高中数学解析几何总结(非常全)

范围
对称性
关于 轴对称
关于 轴对称
焦点
( ,0)
( ,0)
(0, )
(0, )
焦点在对称轴上
顶点
离心率
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率
（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 ，即 称为椭圆的离心率，
记作e（ ），
e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;
e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；
注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。
四、两直线的交角
（1） 到 的角：把直线 依逆时针方向旋转到与 重合时所转的角；它是有向角，其范围是 ；
注意：① 到 的角与 到 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。
联立 消y得：
联立 消x得：
(2)弦中点问题:斜率为k的直线l与椭圆 交于两点 是AB的中点，则：
(3)弦长公式：
第四部分：双曲线
双曲线
标准方程（焦点在 轴）
标准方程（焦点在 轴）
定义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值是常数（小于 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
离心率
1)
重要结论
（1） 焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：
（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）
（3）焦点三角形（双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形）：
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
渐近线
方程
共渐近线的双曲线系方程
（ ）
（ ）
直线和双曲线的位置
（1）判断方法:联立直线方程与双曲线方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式 的符号判断位置关系：
②直线关于直线对称：（设 关于 对称）
Ⅰ、若 相交，则 到 的角等于 到 的角；若 ，则 ，且 与 的距离相等。
Ⅱ、求出 上两个点 关于 的对称点，在由两点式求出直线的方程。
Ⅲ、设 为所求直线直线上的任意一点，则 关于 的对称点 的坐标适合 的方程。
如：求直线 关于 对称的直线 的方程。
八、简单的线性规划：
（2）与 平行的直线为 ；
（3）与 垂直的直线为 ；
七、对称问题：
（1）中心对称：
①点关于点的对称：
该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点 关于 的对称点
②直线关于点的对称：
Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；
Ⅱ、求出一个对称点，在利用 由点斜式得出直线方程；
（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；
7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数
第五部分：抛物线知识点总结
图象
定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。{ =点M到直线 的距离}
注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过 和 两点，且（ 则直线的方程： ；
注意：①不能表示与 轴和 轴垂直的直线；
②当两点式方程写成如下形式 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在 轴， 轴上的截距分别是 ， （ ）则直线方程： ；
（2）直线 与 的夹角：是指由 与 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是 ；
（3）设两直线方程分别为： 或
①若 为 到 的角， 或 ；
②若 为 和 的夹角，则 或 ；
③当 或 时， ；
注意：①上述与 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。
1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）
2.圆 的斜率为 的切线方程是 过圆 上一点 的切线方程为： .
一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x– a)(x0– a)+(y– b)(y0– b)=R2.
特别地，过圆 上一点 的切线方程为 .
重合
，且
相交
垂直
设两直线的方程分别为： 或 ；当 或 时它们相交，交点坐标为方程组 或 解；
注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：
对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如
②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线垂直。
③对于 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．
（3）设经过 和 两点的直线的斜率为 ，
则当 时， ；当 时， ；斜率不存在；
二、直线的方程
1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0)
注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 ；
2.斜截式：若已知直线在 轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为 ，斜率为 ，则直线方程： ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：
（3）线性规划：
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意：①当 时，将直线 向上平移，则 的值越来越大；
直线 向下平移，则 的值越来越小；
②当 时，将直线 向上平移，则 的值越来越小；
②指出此时直线的方向向量： ， ， （单位向量）；直线的法向量： ；（与直线垂直的向量）
6(选修4-4)参数式 （ 参数）其中方向向量为 ，
单位向量 ； ； ；
点 对应的参数为 ，则 ；
（ 为参数）其中方向向量为 ， 的几何意义为 ；斜率为 ；倾斜角为 。
3、两条直线的位置关系
位置关系
平行
，且
(A1B2-A2B1=0)
若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则 ，联立求出 切线方程.
2.7圆的弦长问题：1.半弦 、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：
2.弦长公式（设而不求）：
第三部分:椭圆
一．椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；
这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
（ 时为线段 ， 无轨迹）。
2．标准方程：
①焦点在x轴上： （a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）
②焦点在y轴上： （a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）
注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0， 并且椭圆的焦点总在长轴上；
②一般形式表示： 或者
圆的直径系方程：已知AB是圆的直径
2.4直线与圆的位置关系：直线 与圆 的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，(
(1) ；(2) ；（3） 。
2.5两圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， 。
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；
外离外切相交内切内含
2.6圆的切线方程：
(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 d＞r；(3)点在圆内 d＜r．
2.给定点 及圆 .
① 在圆 内 ② 在圆 上
③ 在圆 外
2.3圆的一般方程： .
当 时，方程表示一个圆，其中圆心 ，半径 .
当 时，方程表示一个点 .
当 时，方程无图形（称虚圆）.
注：（1）方程 表示圆的充要条件是： 且 且 .
第二定义：平面内与一个定点 和一条定直线 的距离的比是常数 ，当 时，动点的轨迹是双曲线。定点 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 （ ）叫做双曲线的离心率。
范围
，
，
对称轴
轴， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点பைடு நூலகம்标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0）( ,0)
(0, ,) (0， )
高中数学解析几何
第一部分:直线
1、直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角α
(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：
2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
（1）.倾斜角为 的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（ ）
①焦点在x轴上： （a＞b＞0）准线方程：
②焦点在y轴上： （a＞b＞0）准线方程：
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形
（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
二．椭圆的简单几何性质：
1.范围
（1）椭圆 （a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b