计算方法第三章(插值法)资料.
插 值 法(3)
第三章 插 值 法在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。
有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。
于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。
本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。
这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。
本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。
§1.插值的基本概念插值定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i ==(3—１)则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。
包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。
关于函数插值，我们要回答以下几个问题：(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n 10x ,,x ,x 及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。
(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。
(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。
如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。
现在首先回答第一个问题：由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。
故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。
定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。
数值计算方法 第3章复习
1 第3章 插值法与数据拟合一、考核知识点拉格朗日插值法及其余项、牛顿插值、最小二乘法、超定方程组。
二、考核要求：1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。
2．掌握牛顿插值。
3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与超定方程组最小二乘解的方法。
三、重、难点分析例1 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。
解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为)9(51)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=x x x x x x l 故有 565)4(53)9(52)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25655)5()5(1=+=≈L f 误差为 )(2)95)(45(!2)()5(2ξξf f R ''-=--''=例2 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式。
解:由Lagrange 插值公式又0120120,1,2;1,2,3x x x y y y ======故例3已知f(0)=8, f(1)= -7.5, f(2)= -18;用牛顿插值法求f(x)在[0,2]之间的近似零点。
0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------2(1)(2)(0)(2)(0)(1)()123(01)(02)(10)(12)(20)(21)1x x x x x x L xx ------=⨯+⨯+⨯------=+2例4求下列超定方程组的最小二乘解。
⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x1 解 令 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-+=-+=2724213212211x x u x x u x x u23222121u u u x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x解得 7231=x 7112=x所以最小二乘解为 7231=x 7112=x2 解 方程组写成矩阵形式为 正规方程组为即解得12114127112x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12114111111127121121112x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1232132616x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦122311,77x x ==。
数值分析-计算方法-插值a
500 5
18
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
x0
x1
x2
利用
x0 6 , x1 4
L 1 (x ) x /6 /4 /4 1 2 x /4 /6 /6 1 2
sin
而
50 0
Lf1内要( (5端1x 8插计)点 ) 通算s，0 常的i.x 7插n 7 优x6值12 2 所于4效,在外果R 1 的推(x 较) 区。f 好(f x 间选)2 ( 。 ! 的择x s )(x ix ,n 6 f)x (( x 4 )) 4 s 2 |( ix x n , 6 )x x ( ( 4 6 )|, 4)
Ln ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi xj
n=1
线性插值
已称知为x拉0 氏, x基1 ;函y0数, y1/*，La求graL n1 g(exB)asa is0 */，a1x 使得
L满1( 足x0 )条 件y0 l,i(Lx1j)(=x1 )ij/*yK1 ronecker Delta */
f(x)L (x) n
f ( ) (n1)
ni
i
项式是唯一存在的。
证明： 由插值条件可知，插值多项式Ln(x)的系数ai满足线性
方程组
1
x 0
xn 0
a0
y 0
1
x 1
xn 1
a1
y 1
1
x n
计算方法第三章(插值法)解答
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2
xn
y2
插值法(拉格朗日插值)讲解
因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).
Taylor展开方法就是一种插值方法.
泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅 仅适用于 f(x) 相当简单的情况.
§1.2 Lagrange插值
• 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义，且给 出一系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n)， 求作n次多项式pn(x) 使得
定理 (插值多项式的存在唯一性) 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n
的 n 阶插值多项式是唯一存在的。
证明： ( 利用Vandermonde 行列式论证)
a0 a1x0 ... an x0n y0 a0 a1x1 ... an x1n y1 ...
1 xj)
j0
li ( x)
n ji
(x xj) (xi x j )
j0
n
Ln ( x) li ( x) yi i0
插值余项 /* Remainder */
用简单的插值函数L n(x)代替原复杂函数f(x),其 精度取决于截断误差,即插值余项.
