模拟3答案53107
云南省昆明市2023-2024学年高三三模数学试题含答案解析
昆明市2024届“三诊一模”高考模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，已知集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{}1,2 B.{}3,4 C.{}5,6 D.{}3,4,5,62.已知点()1,2A 在抛物线()2:20C y px p =>的图象上，F 为C 的焦点，则AF =（）A.B.2C.3D.3.已知ABC 中，3AB =，4BC =，AC =，则ABC 的面积等于（）A.3B.C.5D.4.某学校邀请,,,,A B C D E 五个班的班干部座谈，其中A 班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则A 班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（）A.10B.12C.16D.205.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若m α⊥，则“n α∥”是“m n ⊥”的必要条件B.若m α⊄，n ⊂α，则“m n ∥”是“m α∥”的充分条件C.若m α⊥，则“m β⊥”是“αβ∥”的充要条件D.若m α∥，则“m n ∥”是“n α∥”的既不充分也不必要条件6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为35，第二次投篮命中的概率为710，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是p ，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是12p ，则p =（）A.34B.78C.25D.577.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座ABCD 是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 一头连着底座端点，另一头都连在球O 的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球O 的体积为（）A.108π3B.256π3C.500π3D.864π38.函数()y f x =在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ∈，()()f x f y f+=，()11f =，则下列说法正确的是（）A.()22f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在()0,∞+单调递减D.若()4f x ≤，则[]2,2x ∈-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一个有限样本空间中，事件,,A B C 发生的概率满足()()()13P A P B P C ===，()59P A B = ，A与C 互斥，则下列说法正确的是（）A.()13P AC =B.A 与B 相互独立C.()127P ABC =D.()89P A B C ≤10.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期大于π2，若曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则下列说法正确的是（）A.π322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数C.π12x =是函数()f x 的一个极值点 D.()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增11.已知12,F F 分别是双曲线2212y x -=的左、右焦点，M 是左支上一点，且在x 在上方，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 是坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若12π2MF F ∠=，则直线MN 的斜率为B.若12π2MF F ∠=，则222F M F N ⋅= C.若12MF F α∠=，则1ON =D.若12MF F α∠=，则cos ON α=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z 满足i 2i z =-，则z =__________13.过点()1,m 可以向曲线()e xf x x =作n 条切线，写出满足条件的一组有序实数对(),m n __________14.以max A 表示数集A 中最大的数．已知0a >，0b >，0c >，则11max ,,b a M b c c a ac b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭的最小值为__________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量()()()1222111,1212211n n n n S F n n S ---=-，其中1n 个数据的方差为21S ，2n 个数据的方差为22S ，且2212S S >．若()1201,1n n F F --≥，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若0F 的临界值采用下表中的数据：11n -21n -123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.045 6.61 5.79 5.41 6.19 5.05 4.95 4.88 4.826 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.157 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：()3,5F 对应的临界值0F 为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.16.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，2421n n n S a a =++，2421n n n T b b =++（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足11n n n n n a c b a a ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n H ．17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足EF l ⊥，1EF BB ⊥．（1）证明：EF ⊥平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值为33，求该三棱台的高．18.已知函数()e sin xf x ax =-；（1）当1a =-时，证明：对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x >；（2）若0x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值．19.已知曲线C 由半圆()2210x y x +=≤和半椭圆()22102x y x +=>组成，点M 在半椭圆上，()1,0A -，()1,0B ．（1）求MA MB +的值；（2）N 在曲线C 上，若OM ON ⊥（O 是原点）．（ⅰ）求MN 的取值范围；（ⅱ）如图，点N 在半圆上时，将y 轴左侧半圆沿y 轴折起，使点A 到A '，使点N 到N '，且满足2πA OB ∠'=，求MN '的最大值．昆明市2024届“三诊一模”高考模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，已知集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{}1,2 B.{}3,4 C.{}5,6 D.{}3,4,5,6【答案】A 【解析】【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：{x x A ∈且}x B ∉，即{}1,2.故选：A.2.已知点()1,2A 在抛物线()2:20C y px p =>的图象上，F 为C 的焦点，则AF =（）A.B.2C.3D.【答案】B 【解析】【分析】先根据点()1,2A 在抛物线上求出p ，再根据抛物线的定义求出焦半径即可.【详解】将()1,2A 代入22y px =，即2221p =⨯⨯，所以2p =，所以11122pAF =+=+=.故选：B.3.已知ABC 中，3AB =，4BC =，AC =，则ABC 的面积等于（）A.3B.C.5D.【答案】B 【解析】【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出sin B ，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】由余弦定理得，222222345cos 22346AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，因为B 为三角形内角，则11sin 6B ==，所以11sin 34226ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯= ，故选：B ．4.某学校邀请,,,,A B C D E 五个班的班干部座谈，其中A 班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则A 班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（）A.10B.12C.16D.20【答案】C 【解析】【分析】由分类加法和分步乘法计数原理计算即可．【详解】由题分两类讨论，当A 班选到1位班干部发言有12C 种选法，其余班级有24C 种选法；当A 班选到2位班干部发言有22C 种选法，其余班级有14C 种选法；故共有12212424C C C C 261416+=⨯+⨯=种选法，故选：C ．5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若m α⊥，则“n α∥”是“m n ⊥”的必要条件B.若m α⊄，n ⊂α，则“m n ∥”是“m α∥”的充分条件C.若m α⊥，则“m β⊥”是“αβ∥”的充要条件D.若m α∥，则“m n ∥”是“n α∥”的既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用线面垂直的性质可判断A ；利用线面平行的判定和性质可判断B ；利用线面垂直的性质和面面平行的判定可判断C ；利用线面平行的性质可判断D.【详解】对于A ，若m α⊥，则“n α∥”是“m n ⊥”的充分不必要条件，故A 错误；对于B ，m α⊄，n ⊂α，则“m n ∥”⇒“m α∥”⇒“m ，n 平行或异面，所以m n ∥是m α∥的充分条件，故B 正确；对于C ，m α⊥，则“m β⊥”⇔“αβ∥”，则“m β⊥”是“αβ∥”的充要条件，故C 正确；对于D ，m α∥，则“m n ∥”⇒“n α∥或n ⊂α”，“n α∥”⇒“m ，n 相交、平行或异面”，所以“m n ∥”是“n α∥”的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：A .6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为35，第二次投篮命中的概率为710，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是p ，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是12p ，则p =（）A.34B.78C.25D.57【答案】B 【解析】【分析】利用全概率公式即可求解.【详解】设事件A 表示“小明第一次投篮命中”，事件B 表示“小明第二次投篮命中”，则()()()()371,,,5102P A P B P B A p P B A p ====，所以()()()()()3317155210P B P A P B A P A P B A p p ⎛⎫=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，解得78p =.故选：B .7.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座ABCD 是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 一头连着底座端点，另一头都连在球O 的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球O 的体积为（）A.108π3B.256π3C.500π3D.864π3【答案】C 【解析】【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形1111D C B A 的外接圆圆心为1O ，连接1OO ，由勾股定理及球体积公式计算即可．【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形1111D C B A 为正方形，则118B D =，设正方形1111D C B A 的外接圆圆心为1O ，连接1OO 交球面于点E ，如图所示，则111OO B D ⊥，所以11114D O B O ==，因为该艺术吊灯总高度为14，116DD BB ==，所以18O E =，设球半径为R ，则18OO R =-，在11Rt OO B 中，()22284R R -+=，解得5R =，所以球O 的体积为3344500πππ5333R =⨯=，故选：C ．8.函数()y f x =在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ∈，()()(22f x f y fx y +=+，()11f =，则下列说法正确的是（）A.()22f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在()0,∞+单调递减D.若()4f x ≤，则[]2,2x ∈-【答案】D 【解析】【分析】由已知条件，通过赋值法求出(0),(1),(2)f f f 及奇偶性，结合函数单调性的定义判断出单调性，即可得出判断．【详解】令0x y ==得，2(0)(0)f f =，则(0)0f =；对于A ，令1x y ==，有()212f f =，则22f =，令2x y ==，有()222ff =，则()242f =≠，故A 错误；对于B ，令0y =，则(),0()0,0,(),0f x x f x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，故()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，因为()f x 在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，(0)0,(1)10f f ==>，所以当0x >时，()0f x >，设120x x <<，令22121,0x x y x x ==-，则222221211212()))()f x f x x f x x x f x +-=+-=，即222121()())0f x f x f x x -=->，所以()f x 在()0,∞+单调递增，故C 错误；对于D ，由上述结论得，()f x 为偶函数，且在()0,∞+单调递增，(0)0,(2)4f f ==，所以若()4f x ≤，则[]2,2x ∈-，故D 正确；故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一个有限样本空间中，事件,,A B C 发生的概率满足()()()13P A P B P C ===，()59P A B = ，A与C 互斥，则下列说法正确的是（）A.()13P AC =B.A 与B 相互独立C.()127P ABC = D.()89P A B C ≤【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据互斥得到()0P AC =，()()()13P AC P A P AC =-=；B 选项，根据()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂求出()19P A B ⋂=，故()()()P A B P A P B ⋂=，B 正确；C 选项，A 与C 互斥，故AB 与C 互斥，故C 正确；D 选项，根据()()8899P A B C P BC ⋃⋃=-≤求出D 正确.【详解】A 选项，A 与C 互斥，故A C ⋂=∅，()0P AC =，则C 包含事件A ，故()()13P AC P A ==，A 正确；B 选项，()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂，即()115339P A B +-⋂=，故()19P A B ⋂=，故()()()P A B P A P B ⋂=，A 与B 相互独立，B 正确；C 选项，A 与C 互斥，故AB 与C 互斥，故()()0P ABC P AB C ⎡⎤=⋂=⎣⎦，C 错误；D 选项，()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+()()111118333339P BC P BC =++-⨯-=-，因为()0P BC ≥，故()()8899P A B C P BC ⋃⋃=-≤，D 正确.故选：ABD10.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期大于π2，若曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则下列说法正确的是（）A.π322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数C.π12x =是函数()f x 的一个极值点 D.()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由最小正周期大于π2，关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，可知()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，直接代入函数解析式求解即可；对于B ，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于C ，通过求导，令导函数为0，求得x 的值，并判断π12x =左右两端函数的单调性即可判断；对于D ，通过求函数的单调递增区间即可求解.【详解】因为()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期大于π2，所以2ππ2ω>，即04ω<<，又()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以()πππZ 33k k ω+=∈，所以13k ω=-+，因为04ω<<，所以当1k =时，2ω=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，对于A ，ππππ3sin 2sin 22332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ，ππππsin 2sin 2cos 2121232f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()cos 2cos 2x x -=且x 是全体实数，所以π12y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数，故B 正确；对于C ，()π2cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，令()0f x '=得ππ12x k =+，Z k ∈，当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以π12x =是函数()f x 的极大值点，故C 正确；对于D ，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，得5ππππ1212k x k -+≤≤+，函数的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，7π13π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然函数在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 不正确.故选：ABC .11.已知12,F F 分别是双曲线2212y x -=的左、右焦点，M 是左支上一点，且在x 在上方，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 是坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若12π2MF F ∠=，则直线MN 的斜率为B.若12π2MF F ∠=，则222F M F N ⋅= C.若12MF F α∠=，则1ON =D.若12MF F α∠=，则cos ON α=【答案】AC 【解析】【分析】根据垂直关系以及角平分线可得22π3MOF ∠=，即可求解斜率，判断A ，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B ，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC.【详解】1,a b c ===M 在第二象限，当12π2MF F ∠=时，则112MF F F ⊥，则())12,F F ，故()2M ，122F F c ==，24MF ==,故12π3F MF ∠=,21π6MF F ∠=，由于NM 是12F MF ∠的角平分线，所以2π6NMF ∠=,进而可得22π3MOF ∠=,故斜率为A 正确，由于2NM F N ⊥ ，所以222222142F M F N F N MF ⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭,B错误，延长2F N ,1MF 交于点H ，连接HM ,由于NM 是12F MF ∠的角平分线，2NM F N ⊥，所以2MNH MNF ≅ ,故N 是2HF 的中点，2HM F M =,由双曲线定义可得2111222F M F M a HM F M a HF a -=⇒-=⇒=，又O 是12F F 的中点，1112ON HF a ===,故C 正确，D 错误，故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z 满足i 2i z =-，则z =__________【答案】【解析】【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.【详解】因为复数z 满足i 2i z =-，所以2i12i iz -==--，所以z ==.13.过点()1,m 可以向曲线()e xf x x =作n 条切线，写出满足条件的一组有序实数对(),m n __________【答案】()e,1（答案不唯一）【解析】【分析】设切点坐标为()000,ex x x ，利用导数表示出切线方程，代入点()1,m ，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对m 的取值范围进行讨论，得到0x 解的个数，可得对应的切线条数.【详解】()e xf x x =，()()e e 1e xxxf x x x =+=+'，设所求切线的切点坐标为()000,e x x x ，则切线斜率为()001e x k x=+，得切线方程为()()00000e1e x x y x x x x -=+-，由切线过点()1,m ，有()()00000e 1e 1x x m x x x -=+-，化简得()02001e xm x x =+-，设()()21e xg x x x=+-，则()()22exg x x x -'=-，()0g x '<，解得<2x -或1x >；()0g x '>，解得2<<1x -，()g x 在(),2∞--和()1,∞+上单调递减，在()2,1-上单调递增，极大值()1e g =，极小值()252eg -=-，且12x -<或x >()0g x <，151522x -+<<时，()0g x >，()g x 的函数图象如图所示，则当e m >时，0x 无解，0n =；当e m =或25em <-时，0x 有一个解，1n =；当25e m =-或0e m ≤<时，0x 有两个解，2n =；当250em -<<时，0x 有三个解，3n =.故答案为：()e,1（答案不唯一）14.以max A 表示数集A 中最大的数．已知0a >，0b >，0c >，则11max ,,b a M b c c a ac b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭的最小值为__________【答案】2【解析】【分析】根据题意求出M 所满足的不等式，再结合基本不等式求解即可.【详解】由题意可知11,,b aM M b M c c a ac b≥+≥+≥+,所以有,2112a a bc b c b ac b c aM M ≥++++++≥，因为0,0,0a b c >>>所以14a c b b ac +++≥，当且仅当11,,a b c a b ac a ===，即1a b c ===时取等号，另外14a b c b c a +++≥，当且仅当1,a b c b a c==即,1a b c ==时取等号，综合上述，所以有24M ≥即2M ≥，当且仅当1a b c ===时取等号.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量()()()1222111,1212211n n n n S F n n S ---=-，其中1n 个数据的方差为21S ，2n 个数据的方差为22S ，且2212S S >．若()1201,1n n F F --≥，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若0F 的临界值采用下表中的数据：11n -21n -123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.045 6.61 5.79 5.41 6.19 5.054.954.88 4.8265.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.157 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：()3,5F 对应的临界值0F 为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.【答案】（1）24327S =甲，22309S =乙（2）没有显著性差异【解析】【分析】（1）根据数据求出两位同学的均值，再结合均值用方差公式求解即可；（2）根据题意求出()6,8F 的近似值，比较()6,8F 的临界值即可求解.【小问1详解】依题意：93958172808292857x ++++++==甲，858277809486928485859x ++++++++==乙，所以，()2143264100161692594977S =++++++=甲，()21230096425811491099S =++++++++=乙.【小问2详解】由于22S S >甲乙，则2214327S S ==甲，17n =，2222309S S ==乙，29n =，则()()()22116,821224328712887 2.502301115699n n S F n n S ⨯⨯-===≈-⨯⨯，查表得()6,8F 对应的临界值为3.58，则()6,8 2.50 3.58F ≈<，所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.16.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，2421n n n S a a =++，2421n n n T b b =++（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足11n n n n n a c b a a ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n H ．【答案】（1）21n a n =-；()11n n b -=-（2）111,221111,221n n n H n n ⎧⎛⎫- ⎪⎪+⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪+⎝⎭⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）求得n c 后，讨论n 为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求.【小问1详解】当1n =时，2111421S a a =++，即2111421a a a =++，()2110a -=，所以11a =，同理11b =．当2n ≥时，()()221111142n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-，化简得：()()111204n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以12n n a a --=，即12n n a a --=，故2d =，又11a =，所以21n a n =-．同理，10nn b b -+=或12n n b b --=，因为{}n b 是等比数列，所以10n n b b -+=，即1q =-，所以()11n n b -=-．【小问2详解】由（1）知()()()()()11111121111212122121n n n n n n n a n c a a n n n n ---+-+⎛⎫=-⋅=-⋅=+ ⎪-+-+⎝⎭，所以当n 为奇数时，12n nH c c c =++⋅⋅⋅+111111111233523212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，111221n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，同理当n 为偶数时，111221n H n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．所以111,221111,221n n n H n n ⎧⎛⎫- ⎪⎪+⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪+⎝⎭⎩为偶数为奇数.17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足EF l ⊥，1EF BB ⊥．（1）证明：EF ⊥平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值为33，求该三棱台的高．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质定理及线面平行的性质定理可得//l BC ，根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面11BCC B 与平面ABC 的法向量，利用线面角的向量求法可得结果.