六年下册奥数试题：分解质因数 全国通用(含答案)

第4讲分解质因数

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（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数。如把12分解质因数得

，这时称2和3是12的质因数。

（3）算术基本定理：任何大于1的整数都能表示成质数的乘积。

（4）如果把相同的质因数合并为它的幂，则任一大于1的整数N只能惟一地表示成：（其中质数；，，…，是自然数，它们分别是，，…，

的指数），则上式称为N的标准分解式。

（5）分解质因数的方法主要是短除法。（在小学阶段）试除时一般从最小质数开始。

重点·难点

质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的共同约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。

学法指导

已知约数的个数，求原自然数，属于求一个合数的约数个数的逆向问题。首先把约数个数分解质因数，逆推求出原自然数，再从中找到符合题目要求的一个。

经典例题

[例1]将八个数14、33、35、30、75、39、143、169分成两组，每组四个数，并且每组四个数的乘积相等，应该怎样分？

思路剖析

要使两组数的乘积相等，就要使两组中的质因数一样，并且相同质因数的个数相同。为此，我们先将八个数分解质因数：

14=2×7

33=3×11

35=5×7

30=2×3×5

75=3×5×5

39=3×13

143=11×13

169=13×13

通过观察各式可知，八个数中，质因数2、7、11各有两个，质因数3、5、13各有四个，所以每组中应该是2、7、11各有一个，3、5、13各有两个。

解答

首先将14=2×7分在第一组，另外两个含有质因数2和7的数30=2×3×5和35=5×7就应分在第二组。这样，在第二组中不仅有2与7，还有两个5，所以另外两个质因数5就应分在第一组，即75=3×5×5归在第一组中。

其次，将169=13×13分在第一组，含有13的另外两个数39=3×13和143=11×13就应分在第二组。由于质因数11只有两个，因而含有11的另一个数33=3×11就应分在第一组。

在上述分组过程中没有考虑过质因数3，所以，应核对一下两组中的质因数3，结果是各含有两个，所以分组结果是正确的，即

第一组有14，75，169，33；第二组有35，30，39，143。

利用八个数分解质因数的式子，容易验证两组数的乘积相等。

说明：在上述分组过程中，当然也可以将169分在第二组，那么39、143在第一组，33在第二组，因此，还可得到另外的一种分组方法：

第一组：14，75，39，143；第二组：35，30，169，33。

[例2]在射箭运动中，运动员每射一箭的环数只能是下列数之一：0、l、2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中0环表示脱靶。现在甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764。但是，甲的总环数比乙少4环，求甲、乙的总环数各是多少？

思路剖析

两人5箭得到的环数的积都是1764。显然，每箭的环数都不是0和10，每箭的环数都是1764的约数，将1764分解质因数：

1764=2×2×3×3×7×7

因为7×2=14，7×3=21都大于10，而每箭的环数都是小于10的自然数，所以甲、乙二人5箭中必有两箭射中的环数是7环，其他3箭射中的环数必定是2×2×3×3的约数，且这些约数应小于10。将2×2×3×3写成3个小于10的自然数之积，只有下面五种可能：2×2×3×3=1×4×9=1×6×6

=2×2×9=2×3×6

=3×3×4

即这3箭射中的环数有五种可能：l，4，9；l，6，6；2，2，9；2，3，6；3，3，4。

解答

对应这五种情况，5箭射中的环数有下面五种情况：

7，7，1，4，9，总环数=28

7，7，1，6，6，总环数=27

7，7，2，2，9，总环数=27

7，7，2，3，6，总环数=25

7，7，3，3，4，总环数=24

总环数中只有24与28之差是4，根据题意，甲的总环数是24，乙的总环数是28。

［例3］把37拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？

思路剖析

由以往的经验可知，如果若干个数的和一定，那么拆的数越多（不能有1）则积越大，并可推出拆出的数（1除外）越多，积越大。

假设37拆成的是五个质数的和，那么最小的五个质数和为3+5+7+11+13=39，大于37，所以37不能拆成五个质数的和。那么为什么不从2开始加起呢？不难发现，五个质数中，如有一个为2是偶数，剩下的四个必为奇数，而其和为偶数，2与四个质数的和也必为偶数，37是奇数，所以不能取从2开始的五个最小质数，当取3、5、7、11、13这五个质数时和就大于37了，所以六个以上质数的和更不可能为37。

假设把37拆成是四个不同质数的和，而四个质数中必有一个取2，否则四个奇数的和为偶数，不可能得到和为37，这样剩下三个数的和为37－2=35，拆的方法有下列几种：37=2+7+5+23相对应的积为2×7×5×23=1610

37=2+5+11+19相对应的积为2×5×11×19=2090

37=2+5+13+17相对应的积为2×5×13×17=2210

37=2+7+11+17相对应的积为2×7×11×17=2618

37=2+3+13+19相对应的积为2×3×13×19=1482

在这五组不同的拆分方法中，不难发现2×7×11×17=2618的乘积最大，并且我们发现，这四个数是符合条件的相差最小的数，更证明了在和一定的情况下，拆成的数越多（l 除外），越接近，则乘积越大这一经验性常识。

这样，把37拆成三个不同质数的和。两个不同质数的和的乘积均不会大于2618，所以也不必再试验了。

解答

当把37拆成2、7、11、17这四个数的和时，乘积最大，为

37=2+7+11+17

2×7×11×17=2618

答：这几个质数分别为2、7、11、17。

［例4］已知a×（b+c）=209，请在a、b、c中各填一个质数，使上面的等式成立。

思路剖析

因为209表示成a与（b+c）的乘积，所以解题关键还是将209分解质因数。

解答

209=11×19，不论a是11还是19，b+c的和一定是奇数。因为奇数+偶数=奇数，所以b和c一定有一个数是偶数。偶质数只有2。

（1）当a=11时，假定b=2，则c=19-2=17，假定c=2，则b=19-2=17。

（2）当a=19时，假定b=2，则c=11-2=9，不是质数（舍）；假定c=2，则b=11-2=9不是质数（舍）。

这个算式是11×（2+17）=209或11×（17+2）=209。