓ２α＝１３其中等号成立时要求ｃｏｓ２α＝９ｓｉｎ２αꎬ即ｃｏｓα＝３１０１０ꎬｓｉｎα＝１０１０ꎬ相应地ꎬ有ｘ０＝３５５ꎬｙ０＝１０１０.所以ｒ１－ｒ２的最大值为１３.注:最后ꎬ最值也可以用辅助角公式或柯西不等式㊁万能公式等方法处理:ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２＝２ｓｉｎαｃｏｓα９－８ｃｏｓ２α＝ｓｉｎ２α５－４ｃｏｓ２α＝ｆ(α)ꎬ则ｓｉｎ２α＋４ｆ(α)ｃｏｓ２α＝５ｆ(α)ꎬ所以５ｆ(α)ɤ１＋１６ｆ２(α)ꎬ解得ｆ(α)ɤ１３.解法３㊀利用椭圆的参数方程.易知Ｆ１的坐标为(－１ꎬ０)ꎬＦ２的坐标为(１ꎬ０).设Ｐｘ０ꎬｙ０()＝(２ｃｏｓαꎬｓｉｎα)ꎬＱ１ｘ１ꎬｙ１()＝(２ｃｏｓβꎬｓｉｎβ)ꎬＱ２ｘ２ꎬｙ２()＝(２ｃｏｓγꎬｓｉｎγ)ꎬ由条件知０<α<π２ꎬｙ１<０ꎬｙ２<０ꎬπ<β<３π２<γ<２π.由椭圆定义ꎬ得ＰＦ１＋ＰＦ２＝Ｑ１Ｆ１＋Ｑ１Ｆ２＝Ｑ２Ｆ１＋Ｑ２Ｆ２＝２２ꎬ故әＰＦ１Ｑ２与әＰＦ２Ｑ１的周长均为ｌ＝４２.又Ｆ１Ｆ２＝２ꎬ因此ｒ１＝２ＳәＰＦ１Ｑ２ｌ＝ｙ０－ｙ２() Ｆ１Ｆ２ｌ＝ｙ０－ｙ２２２＝ｓｉｎα－ｓｉｎγ２２同理可得ｒ２＝ｙ０－ｙ１２２＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ２２ꎬ所以ｒ１－ｒ２＝ｓｉｎβ－ｓｉｎγ２２.因为Ｐ㊁Ｆ１㊁Ｑ１三点共线ꎬ所以ｓｉｎα２ｃｏｓα＋１＝ｓｉｎβ２ｃｏｓβ＋１.８７下面用α的三角函数表示ｓｉｎβ.因为ｓｉｎα２ｃｏｓα＋１＝ｓｉｎβ２ｃｏｓβ＋１ꎬ所以２(ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ)＝ｓｉｎβ－ｓｉｎαꎬ即２ｓｉｎ(α－β)＝ｓｉｎβ－ｓｉｎαꎬ２２ｓｉｎα－β２ｃｏｓα－β２＝－２ｓｉｎα－β２ｃｏｓα＋β２ꎬ显然ｓｉｎα－β２ʂ０.于是２ｃｏｓα－β２＝－ｃｏｓα＋β２⇒２(ｃｏｓα２ｃｏｓβ２＋ｓｉｎα２ｓｉｎβ２)＝－(ｃｏｓα２ｃｏｓβ２－ｓｉｎα２ｓｉｎβ２)两边同时除以ｃｏｓα２ｃｏｓβ２ꎬ得ｔａｎα２ｔａｎβ２＝－(２＋１)２ꎬ所以ｔａｎβ２＝－３＋２２ｔａｎα２由万能公式及ｔａｎα２＝ｓｉｎα１＋ｃｏｓαꎬｔａｎ２α２＝１－ｃｏｓα１＋ｃｏｓαꎬ得ｓｉｎβ＝２ｔａｎβ２１＋ｔａｎ２β２＝－(３＋２２)ｔａｎα２ｔａｎ２α２＋(３＋２２)２＝－２(３＋２２)ｓｉｎα１＋ｃｏｓα１－ｃｏｓα１＋ｃｏｓα＋(３＋２２)２＝－２(３＋２２) ｓｉｎα１８＋１２２＋(１６＋１２２)ｃｏｓα＝－ｓｉｎα３＋２２ｃｏｓα同理可得ｓｉｎγ＝－ｓｉｎα３－２２ｃｏｓα.所以ｒ１－ｒ２＝ｓｉｎβ－ｓｉｎγ２２＝２ｓｉｎαｃｏｓα９－８ｃｏｓ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα９ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝２９ｔａｎα＋ｃｏｔαɤ２２９ｔａｎα ｃｏｔα＝１３其中等号成立时要求ｔａｎα＝１３ꎬ即ｃｏｓα＝３１０１０ꎬｓｉｎα＝１０１０ꎬ相应地ꎬ有ｘ０＝３５５ꎬｙ０＝１０１０.所以ｒ１－ｒ２的最大值为１３.解法４㊀利用椭圆的参数方程.同解法３得ꎬｒ１－ｒ２＝ｓｉｎβ－ｓｉｎγ２２.由焦半径公式ꎬ得ＰＦ１＝ａ＋ｅｘＰ＝２＋ｃｏｓαꎬＱ１Ｆ１＝ａ＋ｅｘＱ１＝２＋ｃｏｓβ又因为ｋＰＦ１＝ｋＱ１Ｆ１ꎬ所以ｓｉｎα２ｃｏｓα＋１＝ｓｉｎβ２ｃｏｓβ＋１ꎬ即ｓｉｎαｓｉｎβ＝２ｃｏｓα＋１２ｃｏｓβ＋１①又因为ＰＦ１Ｑ１Ｆ１＝ｙＰｙＱ１ꎬ所以２＋ｃｏｓα２＋ｃｏｓβ＝－ｓｉｎαｓｉｎβꎬ即ｓｉｎαｓｉｎβ＝－２＋２ｃｏｓα２＋２ｃｏｓβ②由①②及比例性质ꎬ得ｓｉｎαｓｉｎβ＝２ｃｏｓα＋１２ｃｏｓβ＋１＝－２＋２ｃｏｓα２＋２ｃｏｓβ＝３＋２２ｃｏｓα－１所以ｓｉｎβ＝－ｓｉｎα３＋２２ｃｏｓα同理可得ｓｉｎγ＝－ｓｉｎα３－２２ｃｏｓα下同解法３.对于一道经典的联赛题ꎬ学生不仅要会做㊁做全ꎬ更要思考如何从多角度来求解.通过探究一道题ꎬ达到会做一类题的效果ꎬ这不仅可以锻炼学生的数学思维ꎬ也开拓了学生数学视野ꎬ帮助其进一步认识数学的本质ꎬ从而提高数学能力㊁提升数学素养.参考文献:[１]郭子涵ꎬ杨琦佳.一道２０２１年全国联赛试题的探究[Ｊ].数学通讯ꎬ２０２２(０５):５２－５５.[责任编辑:李㊀璟]９７。
解析几何大题的解题步骤和策略
解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。
2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。
选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。
3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。
可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。
4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。
可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。
5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。