【小问1详解】证明：由三棱台111ABC A B C -知，11//B C 平面ABC ，因为11B C ⊂平面11AB C ，且平面11AB C 平面=ABC l ，所以11B C l ∥，又11B C BC ∥，所以//l BC ，因为EF l ⊥，所以EFBC ⊥，又1EF BB ⊥，1BC BB B = ，且BC ⊂平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以EF ⊥平面11BCC B ．【小问2详解】以A 为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h ，则()2,B，()1B h，()2,C -，()4,0,0CB =，()11,BB h =- ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则40x x hz =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令y h =，则z =，所以平面11BCC B的一个法向量(0,n h =，易得平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，设EF 与平面ABC 夹角为θ，由（1）知//EF n，所以由已知得sin cos ,3m n m n m nθ⋅===⋅，解得h =．18.已知函数()e sin xf x ax =-；（1）当1a =-时，证明：对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x >；（2）若0x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）求导得到函数的单调区间，求出()π6π1e 062f x f -⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭，结合对数的运算可得结果；（2）求导得到函数的单调区间，可得()f x 在π,06⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在()0,∞+单调递增，满足0x =是()f x 的极值点，进而求出结果即可.【小问1详解】当1a =-时，()e sin x f x x =+，()e cos xf x x =+'，当()0,x ∈+∞时，e 1sin x x >≥-，则()0f x >；当π,06x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，cos 0x >，e 0x >，故()0f x ¢>，所以()f x 在π,06⎛⎤- ⎥⎝⎦单调递增，因为e 2.8<<，所以π4e e 64<<，所以π6ln2<，所以πln26<，所以π6e 2<，故()π6π1e 062f x f -⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭；综上，对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x >．【小问2详解】x ∈R ，()e cos x f x a ax =-'，因为0x =是()f x 的极值点，所以()010f a '=-=，即1a =．当1a =时，()e sin x f x x =-，令()()e cos x g x f x x =-'=，则()e sin xg x x '=+，由（1）可知，对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '>，故()g x 在π,6∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，又()00g =，故当π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，即()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x ¢>，故()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在()0,∞+单调递增，满足0x =是()f x 的极值点，综上，实数a 的值为1．【点睛】关键点点睛：第二问由极值点求参数可先分析单调性，再由极值点处导数为零求参数即可.19.已知曲线C 由半圆()2210x y x +=≤和半椭圆()22102x y x +=>组成，点M 在半椭圆上，()1,0A -，()1,0B ．（1）求MA MB +的值；（2）N 在曲线C 上，若OM ON ⊥（O 是原点）．（ⅰ）求MN 的取值范围；（ⅱ）如图，点N 在半圆上时，将y 轴左侧半圆沿y 轴折起，使点A 到A '，使点N 到N '，且满足2πA OB ∠'=，求MN '的最大值．【答案】（1）MA MB +=（2）（ⅰ）；（ⅱ【解析】【分析】（1）,A B 是椭圆2212x y +=的左、右焦点，由椭圆的定义求MA MB +的值；（2）（ⅰ）OM ON ⊥，222MN OM ON =+，,M N 两点的位置，分类讨论,OM ON 的值，利用换元法和二次函数的性质可求MN 的取值范围；（ⅱ）过N '作N E '垂直y 轴，垂足为E ，设N Oy ∠α'=，把,ME NE 表示为α的函数，利用换元法和三角函数的性质求MN 的取值范围.【小问1详解】由题意知，,A B 是椭圆2212x y +=的左、右焦点，由椭圆的定义知：MA MB +=．【小问2详解】（ⅰ）由题意知，OM ON ⊥，则222MN OM ON =+，当M为半椭圆右顶点时，MN ==当M 不为半椭圆右顶点时，设直线OM 方程为()0y kx k =≠，联立2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得22221M x k =+，222221M k y k =+，故2222221k OM k +=+，①若点N 在半圆上，则21ON=，所以2222221122121k MN k k +=+=+++，所以()22122,321MN k =+∈+，所以MN ∈，②若点N 在半椭圆上，因为OM ON ⊥，设直线ON 的方程为1=-y x k ，同理可得222222k ON k +=+，所以()()()222222222612222212212k k k MN k k k k +++=+=++++，令211k t +=>，则()()()()()222222226166611211212119224k t MN t t k k t t t +====-+++⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，因为1t >，故101t <<，所以2268,3311924MN t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，所以263MN ⎡∈⎢⎣，综上所述，所以MN ∈．（ⅱ）过N '作N E '垂直y 轴，垂足为E ，设N Oy ∠α'=，则sin ,cos N E OE αα=='，π2MOE α∠=-，所以222π2cos 2ME OM OE OM OE α⎛⎫=+-''- ⎪⎝⎭，即2222222222cos cos sin 2121k k ME k k ααα++=+-++，2πA OB ∠'=，则半圆所在平面与半椭圆所在平面垂直，两平面交线为y 轴，则有N E EM '⊥，所以22222222222222222221cos sin sin2121212121k k k k MN ME N E k k k k ααα++++=+=+-=-+++++''，(2222221k m k +=∈+，22sin2132sin23MN m m αα=-+≤-≤'，当且仅当2m =0α=时，MN '3综上所述MN '3【点睛】方法点睛：折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材；解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据，而表面展开问题是折叠问题的逆向.。
2023-2024学年江西高三三模考试数学(理)模拟试题(含解析)
2023-2024学年江西高三三模考试数学（理）模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}220,Z |22xM x x x N y y =--≤=∈=-，则M N ⋂=（）A ．φB ．[)1,2-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1-【正确答案】D【分析】根据一元二次不等式的求解化简M ,由对数函数的性质可化简N ,由集合的交运算即可求解.【详解】{}{}22012,M x x x x x =--≤=-≤≤集合M 中包含的整数有1,012-,,，{}{}222x N y Z y y y =∈=-⊆<，所以{}1,0,1M N ⋂=-，故选：D2．已知复数z 满足2i 14i z z -⋅=+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．3B ．3iC ．95D ．9i5【正确答案】A【分析】设()i,,R z a b a b =+∈，则()i,,R z a b a b =-∈，代入2i 14i z z -⋅=+，利用复数相等求解.【详解】解：设()i,,R z a b a b =+∈，则()i,,R z a b a b =-∈，因为2i 14i z z -⋅=+，所以2(i)i (i)14i a b a b +-⋅-=+，即()()22i 14i a b b a -+-=+，则2124a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以复数z 的虚部为3，故选：A3．若a 为实数，则“1a =”是“直线1:20l ax y ++=与2:30l x ay a +--=平行”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】C【分析】根据直线平行求得1a =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“直线1:20l ax y ++=与2:30l x ay a +--=平行”，则210a -=，解得1a =或1a =-，当1a =时，直线1:20l x y ++=，24:0l x y +-=，此时1l //2l ，符合题意；当1a =-时，直线1:20l x y -++=，即1:20l x y --=，22:0x y l --=，此时1l ，2l 重合，不符合题意；综上所述：“直线1:20l ax y ++=与2:30l x ay a +--=平行”等价于1a =.所以“1a =”是“直线1:20l ax y ++=与2:30l x ay a +--=平行”的充要条件.故选：C.4．下列说法：（1）分类变量A 与B 的随机变量2K 越大，说明A 与B 相关的把握性越大；（2）以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.75z x =+，则,c k 的值分别是5e 和0.7；（3）若随机变量()1,4X N ~，且(3)0.16P X >=，则(11)0.34P X -<<=．以上正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】根据独立性检验原理可判断（1）；由e kx y c =，两边取对数，根据对数的运算性质和线性方程可判断（2）；利用正态曲线的对称性求解可判断（3）.【详解】根据独立性检验原理，分类变量A 与B 的随机变量2K 越大，说明A 与B 相关的把握性越大，故（1）正确；由e kx y c =，两边取对数得ln ln(e )kx y c =，即ln ln y c kx =+，设ln z y =，可得ln z c kx =+，又0.75z x =+，∴ln 5,0.7c k ==，即5e ,0.7c k ==，故（2）正确；若随机变量()1,4X N ~，则正态曲线关于1x =对称，则(11)(13)(1)(3)0.50.160.34P X P X P X P X -<<=<<=>->=-=，故（3）正确，所以正确的个数是3．故选：D ．5．在ABC 中，4,6,3,,4AB AC AC AM CN NB AN BM ====⋅=- ，则⋅= AB AC （）A ．2B ．3C ．6D ．12【正确答案】C【分析】根据题意可得13BM AM AB AC AB =-=- ，1()2AN AC AB =+，代入数量积公式，结合条件，即可求得答案.【详解】如图所示，因为3AC AM =，所以13BM AM AB AC AB =-=- .又因为CN NB =，所以1()2AN AC AB =+ ，所以1114223AN BM AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221114623AC AB AB AC --⋅=-，又222236,16AC AC AB AB ==== ，所以6AB AC ⋅= .故选：C.6．若212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（）A ．第二项B ．第三项C ．第四项D ．第五项【正确答案】B【分析】先利用二项式系数的增减性求出n 的值，再根据展开式的通项公式求解即可.【详解】因为212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，所以152n+=，解得8n =，则8212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()8281631881C 2C 21kkk k k k kk T xxx ---+⎛⎫=-=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭()0,1,2,3,4,5,6,7,8k =，当k 为奇数时，系数为负数，当k 为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，k 为偶数，由展开式通项可知08161618C 2256T x x ==，26101038C 21792T x x ==，444458C 21120T x x ==，622278C 2112T x x --==，808898C 2T xx --==，所以展开式中系数最大的是第三项，故选：B7．已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，()P ，直线PF 与双曲线C 有且只有一个公共点，则双曲线C 的离心率为（）A BC ．2D【正确答案】B【分析】根据双曲线的几何性质，直线PF 与双曲线的一条渐进线平行，建立方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线为b y x a =±，又(),0F c -，()P ，所以直线PF 的斜率为00()c c-=--，因为直线PF 与双曲线C 有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，直线PF 与双曲线的一条渐进线b y x a =ba=2bc =，所以4226a b c =，又222c a b =+，所以42224226()a c a c c a c =-=-，所以4260e e --=，解得23e =或22e =-（舍去），所以e =故选：B8．已知数列{}n a 的通项()*21N n a n n =-∈，如果把数列{}n a 的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为{}n b ，再把数列{}n b 的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为{}n c ，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为{}n P ，则数列{}n P 前10项的和为（）A ．1013B ．1023C ．2036D ．2050【正确答案】C【分析】根据题意得到数列{}n P 的第n 项为数列{}n a 的第12n -项，求得21nn P =-，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列{}n a 的第1248,,,,a a a a即得到的数列{}n P 的第n 项为数列{}n a 的第12n -项，因为()*21N n a n n =-∈，可得21nn P =-，所以()2101210222102036P P P +++=+++-= .故选：C.9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1CC 上的一点，且满足平面BDE ⊥平面1A BD ，则平面1A BD 截四面体ABCE 的外接球所得截面的面积为（）A ．136πB ．2512πC ．83πD ．23π【正确答案】A【分析】由题意证得E 是1CC 的中点，由四面体ABCE 的外接球的直径为3AE =，得到半径32R =，设M 是外接球的球心，求得球心M 到平面1A BD 的距离d ，根据球的截面圆的性质，求得截面圆的半径2136r =，进而求得截面圆的面积.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，设平面BDE ⋂平面1ACC OE =，且1AC ⊥平面1A BD ，由平面BDE ⊥平面1A BD ，可得1//AC OE ，所以E 是1CC 的中点，又四面体ABCE 的外接球的直径为3AE =，可得半径32R =，设M 是AE 的中点即球心，球心M 到平面1A BD 的距离为d ，又设AC 与BD 的交点为O ，则1cos3A OA ∠=，则11sin cos A OM A OA ∠=∠=，则11sin 236d OM A OM =⋅∠=⨯=，则截面圆的半径222912613412126r R d =-=-==，所以截面圆的面积为213ππ6r =.故选：A ．10．已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<部分图像如下，它过2π0,,,023⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭两点，将()f x 的图像向右平移π3个单位得到()g x 的图像，则下列关于()g x 的成立的是（）A ．图像关于y 轴对称B ．图像关于2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D ．在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦最小值为【正确答案】D【分析】根据图像得出3924ω<<，由过2π,,023⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点，代入函数式，即可确定()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而得出()sin2g x x =，即可根据正弦函数图像和性质判断选项.【详解】由图知2π2332π43T T ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩可得3924ω<<，又()30sin ,0π2f ϕϕ==<<则π3ϕ=或2π3，2π2πsin 033f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2ππ,3k k Z ωϕ+=∈若12π3,3k ϕω-==，无解；若2π32,32k ϕω-==，则2ω=，所以()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向右平移π3得到()sin2g x x =，因此A 、B 、C 错，D 对.故选：D11．艾溪湖大桥由于设计优美，已成为南昌市的一张城市名片.该大桥采用对称式外倾式拱桥结构，与桥面外伸的圆弧形人行步道相对应，寓意“张开双臂，拥抱蓝天”，也有人戏称：像一只展翅的蝴蝶在翩翩起舞（如图）.其中像蝴蝶翅膀的叫桥的拱肋（俗称拱圈），外形是抛物线，最高点即抛物线的顶点在桥水平面的投影恰为劣弧AB 的中点（图2），拱圈在坚直平面内投影的高度为45m ，劣弧AB 所在圆的半径为50m ，拱跨度AB 为502m ，桥面宽BC 为45m ，则关于大桥两个拱圈所在平面夹角的余弦值，下列最接近的值是（）（已知527)≈A ．45B ．1625C ．35D ．1225【正确答案】A【分析】根据题意求得15GH =，从而得到tan 3α=，再利用对称性与余弦的倍角公式，结合齐次式弦化切即可得解.【详解】设弧AB 的中点为H ，弦AB 的中点为G ，圆心为O ，拱圈的顶点为P，有45,50,PH OB BG ===，易知OG GB ⊥，则35OG =，故503515GH =-=，设PGH α∠=，则45tan 315PH GH α===，根据对称性两个拱圈所在平面的夹角的余弦值为.()222222cos sin 1tan 4cos290cos2cos sin 1tan 5αααααααα-+-+︒-=-===++故选：A.12．若不等式()2e ln e 0x x a x ax +-+≥在0x >上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],e -∞B ．(2,e ⎤-∞⎦C ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．2,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【正确答案】B【分析】不等式两边同除x 得()ln 2eln e 0x xa x x -+-+≥在0x >上恒成立，令ln t x x =-，1t ≥，分离参数只需2mine e t a t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，利用导数求最小值即可.【详解】不等式()2e ln e 0x x a x ax +-+≥在0x >上恒成立，两边同除x 得()ln 2eln e 0x xa x x -+-+≥在0x >上恒成立，令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，所以当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()11f x f ≥=，令ln t x x =-，1t ≥，即2e e 0t at -+≥在1t ≥上恒成立，所以只需2mine e t a t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭即可，令()2e e t g t t +=，则()2e e e t t t g t t--'=，令()2e e e t t h t t =--，则()0e th t t =>'在1t ≥上恒成立，()h t 单调递增，又因为()20h =，所以当12t ≤≤时，()0g t '≤，()g t 单调递减，当2t ≥时，()0g t '≥，()g t 单调递增，所以()()2min 2g t g ==e ，即2e a ≤，故选：B二、填空题13．已知函数()()ln e 1xf x kx =+-是偶函数，()()()2log 702(0)x x g x kxx ⎧+≥=⎨+<⎩，则()()2g g -=_______．【正确答案】3【分析】根据()f x 是偶函数，解出k 值，再根据分段函数解析式算出()()2g g -结果.【详解】解：已知函数()()ln e 1xf x kx =+-是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()ln e 1ln e 1x xkx kx -++=+-，整理得2ln e x kx x ==，解得12k =，经检验，12k =满足题意，因为()()()2log 702(0)x x g x kx x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()()()2log 7012(0)2x x g x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则1(2)2(2)12g -=+⨯-=，()()22(1)log 83g g g -===，故答案为.314．已知实数,x y 满足10350350x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_______．【正确答案】0【分析】先作出可行域，根据截距变化可得目标函数的最大值.【详解】作出可行域如图，设0:20l x y +=，平移0l 可得2z x y =+经过点A 时，取到最大值；由350350x y x y --=⎧⎨++=⎩得()1,2A -，所以2z x y =+的最大值为2120⨯-=.故015．城市地铁极大的方便了城市居民的出行，南昌地铁1号线是南昌市最早建成并成功运营的一条地铁线.已知1号地铁线的每辆列车有6节车厢，从5月1日起实行“夏季运行模式”，其中2节车厢开启强冷模式，2节车厢开启中冷模式，2节车厢开启弱冷模式.现在有甲、乙、丙3人同一时间同一地点乘坐同一趟地铁列车，由于个人原因，甲不选择强冷车厢，乙不选择弱冷车厢，丙没有限制，但他们都是独立而随机的选择一节车厢乘坐，则甲、乙、丙3人中恰有2人在同一车厢的概率为________．【正确答案】1948【分析】分别求出甲乙丙、甲乙、甲丙、乙丙在同一车厢的概率，即可得解.【详解】因为甲乙丙在同一车厢的概率为2144648=⨯⨯，甲乙在同一车厢的概率为21448=⨯，甲丙在同一车厢的概率为41466=⨯，乙丙在同一车厢的概率为41466=⨯，则甲乙丙恰有2人在同一车厢的概率为11111938664848++-⨯=.故1948·16．某城市有一块不规则的空地（如图），两条直边200m,45AB BC ABC ==∠=︒，曲边AC 近似为抛物线的一部分，该抛物线的对称轴正好是直线AB .该城市规划部门计划利用该空地建一座市民活动中心，该中心的基础建面是一个矩形,EFGH EF 在边AB 上，G 在边BC 上，H 在曲边AC 上，为使建面EFGH 最大，则BGBC=_______．【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，建立直角坐标系，求得曲边AC 的方程为()21000100y x x =≤≤，直线BC 的方程为：200x y +=，设200,100y H y ⎛⎫⎪⎝⎭，求得()32000110020000100S y y y =-+-，利用导数求得函数的单调性，求得最大值点，进而得到BG BC的值.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，因为200m,45AB BC ABC ==∠=︒，则()()200,0,100,100B C ，设曲边AC 的方程为22y px =，代入()100,100C 可得2100p =，所以曲边AC 的方程为()21000100y x y =≤≤，直线BC 的方程为：200x y +=，设200,100y H y ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()000200,0100G y y y -<<，可得矩形EFGH 为()232000000120010020000100100EFGHy S S y y y y y ⎛⎫==--⋅=-+- ⎪⎝⎭则()2001320020000100S y y '=-+-令0S '=，解得010010073y -+=或010010073y --=（舍去），所以()0100713y -=，当()00,x y ∈，0S '>；当()0,100x y ∈，0S '<，可得函数S 在()00,y 递增，在()0,100y 递减，所以当()0100713y -=时，S 最大，此时0711003y BGBC -==.故答案为.713-三、解答题17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()111n n n S S n n a ++=+，且112a =.(1)求n S ；(2)若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)1n n S n =+(2)()22(1)n n n T n +=+【分析】（1）利用11n n n a S S ++=-化简式子得到111111n n S S n n+-=-+，利用累加法即可求解；（2）先由n S 得n a ，再求出n b ，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为()()111n n n n S S n n S S ++=+-，显然10n n S S +≠，所以()11111111n n S S n n n n +-==-++，即111111n n S S n n +-=-+，所以11221111111111n n n n n S S S S S S S S ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111211122n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S n =+，又当1n =时，1112S a ==也满足，所以1n nS n =+.（2）由（1）知1n n S n =+，则当2n ≥时，()111n n n a S S n n -=-=+，又112a =也满足，所以()()*1N 1n a n n n =∈+，则22222111(1)(1)n n b n n n n +==-++，则()2222222211111111223(1)(1)(1)n n n T n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18．已知四棱雉P ABCD -的底面是正方形，且6,AD PA PD ===P 在底面上的射影在正方形ABCD 内，且PA 与平面ABCD(1)若G H 、分别是AD BC 、的中点，求证：点P 在平面ABCD 内的射影M 在线段GH 上，并求出GMMH的值；(2)若E 是棱PC 的中点，求二面角B DE C --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析，12GM MH =；.【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直、面面垂直的判断、性质推理即得，再借助线面角求出比值作答.（2）以M 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】（1）连PG GH PH 、、，由于G H 、分别是AD 和BC 的中点，且PA PD =，则AD PG ⊥，又ABCD 是正方形，则//,GH CD GH AD ⊥，又,,PG GH G PG GH =⊂ 平面PGH ，则AD ⊥平面PGH ，又AD ⊂平面ABCD ，则平面PGH ⊥平面ABCD ，在平面PGH 内过P 作PM GH ⊥于M ，平面PGH I 平面ABCD GH =，则PM ⊥平面ABCD ，所以点P 在ABCD 上的射影M 在线段GH 上，连AM ，PAM ∠是PA 与平面ABCD所成的角，即tan PAM ∠=，sin cos PAM PAM ∠=∠又22sin cos 1PAM PAM ∠+∠=，则sin PAM ∠=4,2PM AM GM ===，而6GH =，所以12GM MH =．（2）在平面ABCD 内过M 作Mx GH ⊥，则,,Mx MH MP 两两垂直，以M 为原点，,,Mx MH MP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()33,4,0,3,4,0,3,2,0,0,0,4,(,2,2)2B C D P E ----，()()36,6,0,,4,2,0,6,02DB DE DC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭设平面BDE 的法向量()1,,n x y z = ，则1166034202n DB x y n DE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令4y =-，得()14,4,5n =- ，设平面CDE 的法向量2000()n x y z = ,,，则2020006034202n DC y n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令04x =，得()24,0,3n =-，121212cos ,||||n n n n n n ⋅〈=〉显然二面角B DE C --的平面角为锐角，所以二面角B DE C --的余弦值为285.19．