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) f ( x) Ln( x)
Rn(x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n
(x xi )
i0
即Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)(
x
x1
)(
x
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。
在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。
线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。
其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。
通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。
假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。
根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。
通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。
在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。
通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。
通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。
数值计算方法( 三次样条插值)
u xj hj
分段三次Hermite插值算法
则 v A1 y j 1 A2 y j B1 f j1 B2 f j
算法： 1.输入x j , f j , f j （j 0,1,...,n）； 2.计算插值 (1)输入插值点u; (2)对于j 1,2,...,n做 如果u x j 则计算A1 , A2 , B1 , B2 ; v A1 f j 1 A2 f j B1 f j1 B2 f j; 3.输出u , v。
三次样条插值
于是由Taylor展示有 s( x) s( xi ) s( xi )(x xi ) s( xi ) s( xi ) 2 ( x xi ) ( x xi )3 2! 3! M M Mi yi s( xi )(x x j ) i ( x xi ) 2 i 1 ( x xi )3 2! 3!( xi 1 xi )
2M 0 M 1 6 f [ x0 , x0 , x1 ]
三次样条插值
同理(2)式中令i n得 M n 1 2M n 6 f [ xn 1 , xn , xn ] 即有 2M 0 M 1 6 f [ x0 , x0 , x1 ] ） i M i 1 2M i i M i 1 6 f [ xi 1 , xi , xi 1 ] （i 1,2,...,n 1 M 2M 6 f [ x , x , x ] n n 1 n n n 1
三次样条插值
对于待定系数a j , b j , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数，
而插值条件为 n 2个，还缺两个，因此须 4 给出两个 条件称为边界条件，有 以下三类： 第一类 已知两端点的一阶导数 s( x0 ) f ( x0 ) m0 s( xn ) f ( xn ) mn
数值计算方法插值法资料
一次插值
当n 1时，求一次多项式P1(x),要求通过 x0, y0 , x1, y1
两点
y
y0 x0
y1 x1
P1(x) f(x)
二次插值
当n 2时，求二次多项式P2 (x),要求通过 x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 三点
y
f(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
P1(x)
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P1(x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk 1 xk
yk
，
1
记l k (x)
x xk1 xk xk 1
, lk1(x)
l
0 ( x)
x 20 10 20
1 10
(x
20)，l1 ( x)
x 10 20 10
1 10
(x
10)
例子
于是，拉格朗日型一次插值多项式为：
P1 ( x)
y0l0 (x)
y1l1 ( x)
1 10
(x
20)
1.3010 10
(x
10)
故P1
(12)
1 10
(12
20)
1.3010 10
(12
决定
1
例子
例1：已知lg10 1 , lg 20 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f (x) lg x，f (x) lg x，f (10) 1，f (20) 1.3010 设x0 10，x1 20，y0 1，y1 1.3010， 则插值基本多项式为：
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是数值分析领域中常用的一种方法，它可以用来估计未知函数在给定点处的值。
插值法的基本思想是基于已知数据点，构建一个多项式函数来逼近未知函数的值。
在实际应用中，插值法常常被用来对离散数据进行平滑处理，或是用来预测未来的数据。
最简单的插值方法之一是线性插值法。
线性插值法假设未知函数在两个已知数据点之间是线性变化的，即可以通过这两个点之间的直线来估计未知函数在中间点处的值。
线性插值的计算公式如下：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，要估计中间点x处的函数值y，则线性插值公式为：\[y = y0 + \frac{x - x0}{x1 - x0} * (y1 - y0)\]这个公式的推导比较简单，可以通过代入已知数据点计算出来。