可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。
6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。
最后，回答问题，给出相应的解释和结论。
在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。
同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。
根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。
(word完整版)高中数学解析几何解题方法~
解析几何常规题型及方法（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
典型例题已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB|≤2p（1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。
2021年高中数学第二章解析几何初步2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2
3．3 空间两点间的距离公式知识点 空间两点间的距离[填一填]1．用公式计算空间两点的距离一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么对角线长d ＝a 2＋b 2＋c 2. 2．空间两点间的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离是|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.[答一答]1．已知点P (x ，y ，z )，如果r 为定值，那么x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示什么图形？提示：由x 2＋y 2＋z 2为点P 到坐标原点的距离，结合x 2＋y 2＋z 2＝r 2知点P 到原点的距离为定值|r |，因此r ≠0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示以原点为球心，|r |为半径的球面；r ＝0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示坐标原点．2．平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗？提示：可以．空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到：已知空间中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)．空间两点间的距离公式的注意点(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．类型一 空间两点间的距离公式的应用 【例1】 已知点P (1，－1,2)，求： (1)P 到原点O 的距离； (2)P 到y 轴的距离； (3)P 到平面xOy 的距离．【思路探究】 (1)可直接运用两点间距离公式，(2)(3)中所求距离需要转化为两点间的距离．【解】 (1)点P (1，－1,2)到原点O 的距离为d (O ，P )＝12＋(－1)2＋22＝ 6. (2)∵点P 在y 轴上的投影为P y (0，－1,0)，∴P 到y 轴的距离为d (P ，P y )＝(1－0)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝ 5.(3)∵点P 在平面xOy 上的投影为P 1(1，－1,0)， ∴P 到平面xOy 的距离为d (P ，P 1)＝(1－1)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝2.规律方法 一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离．求以下两点间的距离． (1)A (1,0，－1)，B (0,1,2)； (2)A (10，－1,6)，B (4,1,9)．解：(1)|AB |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(－1－2)2＝11. (2)|AB |＝(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝49 ＝7.类型二 求点的坐标【例2】 (1)在x 轴上求一点P ，使它与点A (3,1，－2)的距离为41；(2)在xOy 平面内的直线x －y ＝1上确定一点M ，使它到点B (－1,3,1)的距离最小． 【思路探究】 根据点的位置特征，设出其坐标，利用两点间的距离公式，结合代数知识求解．【解】 (1)设点P (x,0,0)．由题意，得|P A |＝(x －3)2＋1＋4＝41， 解得x ＝9或x ＝－3.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－3,0,0)．(2)由条件，可设M (x ，x －1,0)，则|MB |＝(x ＋1)2＋(x －1－3)2＋(0－1)2＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋272. 