足球运动的发展离不开足球文化与足球运动兴趣的培养.2022年世界杯的开赛像春风一样吹暖了大地，某足球队的训练趁机搞得热火朝天.同时又开展“贏积分换奖励”的趣味活动：将球门分为9个区域（如图），在点球区将球踢中①、③、⑦、⑨号区域积3分，踢中②、④、⑥、⑧号区域积2分，踢中⑤号区域积1分，末踢中球门区域不积分.有甲乙两名球员踢中①、③、⑦、⑨号区域的概率都是120，踢中②、④、⑥、⑧号区域的概率都是110，踢中⑤号区域的概率为310.①②③④⑤⑥⑦⑧⑨(1)设甲连踢3球的积分和为X ，求7X ≥的概率；(2)设甲乙各踢一球的积分和为Y ，求Y 的分布列与期望值.【正确答案】(1)47250；(2)分布列见解析，3.4.【分析】（1）由独立事件的概率公式求概率即可；（2）分析Y 的所有取值，求分布列及数学期望即可.【详解】（1）由题意知，每位球员踢球一次积3分的概率为15，积2分的概率为25，积1分的概率为310，积0分的概率为110，()3113335125P X ⎛⎫=++==⎪⎝⎭，()223126332C 55125P X ⎛⎫=++=⋅=⎪⎝⎭，()223139331C 510250P X ⎛⎫=++=⋅=⎪⎝⎭，()2232112322C 55125P X ⎛⎫=++=⋅=⎪⎝⎭，则()16912477125125250125250P X ≥=+++=.（2）因为Y 的可能值为0123456、、、、、、，则()11101010100P Y ==⨯=，()136121010100P Y ==⨯⨯=；()332117221010510100P Y ==⨯+⨯⨯=；()112328322510510100P Y ==⨯⨯+⨯⨯=；()2213284255510100P Y ==⨯+⨯⨯=；()12165255100P Y ==⨯⨯=；()114655100P Y ==⨯=；所以Y 的分布列为：Y0123456P11006100171002810028100161004100()161728281640123456 3.4100100100100100100100E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆和椭圆C 在第一象限的交点为G ，若三角形12GF F 的面积为1，其内切圆的半径为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知A 是椭圆C 的上顶点，过点()2,1P -的直线与椭圆C 交于不同的两点,D E ，点D 在第二象限，直线AD AE 、分别与x 轴交于,M N ，求四边形DMEN 面积的最大值．【正确答案】(1)2214x y +=(2)4【分析】（1）根据三角形12GF F 的面积及内切圆的半径列出方程组求得,a b 得椭圆方程；（2）设直线DE 的方程与椭圆方程联立，()()1122,,,D x y E x y ，写出直线AD AE ，的方程求出M N ，的坐标，并求出12y y -，N M x x -，将1212DMEN N M S x x y y =--表示为k 的函数，使用基本不等式求最大值.【详解】（1）由题意知1290FGF ∠=︒，则1212121122GF F S GF GF GF GF ==⇒=△，又222212124GF GF F F c +==，则()2222221212244441GF GF GF GF c a c a c +-=⇒-=⇒-=，又12222222GF F Sr a c a c a c==⇒+=-=+内解得2,1a c b ===，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线DE 的方程为()()()112212,0,,,,y k x k D x y E x y -=+<联立方程组2221440y kx k x y =++⎧⎨+-=⎩，可得()()2221482116160+++++=k x k k x k k ，则()()121222821161Δ0,,1414k k k k x x x x k k -++>+=⋅=++，直线AD 的方程：1111y y x x -=+，所以111M x x y =-，同理221N xx y =-，()1122121221,21,y kx k y kx k y y k x x =++=++∴-=- ，()()()()()1221211222222N M x x x x x x k x k x k x x --=--+-+++，()()()()()22121212121212124122224DMENN M x x x x x x S x x y y x x x x x x -+-∴=--==+++++()2161616414144kk k k -==≤=+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，当且仅当12k =-时，四边形DMEN 的面积最大，最大值为4．关键点点睛：求四边形DMEN 的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，这是非常规四边形，使用的面积公式为1212DMEN N M S x x y y =--，为此计算12y y -，N M x x -代入转化为k 的函数求最大值.21．已知函数()()2ln ,a x f x g x x x==.(1)若()()()h x f x g x =+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若()g x 的极值点为0x ，设()()()x x f x g x ϕ⎡⎤=+⎣⎦，且()()()12123,x x x x ϕϕ==≠证明.3012ex x x a <【正确答案】(1)0a ≤(2)证明见解析【分析】（1）把原函数在区间单调递增问题转化为导函数恒大于等于0，分离参数，构造函数，利用导数求解函数最值，即可求出参数范围；（2）利用导数求出函数()g x 的极值点为0e x =，利用导数研究函数()x ϕ的单调性，从而12x a x 0<<<，再利用极值点偏移，构造函数()()2ln 3ln exT x x =+-，证得212e x x a <，由此得证.【详解】（1）函数()()()2ln a x h x f x g x x x =+=+的定义域为1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由题意函数()2ln a x h x x x =+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()3ln 20x x x ah x x --=≥'恒成立，则2ln a x x x ≤-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，令()ln u x x x x =-，则()ln u x x '=-，当()1,1,0e x u x ⎡⎤⎥⎦'∈≥⎢⎣，则()u x 单调递增，[]()1,e ,0x u x ∈'≤，则()u x 单调递减，而()12,e 0e eu u ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()min ()e 0u x u ==，所以20a ≤，即0a ≤；（2）因为()ln x g x x =，所以()21ln xg x x -'=，当()0g x '=时，e x =，当()(0,e),0x g x ∈'>，则()g x 在()0,e 单调递增，()(e,+),0x g x ∞'∈<，则()g x 在()e,+∞单调递减，所以()g x 的唯一极值点0e x =，因为()ln ax x x ϕ=+，则()2x a x xϕ-'=，当0a ≤时，()0x ϕ'>恒成立，则()x ϕ在()0,∞+上单调递增，不合题意，当0a >时，()0x ϕ'<的解集为()()0,,0a x ϕ'>的解集为(),a +∞，即()x ϕ的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ，依题意：()min ()1ln 3x a a ϕϕ==+<，解得()20,e a ∈，设12x x <，则12x a x 0<<<，要证3012e x x x a <，则只要证212e x x a <，即证221e a a x x <<，即证()221e a x x ϕϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证：()211e a x x ϕϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()11123ln ln 2,0,ex x a x a <-++∈，而()1111ln 33ln a x a x x x +=⇔=-，即证()()11121ln 3ln ,0,e x x x a <+-∈，令()()()22ln 3ln ,0,e ex T x x x =+-∈，则()()2113ln e T x x x =-+-'，设()()()23ln ,0,e G x x x x =-∈，求导得()2ln 0G x x =->'，即()G x 在()20,e 上单调递增，则有()()220e eG x G <<=即()()0,T x T x '<在()20,e 上单调递减，而()()20,0,e a ⊆当()0,x a ∈时，()()()2e 1T x T a T >>=，则当()0,x a ∈时，()21ln 3ln exx <+-成立，故有212e x x a <成立，所以3012e x x x a <.方法点睛：极值点偏移问题的解法：(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论120()2x x x +><型，构造函数0()()(2)F x f x f x x =--；对结论2120()x x x ><型，构造函数2()()()x F x f x f x=-，通过研究F (x )的单调性获得不等式.(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换12x t x =化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.22．在直角坐标系xOy 中，l 是过()0,2P 且倾斜角为α的一条直线，又以坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos2ρθ=．(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 在y 轴的右侧有两个交点,D E，过点()F 作l 的平行线，交C 于,G H 两点，求证：2PD PE FG FH=．【正确答案】(1)cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），224x y -=(2)证明见解析【分析】（1）利用直线参数方程的表示方程可得直线l 的参数方程；利用极坐标方程与直角坐标方程互化的方法可得曲线C 的直角坐标方程；（2）利用直线参数方程的参数表示的几何意义分别表示出PD PE ，FG FH ，从而得解.【详解】（1）因为l 是过()0,2P 且倾斜角为α的一条直线，所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），因为曲线C 的极坐标方程为24cos2ρθ=，则2cos24ρθ=，所以()222cos sin 4ρθθ-=，故224xy -=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y -=.（2）把l 的参数方程代入曲线C 中得：2cos24sin 80t t αα--=，记,D E 所对应的参数为12,t t ，则128cos2PD PE t t α==，又直线GH的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入C中得：2cos240t αα++=，可得4cos2FG FH α=，所以2PD PE FG FH=.23．已知函数()22f x x x a =++-．(1)当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集；(2)是否存在正数a ，使得()f x 的图象与直线6y =所围成的四边形的面积等于9，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)存在，1a =【分析】（1）当1a =时，将函数()f x 的解析式表示为分段函数的形式，分1x <-、11x -≤≤、1x >三种情况解不等式()5f x ≤，综合可得出原不等式的解集；（2）化简函数()f x 的解析式，作出函数()f x 的图象，求出()f x 的图象与直线6y =所围成的四边形的面积关于a 的表达式，根据题中条件可得出关于a 的等式，解之即可.【详解】（1）解：当1a =时，()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=++-=+-≤≤⎨⎪+>⎩，则不等式()5f x ≤可化为：1315x x <-⎧⎨--≤⎩或1135x x -≤≤⎧⎨+≤⎩或1315x x >⎧⎨+≤⎩，解得21x -≤<-或11x -≤≤或413x <≤，所以原不等式的解集为42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）解：因为0a >，则()32,1222,132,x a x f x x x a x a x a x a x a --+<-⎧⎪=++-=++-≤≤⎨⎪+->⎩，画出()f x 的大致图象如图，与直线6y =围成的四边形为ABCD ，易知点()1,1A a -+、(),22B a a +，联立326y x a y =+-⎧⎨=⎩可得436a x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩，即点4,63a C +⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理可得点8,63a D -⎛⎫⎪⎝⎭，且62202a a >+⇒<<，延长DA 与CB 交于点M ，联立3232y x a y x a =-+-⎧⎨=-+⎩，解得230a x y -⎧=⎪⎨⎪=⎩，即点2,03a M -+⎛⎫⎪⎝⎭，())2210122233a a BM a a +-⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，点A 到直线32y x a =+-312211010a a---+-，所以，)()22101211122331010ABMa a S BM ++=⋅=⨯⨯=△，()()()2222121211164612923233CDM ABMABCD a a a S S SCD +++=-=⨯-=⨯⨯-=-=四边形，整理可得()2912a +=，因为0a >，解得()3210,22a =-∈，合乎题意.所以存在正数3212a =-满足要求.。
江西省2024届高三下学期5月高考适应性大练兵数学仿真模拟试题(三模)含解析
江西省2024届高三下学期5月高考适应性大练兵数学仿真模拟试题（三模）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）z ()1,1-212i z =-A ．B ．C ．D ．42i 55-24i 55-42i 55+24i 55+2．椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ）22:18035x y C +=A B ．C ．D ．3．函数的一个单调递减区间为（ ）()223x xf x -=A ．B ．C ．D ．(),0∞-()1,0-()0,1()1,+∞4．已知平面向量，，其中，若，则实数的取值范围是()221,a λλ=+(),1b μ=0λ>//a b r rμ（ ）A ．B ．C ．D ．)⎡+∞⎣[)2,+∞)+∞[)1,+∞5．设是两个不同的平面，是两条共面直线，，，则“”是“”的,αβ,a b a α⊂b β⊂a b αβ∥（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校成立了手工艺社团，并开设了陶艺、剪纸等6门课程．该校甲、乙2名同学报名参加手工艺社团，每人仅报2门课程，其中甲不报陶艺、乙不报剪纸，且甲、乙两人所报课程均不相同，则甲、乙报名课程的方案种数为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．427．已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）()24sin cos 3cos 1f x x x x ωωω=+-11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭tan ω=A ．3或B ．2或C ．或D ．或13-12-2-123-138．如图，将边长为1的正以边为轴逆时针翻转弧度得到，其中ABC AB θABC '△，构成一个三棱锥的取值范π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ABC '-θ围为（ ）A ．B ．C ．D ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知是等比数列的前5项中的其中3项，且，则的前7项和可能为1,2,8-{}n a 20a >{}n a （ ）A ．B ．C ．D ．43-434-43643210．已知集合，，则下列结论正确的是(){},20A x y x ay a =++=(){},10B x y ax ay =+-=（ ）A ．，B ．当时，a ∀∈R A ≠∅1a =-13,22A B ⎧⎫⎛⎫⋂=-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭C ．当时，D ．，使得A B ⋂=∅1a =a ∃∈R A B=11．已知定义在上的函数满足，的导函数为R ()f x ()()()()21f xy xf y yf x x y =+++-()f x，则（ ）()f x 'A ．B ．是单调函数()12f -=-()f x C ．D ．为偶函数()()20180i f i f i =⎡⎤-+=-⎣⎦∑()f x '三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某新能源汽车店五月份的前8天汽车销量（单位：辆）分别为：，4S 3,7,11,5,8,15,21,9则这组数据的分位数为．75%13．在中，内角所对的边分别为，是的中点，，则ABC ,,A B C ,,a b c D BC 22BC AD c ⋅=．sin sin B C =14．已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，两()2:20C y px p =>F l F C ,M N ,M N 点在的准线上的射影分别为，且的面积是的面积的4倍，若轴被以C ,A B MAF △NBF y的值为．MN p 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数，且曲线在点处的切线方程为()()2ln 1f x a x x x=--+()y f x =()()22f ,．220x by +-=(1)求的值；,a b (2)求的单调区间与最大值．()f x 16．如图，在正三棱柱中，为的中点．111ABC A B C -P 1BC(1)证明：；1BC PA ⊥(2)若，与平面所成角的正弦值．12AA =AB =1AB 11PA C17．已知双曲线的离心率为2()2222:10,0x y C a b a b -=>>(1)求的方程；C (2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为的值．:2l y kx =+C ,A B O AOB k 18．已知袋中装有除颜色外均相同的4个黑球、1个白球，现从袋中随机抽取1个小球，观察颜色，若取出的是黑球，则放回后再往袋中加进1个黑球；若取出的是白球，则放回后再往袋中加进2个白球；第二次取球重复以上操作，记第次操作后袋中黑球与白球()1,2,3i i =的个数之差为．i X (1)求的分布列与数学期望；2X (2)求在第2次操作中取出黑球的条件下，的概率．33X =19．我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前邻一项的差构成数列12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中()111211,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅；对于数列②，从第二项起，每一项与它前邻一项的差构成数()111,2,,1,i i i a a a i n +=-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中()212222,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅按照上述办法，第次得到数列，()()21111,2,,2,i i i a a a i n +=-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r ()12,,,,r r r n r a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若r ()()()()1111,2,,,ri r i r i a a a i n r -+-=-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数{}n a ()2r r ≥{}n a r 列）．(1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式；{}n a 3,4,9,18,31,48,⋅⋅⋅{}n a (2)若阶等差数列的通项公式．r {}n b ()421n b n =-（ⅰ）求的值；r （ⅱ）求数列的前项和．{}n b n n S 附：．()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=1．A【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数对应的点的坐标可以得出对应复数的代数z 形式，再结合复数的四则运算法则，即可得解.【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，z ()1,1-1i z =-所以，所以．()221i 2iz =-=-()()()22i 12i 2i 42i 12i 12i 12i 12i 55z +=-=-=----+故选：A ．2．B【分析】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差.,,a b c 2a 2c【详解】由题得，，所以，，280a =235b =a =c ==所以长轴长2a =2c =所以长轴长与焦距之差等于．22a c -=故选：B 3．C【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.【详解】令，则，22t x x=-3ty =由复合函数的单调性可知：的单调递减区间为函数的单调递减区间，()f x 22t x x=-又函数，2()()2()t x x x t x -=---=即函数为偶函数，()t x 结合图象，如图所示，可知函数的单调递减区间为和，22t x x=-(),1∞--()0,1即的单调递减区间为和．()f x (),1∞--()0,1故选：C ．4．A【分析】根据向量平行，得到，结合基本不等式即可求.221λμλ+=【详解】由题意，因为，所以，又，//a b r r 221λμλ=+0λ>所以即时等号成立．22112λμλλλ+==+≥=12λλ=λ=故选：A 5．B【分析】举出反例说明“”不是“”的充分条件；再证明出以“”是“”的必a b αβ∥a b αβ∥要条件，即可.【详解】如图，，，，此时无法推出，a α⊂b β⊂l αβ= a b l ∥∥αβ∥所以“”不是“”的充分条件；a b αβ∥由共面，设，则，，,a b ,a b γ⊂a αγ⋂=b βγ= 又因为，所以，所以“”是“”的必要条件，αβ∥a b a b αβ∥综上，“”是“”的必要不充分条件.a b αβ∥故选：B.6．D【分析】分类讨论甲是否报剪纸，先安排甲，再安排乙，结合组合数分析求解.【详解】按甲报的课程分为两类：①若甲报剪纸，则从除了陶艺的其他4门课程中再选1门，有种结果，14C 乙再从剩余4门课程中选2门，有种结果，有种；24C 1244C C 24=②若甲不报剪纸，则从除了陶艺、剪纸的其他4门课程中选2门，有种结果，24C 乙再从剩余除剪纸外的3门课程中选2门，有种结果，有种；23C 2243C C 18=综上所述：共有种方案．241842+=故选：D ．7．A【分析】根据题意整理可得，其中，，结合正弦()()51sin 222f x x ωϕ=++4cos 5ϕ=3sin 5ϕ=函数对称性可得，，分类讨论的奇偶性，结合诱导公式分析求解.1π22k ϕω=-+k ∈Z k 【详解】由题意可知：，()()()3512sin2cos211sin 2222f x x x x ωωωϕ=++-=++其中，．4cos 5ϕ=3sin 5ϕ=因为的图象关于点中心对称，则，()f x 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()()5111sin 2222f ωϕ=++=整理可得，则，()sin 20ωϕ+=2π,k k ωϕ+=∈Z 解得，，则，1π22k ϕω=-+k ∈Z 1tan tan π22k ϕω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当时，；2,k m m =∈Z cos 11tan tan tan 22sin 3ϕϕϕωϕ-⎛⎫=-=-==-⎪⎝⎭当时，；21,k m m =+∈Z cosπsin 2tan tan 3221cos sin 2ϕϕϕωϕϕ⎛⎫=-=== ⎪-⎝⎭综上所述：或．tan 3ω=1tan 3ω=-故选：A ．8．C【分析】作辅助线，则即为三棱锥的外接球球心，翻折的角即为的大小，设O θCDC ∠'，结合题意分析可知，结合题意分析求解即可.OC R =2211412cos 2R θ=+【详解】取线段的中点，线段上靠近点的三等分点，的中点，AB D CD D G CC 'E 连接，则为正的外心，，可知为线段的中垂线，,,CD C D DE 'G ABC CD C D ¢=DE CC '在平面内过作的垂线交于，连接，CCD 'G CD ED O OC则即为三棱锥的外接球球心，翻折的角即为的大小．O θCDC ∠'设，则，OC R =DC DC '==2DEθ=DG=CG =，2EC EC θ='=可得2cos 2DG DE DO OEθθ==+==化简得，2211412cos 2R θ=+又因为，解得，R ≤22111343612cos 2R θ=+≤23cos 24θ≥结合，可得，所以．π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos2θ≥π026θ<≤π03θ<≤故选：C ．方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；2.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．9．AB【分析】根据等比数列分析可知：且或8，分或，结合等边数列通0q <22a =2428a a =⎧⎨=⎩2482a a =⎧⎨=⎩项公式分析求解，再结合等边数列求和公式分析求解.【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 因为等比数列中所有奇数项同号，所有偶数项同号，结合已知可知，其中2，8这两项的奇偶性相同，0q <又因为，可知或8，则有：20a >22a =若，，则，解得，符合题意，22a =48a =2134128a a q a a q ==⎧⎨==⎩112a q =-⎧⎨=-⎩所以的前7项和为；{}n a ()()71124312⎡⎤-⨯--⎣⎦=---若，，则，解得，此时，符合题意，28a =42a =2134182a a q a a q ==⎧⎨==⎩11612a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩51a =-所以的前7项和为；{}n a 711612431412⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭综上所述：的前7项和为或．{}n a 43-434-故选：AB ．10．AB【分析】对于A ：根据直线方程分析判断；对于B ：根据题意求直线交点即可；对于C ：根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D ：根据直线重合分析求解.【详解】对于选项A ：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，20x ay a ++=()0,2-可知表示直线上所有的点，(){},20A x y x ay a =++=20x ay a ++=所以，故A 正确；,a A ∀∈≠∅R对于选项B ：当时，则，，1a =-(){},20A x y x y =--=(){},10B x y x y =++=联立方程，解得，所以，B 正确；2010x y x y --=⎧⎨++=⎩1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13,22A B ⎧⎫⎛⎫⋂=-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭对于选项C ：当时，则有：A B ⋂=∅若，则；B =∅0a =若，可知直线与直线平行，且，B ≠∅20x ay a ++=10ax ay +-=0a ≠可得，解得；121a a a a =≠-1a =综上所述：或，故C 错误；0a =1a =对于选项D ：若，由选项C 可知，且，无解，故D 错误．A B =0a ≠121a aa a ==-故选：AB ．11．ACD【分析】对于A ：利用赋值法分析可得，；对于B ：根据()12f =-()12f -=-结合单调性的定义分析判断；对于C ：分析可得，即可()()112f f =-=-()()4f x f x -+=-得结果；对于D ：对求导，结合偶函数的定义分析判断.()()4f x f x -+=-【详解】因为，且的定义域为，()()()()21f xy xf y yf x x y =+++-()f x R 对于选项A ：令，则，可得；1x y ==()()1212f f =+()12f =-令，则，可得，故A 正确；1x y ==-()()12162f f =---=-()12f -=-对于选项B ：由选项A 可知，所以不是单调函数，故B 错误；()()112f f =-=-()f x 对于选项C ：令，可得1y =-，()()()()()()()1222224f x xf f x x x f x x f x -=--+-=--+-=--即，所以，故C 正确；()()4f x f x -+=-()()20180i f i f i =⎡⎤-+=-⎣⎦∑对于选项D ：由选项C 可知，()()4f x f x -+=-对两边求导得，即，()()0f x f x --+'='()()f x f x ''=-所以为偶函数，故D 正确．()f x '故选：ACD ．方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．12．13【分析】将数据从小到大排列，然后算出分位数的位置，由百分位数的定义，即可得到75%答案.