如果已知数据点为(0, 1)和(2, 3)，要估计在x=1处的函数值，根据线性插值公式，计算如下：在x=1处的函数值为2。
线性插值法的优点是简单易懂，计算速度快，并且可以比较精确地估计函数值。
但是线性插值法的精度受限于已知数据点之间的线性关系，如果函数在两个数据点之间发生了急剧变化，线性插值法可能无法准确估计函数值。
除了线性插值法，还有许多其他更复杂的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
这些方法在不同的情况下可以提供更精确的函数估计值，但也需要更复杂的计算步骤。
插值法是一种常用的数值分析方法，可以帮助我们更好地处理数据和预测未知函数的值。
在实际应用中，可以根据具体情况选取合适的插值方法来进行计算。
第二篇示例：插值法是一种用于估算未知数值的方法，它基于已知数据点之间的关系进行推断。
在实际应用中，插值法经常用于数据处理、图像处理、数学建模和预测等领域。
插值法的计算公式通常比较复杂，但是我们可以通过简化的方式来理解和计算插值结果。
最简单的插值方法之一是线性插值法。
在线性插值法中，我们假设已知数据点之间的关系是线性的，然后通过线性方程来估算未知点的数值。
计算方法课件_插值法
P( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
满足
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
计 则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常 算 称为代数插值法。其几何意义如下图所示 方 法 课 件 y=p(x)
y=f(x)
2016/12/27
算 l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0 , l0 ( x2 ) 0 方 法 这个问题容易求解。由上式的后两个条件知 : 课 件 x1 , x 2 是 l0 ( x) 的两个零点。于是
1 再由另一条件 l0 ( x0 ) 1 确定系数 c ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x1 )(x x2 ) 从而导出 l0 ( x) ( x0 x1 )(jkhh x0 x 2 ) 2016/12/27 14
直接由插值条件决定，
y
计 即 a0 , a1 , a 2 满足下面 y0 算 的代数方程组： 方 O x0 法 课 2 a a x a x 0 1 0 2 0 y0 件 该三元一
y=L2(x) y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
2 a a x a x 0 1 1 2 1 y1 2 a a x a x 2 2 y2 0 1 2
(i=0,1,2,…,n )
的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 近似地代替f(x)。选
x1 的值， f(x)在两个互异的点 x0 ， y0 f ( x0 ), y1 f ( x1 )
,现要求用线性函数 p( x) ax b 择参数a和b, 使 p( xi ) f ( xi )(i 0,1) P(x) 为f(x)的线性插值函数 2016/12/27 jkhh 。
计算方法第三章(插值法)
1 , i j li ( x j ) ij , ij 0 , i j
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
( xi ) yi (i 0,1, , n)
Hale Waihona Puke 将φ(x)作为 f (x) 在一定范围内的近似函数，对于 这个范围内的某个给定点a，取 f (a)≈ φ(a)。这种 近似方法称为插值法。φ(x)称为 f (x)的以{xi} (i=0,1,· · · ,n)为插值节点的插值函数。插值节点上 所给的函数值称为样本值。
x[ a ,b ]
M n1 Rn ( x) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)!
( x xn )
始
计算程序 框图
输入数据 x 及
xi , yi , i 0,1,
y 0, i 0
,n
计算权系数 i 存单元 中
y y yi
=
i i 1 i n?
求过n+1个点的不超过n次多项式的插值多项 式是唯一的。 插值公式的误差为：
f ( n1) ( x ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)! ( x xn )
M n1 max f ( n 1) ( x)
r0
r1
( x xm )
rm
r0 r1
rm n 1 , xm之间，与x有关
在x0 , x1 ,
证明思路：构造辅助函数，用罗尔定理。
3.2 Newton插值法
f [ x0 , x1 ,L , xk − 1 ] − f [ x0 , x1 ,L , xk − 2 , xk ] = xk − 1 − xk
差商具有如下性质：
(1) f ( x )的k阶差商f [ x0 , x1 ,L , xk − 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ),L , f ( xk )的线性组合表示 , 且
N3 ( x) = 17 − 8( x + 2) + 3x( x + 2) +1.25x( x + 2)(x −1)
N3 (0.9) = N2 (0.9) +1.25⋅ 0.9(0.9 + 2)(0.9 −1) = 1.30375
Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这点是Lagrange插值 无法比的.
f [ x0 , x1 ,L , xk ] − f [ x0 , x1 ,L , xk − 1 , x ] f [ x0 , x1 ,L , xk , x ] = xk − x
