2010年湘潭市中考数学试题及答案

-1 26题图2010年湖南湘潭市初中毕业学业考试 (全word)数 学 试 题 卷(考试时量：120分钟 满分：120分)考生注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）或写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．下列判断中，你认为正确的是A ．0的绝对值是0B ．31是无理数 C ．4的平方根是2 D ．1的倒数是1-2．下列计算正确的是 A.3232=+ B.32a a a =+ C.a a a 6)3()2(=⋅ D.2121=- 3．函数x y -=1中自变量的取值范围是A.1≥xB. 1≤xC.1<xD. 1>x4．一组数据1，2，3，4，5，5，5的中位数和众数分别是 A ．4，3 B ．3，5 C ．5，5 D ．4，55．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE =2cm ，则BC 的长是 A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 6．不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为A ．{12x x >-≤ B ．{12x x ≥-< C ．{12x x ≥-≤ D ．{12x x <-≥7．下列说法中,你认为正确的是A ．四边形具有稳定性B ．等边三角形是中心对称图形C ．任意多边形的外角和是360oD ．矩形的对角线一定互相垂直5题图8．在同一坐标系中，正比例函数x y =与反比例函数y 2=的图象大致是二、填空题（本小题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分） 9．2-的相反数是． 10．分解因式：=+-122x x．11．如图，已知AB ∥CD ， o180∠=，则=∠2 o．12．湖南省第十一届运动会将在我市举行，新建的市体育公园总建筑面积达28000平方米，用科学计数法表示总建筑面积为 平方米．13．如图所给的三视图表示的几何体是 ．14．长方形的周长为12cm ，长是宽的2倍，则长为 cm ． 15．△ABC 中，若∠A =80o， ∠B =50o，AC =5，则AB = .16.有四张不透明的卡片,正面写有不同命题（见下图）,背面完全相同.将这四张卡片背面朝上洗匀后,随机抽取一张,得到正面上命题是真命题的概率为 .三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）17．（本题满分6分）计算：20o (1)(3)2cos 60-+π--主视图左视图俯视图·11题图13题图18．（本题满分6分）解不等式：1)1(2+<-x x ，并求它的非负整数解．19．（本题满分6分）如图，我护航军舰在某海域航行到B 处时，灯塔A 在我军舰的北偏东60o的方向；我军舰从B 处向正东方向行驶1800米到达C 处，此时灯塔A 在我军舰的正北方向．求C 处与灯塔A 的距离（结果保留四个有效数字）．20．（本题满分6分）先化简，再求值：11()()-==++，其中，x yx y y x y x x y ．21．（本题满分6分）我市某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率．22．（本题满分6分）为响应环保组织提出的“低碳生活”的号召，李明决定不开汽车而改骑自行车上班．有一天，李明骑自行车从家里到工厂上班，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，车修好后继续骑行，直至到达工厂（假设在骑自行车过程中匀速行驶）．李明离家的距离y （米）与离家时间x （分钟）的关系表示如下图： （1）李明从家出发到出现故障时的速度为 米／分钟； （2）李明修车用时 分钟；（3）求线段BC 所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．y(米）X(分钟）东北60oACB19题图22题图23．（本题满分8分）Rt △ABC 与Rt △FED 是两块全等的含30o、60o角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB 与DE 重合． （1）求证：四边形ABFC 为平行四边形；（2）取BC 中点O ，将△ABC 绕点O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△C B A '''位置，直线C B ''与AB 、CF 分别相交于P 、Q 两点，猜想OQ 、OP 长度的大小关系，并证明你的猜想．(3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB 为菱形(不要求证明).图(二)图(一)FF24．（本题满分8分）某市为了提高学生的安全防范意识和能力，每年在全市中小学学生中举行安全知识竞赛，为了了解今年全市七年级同学的竞赛成绩情况，小强随机调查了一些七年级同学的竞赛成绩，根据收集到的数据绘制了参与调查学生成绩的频数分布直方图和其中合格学生成绩的扇形统计图如下：根据统计图提供的信息，解答以下问题：(1)小强本次共调查了多少名七年级同学的成绩？被调查的学生中成绩合格的频率是多少?(2)该市若有10000名七年级学生，请你根据小强的调查统计结果估计全市七年级学生中有多少名学生竞赛成绩合格？对此你有何看法？(3)填写下表：10﹪24题图23题图25．（本题满分10分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D =90o，AC ⊥BC ，AB =10cm ,BC =6cm ，F 点以2cm ／秒的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm ／秒的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动，设运动时间为t 秒(0<t<5)． （1）求证：△ACD ∽△BAC ； （2）求DC 的长；（3）设四边形AFEC 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式，并求出y 的最小值．B26．