方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析

方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析

一、选择题

1．222620x y x xy y -=⎧⎨--=⎩

【答案】42x y =⎧⎨=⎩

或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【解析】

【分析】

先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．

【详解】

解：原方程组变形为

(

)()2620x y x y x y -=⎧⎨-+=⎩ ∴2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或260x y x y -=⎧⎨+=⎩

∴原方程组的解为 42x y =⎧⎨=⎩

或22x y =⎧⎨=-⎩ . 故答案为：42x y =⎧⎨=⎩

或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【点睛】

本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．

2．解方程组

【答案】原方程组的解为：， 【解析】

【分析】

把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.

【详解】 解：

把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，

x 2+4x =0，

解得：x =-4或x =0，

当x =-4时，y =-3，

当x =0时，y =1，

所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.

3．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2＝﹣1．

解决问题：

①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____；

②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．

【答案】（1）y ＝﹣

12x 2+12x+1；（2）①-12

；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；

（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值

【详解】

解：（1）将A ，B 点坐标代入，得

10(1)11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩

，

解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，

抛物线的解析式为y ＝21

1

x x 122-++；

（2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得

2m ＝﹣1，

即m ＝﹣1

2；

故答案为﹣1

2；

②AB 的解析式为1

1

22y x =+

当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，

联立PA 与抛物线，得2111

2222

y x x y x ⎧

=++⎪⎨⎪=--⎩，

解得10x y =-⎧⎨=⎩（舍），614x y =⎧

⎨=-⎩，

即P （6，﹣14）；

当PB ⊥AB 时，PB 的解析式为y ＝﹣2x+3，

联立PB 与抛物线，得211122

23

y x x y x ⎧

=++⎪⎨⎪=-+⎩，

解得11x y =⎧⎨=⎩（舍）4

5x y =⎧⎨=-⎩，

即P （4，﹣5），

综上所述：△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，点P 的坐标（6，﹣

14）（4，﹣5）；

（3）如图：

，

∵M （t ，﹣

12t 2+12t+1），Q （t ，12 t+12）， ∴MQ ＝﹣

12t 2+12 S △MAB ＝

12MQ|x B ﹣x A | ＝12（﹣12t 2+12

）×2 ＝﹣12t 2+12

， 当t ＝0时，S 取最大值

12，即M （0，1）． 由勾股定理，得

AB

设M 到AB 的距离为h ，由三角形的面积，得

h

． 点M 到直线AB

． 【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键

4．解方程组：222920

x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩． 【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

. 【解析】

【分析】

先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．

【详解】

22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩

， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，

故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