f , x1 ,L , xk ] + f [ x0 , x1 ,L , xk , x ]( x − xk ) 因此可得 f ( x ) = f + f [ x , x ]( x − x )
k =1
n
k −1 j =0
k =1 n
为k次多项式
为f ( x)关于节点 xi 的n次Newton插值多项式
由插值多项式的唯一性,Newton插值公式的余项为
f (ξ ) Rn ( x ) = f ( x ) − N n ( x ) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
吉林大学工程数学计算方法第三章习题答案共7页word资料
第三章习题答案11. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分I xdx,并估计误差。
0.5解：1)用梯形公式有：事实上，2) Simps on 公式事实上，E S(f) —[T Xdx —(0.5)+4f l f(1)]= 0.00003043) 由Cotes公式有：事实上，E C f = 0.00000032. 证明Simpson公式2.8具有三次代数精度。
证明: 而当f x =x4时b b 4 i 5 5左侧：f x dx x4dx b-a5'a 'a 5右侧：左侧不等于右侧。
所以Simps on具有三次代数精度.3•分别用复化梯形公式和复化公式Simps on计算下列积分.1 9 M r _____________________(1) dx, n=8 , (3) . xdx,n=4 , 仏4-sin2'd n = 604 x2 1 0解：(1)用复化梯形公式有:b - a 1_ 0 1h = ■n 8 8T n f a 210 2 (0.031128 0.061538 0.090566 0.11765 0.14235 0.16438 0.18361) 0.21 - 0.111416由复化Simpson公式有:解：删去解(3)：存dx,® 由复化梯形公式有: 由复化Simps on公式有:(4)解：\4_sin 2 d , n = 6 由复化梯形公式： 由复化 Simps on 公式：113 14•给定求积节点x o ,x ),X 2,试推出计算积分.0f x dx 的插值型求积公式， 并写出它的截断误差。
解:考虑到对称性，有 氏=氏，于是有求积公式由于原式含有 3个节点，故它至少有 2阶精度。
考虑到其对称性，可以猜想到它可能有 3阶精度。
事实上，对 f =X 原式左右两端相等：此外，容易验证原式对 f =X 4不准确，故所构造出的求积公式有 3阶精度。
《计算方法》实验报告材料
double Newton(double x,vector<double>&X,vector<double>&Y);
int main(){
char a='n';
do{
int n;
cout<<"请输入插值点个数："<<endl;
for(int i=0;i<N;i++){
X[i]=p;
Y[i]=1/(1+p*p);
p=p+c;
}
cout<<"请输入要求值x的值："<<endl;
double x;
cin>>x;
double result=fenduan(N,X,Y,x,c);
cout<<"由分段线性插值法得出结果： "<<result<<endl;
cin>>n;
vector<double>X(n,0);
vector<double>Y(n,0);
cout<<"请输入插值点对应的值及函数值(Xi,Yi)："<<endl;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>X[i]>>Y[i];
}
cout<<"请输入要求值x的值："<<endl;
Chapter03第三章 空间平滑和空间插值
35第三章空间平滑和空间插值本章介绍基于GIS的空间分析中两个常用操作：空间平滑和空间插值。
空间平滑和空间插值关系密切，它们都可以用于显示空间分布态式及空间分布趋势，二者还共享某些算法（如核密度估计法Find/Replace All）。
空间平滑和空间插值的方法有很多种，本章只介绍其中最常用的几种。
空间平滑与移动平均在概念上类似（移动平均是求一个时间段内的均值），而空间平滑术是一个空间窗口内计算平均值。
第 3.1节介绍空间平滑的概念和方法，第 3.2节是案例分析3A，用空间平滑法研究中国南方/泰语地名(Find/Replace all)分布。
空间插值是用某些点的已知数值来估算其他点的未知数值。
第3.3节介绍了基于点的空间插值，第3.4节为案例3B，演示了一些常用的点插值法。
案例3B所用数据与3A相同，是案例3A工作的延伸。
第3.5节介绍基于面的空间插值，用一套面域数值（一般面单元较小）来估算另一个面域的数值（范围较大）。
面插值可用于数据融合以及不同面域单元的数据整合。
第 3.6节为案例3C，介绍两种简单的面插值法。
第3.7节为小结。
3.1空间平滑与移动平均法计算一个时间段的平均值（例如：五日平均温度）相似，空间平滑是将某点周围地区（定义为一个空间窗口）的平均值作为该点的平滑值，以此减少空间变异。
空间平滑适用面很广。
其中一种应用是处理小样本问题，我们在第八章会详细讨论。
对于那些人口较少的地区，由于小样本事件中随机误差的影响，癌症或谋杀等稀有事件发生率的估算不够可靠。
对于某些地区，这样的事情发生一次就可导致一个高发生率，而对于另外许多地区，没有发生这种事情的结果是零发生率。
另外一种应用是将离散的点数据转化为连续的密度图，从而考察点数据的空间分布模式，可参见下面的第3.2节。
本节介绍两种空间平滑方法（移动搜索法及核密度估计法），附录3介绍经验贝叶斯估计。
3.1.1移动搜索法移动搜索法（FCA）是以某点为中心画一个圆或正方形作为滤波窗口，用窗口内的平均值（或数值密度）作为该点的值。
数值计算 各种插值法与最小二乘法
f1( n) ( ) f 2( n) ( )
证明： 设 g ( x) f1 ( x) f 2 ( x) ，则 g(x)存在 n+1 个零点，由罗尔定理可知 g ( x) 存在 n 个零 点，反复用罗尔定理，则 g
( n)
( x) 存在一个零点，即存在中值ξ 有
－3. 5－
数值计算基础讲义