【详解】将这8个数据从小到大排列得，3,5,7,8,9,11,15,21因为，所以这组数据的分位数为．875%6⨯=75%1115132+=故1313【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合正弦定理边化角即可得解.【详解】在中，是的中点，，ABC D BC 2(()12)2BC AD AC AB AC AB c ⋅=-⋅+=则，即，因此，2224AC AB c -= 2224b c c -=225b c=所以.sin sin B bC c ==14【分析】先研究点在第一象限时，由的面积是的面积的4倍，求出直线的M MAF △NBF l 斜率，联立直线与抛物线方程求出的值；再根据对称性研究在第三象限时的值即可.p M p 【详解】如图，当点在第一象限时，由抛物线的定义，可得，，M MA MF=NB NF=所以，所以，221sin 241sin 2MAF NBFMA MF AMF MF S S NF NB NF BNF ∠===∠ 2MF NF =所以．如图，过点作于点，则，2MA NB=N 1NN MA ⊥1N 1N A NB=所以，所以，11123N M AM MN ==111cos 3N M N MN MN ∠==所以的斜率，1sin N MN∠=l 111sin tan cos N MN k N MN N MN ∠=∠==∠则直线，直线与联立，得，:2p l y x ⎫=-⎪⎭l 22y px =22450x px p -+=设与的横坐标分别为，，则，M N M x N x 54M N px x +=所以，94M N MN x x p p=++=所以以为直径的圆的半径，MN 928MNr p ==圆心到轴的距离，y 528M N x x d p+==所以弦长为，解得；==p=当点在第三象限时，由对称性可得Mp =综上，.p=故答案为15．(1)，1a =1b =(2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭33ln224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据切点在曲线上确定切点的坐标；再根据切点在切线上和导数的几何意义列出方程组求解即可.（2）根据导函数的符号与原函数单调性的关系即可得出单调区间；再根据单调性可求出最大值..【详解】（1）因为，()()2ln 1f x a x x x=--+所以，，()()22ln 21222f a =--+=-()211af x x x =-+-'则切点坐标为.()2,2-因为曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,220x by +-=所以，解得．()222202222121b a f b ⨯-⨯-=⎧⎪⎨=-⨯+=-⎪-⎩'11b a =⎧⎨=⎩（2）由（1）可得：函数的定义域为：，.()f x ()1,+∞()()2312111x x f x x x x --=-+='--令，得；令，得.()0f x ¢>312x <<()0f x '<32x >所以的单调递增区间为，单调递减区间为，()f x 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以的最大值为．()f x 33ln224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭16．(1)证明见解析【分析】（1）取的中点，根据题意可得，，可证平面，BC D 1AA BC ⊥AD BC ⊥BC ⊥1AA PD 即可得结果；（2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.11PA C 【详解】（1）取的中点，连接，BC D ,AD PD 且为的中点，则，P 1BC 1PD CC ∥因为，则，所以四点过面，11AA CC ∥1PD AA ∥1,,,P D A A 因为平面，平面，则，1AA ⊥ABC BC ⊂ABC 1AA BC ⊥又因为，且为的中点，则，AB AC =D BC AD BC ⊥且，平面，可得平面，1AA AD A ⋂=1,AA AD ⊂1AA PD BC ⊥1AA PD且平面，所以．1PA ⊂1AA PD 1BC PA ⊥（2）由（1）可得平面，平面，平面，PD ⊥ABC AD ⊂ABC BD ⊂ABC 所以，，PD AD ⊥PD BD ⊥以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，D ,,DB AD DP ,,x yz 则，，，，，()0,3,0A -()10,3,2A -()0,0,1P )12B ()12C 可得，，，)12AB =()11A C =()10,3,1A P =-设平面的法向量为，则，11PA C (),,m x y z =1113030m A C y m A P y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令，，可得，x =1y=3z =)m =设直线与平面所成的角为，1AB 11PA C θ则，111sin cos ,m AB AB m m AB θ⋅====所以直线与平面1AB 11PA C 17．(1)22126x y -=(2)或1k =±2k =±【分析】（1）由离心率及顶点到渐近线的距离列方程即可求；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.【详解】（1）记的半焦距为，由题得的离心率，①C c C 2ce a ==由对称性不妨设的顶点为，渐近线方程为，则②C (),0a 0bx ay -=ab c =又，③222+=a bc 联立①②③解得，a b =c =所以的方程为．C 22126x y -=（2）设，()()1122,,,A x y B x y 由得，222126y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2234100k x kx ---=所以，()222230Δ16403120240k k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=->⎪⎩解得，且，k <<)*k ≠所以，，12243k x x k +=-122103x xk -=-所以．AB ===又点到直线的距离，O l d =所以的面积，AOB1122S AB d =⋅===解得或，符合式，1k =±2k =±()*所以或．1k =±2k =±18．(1)分布列见解析，13135(2)．35164【分析】（1）先确定的取值，分别求解概率，写出分布列，利用期望公式可求期望；2X （2）先利用全概率公式求，再利用条件概率可求答案.()2P A【详解】（1）两次操作取出的球均为黑球，则第2次操作后袋中有6个黑球、1个白球，此时，25X =所以；()24525563P X ==⨯=两次操作取出的球均为白球，则第2次操作后袋中有4个黑球、5个白球，此时，21X =-所以；()213315735P X =-=⨯=两次操作取出的球中黑、白球各一次，则第2次操作后袋中有5个黑球、3个白球，此时，22X =所以，()()()222232621511335105P X P X P X ==-=-=-=--=所以的分布列为2X 2X 1-25P3352610523所以．()2326213112535105335E X =-⨯+⨯+⨯=（2）记事件为“在第次操作中取出黑球”，事件为“第3次操作后袋中黑球与白i A i ()1,2i =B 球的个数之差为3”．则，()()()()()21211214514825657105P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=若第1次操作取到的是白球，且第2次操作取到的是黑球，则第2次操作后袋中有5个黑球、3个白球，①若第3次取到的是白球，则第3次操作后袋中有5个黑球、5个白球，此时；30X =②若第3次取到的是黑球，则第3次操作后袋中有6个黑球、3个白球，此时；33X =若第1次操作取到的是黑球，且第2次操作取到的是黑球，则第2次操作后袋中有6个黑球、1个白球，①若第3次取到的是白球，则第3次操作后袋中有6个黑球、3个白球，此时；33X =②若第3次取到的是黑球，则第3次操作后袋中有7个黑球、1个白球，此时，36X =所以表示第1次操作取到的是白球，且第2次和第3次操作取到的是黑球或第1次和第2A B 2次操作取到的是黑球，且第3次操作取到的是白球，所以，()214545115785676P A B =⨯⨯+⨯⨯=所以．()()()222135682164105P A B P B A P A ===19．(1)2256n a n n =-+(2)（ⅰ）；（ⅱ）4r =n S 5316875315n n n =-+【分析】（1）根据阶等差数列的定义，分别求出一阶差分数列和二阶差分数列，发现二阶r 差分数列为常熟列，即可得出，即，得到为等差数列，求得24n a =()1114n n a a +-={}1n a ，即，然后用累加法即可求解；143n a n =-143n n a a n +-=-（2）（ⅰ）根据阶等差数列的定义，从一阶差分数列、二阶差分数列、三阶差分数列…依次r 往下求，当出现常数列时为止，即可确定为r 的值；（ⅰⅰ）结合二项式定理将转化为()421n -了，然后利用裂项相消求和与分组求和的方法即可得解.()552161118855n n n n ⎡⎤---+-⎣⎦【详解】（1）数列的一阶差分数列为，{}n a 1,5,9,13,17,⋅⋅⋅二阶差分数列为，为非零常数列，4,4,4,4,4,⋅⋅⋅所以，即，且，24n a =()1114n n a a +-=111a =所以数列是首项为1、公差为4的等差数列，{}1n a 所以，即，且，()111443n a n n =+-⨯=-143n n a a n +-=-13a =所以当时，2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+，()][()()4134234133n n ⎡⎤=--+--+⋅⋅⋅+⨯-+⎣⎦()()2143132562n n n n n -=⨯--+=-+当时，，也满足上式，1n =13a =综上，数列的通项公式为．{}n a 2256n a n n =-+（2）（ⅰ），所以，()421n b n =-()()4431121216416n n n b b b n n n n+=-=+--=+，()()()()3322111641161641619219280n n n b b b n n n n n n +=-=+++-+=++所以，()()()()223221192119218019219280384384n n n b b b n n n n n +=-=++++-++=+所以，()()()43313841384384384384n n n b b b n n +=-=++-+=所以数列是4阶等差数列，即．{}n b 4r =（ⅱ）()()55505142332455555551C C C C C C n n n n n n n n --=--+-+-，()5543243251010515101051n n n n n n n n n n =--+-+-=-+-+所以，()545321112255n n n n n n ⎡⎤=--+-+-⎣⎦又()()()()4432012344324444421C 2C 2C 2C 2C 16322481n n n n n n n n n -=-+-+=-+-+，()552161118855n n n n ⎡⎤=---+-⎣⎦所以()()()1111455216112118855k k k k n n n n n S k k k k k n=====∑-=∑---∑+∑-()()()512111611885625n n n n n n n +++=-⨯+⨯-．5316875315n n n =-+关键点点睛：本题第2问的第ⅱ小问，求和关键是把平时熟悉的裂项相消求和与分组求和的方法应用到该题，结合二项式定理巧妙而关键的将转化为了()421n -，然后第一组可以用裂项相消求和的思想来求()552161118855n n n n ⎡⎤---+-⎣⎦()551615n n ⎡⎤--⎣⎦和，第二组用题干中给出的公式求和，第三组用等差数列公式求和即可.28n 1185n -。
[精品]2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷及解析答案word版(文科)
![[精品]2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷及解析答案word版(文科)](https://img.taocdn.com/s3/m/2aa412e70242a8956bece4ad.png)
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜10，x∈N}．B={x|x=，n∈A}．则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{x|1＜x＜3}C．{2，3}D．{x|1＜x＜}2．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i是虚数单位，x∈R）是由瑞士著名的数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里有及其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，若，则复数z2在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知命题p，∀x∈R都有2x＜3x，命题q：∃x0∈R，使得，则下列复合命题正确的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．（￢p）∧（￢q）4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=+3，则a9=（）A．B．C．648 D．186．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．7．（5分）若实数x，y满足条件，则z=x+y的最大值为（）A．﹣1 B．C．5 D．﹣58．（5分）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）已知函数f（x）=+ax（a∈R），若f（ln3）=3，则f（ln）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．110．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．11．（5分）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x）=sin2x的图象，当x1，x2满足时，|f（x1）﹣g（x2）|=2，，则φ的值为（）A． B．C．D．12．（5分）若对于任意实数m∈[0，1]，总存在唯一实数x∈[﹣1，1]，使得m+x2e x﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（0，e]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）“a=”是“直线2ax+（a﹣1）y+2=0与直线（a+1）x+3ay+3=0垂直”的．条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选取一个填入）14．（5分）已知函数f（x）=aln2x+bx在x=1处取得最大值ln2﹣1，则a=，b=．15．（5分）已知P是抛物线y2=4x上的动点，Q在圆C：（x+3）2+（y﹣3）2=1上，R是P在y轴上的射影，则|PQ|+|PR|的最小值是．16．（5分）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，CB∥DA，AB=20，DA=10，CB=20，若AB边上有一点P，使得∠CPD最大，则AP=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=．（1）证明：数列是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）令b n=a1a2•…•a n，求数列的前n项和S n．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AB=2，BC=1．AA1=，E为A1B1的中点．（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AD；（2）求多面体A1E﹣ABCD的体积．19．（12分）某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4500元的员工是具备营销成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分为两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得3万元，否则公司将损失1万元，试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|+|PM|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣asinx﹣1，a∈R．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0在区间[0，1）恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜10，x∈N}．B={x|x=，n∈A}．则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{x|1＜x＜3}C．{2，3}D．{x|1＜x＜}【解答】解：∵A={x|1＜x＜10，x∈N}={2，3，4，5，6，7，8，9}，B={x|x=，n∈A}={，，2，，，，2，3}，∴A∩B={2，3}，故选：C．2．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i是虚数单位，x∈R）是由瑞士著名的数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里有及其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，若，则复数z2在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：=cos+isin=+i，∴z2=（+i）2=﹣+i，此复数在复平面中对应的点（﹣，）位于位于第二象限，故选：B．3．（5分）已知命题p，∀x∈R都有2x＜3x，命题q：∃x0∈R，使得，则下列复合命题正确的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：命题p，∀x∈R都有2x＜3x，是假命题，例如取x=﹣1，则2﹣1＞3﹣1．命题q：∃x0∈R，使得，是真命题，令f（x）=x3+x2﹣1，则f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，即f（0）f（1）＜0，因此存在实数x0，使得f（x0）=0，即：∃x0∈R，使得，是真命题．则下列复合命题正确的是￢p∧q．故选：B．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e==2，即有c=2a，由c2=a2+b2，可得b2=3a2，即b=a，则渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=+3，则a9=（）A．B．C．648 D．18【解答】解：等比数列{a n}满足a1=+3，∴a52=2a5+3，解得a5=3或a5=﹣1（舍去）∵a1=，∴a9a1=a52=9，∴a9=18，故选：D6．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．7．（5分）若实数x，y满足条件，则z=x+y的最大值为（）A．﹣1 B．C．5 D．﹣5【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的阴影部分，由z=x+y可得y=﹣x+z，则z为直线y=﹣x+z在y轴上的截距．做直线l：x+y=0，然后把直线l向上平移z变大，当直线经过点A时，z最大，此时可得A（2，3）此时，z max=2+3=5故选：C8．（5分）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=+ax（a∈R），若f（ln3）=3，则f（ln）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．1【解答】解：∵函数f（x）=+ax（a∈R），f（ln3）=3，∴f（ln3）=+aln3=3，aln3=3﹣，f（ln）=+aln=﹣aln3=﹣3=1﹣3=﹣2．故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．【解答】解：根据题意，几何体的直观图是一个球的与三棱锥的组成的几何体，则其体积V=•+×（×2×1）×1=；故选：C．11．（5分）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x）=sin2x的图象，当x1，x2满足时，|f（x1）﹣g（x2）|=2，，则φ的值为（）A． B．C．D．【解答】解：将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，故f（x）=sin（2x﹣2φ），当x1，x2满足时|f（x1）﹣g（x2）|=2 时，，由题意可得：有|x1﹣x2|min=﹣φ=，结合范围0＜φ＜，解得：φ=，故选：D．12．（5分）若对于任意实数m∈[0，1]，总存在唯一实数x∈[﹣1，1]，使得m+x2e x﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（0，e]D．【解答】解：由m+x2e x﹣a=0成立，得x2e x=a﹣m，∴对任意的m∈[0，1]，总存在唯一的x∈[﹣1，1]，使得m+x2e x﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得1+≤a≤e，其中a=1+时，x存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是（1+，e]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）“a=”是“直线2ax+（a﹣1）y+2=0与直线（a+1）x+3ay+3=0垂直”的充分不必要．条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选取一个填入）【解答】解：经过验证：a=1时，两条直线不垂直．a=0时，两条直线垂直．a≠1，0时，由=﹣1，解得a=．可得：“a=”是“直线2ax+（a﹣1）y+2=0与直线（a+1）x+3ay+3=0垂直”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．14．（5分）已知函数f（x）=aln2x+bx在x=1处取得最大值ln2﹣1，则a=1，b=﹣1．【解答】解：求导f′（x）=+b，函数f（x）=aln2x+bx在x=1处取得最大值ln2﹣1，则f′（1）=0且f（1）=ln2﹣1，即，解得：，则a=1，b=﹣1，故答案为：1，﹣1．15．（5分）已知P是抛物线y2=4x上的动点，Q在圆C：（x+3）2+（y﹣3）2=1上，R是P在y轴上的射影，则|PQ|+|PR|的最小值是3．【解答】解：圆C：（x+3）2+（y﹣3）2=1的圆心为（﹣3，3），半径为1，∵抛物线方程为y2=4x，∴焦点为F（1，0），准线方程l：x=﹣1，设M为P在抛物线准线上的射影，∴P、R、M三点共线，且|PM|=|PR|+1根据抛物线的定义，可得|PM|+|PC|=|PF|+|PC|设CF与抛物线交点为P0，则P与P0重合时，|PF|+|PC|=|CF|=5达到最小值，因此，|PM|+|PC|的最小值等于5可得|PQ|+|PR|=|PC|﹣1+|PM|﹣1的最小值为3，故答案为3．16．（5分）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，CB∥DA，AB=20，DA=10，CB=20，若AB边上有一点P，使得∠CPD最大，则AP=10．【解答】解：设AP=x，则BP=20﹣x，（0）．∴PD=，PC==，CD==30，在△PCD中，由余弦定理得cos∠CPD===≥0．∴当x=10时，cos∠CPD取得最小值0，此时∠CPD=90°．当x≠10时，cos∠CPD＞0，此时∠CPD＜90°，故当x=10时，∠CPD取得最大值90°．故答案为10．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=．（1）证明：数列是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）令b n=a1a2•…•a n，求数列的前n项和S n．=，【解答】解：（1）∵a n+1∴a n﹣1=﹣1=，+1∴==+，∴﹣=，∵a1=3，∴=，∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴=+（n﹣1）=n，∴a n=（2）∵b n=a1a2•…•a n，∴b n=×××…×××=，∴==2（﹣），∴数列的前n项和S n=2（﹣+﹣+…+﹣）=2（﹣）=18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AB=2，BC=1．AA1=，E为A1B1的中点．（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AD；（2）求多面体A1E﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）∵AB=2，AD=BC=1，∠BAD=60°，∴BD==，∴BD2+AD2=AB2，∴AB⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AA1，又AA1∩AD=A，AA1⊂平面A1AD，AD⊂平面A1AD，∴BD⊥平面A1AD，又BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1AD．解：（2）连接A1C，S四边形ABCD=2S△ABD=2×=，∴V===，设C到AB的距离为h，则h==，则C到平面ABB1A1的距离为h=，∴V===．∴多面体A 1E﹣ABCD的体积V=V+V=．19．（12分）某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4500元的员工是具备营销成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分为两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得3万元，否则公司将损失1万元，试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该公司员工的月平均工资为：0.01×10×20+0.01×10×30+0.02×10×40+0.03×10×50+0.02×10×60+0.01×10×70=4700（元）．（2）抽取比为：，从工资在[1500，4500）区间内抽100×（0.1+0.1+0.2）×=2人，设这两位员工分别为1，2，从工资在[4500，7500]区间内抽100×（0.3+0.2+0.1）×=3人，设这3人员工分别为A，B，C，从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：（1，2），（1，A），（1，B），（1，C），（2，A），（2，B），（2，C），（A，B），（A，C），（B，C），两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：（A，B），（A，C），（B，C），概率为，两人中有一人营销都成功，公司改入2万元，有6种结果：（1，A），（1，B），（1，C），（2，A），（2，B），（2，C），概率为，两人营销都失败，公司损失2万元，有1种结果：（1，2），概率为，∵，∴收入2万元的可能性最大．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|+|PM|为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=c，由△AOF的面积为S=×b×c=，则bc=1，由a2=b2+c2，解得：a=，b=c=1，∴椭圆的标准方程为：；（2）证明：由（1）可知：F（1，0），以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x2+y2=1，设P（cosθ，sinθ），且cosθ＞0，则|PF|===﹣cosθ，由M是圆x2+y2=1的切点，则OM⊥PM，且丨OM丨=1，则丨PM丨====cosθ，∴|PF|+|PM|=﹣cosθ+cosθ=，∴|PF|+|PM|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣asinx﹣1，a∈R．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0在区间[0，1）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e x﹣sinx﹣1，f′（x）=e x﹣cosx，∴f′（0）=e0﹣cos0=0，且f（0）=e0﹣sin0﹣1=0，∴f（x）在x=0处的切线方程为：y=0（2）f（x）≥0在区间[0，1）恒成立⇔asinx≤e x﹣1在区间[0，1）恒成立．①当x=0时，a∈R，②当x∈（0，1）时，原不等式等价于a，令h（x）=，x∈（0，1）h′（x）=，令G（x）=e x sinx﹣e x cosx+cosx，（x∈（0，1））G′（x）=（2e x﹣1）sinx≥0，在x∈（0，1）恒成立．∴G（x）=e x sinx﹣e x cosx+cosx，（x∈（0，1））单调递增，而G（0）=0．故G（x）≥0在（0，1）上恒成立，∴h′（x）≥在（0，1）上恒成立．h（x）在（0，1）上递增，x→0时，sinx→0，e x﹣1→0，由洛必达法则得==，即a≤1，综上，a的取值范围为（﹣∞，1]请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐标方程：y2=mx（m＞0）．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．消去参数化为普通方程：y=x﹣2．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．则t1+t2=（m+8），t1•t2=4（m+8）．∵|AP|•|BP|=|BA|2，∴|t1•t2|=，化为：5t1•t2=，∴20（m+8）=2（m+8）2，m＞0，解得m=2．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．【解答】（1）证明：记f（x）=|x+2|﹣|1﹣x|=，∴由0＜2x+1＜2，解得﹣＜x＜，∴M=（﹣，）∴|a+b|≤|a|+|b|=＜；（2）解：由（1）可得a2＜，b2＜，∴（4ab﹣1）2﹣4（b﹣a）2=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，∴|4ab﹣1|＞2|b﹣a|．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．B4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