所以当x ＝32时，|MB |min ＝362，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，0.规律方法 利用两点间的距离公式确定点的坐标，若能巧妙地设出点的坐标，则坐标易求．例如，在x 轴上的点的坐标可设为(x,0,0)，在y 轴上的点的坐标可设为(0，y,0)，在xOy 平面上的点的坐标可设为(x ，y,0)．设点A 在x 轴上，它到点P (0，2，3)的距离等于到点Q (0，1，－1)的距离的两倍，那么点A 的坐标是( A )A ．(1,0,0)或(－1,0,0)B ．(2,0,0)或(－2,0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0，0或⎝⎛⎭⎫－12，0，0 D.⎝⎛⎭⎫－22，0，0或⎝⎛⎭⎫22，0，0解析：设点A 的坐标为(x,0,0)．根据题意有|AP |＝2|AQ |，则(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2，解得x ＝±1，故点A 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 类型三 求空间中线段的长度【例3】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP |的最小值．【思路探究】 (1)D 是原点，先写出A ，B ，B 1，C 1的坐标，再由中点坐标公式得M ，N 的坐标；(2)代入公式即可；(3)设出P 的坐标，得到|MP |的表达式，转化为求二次函数的最小值．【解】 (1)∵A (2,0,0)，B (2,2,0)，N 是AB 的中点，∴N (2，1,0)．同理可得M (1,2,3)，又D 是原点，则D (0,0,0)．(2)|MD |＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14， |MN |＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.(3)点P 在xDy 平面上，设点P 的坐标为(2y ，y,0)，则 |MP |＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14＝5(y －45)2＋545.∵y ∈[0,1]，0<45<1，∴当y ＝45时，|MP |取最小值545，即3305. ∴|MP |的最小值为3305.规律方法 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且E 是棱DD 1的中点，求BE ，A 1E 的长．解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得B (1,0,0)，E (0，1，12)，A 1(0,0,1)，所以|BE |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(0－12)2＝32，|A 1E |＝(0－0)2＋(0－1)2＋(1－12)2＝52.——多维探究系列—— 建立空间直角坐标系解决几何问题【例4】 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为平面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 【思路分析】 建立空间直角坐标系，利用直角三角形中两直角边互相垂直来证明． 【精解详析】 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P (12，12，1)，由空间两点间的距离公式得|AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62，|B 1P |＝(1－12)2＋(1－12)2＋(1－1)2＝22，|AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝2， ∴|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，∴AP ⊥B 1P .【解后反思】 已知立体几何中点、线、面间的位置关系及线段长度间的数量关系，判断两条相交直线或线段垂直时，可建立适当的空间直角坐标系，构造三角形，利用空间两点间的距离公式求边长，判断该三角形为直角三角形．已知点A (0,1,0)、B (－1,0，－1)、C (2,1,1)，若点P (x,0，z )满足P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，试求点P 的坐标．解：∵P A ⊥AB ，∴△P AB 为直角三角形，∴|PB |2＝|P A |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1，即x ＋z ＝1，① 又∵P A ⊥AC ，∴△P AC 为直角三角形，∴|PC |2＝|P A |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋0＋1，即2x ＋z ＝0，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝2，∴点P 的坐标为P (－1,0,2)．