例：用抛物插值求 115 ， （x* = 10.7238） 解：设 y
x ，函数表为
x y 100 10 121 11 144 12
115 P2 (115)
(115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144) (115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121) 10.7228
武汉科技大学计算机学院
g ( n) ( ) f1( n) ( ) f 2( n) ( ) 0
即：
f1( n) ( ) f 2( n) ( )
定理：设区间[a, b]含有 n+1 个互异的节点 x0 , x1 , , xn ，而 f(x)在[a, b]内有直到 n+1 阶导 数，且 f ( xi ) yi (i 0,1, , n) 已给，则当 x∈[a, b]时，有如下估计：
记： l 0 ( x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
则：
l 0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0
l 0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
即： P 1 ( x) l 0 ( x) y 0 l1 ( x) y1 例：已知有 y=f(x)的函数表 x y 求其近似表达式 解： 1 1 3 2
计算方法答案 第三章
第三章 插值法与最小二乘法1. 已知下列表值x 10 11 12 13 lnx 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649用线形插值与二次Lagrange 插值计算ln11.75的近似值，并估计误差。
解：（1）线形插值说明：当插值点落在被插区间之内，这种方法称为内插法，此时插值精度较好。
x ],12,11[75.11∈=故选择x 0=11,x 1=12,求线形插值函数。
11001y x l y x l x P ⨯+⨯=∴）（）（）（=10100101y x x x x y x x x x ⨯--+⨯--=4849.21112113979.2121112⨯--+⨯--x x=2.4849（x-11）-2.3979（x-12）)1275.11(3979.2)1175.11(4849.2)75.11(75.11ln 1---=≈∴p =2.46315（2）二次拉格朗日插值选择插值结点：x 12,11,10210===x x P 2211002)()()()(y x l y x l y x l x ++= =212021012101200201021))(())(())(())(())(())((y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x ----+----+----=4849.2)1112)(1012()11)(10(3979.2)1211)(1011()12)(10(3026.2)1210)(1110()12)(11(----+----+----x x x x x x=1.1513（x-11）（x-12）-2.3979（x-10）（x-12）+1.24425（x-10）（x-11）)1175.11)(1011075(24245.1)1275.11)(1075.11(3979.2)1275.11)(1175.11(1513.1)75.11(75.11ln 2--+-----=≈∴P =1.15133125.124245.14375.03979.2)1875.0(⨯+⨯+-⨯ =2.4639282. 已知下列表值求f(x)在[0，2]之间零点近似值。
计算方法
Lagrange 插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
2.国内外研究进展随着科技进步、人们研究领域的扩大，插值法在科学研究方面的应用越来越广泛，并且为了达到研究目的出现了很多新的插值法。
如在热环境流动观测中应用的空间插值法，研究估算云下地表温度用到的GIDS 空间插值法，融合确定性信息和随机信息的插值方法研究，在研究CFD 验证和确认方法时用到的Richardson 插值法，广义延拓插值法在CAPS 虚拟卫星定位中的应用。
可见人们对插值法的研究越来越深入，插值法的应用研究前景广阔。
3.代表性文献[1]杨永川，杨轲，王志浩，卢军. 空间插值法在热环境流动观测中的应用. 中南大学学报(自然科学版)，2012.09.[2]周义，覃志豪，包刚. GIDS 空间插值法估算云下地表温度，遥感学报，2012.05. [3]陈坚强，张益荣. 基于Richardson 插值法的CFD 验证和确认方法的研究，空气动力学学报，2012.04.[4]杜晓辉，施浒立，裴军，胡正群. 广义延拓插值法在CAPS 虚拟卫星定位中的应用，中国会议，2012.05. 二、插值法的原理【原理】设函数()y f x =在区间[a,b]上有定义，且已知在点01......n a x x x b ≤<<<≤上的值0y ，1,,,n y y 若存在一简单函数()P x ，使(),i i P x y =i=0，1,…，n 成立，就称()()P x f x 为的插值函数，点01,,...,n x x x 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法。
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将φ(x)作为 f (x) 在一定范围内的近似函数，对于 这个范围内的某个给定点a，取 f (a)≈ φ(a)。这种
近似方法称为插值法。φ(x)称为 f (x)的以{xi}
(i=0,1,···,n)为插值节点的插值函数。插值节点上 所给的函数值称为样本值。
(x xi1)(x xi1) (xi xi1)(xi xi1)
(x xn ) (xi xn )
求过n+1个点的不超过n次多项式的插值多项 式是唯一的。 插值公式的误差为：
Rn (x)
f (x) Ln (x)
f
( ( n 1) x
(n 1)!