高三数学五三模拟试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = |x|D. f(x) = -x^2答案：B2. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，d = 2，则a10的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B3. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则ac > bcC. 若a > b，则loga > logbD. 若a > b，则1/a < 1/b答案：D4. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x - 1 < x + 3B. x^2 - 4 < 0C. |x| > 2D. x^2 + 1 > 0答案：D5. 函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 1]上的最大值为（）A. -2B. 0C. 2D. 4答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的对称轴为_________。
答案：x = 27. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则第10项an的值为_________。
答案：198. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，其定义域为_________。
答案：(1, +∞)9. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a、b、c的关系为_________。
答案：b^2 - 4ac = 010. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，其图像在x轴上与x轴的交点为_________。
答案：-1、2三、解答题（共75分）11. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1，求f(x)的极值。
解答：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4令f'(x) = 0，得x = 1或x = 2/3。
福建省泉州市高三第三次模拟考试文科数学试题参考答案
福建省泉州市高三第三次模拟考试文科数学试题&参考答案注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。
2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3、全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）集合2{|230,}Z A x x x x =-≤∈,{|1232,}Z xB x x =≤<∈，集合C 满足A CB ⊂⊆,则C 的个数为（A ）3（B ）4 （C ）7 （D ）8（2）甲、乙、丙、丁四位同学各自对,A B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现,A B 两变量有更强的线性相关性（ ）（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁（3）直线1:+10l ax y a +-=，直线1:420l x ay +-=，则“2a =±”是“12l l ”的（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）不充分不必要条件（4）已知1x >，1y >，且2log x ，14，2log y 成等比数列，则xy 有 （A ）最小值2 （B ）最小值2 （C ）最大值2 （D ）最大值2（5）执行如图所示的程序框图，若输入5,2a b ==，则输出n 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ） 5（6）已知函数()2+1f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）（A ）()f x 是偶函数（B ）()f x 的递减区间是(1,1)-（C ）若方程()+0f x k =有三个不同的实数根，则20k -≤≤（D ）任意的0a >，1(lg )(lg )2f a f a+=（7）抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1，2，3，4，记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为（若两数相等，则取该数），平均数为，则事件“”发生的概率为（A ） （B ）（C ） （D ） a b 1=-b a 31416183俯视图侧视图正视图11122（8）已知椭圆：12222=+b y a x 的左焦点为F ，若点关于直线12=-y x 的对称点P 在椭圆上， 则椭圆的离心率为（A ）12（B ）22 （C ）33 （D ）53（9）函数()sin()ωϕ=+f x A x 的部分图像如图所示，若(4)(6)1=-=-f f ，且1()02=f ，则(2017)=f （A ）12（B ）221 （D ）3 （10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ） 43（B ）2（C ）83（D ）4（11）是底边边长为的等腰直角三角形，是以直角顶点为圆心，半径为1的圆上任意一点，若，则的最小值为（A ） （B ） （C ） （D ）C F C C C （）ABC ∆22P C m AP PB n ≤⋅≤n m -422224（12）2()ln (1)1f x a x x b x =+---，若对1[,)ex ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）1e 2e a ≤+- （B ）2a < （C ）22e a ≤< （D ）2ea ≤ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2024年河南省南阳市镇平县中考模拟考试三模数学试题(含答案)
2024年春期九年级中招模拟训练数学试卷（三）2024．6一、选择题（每小题3分，共30分）1．实数a 与b 在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．无法确定2．如图是一个几何体的表面展开图，则这个几何体是（）A ．B ．C ．D ．3．2023年8月29日华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000s 处理器，这款处理器是华为采用5nm 制程技术的手机芯片，1nm=0.000000001m ，其中5nm 用科学记数法表示为（）A ．B ．C ．D ．4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（）A ．B ．C ．D ．5．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．某射击队要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一名运动员代表本队参加市里的比赛，选拔赛中每名运动员成绩的平均数成绩的方差如下表所示，如果要选拔一名成绩好且发挥稳定的运动员参赛，那么应该选拔（）选手甲乙丙丁a b >a b <a b=9510m⨯100.510m -⨯8510m-⨯9510m-⨯O P F 1155∠=︒230∠=︒3∠50︒55︒60︒65︒632()x x x ÷-=-2(1)(1)1m m m ---=-()325mm -=-202420232023222-=x 2s平均数8.78.79.19.1方差10.80.81A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定8．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是MB 的中点，则AC 的最小值为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．39．若反比例函数的图象如图所示，则抛物线的顶点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．如图，在中，、、，点在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从点向终点移动．过点作于点，作于点，连接MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共15分）11．请你写出一个大于且小于的无理数：__________．y kx b =+x 20x kx b ++=(3,4)P P (2.8,0)A (5.6,0)B M P C (0)ky k x=≠2y x kx k =-+ABC △5AB =3BC =4AC =P A B P PM AC ⊥M PN BC ⊥N (2.5,5)123,5⎛⎫⎪⎝⎭1612,55⎛⎫⎪⎝⎭16,55⎛⎫⎪⎝⎭3-2-12．不等式组的最小整数解是__________．13．中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是__________．14．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点M 为AC 上一点，以点C 为圆心，CM 的长为半径作圆与边AB 相切于点N ，已知为该圆的一部分，则图中由线段AN ，AM 及所围成的阴影部分的面积为__________．15．在等腰中，，，D 是边BC 上的动点，连接AD ，将沿AD 折叠，点的对应点为，若，则BD 的长为__________．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（10分）（1．（2）化简：．17．（9分）2023年10月30日20时37分，神舟十六号载人飞船与空间站组合体成功分离，航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮踏上回家之旅．10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在内蒙古东风着陆场成功着陆，三名航天员平安回家．某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识，从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩（百分制）进行整理，绘制成尚不完整的统计图表如下：组别测试成绩x /分频数频率A m 0.06B 70.14C a 0.22D210.4220620x x +>⎧⎨-≤⎩ABC △ MN MNABC △120BAC ︒∠=4AB AC ==ABD △B B '120BDB '∠︒=02123-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭221211x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<E8b请根据以上信息解答下列问题：（1）这次测试抽取的学生共有__________名，__________，__________；（2）请补全频数分布直方图；（3）所抽取学生的成绩的中位数落在__________组；（4）该校共有学生3600名，若成绩在80分以上（含80分）为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数．18．（9分）如图，在中，．（1）实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）①作AC 的垂直平分线交AC 于点O ，交BC 于点D ；②在线段DO 的延长线上截取线段OE ，使，连接AE 、CE 、AD ．（2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并进行证明．19．（9分）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展，如图，小山AB 的山腰CN 上有一个平台CD 长为45m ，从点C 看山顶A 的仰角为63°，山坡DE 的坡度为，该地准备利用斜坡DE 建设一个滑雪场，且DE 的长度为390m ，若点D 到地面BE 的垂线段与BN 构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山AB 的高度．（精确到整数，参考数据：；，）20．（9分）某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10元/kg ，15元/kg ，乙种水果在销售30kg 后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．已知这两种水果的销售额y （元）与销售量x （kg ）之间的函数关系如图所示．（1）甲种水果每千克的销售价为__________元；90100x ≤≤a =b =ABC △90ACB ∠<︒OE OD =ADCE 12.4i =:sin 630.89≈︒cos630.45≈︒tan 63 1.96≈︒（2）求乙种水果销售额y （元）与销售量x （kg ）之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．21．（9分）欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书．小明在阅读《几何原本》时，看到定理3．32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角．小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系．请帮助小明写出已知，求证，并证明．已知：如图，中，__________，点E 为劣弧上一点，连接ME 、NE ．求证：__________22．（10分）如图为某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练的示意图，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；（不写自变量的取值范围）（2）正常情况下，若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点D 的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由．23．（10分）已知点O 是线段AB 的中点，直线l 与直线AB 交于点P ，分别过点A 和点B 作直线l 的垂线，垂足分别为点C 和点D．AMN ∠MEN ∠O D (1,10)--O A 39,416⎛⎫⎪⎝⎭（1）【问题呈现】如图1，当点P 与点O 重合时，请你猜想、验证后直接写出线段OC 和OD 的数量关系是__________；（2）【类比探究】如图2，当点P 是线段AB 上的任意一点时，线段OC 和OD 的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）【拓展提升】如图3，当点P 是线段BA 延长线上的任意一点时：①请直接写出OC 和OD 的数量关系；②若，，，请直接写出线段OC 的长．镇平县2024年春期九年级数学模拟测试三参考答案一．选择题（每小题3分，共30分）1．B ；2．D ；3．D ；4．B ；5．D ；6．C ；7．A ；8．A ；9．C ；10．C ．二．填空题（每题3分，共15分）11．-5（答案不唯一）；12．3；13．16；14．52-58π；15．433或833．三．解答题（本大题8个小题，共75分）16．（10分）解：（1）134；（2）．xx +117．（9分）（1） 50，11，0.16 ……………………………………………………………………3分（2）50x0.06=3（名），如图所示：………………………………5分（3） D……………………………………………………………6分（4）3600×21+850=2088（名），答：该校学生成绩为优秀的人数约为2088名. ……………9分18．（9分）解：（1）如图所示：……………………………4分（2）四边形ADCE 为菱形，理由如下：∵DE 为AC 的垂直平分线，OC OD ⊥2AC =6BD =∴OA=OC又∵OE=OD∴四边形ADCE为平行四边形……………………………7分又DE⊥AC，∴四边形ADCE为菱形.…………………………………9分（其它方法均可）19．（9分）解：∵山坡DE的坡度为i=1：2.4，DMME =12.4=512设DM=5xm，则ME=12xm，……………………………………………………………1分在RtΔDME中，由勾股定理得DM²+ME²= DE2，∴（5x）²+（12x）²=3902解得x1=30或x2=-30（舍去），∴DM =30×5=150m，…………………………………………………………………………3分∵四边形NBMD为正方形，∴BN=DM=DN=150m，…………………………………………………………………4分∴CN=DN-CD=150-45=105m，………………………………………………………………5分在RtΔANC中，∠ACN=63°，∴AN=NC·tan63°=205.8m，………………………………………………………………7分∴AB=AN+BN=355.8≈356m，………………………………………………………………8分答：小山AB的高度约为356m.…………………………………………………………………9分20.（9分）（1）20……………………………………………………………………………………………2分（2）当0<x≤30时，设y与x之间的函数解析式为：y=kx，将点（30，750）代入得750=30k，解得k=25∴y与x之间的函数解析式为：y=25x（0<x≤30）；………………………4分（其它方法均可）当30<x≤120时，设y与x之间的函数解析式为：y=kx+b，∵图象上点（30，750），（120，2100）在函数上，代入得{750=30k+b2100=120k+6解得：{k=15b=300∴函数解析式为：y=15x+300（30<x≤120）……………………………………………………6分∴乙种水果销售额y（元）与销售量x（kg）之间的函数解析式为：综上：{y=25x（0<x≤30）y=15x+300（30<x≤120）……………………………………………………………7分（3）900元…………………………………………………………………………………………9分21.（9分）解：直线AB切⊙O于点M，过M的直线交⊙O于另一点N，…………………2分∠AMN=∠E. …………………………………………………………………………3分证明：如图，连接MO并延长MO交⊙0于点F，连接NF，∵直线AB切⊙0于点M，∴∠AMF=∠BMF=90°，∴∠FMN+∠NMB=90°∵MF为⊙O的直径，∴∠MNF=90°，∴∠FMN+∠F=90°∴∠F=∠NMB.……………………………………………………6分又四边形MENF为圆内接四边形，∴∠F+∠E=180°，又∵∠AMN+ ∠NMB=180°，∴∠AMN=∠E.………………………………………………………………9分（其它方法均可）22.（10分）解：（1）∵运动员在空中最高处A点的坐标为（34，916），∴A点为抛物线的顶点，∴可设该抛物线的解析式为y=a（x-34）2+916，∵该抛物线经过点（0，0），∴916a=-916∴a=-1，∴该抛物线的解析式为y=-（x-34）2+916=-x2+32x.………………………………………………3分（2）该运动员此次跳水不会失误，理由如下：…………………………………………4分∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点D的水平距离为4米，点D的坐标为（-1，-10），…………………………………………………………………………………………………5分∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3，…………………………………6分∴当x = 3时，y=-32+3×32=-92……………………………………………………………8分∴运动员距水面高度为10- 92=5.5（米），……………………………………………………9分∵5.5 > 5，∴该运动员此次跳水不会失误. ……………………………………………………………10分23.（10分）解：（1）OC=OD………………………………………………………………………1分（2）数量关系依然成立.理由如下：………………………………………………………………2分延长CO交BD于点E∵AC⊥l，BD⊥l∴AC//BD，∴∠A=∠B，∠ACO=∠BEO又OA =OB∴△COA≌EOB （SAS），∴OC=OE.∴在Rt△CDE中，CE=OC…………………………………………………………………6分（其它方法均可）OD=12（3）①OC=OD……………………………………………………………………………………8分② 42…………………………………………………………………………………………10分。
2017年山东省高考数学三模试卷(文科)含答案
2017年山东省高考数学三模试卷（文科）含答案2017年山东省高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，则∁U A=（）A．{﹣3，﹣2} B．{2，3}C．（﹣3，﹣2）D．（2，3）2．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β6．设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣27．已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，∀x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．8．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A． B．C．D．9．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量，其中，且，则向量的夹角是．12．椭圆+=1与双曲线﹣y2=1焦点相同，则a=．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．14．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．15．下面给出的四个命题中：①以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1；②若m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直；③命题“∃x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“∀x∈R，都有x2+3x+4≠0”；④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x﹣）的图象．其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的集合；（Ⅱ）△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，求边长c的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC 与BD的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．19．已知数列{a n}满足a1=1，且点P（a n，a n）在直线y=x+2上；数列{b n}的前n项和为S n，满+1足S n=2b n﹣2，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=a n b n，数列{c n}的前n项和为T n，求T n的最小值．20．已知函数f（x）=xlnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，求实数k的取值范围．21．已知椭圆，F为椭圆C的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B为椭圆C的左右顶点，P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP、BP分别交直线l：x=m（m＞a）于M，N两点，（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）若以线段MN为直径的圆过点F，求实数m的值．2017年山东省高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，则∁U A=（）A．{﹣3，﹣2} B．{2，3}C．（﹣3，﹣2）D．（2，3）【考点】补集及其运算．【分析】求出A中的解集确定出A，根据全集U求出A的补集即可．【解答】解：全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1，0，1，2，3}，所以C U A={﹣3．﹣2}．故选：A2．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．【分析】由x的范围得到sinx的范围，则由xsinx＜1能得到xsin2x＜1，反之不成立．答案可求．【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，若“xsinx＜1”，则“xsin2x＜1”若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件．故选B．3．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===，故选C．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列可得×6=36，从而求得a4=7，从而求得．【解答】解：∵S6=×6=36，a3=5，∴a4=7，∴a6=a4+（6﹣4）×（7﹣5）=11，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．6．设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，此时z max=3﹣2×0=3．故选：B．7．已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，∀x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k 的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤2，其区间长度是4，又∵对∀x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调，∴，∴﹣2≤k≤1，其区间长度为3，∴P=，故选：D．8．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．9．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．【解答】解：渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[]．故选：A．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C．D．【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB 的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量，其中，且，则向量的夹角是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由及便可以得到，再由便可由向量数量积的计算公式得到，从而便可得出向量和的夹角的大小．【解答】解：；∴；∴；即；∴；∴向量的夹角为．故答案为：．12．椭圆+=1与双曲线﹣y2=1焦点相同，则a=．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】利用双曲线以及椭圆的简单性质相同，列出方程求解即可．【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（，0），与双曲线 ﹣y2=1 焦点（，0）相同，可得：，解得 a=．故答案为：．13．已知圆 C 过点（﹣1，0），且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l：y=x+1 被该圆所截得的弦长 为 2 ，则圆 C 的标准方程为 （x+3）2+y2=4 ． 【考点】圆的标准方程． 【分析】根据题意设圆心 C 坐标为（x，0），根据圆 C 过（﹣1，0），利用两点间的距离公式 表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 l 的距离 d，根据已知的弦长，利 用垂径定理及勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆 C 的标 准方程即可． 【解答】解：设圆心 C（x，0），则圆的半径 r=|BC|=|x+1|∴圆心 C 到直线 l 的距离|CD|=，弦长|AB|=2 ，则 r==|x+1|，整理得：x=1（不合题意，舍去）或 x=﹣3， ∴圆心 C（﹣3，0），半径为 2， 则圆 C 方程为（x+3）2+y2=4． 故答案为：（x+3）2+y2=4．14．若函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足 f（1+x）=f（1﹣x），且 f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数 m 的最小值等于 1 ． 【考点】指数函数单调性的应用． 【分析】根据式子 f（1+x）=f（1﹣x），对称 f（x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得出： 函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a 为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断 m 的最小值． 【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x）， ∴f（x）关于 x=1 对称， ∵函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R） x=a 为对称轴， ∴a=1， ∴f（x）在[1，+∞）上单调递增， ∵f（x）在[m，+∞）上单调递增， ∴m 的最小值为 1． 故答案为：1．15．下面给出的四个命题中： ①以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1； ②若 m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0 与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0 相互垂直； ③命题“∃ x∈R，使得 x2+3x+4=0”的否定是“∀ x∈R，都有 x2+3x+4≠0”；④将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位，得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象．其中是真命题的有 ①②③ （将你认为正确的序号都填上）． 【考点】特称命题；命题的否定；函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换；抛物线的简单性质． 