2013年辽宁高考数学试题及答案 (理科)

2013年辽宁高考数学试题及答案 (理科)

一、选择题

1． 复数z ＝1

i －1的模为( )

A.12

B.2

2 C. 2 D ．2 1．B [解析] 复数z ＝

1i －1

＝－1＋i 2，所以|z |＝－1＋i 2＝2

2，故选B.

2． 已知集合A ＝{}x |0

A ．(0，1)

B ．(0，2]

C ．(1，2)

D ．(1，2]

2．D [解析] ∵A ＝{x |1

⎫－45，35 3．A [解析] ∵AB →＝(3，－4)，∴与AB →

方向相同的单位向量为AB →

|AB →

|＝⎝⎛⎭⎫35，－45，故选A.

4． 下面是关于公差d >0的等差数列{}a n 的四个命题： p 1：数列{}a n 是递增数列； p 2：数列{}na n 是递增数列；

p 3：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n n 是递增数列；

p 4：数列{}a n ＋3nd 是递增数列． 其中的真命题为( )

A ．p 1，p 2

B ．p 3，p 4

C ．p 2，p 3

D ．p 1，p 4

4．D [解析] 因为数列{a n }中d >0，所以{a n }是递增数列，则p 1为真命题．而数列{a n

＋3nd }也是递增数列，所以p 4为真命题，故选D.

5． 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )

图1－1

A ．45

B ．50

C ．55

D ．60

5．B [解析] 由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3，而低于60分的人数为15，所以该班的学生人数为

15

0.3

＝50. 6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝

1

2b ，且a >b ，则∠B ＝( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

6．A [解析] 由正弦定理可得到sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ．因为B ∈(0，

π)，所以sin B ≠0，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝sin B ＝12，则∠B ＝π

6，故

选A.

7． 使⎝

⎛⎭⎫

3x ＋1x x n

(n ∈＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 7．B [解析] 由通项

T k ＋1＝C k n (3x )

n －k

⎝⎛⎭

⎫1x x k

＝C k n ·3n －k

·xn －5k 2，所以在展开式中含有常数项时，n －5k

2

＝0，当k 取最小值2时，n 取最小值5.故选B.

8． 执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )

图1－2

A.511

B.1011

C.3655

D.7255

8．A [解析] 由程序框图可以得到S ＝122

－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1

＝

11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋1

9×11

＝12⎝

⎛⎭⎫1－13＋15－17＋17－19＋19－111＝5

11，故选A.

9． 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )

A ．b ＝a 3

B ．b ＝a 3＋1

a

C ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1

a ＝0 D ．|

b －a 3|＋⎪

⎪⎪⎪b －a 3－1

a ＝0 9．C [解析] 由题意知当三角形ABC 为直角三角形时，分为两类，∠OAB ，∠OBA 分别为直角．当∠OAB 为直角时

b ＝a 3；当∠OBA 为直角时，OB →·AB →

＝0，则(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0，所以b －a 3－1a

＝0.所以(b －a 3)·⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0，故选C. 10． 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12.则球O 的半径为( )

A.3172 B ．210 C.132

D ．310

10．C [解析] 由题意将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1还原为长方体ABDC －A 1B 1D 1C 1，则球的直径即为长方体ABDC －A 1B 1D 1C 1的体对角线AD 1，所以球的直径AD 1＝AB 2＋AC 2＋AA 21

＝32＋42＋122＝13，则球的半径为13

2，故选C.

11． 已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x )＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )

A ．16

B ．－16

C ．a 2－2a －16

D ．a 2＋2a －16

11．B [解析] 由题意知当f (x )＝g (x )时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8， 整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，

所以H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2

－2（a ＋2）x ＋a 2

（x ≤a －2），－x 2

＋2（a －2）x －a 2

＋8（a －2

H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}＝

⎩⎪⎨⎪⎧－x 2

＋2（a －2）x －a 2

＋8（x ≤a －2），x 2

－2（a ＋2）x ＋a 2（a －2

由图形(图形略)可知，A ＝H 1(x )min ＝－4a －4，B ＝H 2(x )max ＝12－4a ，则A －B ＝－16. 故选B.

12． 设函数f (x )满足x 2

f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 2

8

，则x >0时，f (x )( )

A ．有极大值，无极小值

B ．有极小值，无极大值

C ．既有极大值又有极小值