一、选择题1．点A (－1,0,1)与坐标原点O 的距离是( A ) A.2 B.3 C ．1 D ．2 2．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( B ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2解析：代入两点间的距离公式得|AB |＝2 6. 3．M (4，－3,5)到x 轴的距离为( B ) A ．4 B.34 C ．5 2 D.41解析：如图所示，MA⊥平面xOy，AB⊥x轴，则|MB|＝52＋(－3)2＝34.二、填空题4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，已知A(2，1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x＝2.解析：|AB|2＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝2，|BC|2＝(x－1)2＋(0－1)2＋(1－2)2＝x2－2x＋3，|AC|2＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝x2－4x＋5，根据题意，得|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以2＋x2－4x＋5＝x2－2x＋3，解得x＝2.5．已知点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是2或 6.解析：由题意得P(0,0,1)或P(0,0，－1)，所以|P A|＝2或 6.三、解答题6．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，试判断△ABC的形状．解：d(A，B)＝(4－1)2＋(2＋2)2＋(3－11)2＝89，d(A，C)＝(6－1)2＋(－1＋2)2＋(4－11)2＝75，d(B，C)＝(6－4)2＋(－1－2)2＋(4－3)2＝14.∴d2(A，B)＝d2(A，C)＋d2(B，C)，且d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)两两不等．∴△ABC 为直角三角形．。
(2021年整理)高中数学解析几何解题方法~
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解析几何常规题型及方法（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）:设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程,然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2,1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x ，y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1)求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2)求|||PF PF 1323+的最值。
(3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2)设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值(范围）问题，常用代数法和几何法解决。
2021高考数学必考点解题方式秘籍 解析几何2 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：解析几何2一．专题综述解析几何是高中数学4大版块之一，是高考的重要考点。
1.考纲要求（1）把握直线的斜率、倾斜角的概念，直线方程的各类形式和距离和角度、平行和垂直；（2）把握简单的线性计划问题；（3）把握圆的标准方程、一样方程、参数方程和椭圆的参数方程；（4）灵活和综合运用椭圆、双曲线、抛物线（中心都在原点）的标准方程和几何性质解决有关问题。
2.考题形式与分值：一样有1-2个客观题，一个主观题，总分约25分。
3.考试重点与难度：(1)、线性计划问题，这是必考点，以客观题形式显现。
(2)、直线与圆的问题常与其他知识综合考查，要紧与三角、向量、平面几何等知识进行交汇，强调图形的运用。
要紧以选择题、填空题等形式显现；(3)、圆锥曲线的基础题，涉及概念、标准方程、性质，尤以概念的运用为多；(4)、直线与圆锥曲线的位置关系中涉及交点、弦长、中点、垂直、对称的问题和直线与圆锥曲线有关的轨迹问题、范围、最值、定值问题，要紧利用设而不求、点差法、一元二次方程的根与系数关系、判别式求解。
这种考题一样以解答题形式显现，（一样是18或19题）(5)、与平面向量的综合，主若是向量语言与图形语言、字母表达式的彼此转化。
二．考点选讲【考点1】线性计划问题【例1】已知x 、y 知足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x ，求：（1）4x-3y 的最大值和最小值；（2）22y x +的最大值和最小值；（3）46++x y 的最大值和最小值；（4）|2034|++=y x ω的最小值。