【分析】①先求抛物线是焦点为（1，0），可求圆的半径为 r=1，从而可求圆的方程 ②把 m=﹣2 代入两直线方程即可检验直线是否垂直 ③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移 ，得到的函数为即可判断【解答】解：①抛物线是焦点为（1，0），圆的半径为 r=1，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=1， 正确；②当 m=﹣2，两直线方程为 和 ，两直线垂直所以正确；③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移 ，得到的函数为 所以正确的命题有①②③． 故答案为：①②③，所以不正确．三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A，B，C 三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持 A支持 B支持 C20 岁以下20040080020 岁以上（含 20 岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取 n 人，其中有 6 人支持 A，求 n 的值．（2）在支持 C 的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体，从这 6 人中任意选取 2 人，求恰有 1 人在 20 岁以下的概率．【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于 n 的方程，解方程可得n 值．（2）计算出这 6 人中任意选取 2 人的情况总数，及满足恰有 1 人在 20 岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取 n 个人时，从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人，∴=，解得 n=40；（2）从“支持 C 方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的 6 人中， 年龄在 20 岁以下的有 4 人，分别记为 1，2，3，4，年龄在 20 岁以上（含 20 岁）的有 2 人，记 为 a，b， 则这 6 人中任意选取 2 人，共有 =15 种不同情况， 分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a）， （2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b）， 其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有： （1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共 8 种．故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= ．17．已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的最大值及取得最大值时的 x 的集合；（Ⅱ）△ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，，求边长 c 的值．【考点】三角函数的最值；三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，再根据正弦函数的性质即 可求出， （Ⅱ）先求出 C 的值，再根据向量的数量积的运算和余弦定理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinxcos（x+ ）+1= cosxsinx﹣ sin2x+1= sin2x﹣ cos2x﹣ = sin（2x﹣ ）+ ，∵ sin（2x﹣ ）+ ≤ + = ，∴最大值为 ，当 2x﹣ = +2kπ 时，即 x=kπ+ ，k∈Z，即{x|x=kπ+ ，k∈Z}时，函数取的最大值，（Ⅱ）∵f（C）= sin（2C﹣ ）+ = ，即 sin（2C﹣ ）=1，∴C= ， ∵ • =12， ∴ • =| |•| |cos =2a× =12， ∴a=12， 由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2abcosC=144+4﹣2×12×2× =124， ∴c=218．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 PD 的中点． （1）求证：OM∥平面 PAB；（2）平面 PBD⊥平面 PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行； （2）先证明 BD⊥平面 PAC，即可证明平面 PBD⊥平面 PAC． 【解答】证明：（1）∵在△PBD 中，O、M 分别是 BD、PD 的中点， ∴OM 是△PBD 的中位线，∴OM∥PB， ∵OM⊄平面 PBD，PB⊂ 平面 PBD， ∴OM∥平面 PAB； （2）∵底面 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC， ∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂ 平面 ABCD，∴BD⊥PA． ∵AC⊂ 平面 PAC，PA⊂ 平面 PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面 PAC， ∵BD⊂ 平面 PBD， ∴平面 PBD⊥平面 PAC．19．已知数列{an}满足 a1=1，且点 P（an，an+1）在直线 y=x+2 上；数列{bn}的前 n 项和为 Sn，满 足 Sn=2bn﹣2，n∈N* （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}满足 cn=anbn，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的最小值． 【考点】数列的求和；数列与解析几何的综合． 【分析】（Ⅰ）利用等差数列的定义和通项公式即可得出 an．利用“当 n=1，b1=2；当 n≥2 时， bn=Sn﹣Sn﹣1”和等比数列的通项公式即可得出 bn； （Ⅱ）利用“错位相减法”和等比数列的前 n 项和公式即可得出 Tn，该数列 Tn=（2n﹣3）•2n+1+6 为递增数列，问题得以解决． 【解答】解：（Ⅰ）∵点{an，an+1）在直线 y=x+2 上， ∴an+1=an+2，即 an+1﹣an=2，又 a1=1，∴数列{an}是以 1 为首项，2 为公比的等差数列， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1 当 n=1，b1=2b1﹣2，则 b1=2 当 n≥2 时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2﹣（2bn﹣1﹣2）=2bn﹣2bn﹣1， ∴bn=2bn﹣1（n≥2）， ∴{bn}是等比数列，公比为 2，首项 b1=2． ∴bn=2n， （Ⅱ））∵cn=anbn=（2n﹣1）•2n， ∴Tn=1•21+3•22+…+（2n﹣1）•2n，① 2Tn=1•22+3•23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，② ①﹣②得：﹣Tn=21+2（22+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣2+2×﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣6+（3﹣2n）•2n+1，∴Tn=（2n﹣3）•2n+1+6， ∵该数列 Tn=（2n﹣3）•2n+1+6 为递增数列， ∴当 n=1 时，有最小值为 2，20．已知函数 f（x）=xlnx． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）对于任意正实数 x，不等式 f（x）＞kx﹣ 恒成立，求实数 k 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 【分析】（1）根据导数和函数的单调的关系即可得到． （2）对于任意正实数 x，不等式 f（x）＞kx﹣ 恒成立，即为 k＜lnx+ ，x＞0，令 g（x）=lnx+ ， x＞0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到 k 的范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx． ∴f′（x）=1+lnx， 当 x∈（0， ）时，f′（x）＜0；当 x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0．所以函数 f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．（2）由于 x＞0，f（x）＞kx﹣ 恒成立，∴k＜lnx+ ． 构造函数 k（x）=lnx+ ． ∴k′（x）= ﹣ = ． 令 k′（x）=0，解得 x= ， 当 x∈（0， ）时，k′（x）＜0，当 x∈（ ，+∞）时，k′（x）＞0． ∴函数 k（x）在点 x= 处取得最小值，即 k（ ）=1﹣ln2． 因此所求的 k 的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．21．已知椭圆，F 为椭圆 C 的右焦点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于一点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）已知 A，B 为椭圆 C 的左右顶点，P 为椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AP、BP 分 别交直线 l：x=m（m＞a）于 M，N 两点， （ⅰ）设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值； （ⅱ）若以线段 MN 为直径的圆过点 F，求实数 m 的值． 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由 c=1， == ，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆 C 的方程；（Ⅱ）（ⅰ）求得直线直线 AP、BP 的斜率分别为 k1，k2，由 P 在椭圆方程，则 y02=3﹣ x02，即可求得 k1k2 为定值； （ⅱ）由题意可知 • =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得实数 m 的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：c=1， == =，解得：a=2，b= ，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意可知：由 A（﹣2，0），B（2，0），设 P（x0，y0）在椭圆方程 C 上，则 x0≠0，y02=3﹣ x02，则 k1=，k2=，由 k1k2=•===﹣ ，∴k1k2 为定值﹣ ； （ⅱ）由题意可知：直线 AP、BP 的斜率一点存在，设直线 AP：y=k1（x+2）， 令 x=m，则 y=k1（m+2），即 M（m，k1（m+2））， 直线 BP：y=k2（x﹣2），令 x=m，则 y=k2（m﹣2），即 N（m，k2（m﹣2）），m＞2， 以 MN 为直径的圆过点 F（1，0）， 则 FM⊥FN，即 • =0， 即 • =（m﹣1，k1（m+2））（m﹣1，k2（m﹣2））， =（m﹣1）2+k1k2（m2﹣4）=0， 由（ⅰ）可知：k1k2=﹣ ，代入椭圆方程，整理得：（m﹣1）2+（﹣ ）（m2﹣4）=0，即（m2﹣4）=0，解得：m=4， 实数 m 的值 4．2017 年 4 月 15 日。
山东省青岛市2023届高三三模数学试题及答案解析
山东省青岛市2023届高三三模数学试题及答案解析满分150分，考试时间：120分钟一、单选题1．已知全集U =R ，集合A ，B 满足()B A A ⋂⊆，则下列关系一定正确的是（）A ．A B=B ．B A ⊆C ．()φ=⋂B C A U D ．()φ=⋂B A C U 2．若{}n a 为等比数列，则“135a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（）A ．59B ．524C ．14D ．234．某比赛决赛阶段由甲，乙，丙，丁四名选手参加，在成绩公布前，A ，B ，C 三人对成绩作出如下预测：A 说：乙肯定不是冠军；B 说：冠军是丙或丁；C 说：甲和丁不是冠军．成绩公布后，发现三人中只有一人预测错误，则冠军得主是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()30A -,，()3,0B ，()3,3C ，若直线l ：()2390ax a y +--=与ABC ∆的欧拉线平行，则实数a 的值为（）A ．－2B ．－1C ．－1或3D ．36．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象向左平移π2ω后，得到()g x 的图象，若函数()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围为（）A ．(]0,3B ．(]0,2C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦7．已知向量a ，b ，c 满足：1a b == ，()12a ab ⋅-= ，()()30b c b c -⋅-= ，则a c - 的最小值为（）A ．31-B ．3C ．2D ．1四、解答题19．记n S 是数列{}n a 的前n 项和，1(1)3n nn n S a ++-=，2122n n n b a a +=+．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若1a ，2a ，3a 成等差数列，求21n S -．答案解析一、单项选择题12345678CBADBCAD1.解析：∵A A ⊆∩B ，∴B A ⊆，对A ：当A 为B 的真子集时，不成立；对B ：当A 为B 的真子集时，不成立；对C ：恒成立；对D ：当A 为B 的真子集时，不成立.2.解析：若等比数列{}n a 是递增数列，可得531a a a <<一定成立；反之：例如数列(){}n n 211+-，此时满足531a a a <<531a a a <<，但数列{}n a 不是递增数列，∴“531a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的必要不充分条件.3.解析：将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203，2230，3220，3022，2023，2320，2032，2302，3202共9个，所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023，2320，2032，2302，3202共5个，∴所组成的不同四位数（含原来的四位数）总两个3不相邻的概率为95.4.解析：若A 预测错误，则B 、C 预测正确，即乙是冠军，则B 的预测冠军时丙或丁错误，矛盾；若B 预测错误，则A 、C 预测正确，即甲乙丁不是冠军，丙是冠军，与B 的预测矛盾；所以C 预测错误，则A 、B 预测正确，即甲盒丁有一个是冠军，又B 预测冠军是丙或丁正确，故冠军为丁.5.解析：由ABC ∆的顶点()03，-A ，()03，B ，()33，C 知ABC ∆的重心为⎪⎭⎫⎝⎛++++-33003333，，即()1,1.又三角形为直角三角形，∴外心为斜边中点⎪⎭⎫⎝⎛++-230233，，即⎪⎭⎫⎝⎛230，，∴可得ABC ∆的欧拉线方程为：123111--=--x y ，即032=-+y x ，∵()0932=--+y a ax 与032=-+y x 平行，∴392312-≠-=a a ，解得1-=a .6.解析：()()03sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 向左平移ωπ2，得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=65sin 32sin πωπωπωx x x g ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎦⎤⎢⎣⎡+∈+6526565πωπππω，x ，()x g 在⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，即342365≤⇒≤+ωππωx ，故⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,0ω.7.解析：由题意不妨设()0,1==OB b ，()n m OA a ,==，()y x OC c ,==，则()()21,1,=-⋅n m n m ，即432122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m ，且122=+n m ，解得：21=m ，23=n 或23-=n ，由()()()()()012,3,10322=-+-=--⋅--==-⋅-y x y x y x c b c b ，即()1222=+-y x ，即c 的终点C 在以()0,2D 为圆心，1=-，由圆的对称性，不妨令23=n ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21a ，连接AD 交圆于E ，由点与圆的位置关系可知：1312322122-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=≥DE AD .8.解析：如图所示：由题意知：()0,1c F -，()0,2c F ，其中22b a c +=，设直线AB 方程为()c x y -=3，联立()⎪⎩⎪⎨⎧=--=132222b y ax c x y ，整理可得：()036322222222=--+-b a c a cx a x a b，设()11,y x A ，()22,y x B，则222222212222133,36b a b a c a x x b a c a x x -+=-=+，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>+>∆≠-00003212122x x x x a b ∴223b a >∴()222222222221221233436241b a b a c a b a ca x x x x kAB -+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=22238b a ab -=……①由双曲线定义知，a BF BF AF AF 22121=-=-，∴AB F 1∆的周长为：aBF a AF BF BF AF AF 2222222121+++=+++()12424222=+=++=a AB a BF AF ∴a AB 26-=……②由①②得：022223=++-b ab a a ……③又∵W 为AB 的中点，∴22221332b a ca x x x W -=+=，()222333b ac b c x y W W -=-=，∴W (22233ba ca -,22233b ac b -)∴W F 22222222222222323333b a b a c b b a cb c b a c a +=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，解得：b a =……④由③④可得：1==b a ，∴双曲线方程为122=-y x ∴双曲线渐近线方程为x y ±=，故A 项错误，B 项错误；对于C 项，426=-=a AB ，故C 项错误；对于D 项，∵1==b a ，∴2=c ，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛26223，W ，∴62622322=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=OW ，故D 项正确.二、多选题9.解析：∵()422-=±i ，因此不妨令方程42-=x 的复数解i z 21=，i z 22-=，对于A ，()42221=-⋅=⋅i i z z ，A 错误；对于B ，1z 与2z 互为共轭复数，B 正确；对于C ，i z 21=，由i z z +=⋅21得()()()i i i i i i i z -=-⋅-⋅+=+=212222，则复数z 在复平面内对应的点⎪⎭⎫ ⎝⎛-121在第四象限，C 错误；对于D ，设()R y x yi x z ∈+=,，由1=z 得122=+y x ，显然有11≤≤-x ，由选项A 知421=⋅z z ，因此()()3817442221≥-=+-=+-=⋅-x y x yi x z z z ，当且仅当1=x ，即1=z 时取等号.10.解析：A ：支出极差：20-1=19，故A 正确；B ：销售额中位数：按照从小到大的顺序排列后，可知中位数为44，故B 错误；C ：样本中心()()42,8=y x 恒过线性回归方程，∵m x y +=5.1，∴30=m ，故C 正确；D ：∵()19,1不在线性回归直线上且偏差极大，去掉这组数据后，相关程度会更高，故D 错误.11.解析：A ：∵()4ln 4ln ln ln ln 22abb a b a =+<，即14ln 2>ab ，解得2ln >ab 或2ln -<ab ，∴2e ab >或210e ab <<，故A 错误；B ：()()a b b a a b b a b a ln ln 2ln ln ln ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2log 2log -=-=-=-，∵0>>b a ，则b a ln ln >，即0ln ln <-a b ，且02ln >，∴02log 2log <-b a ，即2log 2log b a <，故B 正确；C ：∵0>>b a ，且01ln ln >=b a ，可得b a ln ln ，同号，则有：若b a ln ln ，同正，可得1>>>b e a ，9101112BDACBCDABD则()()()0111>++-=--b a ab b a ，可得b a ab +>+1；若b a ln ln ，同负，可得011>>>>b ea ，则()()()0111>++-=--b a ab b a ，可得b a ab +>+1；综上所述：b a ab +>+1.又∵x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21在定义域内单调递减，∴ba ab ++⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛21211，故C 正确；D ：∵0>>b a ，则0>-b a ，可得ba xy -=在()∞+，0内单调递增，可得0>>--b a b a b a ，且0,>a b b a ，∴a b b a b a b a >，故D 正确.12.解析：A ：∵222AC PC P A =+，222AC BC BA =+，故P A PC ⊥，BC AB ⊥，则22==BN PN ，又∵1=PB ，∴222PB BNPN =+，故NB PN ⊥，∵PC P A =，N 为AC 的中点，∴AC PN ⊥，又N NB AC =⋂，⊂NB AC ，平面ABC ，∴⊥PN 平面ABC ，又⊂PN 平面P AC ，则平面P AC ⊥平面ABC ，故A 正确；B ：∵⊥PN 平面ABC ，AC BN ⊥，以N 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00,22，A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,220，B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2200，，P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛42420，，M ，∴=+=+=AP NA AW NA NW λ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛00,22，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22022，，λ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=λλ220122，，，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛=42420，，NM ，设NW NM ，所成角为θ，而21cos 212+-=⋅=⋅λλθθNW NM，又λ41=⋅NW NM ，故2121cos 2+-=λλλθ，212143sin 22+-+-=λλλλθ，∴WMN ∆的面积为：2463223419232234121434122=⋅⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+-==λλλθS 故B 正确；C ：当W 为P A 中点，取BC 的中点D ，连接ND MD ，，∵ND AB MW ∥∥，2121===ND AB MW ，故D N W M ,,,四点共面，且四边形MWND 为平行四边形，又∵2121===MD PC WN ，故四边形MWND 为菱形，∴当W 为P A 中点时，平面WMN 截该三棱锥所得截面MWND 为菱形，故C 不正确；D ：∵P A PC ⊥，BC AB ⊥，∴22===NP NA NC ，故三棱锥ABC P -的外接球半径为22，故该外接球的内接正方形的棱长为2，故三棱锥ABC P -可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为()2223==V ，故D 正确.三、填空题13.13422=+x y ；14.34π；15.28；16.1-13.解析：抛物线方程化为标准方程得y x 42=，焦点坐标为()10，F ，∵抛物线焦点与椭圆C 的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y 轴，设椭圆标准方程为()012222>>=+b a bx a y ，则由焦点坐标和长轴长知1=c ，42=a ，∴2=a ，∴3222=-=c a b ，∴椭圆C 的标准方程为13422=+x y.14.解析：设圆锥母线长为l ，由题意l ππ=⨯12，2=l ，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面P AB ∆，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆O ，E D ,是切点，如图，已知PD 是圆锥的高，O 在PD 上，由2=P A ，1=BD 得3π=∠BPD ，因此3π=∠ABP ，∴621π=∠=∠DBP OBD ，336tan ==πBD OD ，∴圆锥内半径最大的球的表面积为343342ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=S .15.解析：∵展开式的所有项的二项式系数和为2562=n，解得8=n ，则n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31展开式为()82388881331--+=⎪⎭⎫⎝⎛=rr r rrr r xC x x C T ，8,2,1,0 =r ，可得第1+r 项得到系数为8,2,1,0,3881==-+r C a r rr ，令⎩⎨⎧≥≥+++rr r r a a a a 121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥----+-rr r r rr r r C C C C 91888718883333，解得6=r ，∴展开式中第7项系数最大，其二项式系数为2868=C .16.解析：令1==y x ，则()()()()()()00210012==+=f f f f f f ，∴()00=f ；令2=x ，1-=y ，则()()()()11121222=-=-+=ffff ，又()01<-f ，∴()11-=-f ；令1=y ，则()()()()()()x f f x f f x f x f -=-+=+11101，∴()x f 关于直线1=x 对称；令x y -=，在()()()()()()()[]()01110=+-+=--++=x f x f x f x f x f x f x f f ，∵()01=+x f 不恒成立，∴()()0=-+x f x f 恒成立，∴()x f 为奇函数，∵()()()x f x f x f -=-=+2，∴()()()x f x f x f =+-=+24，∴()x f 是周期为4的周期函数，∴()()()11114455-=-=-⨯=f f f.四、解答题17.解：（1）∵()C c a B c tan 2sin 2-=，∴()CCC A B C cos sin sin sin 2sin sin 2⋅-=，又0sin ≠C ，则()CC B C A C B sin sin 2sin sin 2cos sin 2-+=-=()C C B C B sin sin cos cos sin 2-+=，整理得：C B C sin cos sin 2=，又0sin ≠C ，∴21cos =B ，而()π，0∈B ，∴3π=B ；（2）a c 3=，由余弦定理得：22222273cos329cos 2a a a a a B ac c a b =⨯⨯-+=-+=π，∴a b 7=，∵D 是AC 中点，则a CD AD 27==，在ABD ∆中由余弦定理得：1327291347cos 22⨯⨯-+=∠a a a ADB ，在CBD ∆中由余弦定理得：1327291347cos 22⨯⨯-+=∠a a a CDB ，∵π=∠+∠ADB CDB ，∴0cos cos =∠+∠ADB CDB ，0132729134713272913472222=⨯⨯-++⨯⨯-+a a a a a a ，解得2=a ，∴ABC ∆的周长为72837+=++=++a a a c b a .18.解：（1）在三棱台111C B A ABC -中，取11C B 的中点1O ，连接11O A ,∵AC AB =，2π=∠BAC ，4211==B A AB ，则21111==C A B A ，2111π=∠C A B ，有24=BC ，2211=C B ，1111C B O A ⊥，211=O A ，∵平面11B BCC ⊥平面ABC ，平面ABC ∥平面111C B A ，则平面11B BCC ⊥平面111C B A ，平面11B BCC ∩平面111C B A 11C B =，又⊂11O A 平面111C B A ，∴11O A ⊥平面11B BCC ，梯形11B BCC 中，311==CC BB ，则梯形11B BCC 的高()()12322221121=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C B BC BB h ，因此梯形11B BCC 的面积()231242221=⨯+⨯=S ，∴四棱锥111B BCC A -的体积2223313111=⨯⨯=⋅=O A S V .