)
(
x
x0
)(
x
x1
)
(x xn )
M n1
,k (x) Ni,i1, xk xi
,k1(x) (x xi )
Aitken（埃特肯）算法
x0 N0 x1 N1 N0,1(x) x2 N2 N0,2 (x) N0,1,2 (x) x3 N3 N0,3 (x) N0,1,3 (x) N0,1,2,3 (x)
Neville（列维尔）算法
x0 N0 x1 N1 N0,1(x) x2 N2 N1,2 (x) N0,1,2 (x) x3 N3 N2,3 (x) N1,2,3 (x) N0,1,2,3 (x)
(x xm )rm
r0 r1 rm n 1
在x0, x1, , xm之间，与x有关
证明思路：构造辅助函数，用罗尔定理。
P3(x0 ) y0, P3(x0 ) y0 , P3(x1) y1, P3(x2) y2
R3(x) f (x) P3(x)
1 4!
f
(4) (
)( x
x0 )2 (x
x1 )( x
x2 )
g(t) f (t) P3(t) (t x0 )2(t x1)(t x2) [ f (t) P3(t)]/(x x0 )2 (x x1)(x x2 )
值得注意的是在较大区间上进行插值时，误差可能会 很大！另外，一般情况下，外推不如内插好！
第二节 Lagrange插值公式
插值条件是
(x0, y0),(x1, y1),
,(xn, yn)
Lagrange插值实质上是求通过上面 n+1 个点的 n 次多项式。
一次插值： 问题为求一次多项式，即一次函数，过以下 两点：
(x0, y0 ), (x1, y1)
容易求出，该函数为：
y
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
定理：给定上述n+1个插值条件，则n次插值 多项式是存在唯一的。
设函数 y = f (x) 在闭区间 [a , b ]上有n + 1 阶导数， 满足前面的一般插值条件，且插值节点各不相同，
则插值截断误差为
Rn (x)
f
(x) Pn (x)
1 (n 1)!
f
(n1) ( ) n (x)
n (x) (x x0 )r0 (x x1)r1
Aitken（埃特肯）算法
N0,1,
,k, p (x) L(x) N0,1, ,k (x)
N0,1,
,k 1, p (x) N0,1, xp xk
,k (x) (x xk )
Neville（列维尔）算法
N i ,i 1,
,k (x) L(x) Ni,i1, ,k1(x)
Ni1,i2
节点处函数的导数值，称为埃尔米特插值。
因式定理：多项式P(x)具有r 次因式 (x-a)r 的 充
要条件是 P(a) P(a) P(r1) (a) 0
最一般(x的i ) 插 y值i ,条(件xi )： yi,
, (ri 1) ( xi )
y(ri 1) i
xi ri
是 r0 重 r插1 值节点，rm n 1
第三节 逐次线性插值
函数 y = f (x)在节点 xi , x j ,
式记为 Ni, j, ,k (x) ，则有
, xk 上的插值多项
Ni, j,
,k,p,q (x) L(x) Ni, j, ,k,p (x)
Ni, j,
,k,q (x) Ni, j, xq xp
,k,p (x) (x xp )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根
思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则
根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi ,i 0,1, , n,
即提供了一张数据表
x
x0 x1
x2
xn
y f x y0 y1 y2
yn
如何利用这张表求 f (x) 在其他给定点上的合 理的近似值呢?
在实验数据的处理、难以计算的函数的逼近、 数值微积分等方面需要解决这样的问题，这是 数值逼近中的一个基本问题。一个自然的想法 是找一个简单易计算的函数φ(x)，使得
φ(xi)=yi 称为插值条件。函数值待求的点称为插值 点。插值节点所界定的范围称为插值区间。如
果所给插值点位于插值区间之内，这种插值过程 称为内插，否则称为外插。
若用多项式来作为插值函数，则称其为插值
多项式。通常用 n 次多项式作为n+1个插值条件 的插值多项式。如果插值条件只是给出节点的函
数值，称为拉格朗日插值，如果既有函数值也有
y1
一般插值问题：求过n+1个点
(x0, y0 ), (x1, y1), ,(xn, yn )
的不超过n次多项式 Ln (x)。
n
Ln (x) yi li (x) i0
li (x)称为Lagrange插值基函数，满足：
li (x j )
ij
,
ij
1 0
, ,
i j i j
li
(
x)
(x x0 ) (xi x0 )
max
x[ a ,b ]
f (n1) (x)
Rn (x)
M n1 (n 1)!
(x
x0 )(x
x1)
(x xn )
计算程序 框图
始 输入数据 x 及
xi , yi ,i 0,1, , n
y 0,i 0
计算权系数 i 存单元 中
y y yi
=
i i 1
i n?
终
Lagrange 公式的计算流程