粘弹性理论初步

一维微分型本构方程
【讨论方程时引进的表示材料性能的蠕变函数和松弛函数，一般由准静态条件下的蠕变和应力松弛实验确定。

这些实验所提供的是从数十秒到10年左右时间的力学行为数据，而工程上许多材料与结构所受外载荷作用的时间却很短，或受到随时间交替变化的外部作用。

必须研究材料的动态力学性能（dynamic mechanical properties ）。

】 01230123p p p p q q q q σσσσεεεε++++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅
记作
00
,k k n
m
k
k k k k k d d p q m n dt dt σε
===≥∑∑ 或 P Q σε= 其中微分算子：00
,k k
n
m
k k k k k k d d P p Q q dt dt ====∑∑
此即为一般的一维粘弹性微分型本构方程。

Maxwell 、Kelvin 、三参量固体、Burgers 、广义Maxwell 、Kelvin 链等模型的本构方程均是上式的特殊化。

1111Maxwell: +(/,)p q p E q σσεηη=== ()0
()t t E
σσεη
=
+
蠕变 ()1
/0
=()t p t E e σε-应力松弛
理想弹簧
理想粘壶
ε
σ∙=E dt
d εη
σ=
E
1
ε2
εη
σ
σ
描述应力松弛过程：当受到F 作用，弹簧瞬时形变，而粘壶由于黏性作用来不及形变，应力松弛的起始形变由理想弹簧提供，并使两个元件产生起始应力为0，随后粘壶慢慢被拉开，弹簧回缩，形变减小，到总应力为0。

弹
粘σσσ==dt
d dt d dt d 2
1εεε+=η
σσεεε+=+=dt d E dt d dt d dt d 12
1()E
e E t E t dt E
d dt d E dt
d t η
τεσεση
σ
σ
η
σ
σετ=
===-
==+=-的变化形变固定时应力随时间将上式积分时当/00,,0,
010()()ττεσεσ/0/0
00t t e
E e t t E --===
E
η
1
σ2
σσ
σ
3、三参量固体模型
2
ε1
ε1
E 1
η2
E σ
σ
蠕变柔量：表示单位应力作用下随时间变化的应变值，一般是随时间而单 调增加的函数； 0()()t Y t εσ=
松弛模量：表示单位应变作用下的应力响应，是随时间增加而减小的函数。

dt
d E ε
η
εσ+=σ
ησεηε 1211221)(++=+E E E E E 0
)()(εσt E t =
4、广义Maxwell
i
E i
ηn
E n
η
Boltzmann 叠加原理（线性粘弹性）：
原理：聚合物力学松弛行为是其整个历史上诸松弛过程的线性加和的结果。

高聚物的蠕变是其整个负荷历史的函数，每个负荷对高聚物蠕变的贡献是独立的，因而各个负荷的总的效应等于各个负荷效应的加和，最终的形变是各负荷所贡献形变的简单的 利用这个原理，可以根据有限的实验数据来预测高聚物在很宽的负荷范围内的力学性质。

下图为非晶态高聚物（晶态聚合物？？？）典型的模量曲线和变形曲线，描述了定时条件下模量及变形度的温度相关性。

其中模量的测定方法为静态松弛试验，取松弛10s 后的模量值作为研究对象，即0E(t)/σε= (t=10s)。

①玻璃态
T温度以下曲线基本上是水平的，变形量小，而弹性模量较高，高聚物较刚硬，在
g
处于所谓玻璃态。

此时，物体受力的变形符合于虎克定律，应变与应力成直线比，并在瞬时达到平衡。

这是由于温度较低时，分子动能较小，整个分子链或链段不能发生运动，分子外于“冻结”状态，只有比链段更小的结构部分(链节、侧基、原子等)在其平衡位置附近作小范围的振动。

受外力作用时，链段进行瞬时的微量伸缩和微小的键角变化，外力一经去除，变形旋即消失。

②高弹态（橡胶态）
T温度之后曲线急剧变化，但很快即稳定而趋于水平。

在这个阶段，变形量很大，g
而弹性模量显著降低，外力去除后变形可以回复，弹性是可逆的。

高聚物表现为柔软而富弹性，具有橡胶的特性，处于所谓高弹态或橡胶态。

这是因为温度较高时，分子的动能增大，足以使大分子链段运动，但还不能使整个分子链运动，但分子链的柔性已大大增加，此时分子链呈卷曲状态，这就是高弹态，它是高聚物所独有的状态。

高弹态高聚物受力时，卷曲链沿外力方向逐渐舒展拉直，产生很大的的弹性变形，其宏观弹性变形量可达100%～1000％。

外力去除后分子链又逐渐地回缩到原来的卷曲状态，弹性变形逐渐消失。

由于大分子链的舒展和卷曲需要时间，所以这种高弹性变形的产生和回复不是瞬时完成的，而是随时间逐渐变化。

③粘流态
T后，变形迅速发展，弹性模量再次很快下降，高聚物开始产生粘性流温度高于
f
T后，分子的动能动，处于所谓粘流态，此时变形已变为不可逆。

这是由于温度超过
f
大大增加，不仅使链段运动，而且能使整个分子链运动，因此，受力时极易发生分子链间的相对滑动，产生很大的不可逆的流动变形，出现高聚物的粘性流动。

所以粘流态主要与大分子链的运动有关。