（2）取BC 的中点O ，连接AO ，∵AC AB =，∴BC AO ⊥，在等腰梯形11B BCC 中，O O ，1分别为上下底边BC C B ，11的中点，有BC OO ⊥1，∵平面11B BCC ⊥平面ABC ，平面11B BCC ∩平面ABC BC =，⊂1OO 平面11B BCC ，∴1OO ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以1,,OO OB OA 所在直线为z y x ,,建立空间直角坐标系，则()0,022，A ，()0220，，B ，()0220，，-C ，()1201，，B ，令()101<<=m BB m BE ，有()m m E ,2220-，，设平面ACE 的法向量为()z y x n ,,=，而()02222，，=CA ，()m m CE ,224,0-=，则()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅022402222mz y m EA n y x CA n ，令m x =，得()m m m n 224,,--=，∵1OO ⊥平面ABC ，则()1,0,01=OO 为平面ABC 的一个法向量，记二面角B AC E --的平面角为θ，于是()10272242224cos 22=-+-===mm m θ，即0262=-+m m ，而10<<m ，解得21=m ，∴存在点E 为B B 1的中点，使得二面角B AC E--的余弦值为1027.19.解：（1）∵()nn nn a S 311=-++，∴2≥n 时，()11131---=-+n n n n a S ，两式相减得：()()113211-+⨯=-+-+n n nn nn a a a ，n 是偶数时，11322-+⨯=+n n n a a ，∴12212322-+⨯=+=n n n n a a b ；（2）由已知321=-a a ……①，9321=++a a a ……②，∵321,,a a a 成等差数列，∴2312a a a =+……③，①②③联立解得61=a ，32=a ，03=a ，∴61=S ，932==S S ,由已知得()23221222≥=+---n a S n n n ，即()29312212≥==---n S n n n ，综上，⎩⎨⎧≥==--2,91,6112n n S n n .20.解：（1）如图所示：由题意知，圆B 圆心为()0,3B ，半径为4，设动圆P 的半径为R ，∵()16332<--，∴点()03，-A 在圆B 内，∴R P A =，R PB -=4，∴324=>=+AB PB P A ，∴圆心P 的轨迹为以B A 、为焦点，长轴长为4的椭圆.∴42=a ，322=c ，故2=a ，3=c ，则122=-=c a b ，∴曲线C 的方程为1422=+y x .（2）如图所示，存在常数m 使得QM m QB =,理由如下：设()00,y x Q ，则142020=+y x ，[]2,20-∈x ，()0,y t M ，∴()()43243413302220202+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=x x x x y xQB ，t x QM -=0，假设存在常数m使得QM m QB =,则()202202043243t x m x x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-对于任意的[]2,20-∈x 恒成立，即：()2022033443t x m x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-对于任意的[]2,20-∈x 恒成立，∴432=m ，334=t .即存在常数23±=m 使得QM m QB =成立，此时直线l 方程为334=x .21.解：（1）由题意可知：X 的取值为1,0,1-，()1213214311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X P ；()12532431321430=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ；()2132431=⨯==X P 故X 的分布列如下：则()()12521112501211=⨯+⨯+⨯-=X E .（2）由题可知，87211113321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-===P P P ，，，1613213144=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=P ；经分析可得：若第n 轮没有得1分，则121-=n n P P ；若第n 轮得1分，且第1-n 轮没有得1分，则241-=n n P P ；若第n 轮得1分，且第1-n 轮得1分，第2-n 轮没有得1分，则381-=n n P P ；故()4814121321≥++=---n P P P P n n n n ，故81,41,21===c b a ；∵321814121---++=n n n n P P P P ，故211814121--+++=n n n n P P P P ，故211814121--+++-=-n n n n n P P P P P 21321814181412121-----++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=n n n n n P P P P P 01613<-=-n P ；X -11()X P 12112521故()41≥<+n P P n n ，且4321P P P P >>=，则 >>>>=54321P P P P P ，∴答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.22.解：（1）依题意，()x e c x x f +=sin ，求导得()xe cx x x f --='sin cos ，于是()010=-='c f ，解得1=c ，当1=c 时，()xex x f 1sin +=，()10=f ，因此曲线()x f y =在0=x 处的切线为1=y ，平行于x 轴，∴1=c .（2）由（1）知，()xa xb x f 1sin +=，当[]π,0∈x 时，()01sin 11sin 1≥--⇔≤+⇔≤x b a ax b x f xx，令()[]π,0,1sin ∈--=x x b a x g x，求导得()x b a a x g x cos ln -='，若10<<a ，则()01<-=ππa g ，不符合题意，若1>a ，当0≤b 时，()01sin ≥--=x b a x g x，符合题意，当a b ln 0≤<时，()0ln ln cos ln ≥-≥-≥-='b a b a a x b a a x g xx，因此函数()x g 在[]π，0上单调递增，()()00=≥g x g ，符合题意当a b ln >时，令()()x g x h '=，则()()0sin ln 2>+='x b a a x h x，即函数()x g '在[]π，0上单调递增，而()0ln 0<-='b a g ()0ln >+='b a a g ππ，则存在()π,00∈x 使得()00='x g ，当()0,0x x ∈时，()0<'x g ，函数()x g 在()0,0x 上单调递减，当()0,0x x ∈时，()()00=<g x g ，不符合题意，综上得a b ln <且1>a ，则有a e a eb a ln -≥-，令()1,ln >-=a a e a a ϕ，求导得()aea -='1ϕ，当e a <<1时，()0<'a ϕ，当e a >时，()0>'a ϕ，函数()a ϕ在()e ,1上单调递减，在()+∞,e 上单调递增，因此()()0ln =-=≥e e e e a ϕϕ，即0ln ≥-≥-a e a eb a ，∴eb a ≥.。
2024年济南市高三数学5月第三次模拟考试卷附答案解析
2024年济南市高三数学5月第三次模拟考试卷全卷满分150分．考试用时120分钟．2024.05注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}20A x x =+>∣，{}220B x x x =--<∣，则A B = （）A ．{21}xx -<<∣B ．{22}x x -<<∣C ．{11}x x -<<∣D ．{12}xx -<<∣2．已知双曲线22:14y x C m-=的一条渐近线方程为2y x =，则m =（）A ．1B ．2C ．8D ．163．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．0B ．12C ．22D ．24．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用πe ϕρα=表达，其中α为正实数，ϕ是极角，ρ是极径．若ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的（）A ．13e 倍B ．12e 倍C ．π2e 倍D ．πe 倍5．已知平面向量(1,1),(2,0)a b =-=，则a 在b 上的投影向量为（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(D ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π7．已知复数1212,,z z z z ≠，若12,z z 同时满足||1z =和|1||i |z z -=-，则12z z -为（）A ．1BC ．2D ．8．在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A ．B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两个变量y 与x 对应关系如下表：x 12345y5m8910.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为ˆ125 4.25yx =+．，则（）A ．y 与x 正相关B ．7m =C ．样本数据y 的第60百分位数为8D ．各组数据的残差和为010．若函数()()()2ln 1ln 1f x x x x=+--+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,0对称B ．()f x 在2⎛ ⎝⎭上单调递增C ．()f x 的极小值点为22D ．()f x 有两个零点11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别为棱1,DD DC 的中点，点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，则（）A ．1AB ∥平面AMNB ．点PC ．存在点P ，使得MP ⊥平面AMND ．点P 到平面AMN 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12．写出函数()sin cos 1f x x x =+图象的一条对称轴方程．13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为．14．设()()1122,,,A x y B x y 为平面上两点，定义1212(,)d A B x x y y =-+-、已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上一动点，点(3,0),(,)Q d P Q 的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则(,)d P M 的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，四棱台1111ABCD A B C D -的底面为菱形，14,3,60AB DD BAD ==∠=︒，点E 为BC 中点，11,D E BC D E ⊥=(1)证明：1DD ⊥平面ABCD ；(2)若112AD =，求平面11A C E 与平面ABCD 夹角的余弦值．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆E 的离心率为12，椭圆E 上的点到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，1//AB CF ，求直线l 的方程．17．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为p ．(1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第2次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；(2)某同学不知道比例p ，为估计p 的值，设计了如下两种方案：方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球5次停止．方案二：从袋中进行有放回摸球5次．分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计p 的值更合理．18．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x '为()f x 的导数(1)讨论()f x '的单调性；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围；(3)若π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：sin 1cos 1e e ln(sin cos )1θθθθ--++<．19．若数列{}n a 的各项均为正数，对任意*N n ∈，有212n n n a a a ++≥，则称数列{}n a 为“对数凹性”数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数231234()f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)i b i >=．证明：数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列；(3)若数列{}n c 的各项均为正数，21c c >，记{}n c 的前n 项和为n S ，1n n W S n=，对任意三个不相等正整数p ，q ，r ，存在常数t ，使得()()()r p q p q W q r W r p W t -+-+-=．证明：数列{}n S 为“对数凹性”数列．1．D【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由220x x --<，即()()120x x +-<，解得12x -<<，所以{}{}21220|B xx x x x <-=-=<-<∣，又{}{}202A xx x x =+>=>-∣∣，所以{}12A B x x =-<< ∣.故选：D 2．A【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得0m >，令2204y x y x m -=⇒=，即C 的渐近线方程为y x =，21m=⇒=.故选：A 3．D【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12P ⎛ ⎝⎭，即角α的终边经过点12P ⎛ ⎝⎭，所以sin α=，1cos 2α=，所以πππ11cos cos cos sin sin 66622222ααα⎛⎫-=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.故选：D 4．B【分析】设0ϕ所对应的极径为0ρ，10π2ϕϕ=+所对应的极径为1ρ，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得.【详解】设0ϕ所对应的极径为0ρ，则0π0e ϕρα=，则10π2ϕϕ=+所对应的极径为0π2π1eϕρα+=，所以0000ππ222π1πππ1e e e e ϕϕϕϕραρα++-===，故ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的12e 倍.故选：B 5．A【分析】根据已知条件分别求出a b ⋅ 和b ，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.【详解】(1,1),(2,0)a b =-=，2a b ⋅=- ，2b =,a 在b上的投影向量为()()22,01,04a b b bb⋅-⋅==-.故选：A.6．C【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.【详解】由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r ，则r =，故该球的表面积为24π8πr =.故选：C 7．C【分析】设()i ,R z x y x y =+∈，根据||1z =和|1||i |z z -=-求出交点坐标，即可求出12,z z ，再计算其模即可.【详解】设()i ,R z x y x y =+∈，则()11i z x y -=-+，()i 1i z x y -=+-，由||1z =和|1||i |z z -=-，所以221x y +=且()()222211x y y x -+=-+，即221x y +=且x y =，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1z =+、2z =（或1z =、2z =），则212222i i 2222z z ⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭（或21z z -=），所以122z z -=.故选：C 8．B【分析】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=，AC x =，即可表示出CB ，CD ，再在BCD △中利用正弦定理得cos sin(60)x θθ-︒，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.【详解】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=π02θ⎛⎫<<⎪⎝⎭，令AC x =()0x >，则2CB x =，cos CD x θ=，在BCD △中，可得120BCD θ∠=︒-，60CBD θ∠=-︒，由正弦定理sin sin BCCDCDB CBD=∠∠，cos sin(60)x θθ==-︒=，可得tan θ=tan ACD ∠=故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到BCD △中利用正弦定理得到关系式.9．AD【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A ，根据样本中心点在回归方程上可判定B ，利用百分位数的计算可判定C ，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：1.250>，所以y 与x 正相关，即A 正确；由表格数据及回归方程易知32.53, 1.253 4.257.55mx y m +==⨯+=⇒=，即B 错误；易知560%3⨯=，所以样本数据y 的第60百分位数为898.52+=，即C 错误；由回归直线方程知1,2,3,4,5x =时对应的预测值分别为 5.5,6.75,8,9.25,.5ˆ10y=，对应残差分别为0.5,0.75,0,0.25,0--，显然残差之和为0，即D 正确.故选：AD 10．AC【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A ，利用导数说明函数的单调性，即可判断B 、C ，求出极小值即可判断D.【详解】对于函数()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+，令10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解得10x -<<或01x <<，所以函数的定义域为()()1,00,1-U ，又()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x x x ⎡⎤-=--+-=-+--+=-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为奇函数，函数图象关于()0,0对称，故A 正确；又()22221121122211111f x x x x x x x x x---'=--=+-=-+-+--222222222(1)24(1)(1)x x x x x x x ----==--，当22x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，即()f x 在22⎛ ⎝⎭上单调递减，故B 错误；当2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即()f x在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，根据奇函数的对称性可知()f x在1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极小值点为22，极大值点为22-，故C 正确；又(()ln 320f x f ==++⎝⎭极小值，且当x 趋近于1时，()f x 趋近于无穷大，当x 趋近于0时，()f x 趋近于无穷大，所以()f x 在()0,1上无零点，根据对称性可知()f x 在()1,0-上无零点，故()f x 无零点，故D 错误．故选：AC ．11．ABD【分析】利用线线平行的性质可判定A ，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C 、D.【详解】对于A ，在正方体中易知1111//,////MN CD CD A B NM A B ⇒，又1⊄A B 平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，所以1A B ∥平面AMN ，即A 正确；对于B ，因为点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，11MD =，则1DP =P 点轨迹为以1D所以点P的轨迹长度为12π4⨯，故B 正确；对于C ，建立如图所示空间直角坐标系，则()()())π2,0,0,0,0,1,0,1,0,,,20,2A M N Pθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()())2,0,1,2,1,0,,1AM AN MP θθ=-=-=，若存在点P ，使得MP ⊥面AMN，则100AM MP AN MP θθθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解之得sin ,cos θθ=即不存在点P ，使得MP ⊥面AMN ，故C 错误；对于D ，设平面AMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则2020AM n x z AN n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取12x y z =⇒==，即()1,2,2n =，则点P 到平面AMN的距离()221πtan ,0,3322n MP d n θϕθθϕϕ⋅++⎛⎫++⎛⎫====∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，显然π2θϕ+=时取得最大值max d =D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：对于B ，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C 、D 因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可.12．π4x =（答案不唯一）【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.【详解】易知1()sin 212f x x =+，所以()()πππ2πZ Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈，不妨取0k =，则π4x =.故答案为：π4x =（答案不唯一）13．1316【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】到达第3台阶的方法有两种：第一种：每步上一个台阶，上两步，则概率为3394416⨯=；第二种：只上一步且上两个台阶，则概率为14，所以到达第3阶台阶的概率为911316416+=，故答案为：1316.14．232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作//PN x 并构造直角三角形，根据(,)d P M 的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.【详解】设2,2m P m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()2221,30332222m m p d P Q m m m p p p p =-+-≥-+=-+-，322p⇒-=，即2p =，p m =时取得最小值；易知39:22l y x =-，2:4C x y =，联立有26180x x -+=，显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过P 作//PN x 交l 于N ，过M 作ME PN ⊥，则(,)d P M PE EM PE EN PN =+≥+=（,M N 重合时取得等号），设2,4n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则223,64n n N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()22133336622n PN n n =-+=-+≥，故答案为：2，32【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.15．(1)证明见解析【分析】（1）连接DE 、DB ，即可证明BC ⊥平面1D DE ，从而得到1BC DD ⊥，再由勾股定理逆定理得到1DD DE ⊥，即可证明1DD ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接DE 、DB ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= 所以BDC 是边长为4的正三角形，因为E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，DE =又因为11,D E BC D E DE E ⊥⋂=，1,D E DE ⊂平面1D DE ，所以BC ⊥平面1D DE ，又1DD ⊂平面1D DE ，所以1BC DD ⊥，又1D E =13DD =，DE =所以22211DD DE D E +=，所以1DD DE ⊥，又因为,,DE BC E DE BC =⊂ 平面ABCD ，所以1DD ⊥平面ABCD .（2）因为直线1,,DA DE DD 两两垂直，以D 为原点，1,,DA DE DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,4,0,0,0,,2,2,2,0,3D A E C A -，所以()()1111,2,2A C AC EA ==-=-设平面11A C E 的一个法向量为(),,n x y z =，则11130230n A C x n EA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，即43y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令3x =，得4y z ==，所以()4n =，由题意知，()0,0,1m =是平面ABCD 的一个法向量，设平面11A C E 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos 13m nm nθ⋅===⋅ ，所以平面11A C E 与平面ABCD 夹角的余弦值为21313.16．(1)22143x y+=(2)105x y +-=或105x y --=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B 、C 坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为2c ，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点()()000,0P x y a x ≥≥，易知()2,0F c，则2PF =00c c x a a x a a =-=-，显然0x a =时2min PF a c =-，由题意得222121c a a c a b c⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩解得2,1,a c b ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为AB //1CF ，所以1122::2:1CF AB F F F A ==所以122y y =-①设直线l 的方程为1x my =+，联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得()122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩，把①式代入上式得222226349234m y m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩，得()()22222236923434m y m m ==++，解得255m =±，所以直线l 的方程为：25105x y +-=或25105x y --=.17．(1)1p -(2)答案见解析【分析】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，根据条件概率公式计算可得；（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，X 的可能取值为11110,,,,,15432，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，则()55,Y B p ~，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.【详解】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，则()()21P A p =-，()()31P B p =-，所以()()()()()32(1)|1(1)P AB P B p P B A p P A P A p -====--；（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，则X 的可能取值为：11110,,,,,15432，且()()501P X p ==-，()4115P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()3114P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2113P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()112P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()1P X p ==，所以X 的分布列为：X0151413121P5(1)p -4(1)p p-3(1)p p-2(1)p p-()1p p-p则()()()354211110(1)(1)1(1)115432E X p p p p p p p p p p=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯()4321(1)(1)(1)5432p pp p p p p p p ----=++++，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，因为()55,Y B p ~，所以5Y 的分布列为：()555C (1),0,1,2,3,4,5k k kP Y k p p k -==-=，即Y 的分布列为：Y0152535451P5(1)p -45(1)p p-3210(1)p p -3210(1)p p -()451p p -5p 所以()55E Y p =，则()E Y p =，因为()E X p >，()E Y p =，所以“方案二”估计p 的值更合理.18．