勾股定理的证明比较全的证明方法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
G
已知：如图，以在Rt△ABC中，
H
F
∠ACB=90°，分别以a、b、c 为边向外作正方形．
C
K
ba
c A
B
求证：a2 +b2=c2．
D
E
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．
∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，
表示勾、股、弦之长，
朱实 中黄实 b (b-a)2 a
返回
那么： c 2 ? 4 ? ab ? (b ? a )2 2
得： c2 =a2+ b2．
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代 数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
I
令正方形ABCD为朱方，正方
形BEFG为青方．在BG间取一点H，
E
使AH=BG，裁下△ADH，移至
F
D
C
△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形
A
BH
G
DHFI．勾股定理由此得证．
返回
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有 500余种．其中，美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几 何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用 面积来进行的．
c a c b ba
∵ c2= (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
=b2-2ab+a2+ 2ab
a bb c
=a2+b
2
a c
∴a2+b2=c2
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：
勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各 从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
2002年北京国际数学家大会会标
北
京
欢
迎
您
！
同学们！三角形的知识之前我们已学习了
不少。直角三角形是一种特殊的三角形， 从今天开始，我们尝试着研究直角三角形 三边之间的关系。
17．1 勾股定理（一）
wk.baidu.com
学习目标
1，掌握直角三角形三边之间的关系 （即勾股定理的内容）。
2，通过探究，了解勾股定理的证明过 程，并掌握1----2种证明方法。
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是 否定的．事情的经过是这样的：
1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个 小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为 3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： “是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 5和7，那么这个直角三角形的 斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5的平方 加上 7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心理很不是滋味．
看
你同 面 去 能学 反 朋
一
发们映友 相 现，直家 传
看
什我角作 两 么们三客 千
？也角， 五
来形发百
观三现年
察边朋前
下的友，
面某家一
的种用次
图数砖毕
案量铺达
，关成哥
看系的拉
看，地斯
勾股定理 (毕达哥拉斯定理 )
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方
c
股
弦
b
a2 + b2 = c2 a2 = c2 - b2
∴S矩形ADNM＝2S△ADC．
G
又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即
平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK．
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， K ∴△ADC≌△ABK．
由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK． 同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG． ∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG． 即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ， 也就是 a2+b2=c2．
H C
b
a
A Mc
DN
F B
E
返回
赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是
割补法，最早的形式见于公元三、四
世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这
篇短文中，赵爽画了一张他所谓的
c
“弦图”，其中每一个直角三角形称
为“朱实”，中间的一个正方形称为
“中黄实”，以弦为边的大正方形叫
“弦实”，所以，如果以 a、b、c分别
A
B
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树．
也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？”
仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
自研共探：
为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学。 认真看课本P22—P24，注意： 1、结合P22思考前的故事及“黄色书签”你, 在知识的认知上应
该养成怎样的品质？ 2、结合P22思考和图形17.1-2，你认为老毕先生发现了什么
？跨越两千多年的时空，看你和老毕是否有心灵的默契？ 之后用P22下面三行小字验证你的发现。 3、用数形结合与面积法思想，借助P22探究与网格再验证其 它直角三角形三边是否有同样的性质 4、准确记忆P23命题1﹙勾股定理﹚，分清题设与结论。﹙猜 想﹚ 5、利用P23 “赵爽弦图”和面积法证明勾股定理 6、务必明确勾股定理的两个关于：关于直角三角形与关于该 种图形边的关系 自学时间10分钟之后比谁能做对检测题。不会的可小声讨论 或举手问老师。
a勾
b2 = c2 - a2
勾股定理的证明
32
42
52
勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个 定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百 姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出 现关于勾股定理的新证法．
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法 3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法 5．其他证法
已知：如图，以在Rt△ABC中，
H
F
∠ACB=90°，分别以a、b、c 为边向外作正方形．
C
K
ba
c A
B
求证：a2 +b2=c2．
D
E
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．
∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，
表示勾、股、弦之长，
朱实 中黄实 b (b-a)2 a
返回
那么： c 2 ? 4 ? ab ? (b ? a )2 2
得： c2 =a2+ b2．
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代 数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
I
令正方形ABCD为朱方，正方
形BEFG为青方．在BG间取一点H，
E
使AH=BG，裁下△ADH，移至
F
D
C
△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形
A
BH
G
DHFI．勾股定理由此得证．
返回
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有 500余种．其中，美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几 何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用 面积来进行的．
c a c b ba
∵ c2= (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
=b2-2ab+a2+ 2ab
a bb c
=a2+b
2
a c
∴a2+b2=c2
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：
勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各 从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
2002年北京国际数学家大会会标
北
京
欢
迎
您
！
同学们！三角形的知识之前我们已学习了
不少。直角三角形是一种特殊的三角形， 从今天开始，我们尝试着研究直角三角形 三边之间的关系。
17．1 勾股定理（一）
wk.baidu.com
学习目标
1，掌握直角三角形三边之间的关系 （即勾股定理的内容）。
2，通过探究，了解勾股定理的证明过 程，并掌握1----2种证明方法。
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是 否定的．事情的经过是这样的：
1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个 小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为 3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： “是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 5和7，那么这个直角三角形的 斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5的平方 加上 7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心理很不是滋味．
看
你同 面 去 能学 反 朋
一
发们映友 相 现，直家 传
看
什我角作 两 么们三客 千
？也角， 五
来形发百
观三现年
察边朋前
下的友，
面某家一
的种用次
图数砖毕
案量铺达
，关成哥
看系的拉
看，地斯
勾股定理 (毕达哥拉斯定理 )
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方
c
股
弦
b
a2 + b2 = c2 a2 = c2 - b2
∴S矩形ADNM＝2S△ADC．
G
又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即
平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK．
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， K ∴△ADC≌△ABK．
由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK． 同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG． ∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG． 即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ， 也就是 a2+b2=c2．
H C
b
a
A Mc
DN
F B
E
返回
赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是
割补法，最早的形式见于公元三、四
世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这
篇短文中，赵爽画了一张他所谓的
c
“弦图”，其中每一个直角三角形称
为“朱实”，中间的一个正方形称为
“中黄实”，以弦为边的大正方形叫
“弦实”，所以，如果以 a、b、c分别
A
B
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树．
也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？”
仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
自研共探：
为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学。 认真看课本P22—P24，注意： 1、结合P22思考前的故事及“黄色书签”你, 在知识的认知上应
该养成怎样的品质？ 2、结合P22思考和图形17.1-2，你认为老毕先生发现了什么
？跨越两千多年的时空，看你和老毕是否有心灵的默契？ 之后用P22下面三行小字验证你的发现。 3、用数形结合与面积法思想，借助P22探究与网格再验证其 它直角三角形三边是否有同样的性质 4、准确记忆P23命题1﹙勾股定理﹚，分清题设与结论。﹙猜 想﹚ 5、利用P23 “赵爽弦图”和面积法证明勾股定理 6、务必明确勾股定理的两个关于：关于直角三角形与关于该 种图形边的关系 自学时间10分钟之后比谁能做对检测题。不会的可小声讨论 或举手问老师。
a勾
b2 = c2 - a2
勾股定理的证明
32
42
52
勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个 定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百 姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出 现关于勾股定理的新证法．
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法 3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法 5．其他证法