（本题满分10分） 如图，直线6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，以线段AB 为直径作⊙C ，抛物线c bx ax y ++=2过A 、C 、O 三点．(1) 求点C 的坐标和抛物线的解析式；(2) 过点B 作直线与x 轴交于点D ，且OB 2=OA·OD ，求证：DB 是⊙C 的切线；(3) 抛物线上是否存在一点P ， 使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．25题图26题图参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，满分24分）二、填空题（每小题3分，满分24分）9．2 ； 10．2)1(-x ； 11．100 ； 12．4108.2⨯； 13．圆锥； 14．4 ； 15．5 ； 16．43 三、解答题17．（本题满分6分）解：原式=21211⨯-+ (cos60o占2分) ………………………4分 =1 ………………………6分 18．（本题满分6分）解:122+<-x x ………………………1分212+<-x x ………………………2分3<x………………………4分它的非负整数解为0，1，2. ………………………6分19．（本题满分6分）解:在Rt △ABC 中，∠C =90O，BC =1800，∠ABC =30O，…………………1分180030tan 0ACBC AC ==………………………3分 从而331800⨯=AC =6003 ………………………4分 ≈1039 ………………………5分答：C 处与灯塔A 的距离为1039米． ………………………6分20．（本题满分6分）原式=()()y x xy y y x xy x +-+22 ………………………１分 =()y x xy y x +-22 ………………………2分 =()y x xy y x y x ++-))(( ………………………３分=xyyx - ………………………4分 当12,12-=+=y x 时，xy y x -=212)12)(12()12()12(==-+--+ ………………………6分 21．（本题满分6分）解： 设平均年增长率为x ……………………1分依题意得： 121)1(1002=+x ……………………3分解得：舍去）(1.2,1.021-==x x ……………………5分答：平均每年增长的百分率为10﹪ ……………………6分 22．（本题满分6分）解：（1）200 ………………………2分 （2）5………………………3分（3）设线段BC 解析式为：y=kx+b , ………………………4分依题意得：{300020k b400025k b =+=+ ………………………5分解得：k=200,b =﹣1000所以解析式为y=200x ﹣1000 ………………………6分23．（本题满分8分） 证：（1）ABC FCB ∆≅∆ ……………………1分∴AB=CF ，AC=BF ……………………2分 ∴四边形ABCF 为平行四边形 ……………………3分 （用其它判定方法也可）（2）OP=OQ ……………………4分 理由如下：PBO OCQ BOP COQ OB OC∠=∠∠=∠=,,BOP COQ ∆≅∆∴ ……………………6分∴OP=OQ ……………………7分(用平行四边形对称性证明也可)(3)90o……………………8分24．（本题满分8分） (1) 400+100=500 ……………………1分8.0500400= ……………………3分 (2) 80008.010000=⨯ ……………………5分还有2000人成绩不合格,中学生要加强安全知识学习(意思差不多即可) ……………………6分 (3)(每空一分) ……………………8分 25．（本题满分10分）解：（1）∵CD ∥AB ,∴∠ BAC =∠DCA ……………………1分又AC ⊥BC , ∠ACB =90o∴∠D =∠ACB = 90o……………………2分 ∴△ACD ∽△BAC ……………………3分 （2）822=-=∆BC AB ，ACABC Rt 中 ……………………4分∵△ACD ∽△BAC ∴ABAC ACDC = ……………………5分即1088=DC 解得：4.6=DC ……………………6分（3） 过点E 作AB 的垂线，垂足为G ，O ACB EGB 90,B ∠=∠=∠公共∴△ACB ∽△EGB ……………………7分 ∴EG BE AC AB=即108t EG= 故t EG 54= …………………8分BEF ABC S S y ∆∆-==()24454542102186212+-=⋅--⨯⨯t t t t ……………………9分 =19)25(542+-t 故当t=５２时，y 的最小值为19 ………………10分（其它方法仿此记分）26．（本题满分10分）解：（1）A （6，0），B （0，6） ……………………1分 连结OC ,由于∠AOB =90o，C 为AB 的中点，则AB OC 21=， 所以点O 在⊙C 上（没有说明不扣分）．过C 点作CE ⊥OA ，垂足为E ，则E 为OA 中点,故点C 的横坐标为3． 又点C 在直线y=－x+6上，故C （3，3） ……………………2分 抛物线过点O ，所以c=0,又抛物线过点A 、C ，所以{3930366=+=+a b a b，解得：1,23ab =-=所以抛物线解析式为x x y 2312+-=…………………3分（2）OA =OB =6代入OB 2=OA·OD ，得OD =6 ……………………4分又点B 在圆上，故DB 为⊙C 的切线 ……………………6分 （通过证相似三角形得出亦可）（3）假设存在点P 满足题意．因C 为AB 中点,O 在圆上,故∠OCA=90o,要使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形，则 ∠CAP =90o或 ∠COP =90o, ……………………7分 若∠CAP =90o,则OC ∥AP ，因OC 的方程为y =x ,设AP 方程为y =x +b ． 又AP 过点A （6，0），则b =－6, ……………………8分 方程y =x －6与x x y 2312+-=联立解得：{1160x y ==，{2239x y =-=-，故点P 1坐标为（－3，－9） ……………………9分 若∠COP =90o,则OP ∥AC ，同理可求得点P 2（9，－9） (用抛物线的对称性求出亦可)故存在点P 1坐标为（－3，－9）和P 2（9，－9）满足题意．…………10分谢谢大家。