【注】线性计划问题是高考的必考点，在约束条件下求目标函数的最值，关键是找出目标函数的几何意义，再用几何方式求解。
【练习1】在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当35s ≤≤ 时，求32z x y =+ 的最大值的转变范围是（ ）A ．[]15,6B ．[]15,7C ．[]8,6D ．[]8,7【练习2】假设x 、y 知足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤00623k y x y x x ，且Z=2x+3y 有最小值-6，那么k 的值为______________.【考点2】求动点的轨迹方程【例2】已知两个定点(,0),(,0)(0)A a B a a ->的直线12,l l 别离绕 A 点，B 点转动，并维持1l 到2l 的角为045，那么1l与2l 的交点的轨迹方程为：__________________________.【注】求轨迹方程是解析几何的重要问题，要熟悉各类常见的求轨迹方程的方式：概念法、待定系数法、直译法、相关点法、参数法、交轨法等等。
高中数学几何题解题技巧必看
高中数学几何题解题技巧必看每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲技巧的。
下面是小编给大家整理的一些高中数学几何题解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
高考数学解析几何解题路径我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势：(1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。
(2)整体平衡，重点突出：《考试说明》中解析几何部分原有33个知识点，现缩为19个知识点，一般考查的知识点超过50%，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。
近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：① 求曲线方程(类型确定、类型未定);②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题);③与曲线有关的最(极)值问题;④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;(3)能力立意，渗透数学思想：如2000年第(22)题，以梯形为背景，将双曲线的概念、性质与坐标法、定比分点的坐标公式、离心率等知识融为一体，有很强的综合性。
一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。
(4)题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。
加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求。
加大探索性题型的分量。
在近年高考中，对直线与圆内容的考查主要分两部分：(1)以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类：①与本章概念(倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等)有关的问题;②对称问题(包括关于点对称，关于直线对称)要熟记解法;③与圆的位置有关的问题，其常规方法是研究圆心到直线的距离.以及其他“标准件”类型的基础题。
高中数学解析几何大题常见的解题思路
解析几何大题常见的解题思路1.a b ⋅⇒若有模长，角度⇒cos a b θ⋅2.a b ⋅⇒若有坐标或动点⇒1212x x y y ⋅+⋅3.a b ⊥ OA OB ⊥ OA OB AB +=以A 、B 为直径的圆过原点 联立1，找韦达 0OA OB ⋅= 构造齐二次方程 OA OB ⊥垂直平分 2NP NQ =且0GP NQ ⋅=()BABCBA BC λ+ 菱形菱形 ()0OA OB AB +⋅=P ∃使得PA PB =（等腰三角形）CA CB ⊥ 向量表达，坐标运算，直接变换，联立找韦达。
4.共线/平行 共线 AP PB λ= 定比分点平行 几何 相似三角形代数 斜率相等设k5.方向向量 (,)n m n k m⇔= 6.按向量a 平移 (,)a m n 理解为 横坐标上平移m ，x →左加右减 纵坐标上平移n ，y →上减下加7.三角形各心 ①外心⇔中垂线交点 垂分线套路中点 普通 中点坐标公式椭圆 22AB b x k a y =-中中弦中点 点差法 双曲线 22AB b x k a y =中中抛物线AB p k y =中PA PB PC == ②内心⇒角分线交点⇒角分线定理 AB BD AC DC λ== 定比分点 （图1）角分线上的点到角两边的距离相等⇒点到直线的距离 去绝对值法则 D 在BAC ∠的平分线上()AB AC AD AB AC λ=+ 菱形③重心 中线交点⇒中线定理 22222()AB AC AD BD +=+（图2） 识别 1()3OG OA OB OC =++0GA GB GC ++=定比分点公式 ④重心 HA HB HA HC HB HC ⋅=⋅=⋅垂直（三种常见现象，见3）8.面积 2221()2S a b a b =-⋅222()S a b a b =-⋅。
