计算方法第三章(插值法)资料.

第三节 逐次线性插值
函数 y = f (x)在节点 xi , x j ,
式记为 Ni, j, ,k (x) ，则有
, xk 上的插值多项
Ni, j,
,k,p,q (x) L(x) Ni, j, ,k,p (x)
Ni, j,
,k,q (x) Ni, j, xq xp
,k,p (x) (x xp )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根
思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则
根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
(x xi1)(x xi1) (xi xi1)(xi xi1)
(x xn ) (xi xn )
求过n+1个点的不超过n次多项式的插值多项 式是唯一的。 插值公式的误差为：
Rn (x)
f (x) Ln (x)
f
( ( n 1) x
(n 1)!
)
(
x
x0
)(
x
x1
)
(x xn )
M n1
y1
一般插值问题：求过n+1个点
(x0, y0 ), (x1, y1), ,(xn, yn )
的不超过n次多项式 Ln (x)。
n
Ln (x) yi li (x) i0
li (x)称为Lagrange插值基函数，满足：
li (x j )
ij
,
ij
1 0
, ,
i j i j
li
(
x)
(x x0 ) (xi x0 )
φ(xi)=yi 称为插值条件。函数值待求的点称为插值 点。插值节点所界定的范围称为插值区间。如
果所给插值点位于插值区间之内，这种插值过程 称为内插，否则称为外插。
若用多项式来作为插值函数，则称其为插值
多项式。通常用 n 次多项式作为n+1个插值条件 的插值多项式。如果插值条件只是给出节点的函
数值，称为拉格朗日插值，如果既有函数值也有
Aitken（埃特肯）算法
N0,1,
,k, p (x) L(x) N0,1, ,k (x)
N0,1,
,k 1, p (x) N0,1, xp xk
,k (x) (x xk )
Neville（列维尔）算法
N i ,i 1,
,k (x) L(x) Ni,i1, ,k1(x)
Ni1,i2
(xi ) yi (i 0,1, , n)
将φ(x)作为 f (x) 在一定范围内的近似函数，对于 这个范围内的某个给定点a，取 f (a)≈ φ(a)。这种
近似方法称为插值法。φ(x)称为 f (x)的以{xi}
(i=0,1,···,n)为插值节点的插值函数。插值节点上 所给的函数值称为样本值。
(x xm )rm
r0 r1 rm n 1
在x0, x1, , xm之间，与x有关
证明思路：构造辅助函数，用罗尔定理。
P3(x0 ) y0, P3(x0 ) y0 , P3(x1) y1, P3(x2) y2
R3(x) f (x) P3(x)
1 4!
f
(4) (
)( x
x0 )2 (x
,k (x) Ni,i1, xk xi
,k1(x) (x xi )
Aitken（埃特肯）算法
x0 N0 x1 N1 N0,1(x) x2 N2 N0,2 (x) N0,1,2 (x) x3 N3 N0,3 (x) N0,1,3 (x) N0,1,2,3 (x)
Neville（列维尔）算法
x0 N0 x1 N1 N0,1(x) x2 N2 N1,2 (x) N0,1,2 (x) x3 N3 N2,3 (x) N1,2,3 (x) N0,1,2,3 (x)
max
x[ a ,b ]
f (n1) (x)
Rn (x)
M n1 (n 1)!
(x
x0 )(x
x1)
(x xn )
计算程序 框图
始 输入数据 x 及
xi , yi ,i 0,1, , n
y 0,i 0
计算权系数 i 存单元 中
y y yi
=
i i 1
i n?
终
Lagrange 公式的计算流程
节点处函数的导数值，称为埃尔米特插值。
因式定理：多项式P(x)具有r 次因式 (x-a)r 的 充
要条件是 P(a) P(a) P(r1) (a) 0
最一般(x的i ) 插 y值i ,条(件xi )： yi,
, (ri 1) ( xi )
y(ri 1) i
xi ri
是 r0 重 r插1 值节点，rm n 1
插值条件是
(x0, y0),(x1, y1),
,(xn, yn)
Lagrange插值实质上是求通过上面 n+1 个点的 n 次多项式。
一次插值： 问题为求一次多项式，即一次函数，过以下 两点：
(x0, y0 ), (x1, y1)
容易求出，该函数为：
y
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
定理：给定上述n+1个插值条件，则n次插值 多项式是存在唯一的。
设函数 y = f (x) 在闭区间 [a , b ]上有n + 1 阶导数， 满足前面的一般插值条件，且插值节点各不相同，
则插值截断误差为
Rn (x)
f
(x) Pn (x)
1 (n 1)!
fLeabharlann Baidu
(n1) ( ) n (x)
n (x) (x x0 )r0 (x x1)r1
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi ,i 0,1, , n,
即提供了一张数据表
x
x0 x1
x2
xn
y f x y0 y1 y2
yn
如何利用这张表求 f (x) 在其他给定点上的合 理的近似值呢?
在实验数据的处理、难以计算的函数的逼近、 数值微积分等方面需要解决这样的问题，这是 数值逼近中的一个基本问题。一个自然的想法 是找一个简单易计算的函数φ(x)，使得
x1 )( x
x2 )
g(t) f (t) P3(t) (t x0 )2(t x1)(t x2) [ f (t) P3(t)]/(x x0 )2 (x x1)(x x2 )
值得注意的是在较大区间上进行插值时，误差可能会 很大！另外，一般情况下，外推不如内插好！
第二节 Lagrange插值公式