2021高考数学必考点解题方式秘籍 解析几何1 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：解析几何1一．温习目标：能正确导出由一点和斜率确信的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程动身推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能依照已知条件，熟练地选择适当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，明白线性计划的意义，明白线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等大体概念，能正确地利用图解法解决线性计划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性计划方式在数学方面的应用；会用线性计划方式解决一些实际问题.明白得“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的大体思想，把握求曲线的方程的方式.4．把握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能依照圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，把握圆的一样方程：022=++++F Ey Dx y x ，明白该方程表示圆的充要条件并正确地进行一样方程和标准方程的互化，能依照条件，用待定系数法求出圆的方程，明白得圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，把握直线与圆的位置关系的判定方式.5．正确明白得椭圆、双曲线和抛物线的概念，明确核心、焦距的概念；能依照椭圆、双曲线和抛物线的概念推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各类标准方程；能依照条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；把握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、极点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；把握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确信椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；明白得椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并把握它的应用；把握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方式.二．考试要求：(一)直线和圆的方程1．明白得直线的斜率的概念，把握过两点的直线的斜率公式，把握直线方程的点斜式、两点式、一样式，并能依照条件熟练地求出直线方程。
高中数学解析几何解题方法.docx
高考专题：解析几何常规题型及方法A:常规题型方面（ 1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题给定双曲线 x2y 2 1 。
过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及 P2，求线段 P1 P2的中点P2的轨迹方程。
分析：设 P1 (x1 , y1 ) ， P2 ( x2, y2 ) 代入方程得 x12y121， x22y22 1 。
22两式相减得( x1x2 )( x1 x2 )1( y1y2 )( y1 y2 ) 0 。
2又设中点 P（ x,y ），将x1x22x ， y1 y2 2 y 代入，当 x1x2时得2x 2 y y1y20 。
·x1x22又 k y1y2y1，x1x2x2代入得 2 x 2y 2 4 x y0 。
当弦 P1 P2斜率不存在时，其中点P（ 2， 0）的坐标也满足上述方程。
因此所求轨迹方程是 2 x2y24x y 0说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。
（ 2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、 F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题设 P(x,y) 为椭圆x2a 2y 2b21 上任一点，F1 ( c,0) ， F2( c,0)为焦点，PF1 F2，PF2 F1。
（1）求证离心率esin(sin sin)；（2）求|PF1|3PF2 |3的最值。
分析：（ 1）设| PF1| r1， |PF2r1r22cr2，由正弦定理得sin sin(。
sin)得r1 r22c，sin sin(sin)c sin()esin sina（ 2）( a ex) 3(a ex)32a 36ae 2 x 2。
当x 0 时，最小值是 2a 3；当x a 时，最大值是 2a 3 6e2 a 3。
高考丨搞定解析几何，这些运算技巧超实用，建议收藏
高考丨搞定解析几何，这些运算技巧超实用，建议收藏我们都知道，数学在高考中是重点，也是难点。
而在数学当中，解析几何可谓是重中之重，让很多考生伤透了脑筋，特别是大题，很多同学都被复杂的图形给吓到了。
今天就总结几点关于几何题的解题思路以及答题要点与模版，希望能帮助广大考生，一定要用心看完哦。
一、空间感可以练出来我们初中几何都是平面图，而到了高中，就接触立体图形了，这是一次艰难的飞跃，很多初中几何学得好的同学都折在这了。
但凡事需要一个过程啊，没有空间感，咱们就建立空间感。
同学们可以自制一些空间几何模型，反复观察练习，这有益于建立空间观念，是个好办法。
也可选择对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。
二、基础知识要记牢要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。
这是因为几何的知识点前后联系紧密，前面内容是后面内容的基础，后面内容既巩固了前面的内容，又延伸了前面内容。
在解题中，要注意书写规范，①如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉；②要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观；③对于文字证明题，要写已知和求证，要画图；用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。
④要学会用图帮助解决问题；要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法。
三、积累解决问题的方法、提高分析的能力要注意积累解决问题的方法。
如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题。
不断提高分析问题、解决问题的水平，加深对理论的认识水平，养成良好逻辑思维能力，几何题目便不在话下。
四、“转化”思想解立体几何的问题，要运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，什么是变量、两者之间存在的联系，这是非常关键的。
谈谈解答解析几何问题的三个办法
解析几何是高中数学中的重要模块，解析几何问题的分值在高考试卷中占比较大.解析几何问题的常见命题形式有：求曲线的方程、求曲线中线段的最值、求参数的取值范围、判断点的存在性等.解析几何问题对同学们的逻辑思维和运算能力有较高的要求.下面介绍三个解答解析几何问题的技巧，以帮助同学们简化问题，提高解题的效率.一、巧用参数法有些解析几何问题较为复杂，涉及了较多的变量，为了便于解题，我们可引入合适的参数，设出相关点的坐标、直线的斜率、方程、曲线的方程等，然后将其代入题设中进行运算、推理，再通过恒等变换，消去参数或求得参数的值，便可求得问题的答案.例1.已知过椭圆C ：x 29+y 2=1左焦点F 1的直线交椭圆于M ,N 两点，设∠F 2F 1M =α(0≤α≤π).当α的值为何时，|MN |为椭圆C 的半长轴、半短轴长的等差中项？解：设过F 1的直线参数方程为：{x =-22+t cos α，y =t sin α，将其代入椭圆方程中可得()1+8sin 2αt 2-()42cos αt-1=0.则t 1+t 2=,t 1t 2=-11+8sin 2α，所以||MN =||t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=61+8sin 2α=2，可得sin 2α=14，解得α=π6或5π6.要求得|MN |，需知晓直线的方程，于是引入参数t 、α，设出直线MN 的参数方程，然后将其与椭圆的方程联立，构建一元二次方程，根据韦达定理和弦长公式求得|MN |，再根据等差中项的性质建立关系，求得α的值.运用参数法解题，只需引入参数，根据题意建立关系式，这样能有效地降低解题的难度.二、妙用射影性质射影性质是图形经过任何射影对应(变换)都不变的性质.若遇到涉及多条共线线段或平行线段的解析几何问题，我们可以巧妙利用射影性质来解题.首先根据题意画出相应的图形，然后在x 轴或y 轴上画出各条线段的射影，如此便可将问题中线段的长度、数量问题转化为x 轴或y 轴上的点或线段问题，进而简化运算.例2.已知椭圆的方程为x 224+y 216=1，点P 是直线l ：x 12+y 8=1上的任意一点，OP 的延长线交椭圆于点R ，点Q 在OP 上，且||OQ ∙||OP =|OR |2，求点Q 的轨迹方程.解：设P (x p ,y p )，Q (x ,y )，R (x R ,y R )在x 轴上的射影分别为P 0,Q 0,R 0，由||OQ ∙||OP =|OR |2可得x ∙x P =x 2R ，①当点P 不在y 轴上时，设OP :y =kx ，由ìíîïïy =kx ，x 224+y 216=1，可得x 2R =483k 2+2，②由ìíîïïy =kx ，x 12+y 8=1，可得x P =243k +2，③由①②③可得：(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0).当点P 在y 轴上时，Q 点的坐标为(0,2)，满足上式.所以点Q 的轨迹方程为(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0)，该方程表示的是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).找到P 、Q 、R 在x 轴上的射影，利用射影性质得到x ∙x P =x 2R ，然后通过联立方程求得x 、x P 、x 2R ，建立关系式，即可通过消元求得点Q 的轨迹方程.巧妙利用射影性质来解题，能有效简化运算，提升解题的效率.高双云图1思路探寻47探索探索与与研研究究三、建立极坐标系对于一些与线段长度有关的问题，我们可以结合图形的特征，建立极坐标系，通过极坐标运算来求得问题的答案.一般地，可将直角坐标系的原点看作极坐标系的原点，将直角坐标系的x 轴看作极坐标系的极轴，把线段用极坐标表示出来，这样便可将问题简化.以例2为例.图2解：以原点O 为极点，以Ox 轴的正半轴为极轴，建立如图2所示的极坐标系.则椭圆的极坐标方程为：ρ2=482+sin 2θ,直线l 的极坐标方程为：ρ=242cos θ+3sin θ，设P (ρP ,θ),Q (ρ,θ),R (ρR ,θ),因为||OQ ∙||OP =|OR |2，所以ρ∙ρP =ρ2R .即24ρ2cos θ+3sin θ=482+sin 2θ，可得ρ2()2+sin 2θ=4ρcos θ+6ρsin θ，而x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得2x 2+3y 2-4x -6y =0(其中x ,y 不同为零),所以点Q 的轨迹是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).建立极坐标系后，分别求出椭圆的极坐标方程和直线的极坐标方程，再根据极坐标方程表示出点P 、Q 、R 的坐标，并根据几何关系||OQ ∙||OP =|OR |2建立关系式，最后将其转化为标准方程即可.运用极坐标法解题，需熟练地将极坐标方程与普通方程进行互化.可见，利用参数法、射影性质、极坐标系法，都能巧妙地简化运算，提升解题的效率.相比较而言，参数法的适用范围较广，另外两个技巧具有一定的限制.同学们在解题时，可根据解题需求，引入参数、画出射影、建立极坐标系，这样便可让解题变得更加高效.本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点自筹课题“新课标下提升高中生数学学习力的实践研究”（课题编号：B-b/2020/02/158）阶段研究成果.（作者单位：江苏省泰兴中学）在教学中，细心的教师会发现，教材中的很多习题具有一定的代表性和探究性，且其解法非常巧妙.对于此类习题，教师可以将其作为重要的教学资源，在课堂教学中引导学生对其进行深入的探究、挖掘，以便学生掌握同一类题目的通性通法，帮助他们提升学习的效率.本文主要对人教A 版选择性必修第二册《一元函数的导数及其应用》的一道课后习题进行了探究.一、对习题及其解法的探究人教A 版选择性必修第二册第99页的第12题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）e x >1+x ,x ≠0；（2）ln x <x <e x ,x >0.证明:（1）设f (x )=e x -1-x ,∴f ′(x )=e x-1，∴f ′(x )=e x -1=0,∴x =0，∵f ′(x )>0,∴x >0,f ′(x )<0,∴x <0，∴函数f (x )在(0,+∞)为单调递增，在(-∞,0)为单调递减，∴函数在x =0处取得最小值，∴f (x )>f (0)=0，∴f (x )=e x -1-x >0,即e x >1+x .事实上，这个结论经常出现在很多试题中，不少教师在教学中也将该结论列为常用结论，并要求学生加以记忆.于是，笔者引导学生对该结论的背景和几何意义进行推导和探究.引理：（泰勒公式）若函数f (x )在包含x 0的某个区间[a ,b ]上具有n 阶导数，且在开区间(a ,b )上具有n +1阶导数，则对于闭区间[a ,b ]上的任意一点x =x 0，有f (x )=f (x 0)+f '(x 0)1!(x -x 0)+f ''(x 0)2!(x -x 0)2+f '''(x 0)3!(x -x 0)3+⋯+f n (x 0)n !(x -x 0)n +R n (x ).其中，f n (x 0)表示函数f (x )在x 0处的n 阶导数，上式称为函数f (x )在x =x 0处的泰勒公式，R n (x )称为泰勒公式的余项.特别地，当x 0=0时，若f (x )在x =0处n 阶连续可导，则称f (x )=周建韩丹娜48。
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高考专题：解析几何常规题型及方法
本章节处理方法建议：
三、高考核心考点
四、常规题型及解题的技巧方法
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题给定双曲线。
过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P 的轨迹方程。
分析：设，代入方程得，。
两式相减得。
又设中点P（x,y），将，代入，当时得。
又，
代入得。
当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。
因此所求轨迹方程是
说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。
（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。