(1)答案见解析(2)12a >(3)证明见解析【分析】（1）令()()g x f x '=，求出导函数，再分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分0a ≤、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，只需证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+，结合（2）只需证明()ln 1(10)x x x +<-<<，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）由题知()e 21xf x ax =--'，令()()21x g x f x ax =-'=-e ，则()e 2xg x a '=-，当0a ≤时，()()0,g x f x ''>在区间(),-∞+∞单调递增，当0a >时，令()0g x '=，解得ln2=x a ，当(),ln2x a ∞∈-时，()0g x '<，当()ln2,x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x '在区间(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增.（2）当0a ≤时，()00f '=，由（1）知，当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<在(),0∞-上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当102a <<时，ln20a <，且()00f '=，由（1）知，当()ln2,0x a ∈时，()()0,f x f x '<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当12a =时，ln20a =，则当(),x ∈-∞+∞时，()()0,f x f x '≥在(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 无极值点，不合题意；当12a >时，ln20a >，且()00f '=；当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '>在(),0∞-上单调递增；当()0,ln2∈x a 时，()()0,f x f x '<在()0,ln2a 上单调递减；所以0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12a >.（3）要证()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<，只要证()()sin 1cos 122ee ln sin ln cos sin cos θθθθθθ--+++<+，只要证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()sin 0,1,cos 0,1θθ∈∈，所以只要证对任意01x <<，有12e ln x x x -+<，只要证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+（※），因为由（2）知：当1a =时，若0x <，则()()01f x f <=，所以2e 1x x x --<，即2e 1x x x <++①，令函数()()ln 1(10)h x x x x =+--<<，则()1111x h x x x-'=-=++，所以当10x -<<时()0h x '>，所以()h x 在()1,0-单调递增；则()()00h x h <=，即()ln 1(10)x x x +<-<<，由①+②得()22e ln 121(1)x x x x x ++<++=+，所以（※）成立，所以()sin 1cos 1ee ln sin cos 1θθθθ--++<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；（2）利用导数研究三次函数的性质结合()1,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭零点个数相同及“对数凹性”数列的定义计算即可；（3）将,p q 互换计算可得0=t ，令1,2p q ==，可证明{}n W 是等差数列，结合等差数列得通项公式可知()11n W c n d =+-，利用1n n W S n=及,n n S c 的关系可得()121n c c d n =+-，并判定{}n c 为单调递增的等差数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.【详解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中2234≥⨯不成立，所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中222214423342⎧≥⨯⎪≥⨯⎨⎪≥⨯⎩均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；（2）根据题意及三次函数的性质易知2234()23f x b b x b x =++'有两个不等实数根，所以221324324Δ44303b b b b b b =-⨯>⇒>，又0(1,2,3,4)i b i >=，所以2324243b b b b b >>，显然()1000x f b =⇒=>，即0x =不是()f x 的零点，又2312341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1t x=，则()231234f t b b t b t b t =+++也有三个零点，即32123431b x b x b x b f x x +++⎛⎫= ⎪⎝⎭有三个零点，则()321234g x b x b x b x b =+++有三个零点，所以()212332g x b x b x b =++'有两个零点，所以同上有22221321313Δ44303b b b b b b b b =-⨯>⇒>>，故数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列（3）将,p q 互换得：()()()r q p t q p W p vr W r q W t =-+-+-=-，所以0=t ，令1,2p q ==，得()()(2210r W r W r W -+-+-=，所以()()()()12121211r W r W r W W r W W =-+-=+--，故数列{}n W 是等差数列，记221211022S c c d W W c -=-=-=>，所以()()2111112n c c W c n c n d -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()21n n S nW dn c d n ==+-，又因为11,1,2n n n c n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()121n c c d n =+-，所以120n n c c d +-=>，所以{}n c 为单调递增的等差数列，所以()11210,2,2n n n n n n n n c c c c c c c S ++++>>+==.所以()()()()()22212111124(1)2n n n n n n S S S n c c n n c c c c ++++-=++-+++()()()()22112211(1)22n n n c c c c n c c n n ++⎡⎤+++>++-+⎢⎥⎣⎦()()222112112(1)22n n c c c n c c n n ++++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭()()()2221111(1)2n n n c c n n c c ++=++-++()()2211(1)2n n n n c c +⎡⎤=+-++⎣⎦()2110n c c +=+>所以212n n n S S S ++≥，数列{}n S 是“对数凹性”数列【点睛】思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定2324243b b b b b >>，再判定()1,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定2213133b b b b b >>即可；第三问根据条件将,p q 互换得0=t ，利用赋值法证明{}n W 是等差数列，再根据1n n W S n=及,n n S c 的关系可得n c 从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.。
2023年高考数学模拟试题（三）参考答案
2023年高考数学模拟试题(三)参考答案 一㊁选择题1.C 提示:因为1-iz =2+i ,所以z =2+i 1-i =(2+i )(1+i )(1-i )(1+i )=12+32i ,所以z =12-32i㊂2.D 提示:因为A =x |-2<x <5 ,B =1,3,5, ,所以A ɘB =1,3 ㊂3.D 提示:因为a =l o g 20.4<l o g 21=0,b =20.6>20=1,0<c =0.82<1,所以a <c <b ㊂4.B 提示:抛物线y 2=2p x p >0 的焦点为p 2,0,在双曲线x 2-y 2=p 中,c 2=2p ,c =2p ,焦点为(2p ,0),(-2p ,),所以p 2=2p ,解得p =0(舍)或p =8㊂5.C 提示:基本事件总数为C 24㊃A 33=36, 甲,乙没有被分配到同一个会议中心 的对立事件是 甲,乙被分配到同一个会议中心 ,因为 甲,乙被分配到同一个会议中心包含的基本事件数为C 22㊃A 33=6,所以 甲,乙没有被分配到同一个会议中心 的概率为1-636=56㊂6.B 提示:因为øA C B =120ʎ,A B =3,所以әA B C 的外接圆的半径r =32s i n 120ʎ=1,所以三棱锥O A B C 的高h =32-r 2=22㊂在әAB C 中,由余弦定理得A B 2=A C 2+B C 2-2A C ㊃B C c o s 120ʎ,即3=(A C +B C )2-A C ㊃B C ,所以A C ㊃B C=A C +B C2-3=1,所以S әA B C =12A C ㊃BC s i n 120ʎ=34,所以V 三棱锥O -A B C =13S әA B C ㊃h =66㊂7.B 提示:过滤第1次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2);过滤第2次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2)2;过滤第3次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2)3; ;过滤第n 次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2)n㊂要求废气中该污染物的含量不能超过0.2m g/c m 3,则1.2(1-0.2)nɤ0.2,即54nȡ6,所以l g 54 nȡl g 6,即n l g 108 ȡlg 2+l g 3,即n (1-3l g 2)ȡl g 3+l g 2,即n ȡl g 3+l g 21-3l g 2,因为l g 2ʈ0.3,l g 3ʈ0.477,所以n ȡ7.77,因为n ɪN *,所以过滤次数n 至少为8㊂8.B 提示:因为øC =90ʎ,A B =6,所以C A ң㊃C B ң=0,|C A ң+C B ң|=|C A ң-C B ң|=|B A ң|=6,所以P A ң㊃P B ң=P C ң+C Aң㊃P C ң+C Bң =P C ң2+P C ң(C A ң+C B ң)+C A ң㊃C B ң=4+P C ң(C A ң+C B ң),所以当P C ң与C A ң+C B ң的方向相同时,P C ң(C A ң+C B ң)取得最大值2ˑ6=12,所以P A ң㊃P B ң的最大值为16㊂9.C 提示:用收入减去支出,求得每月收益(万元),如表1所示:表1月份123456789101112收益203020103030604030305030所以7月收益最高,A 选项说法正确;4月收益最低,B 选项说法正确;后6个月收益比前6个月收益增长240-140=100(万元),C 选项说法错误;1~6月总收益140万元,7~12月总收益240万元,所以前6个月收益低于后6个月收益,D 选项说法正确㊂10.A 提示:已知函数f x=s i n x ㊃s i n x +π3-14=s i nx㊃12s i n x +32c o s x-14=12si n 2x -π6,因为x ɪm ,n ,所以2x -π6ɪ2m -π6,2n -π6,又因为值域为-12,14 ,即-12ɤ12s i n 2x -π6 ɤ14,所以-1ɤs i n 2x -π6 ɤ12㊂所以2n -π6-2m -π6 m a x=2n -2m m a x=π6--7π6 =4π3,所以n -m m a x=2π3;2n -π6-2m -π6 m i n=2n -2m m i n=π6--π2 =2π3,所以n -m m i n=π3㊂所以n -m ɪπ3,2π3 ,所以n -m 的值不可能为3π4㊁5π6和11π12㊂11.B 提示:由双曲线x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的右顶点A (a ,0),双曲线的渐近线方程为y =ʃb a x ,不妨取y =bax ,若存在过N (3a ,0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ,使得әA MN 是以M 为直角顶点的直角三角形,即以A N 为直径的圆与渐近线相交或相切,即b ㊃2aa 2+b2ɤa ,即a 2ȡ3b 2,即a 2ȡ3(c 2-a 2),解得1<e ɤ233,所以离心率存在最大值233㊂图112.D 提示:如图1,在正方体A B C D A 1B 1C 1D 1中,连接A 1B ,C D 1,因为N ,P 分别是C C 1,C 1D 1的中点,所以C D 1ʊP N ,又因为C D 1ʊA 1B ,所以A 1B ʊP N ,所以A 1,B ,N ,P 四点共面,即当Q 与A 1重合时,B ,N ,P ,Q 四点共面,故选项A 正确;连接P Q ,A 1C 1,当Q 是D 1A 1的中点时,P Q ʊA 1C 1,因为A 1C 1ʊMN ,所以P Q ʊMN ,因为P Q ⊄平面B MN ,MN ⊂平面B MN ,所以P Q ʊ平面M B N ,故选项B 正确;连接D 1M ,D 1N ,D 1B ,因为D 1M ʊB N ,所以V 三棱锥P M B N =V 三棱锥M P B N =V 三棱锥D P B N =V 三棱锥B D P N =13ˑ12ˑ1ˑ1ˑ2=13,故选项C 正确;分别取B B 1,D D 1的中点为E ,F ,构造长方体M A D F E B C N ,则经过C ,M ,B ,N 四点的球即为长方体M A D F E B C N 的外接球,设所求外接球的直径为2R ,则长方体M A D F E B C N 的体对角线即为所求球的直径,即2R2=A B 2+B C 2+C N 2=4+4+1=9所以经过C ,M ,B ,N 四点的球的表面积为4πR 2=9π,故选项D 错误㊂二、填空题13.45 提示:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以共有11项,则n =10,则x -1x2n 的通项公式为T r +1=C r10㊃x10-r-1x 2r=C r 10x10-r2-2r -1r㊂由10-r 2-2r =0,得r =2,即常数项为C 210ˑ(-1)2=45㊂14.8,+ɕ 提示:因为x +2y =2x+1y +7,所以x +2y -7=2x +1y,所以(x +2y -7)㊃(x +2y )=2x +1y㊃(x +2y )=4+4y x +x y ȡ4+24=8,当且仅当x =2y =4,即x =4,y =2时,等号成立,设t =x +2y ,则t (t -7)ȡ8,即t 2-7t -8ȡ0,解得t ȡ8,或t ɤ-1(舍),所以x +2y 的取值范围为8,+ɕ ㊂15.-79提示:由正弦定理得3c o s C ㊃(s i n A c o s C +s i n C c o s A )+s i n B =0,即3c o s C s i n (A +C )+s i n B =0,即3c o s C ㊃s i n B +s i n B =0,因为s i n B ʂ0,所以c o s C =-13,所以s i n π2-2C=c o s 2C =2c o s 2C -1=-79㊂16.e ,+ɕ 提示:令F x =f (x )+f (-x ),则F -x =F x ,所以F x 为偶函数㊂由题意可知,当x >0时,F (x )有两个零点㊂当x >0时,-x <0,f (-x )=e x-2k x +k ,F (x )=e x (x -1)+e x-2k x +k =x e x -2k x +k ㊂由F (x )=0得x e x =2k x -k ,即y =x e x与y =2k x -k 在(0,+ɕ)内有两个交点,直线y =2k x -k 恒过点12,0,函数y =x e x 的导数y '=(x +1)e x>0在(0,+ɕ)上恒成立,所以函数y =x e x在0,+ɕ 上单调递增,作出函数y =x e x与图2直线的大致图像,如图2所示,若y =xe x与直线y =2k x -k 相切,设切点为t ,e t,则切线斜率为t +1 e t ,切线方程为y -t e t=(t +1)e t(x -t ),因为切线过点12,0,所以-t e t=(t +1)e t12-t ,解得t =1,或t =-12(舍),故切线的斜率为2k =2e,即k =e ,所以当k >e 时,直线与曲线有两个交点㊂综上所述,实数k 的取值范围为(e ,+ɕ)㊂三、解答题17.(1)由题知b 1+b 2+b 3=7b 1,则1+q +q 2=7,因为q >0,所以q =2,因为等差数列a n的前三项和为12,所以3a 2=12,所以b 2=a 2=4,所以2b 1=4,则b 1=2,所以a 1=2,d =2,所以a n =2n ,b n =2n㊂(2)由题知c n的前20项和S 20=(a 1+a 3+ +a 19)+(b 2+b 4+ +b 20)=(2+6+ +38)+(2+4+ +210)=10(2+38)2+2(1-210)1-2=2246㊂18.(1)在әB A D 中,A B =2,A D =1,øB A D =60ʎ,由余弦定理得B D 2=A B 2+A D 2-2A B ㊃A D ㊃c o s øB A D =3,所以B D=3,所以A B 2=A D 2+B D 2,所以A D ʅB D ,所以B D ʅBC ㊂又B B 1ʅ面A B CD ,所以B B 1ʅB D ㊂因为B B 1ɘB C =B ,所以B Dʅ面B B 1C 1C ㊂又B E ⊂面B B 1C 1C ,所以B D ʅB 1E ㊂(2)因为D D 1ʅ面A B C D ,A D ʅB D ,所以以D 为坐标原点,D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图3所示的图3空间直角坐标系D x y z ,则D (0,0,0),B 1(0,3,2),E (-1,3,1),F12,32,0,所以D B 1ң=(0,3,2),D E ң=(-1,3,1),D F ң=12,32,0㊂设平面B 1D E 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则n 1㊃D B 1ң=3y 1+2z 1=0,n 1㊃D E ң=-x 1+3y 1+z 1=0,令z 1=3,得n 1=-3,-2,3㊂设平面F D E 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则n 2㊃D F ң=12x 2+32y 2=0,n 2㊃D E ң=-x 2+3y 2+z 2=0,令y 2=1,得n 2=-3,1,-23㊂所以c o s <n 1,n 2>=n 1㊃n 2|n 1||n 2|=-5410=-108㊂所以二面角B 1-D E -F 的正弦值为1--1082=368㊂19.(1)由题意可得x =1+2+3+4+55=3,y=9+11+14+26+205=16,所以ðni =1(x i-x )(y i -y )=(-2)ˑ(-7)+(-1)ˑ(-5)+0ˑ(-2)+1ˑ10+2ˑ4=37,ðni =1(x i-x )2ðni =1(y i -y )2=[(-2)2+(-1)2+0+1+22]ˑ[(-7)2+(-5)2+(-2)2+102+42]=1940,所以r =371940ʈ0.84,故科技创新和市场开发后的收益y 与科技创新和市场开发的总投入x 具有较强的相关性㊂(2)由题中表格及参考公式可得K 2=10045ˑ20-25ˑ10255ˑ45ˑ70ˑ30ʈ8.129>6.635,故有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关㊂(3)易知9人中满意的有5人,不满意的有4人,由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4㊂P (x =0)=C 44C 49=1126;P (x =1)=C 15C 34C 49=1063;P (x =2)=C 25C 24C 49=1021;P (x =3)=C 35C 14C 49=2063;P (x =4)=C 45C 49=5126㊂所以X 的分布列为表2:表2X 01234P11261063102120635126故E X =0ˑ1126+1ˑ1063+2ˑ1021+3ˑ2063+4ˑ5126=209㊂20.(1)由题意知c =2㊂设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2,则x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a2+y 22b 2=1,两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y22b2=0,即(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b2=0,即(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-b 2a 2,所以-b2a2=-13,即a 2=3b 2,而a 2-b 2=4,所以a 2=6,b 2=2㊂所以椭圆C 的方程为x 26+y22=1㊂(2)当直线m 的斜率存在时,设直线m :y =k (x +2),设M x 3,y 3 ,N x 4,y 4,联立y =k (x +2),x 26+y 22=1,消去y 整理得3k 2+1x 2+12k 2x +12k 2-6=0,则x 3+x 4=-12k 23k 2+1,x 3x 4=12k 2-63k 2+1㊂所以MN =1+k2x 3-x 4=1+k2(x 3+x 4)2-4x 3x 4=26(1+k 2)3k 2+1㊂点O 到直线m 的距离为d =2k1+k2㊂由O M ң㊃O N ң=463t a n øM O N,得|O M ң|㊃|O N ң|c o s øM O N =46c o s øM O N 3s i n øM O N㊂所以|O M ң|㊃|O N ң|s i n øM O N =463,所以S әM O N =263㊂因为S әM O N =12MN d =6(1+k 2)3k 2+1㊃2k1+k 2,所以6(1+k 2)3k 2+1㊃2k 1+k2=263,解得k =ʃ33,所以直线m :y =ʃ33(x +2)㊂当直线m 的斜率不存在时,直线m 的方程为x =-2,此时S әM O N =263,满足题意㊂综上可得,直线m 的方程为x ʃ3y +2=0,或x =-2㊂21.(1)由题知函数f x的定义域为0,+ɕ ,令f 'x =e -1x =0,得x =1e㊂当x ɪ0,1e时,f'x <0;当x ɪ1e ,+ɕ 时,f'x >0㊂所以f x 在0,1e 上单调递减,在1e,+ɕ 上单调递增㊂①当0<t <1e 时,显然t +1>1e,所以f (x )在t ,1e上单调递减,在1e ,t +1 上单调递增,此时f x m i n=f 1e =2;②当t ȡ1e时,f x 在t ,t +1 上单调递增,故f x m i n =f (t )=e t -l n t ㊂综上可得,当0<t <1e时,f x m i n =2;当t ȡ1e时,f x m i n =e t -l n t ㊂(2)先证当x >0时,e xȡe x ㊂令h x =e x -e x ,则h 'x=e x-e ,由h '(x )=0,得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,h 'x <0;当x ɪ(1,+ɕ)时,h 'x >0㊂故h x 在(0,1)上单调递减,在1,+ɕ 上单调递增㊂所以h (x )m i n =h (1)=0,所以e xȡe x ㊂当x >0时,要证x f x <g (x ),即证e x 2-x l n x <x e x+1e,结合e x ȡe x ,若e x 2-x l n x ɤe x 2+1e成立,则原不等式成立㊂由e x 2-x l n x ɤe x 2+1e ⇒-x l n x ɤ1e⇒x l n x ȡ-1e㊂令m (x )=x l n x ,则m 'x =l n x +1,由m '(x )=0,得x =1e ㊂当x ɪ0,1e时,m 'x <0;当x ɪ1e ,+ɕ时,m 'x >0㊂故m x在0,1e上单调递减,在1e,+ɕ 上单调递增㊂所以m x m i n =m 1e =-1e ,即x l n x ȡ-1e㊂因为e xȡe x 与x l n x ȡ-1e取等号的条件不一致,故当x >0时,e x 2-x l n x <x e x+1e恒成立,即当x >0时,x f x <g (x )㊂22.(1)将曲线C 1,C 2的极坐标方程ρ=2s i n θ,ρc o s θ-π4=2化为直角坐标方程分别为x 2+y -1 2=1,x +y -2=0,得交点坐标为(0,2),(1,1),所以曲线C 1,C 2的交点的极坐标为2,π2 ,2,π4㊂(2)把直线l的参数方程x =-2+32t ,y =12t ,代入x 2+y -1 2=1,化简整理得t 2-(23+1)t +4=0,则t 1t 2=4,所以P A ㊃P B =4㊂23.(1)若a =1,则f x =x +1+x -1>2㊂当x ȡ1时,x +1+x -1>2,即x >1,可得x >1;当-1ɤx <1时,x +1+1-x >2,无解;当x <-1时,-x -1-x +1>2,即x <-1,可得x <-1㊂综上可得,不等式f (x )>2的解集为-ɕ,-1 ɣ1,+ɕ ㊂(2)对任意实数x ɪ2,3 ,都有f x ȡ2x -3成立,即a x +1+(x -1)ȡ2x -3成立,即a x +1ȡx -2成立,即a x +1ȡx -2,或a x +1ɤ2-x 成立,即a ȡ1-3x ,或a ɤ1x -1成立,所以a ȡ1-3xm a x,或a ɤ1x-1m i n㊂因为函数y =1-3x在2,3 上单调递增,y =1x-1在[2,3]上单调递减,所以y =1-3x 在2,3 上的最大值为0,y =1x-1在2,3 上的最小值为-23㊂故a ȡ0,或a ɤ-23,即实数a 的取值范围为-ɕ,-23ɣ0,+ɕ ㊂(责任编辑 王福华)。
20225年中考3年模拟数学七年上答案人教版答案圈
20225年中考3年模拟数学七年上答案人教版答案圈一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列四个数中，最大的数是（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：D. 12. 下列四个数中，最小的数是（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：A. -23. 下列四个数中，正数有（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：D. 14. 下列四个数中，负数有（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：A. -2 B. -15. 下列四个数中，零有（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：C. 06. 下列四个数中，正数和负数各有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：B. 2个7. 下列四个数中，正数和零各有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C. 3个8. 下列四个数中，负数和零各有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：B. 2个9. 下列四个数中，正数、负数和零各有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C. 3个10. 下列四个数中，正数、负数和零共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：D. 4个二、填空题（每小题3分，共30分）11. 下列四个数中，最小的数是_________。
答案：-212. 下列四个数中，最大的数是_________。
答案：113. 下列四个数中，正数有_________个。
答案：114. 下列四个数中，负数有_________个。
答案：215. 下列四个数中，零有_________个。
答案：116. 下列四个数中，正数和负数各有_________个。
答案：217. 下列四个数中，正数和零各有_________个。
答案：318. 下列四个数中，负数和零各有_________个。
答案：219. 下列四个数中，正数、负数和零共有_________个。
答案：4三、解答题（每小题5分，共40分）20. 已知集合A={-2, -1, 0, 1}，求集合A的全部元素。
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考卷数学模拟测试(三)+答案解析(附后)
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考卷数学模拟测试(三)1. 集合Z 中元素的个数为A. 5 B. 4 C. 3D. 22. 若复数，则A. iB.C.D.3. 北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.某校欲组建航空航天课外兴趣小组，现从甲、乙、丙、丁4位学生中任选2人去航空航天博物馆进行参观学习，则甲、乙两位学生至少有一位被选中的概率为( )A. B.C.D.4.A. 2B.C. 1D.5. 已知函数，若，则( )A.B.C. 2D.6. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为正方形，，，E 、F分别是线段BC 、CD 的中点，若，，则直线PE 与AF 所成角的余弦值为A.B. C. D.7. 已知动点到直线的距离的平方比到坐标原点O 的距离的平方大4，若动点Q 满足，且存在定点P ，使得为定值s ，则 A. 1B. 2C. 3D. 48. 若关于x 的方程在内有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A.B.C. D.9. 有一组样本数据，，，的平均数、众数和中位数均为3，方差为2，由这组数据得到新样本数据，，，的平均数、众数、中位数及方差分别为a、b、c及d，则( )A. B. C. D.10. 已知双曲线的离心率为e，则( )A. 双曲线C的焦点不可能在y轴上B. 是该双曲线的一个焦点C. 该双曲线的渐近线方程可能为D. e的最大值为11. 已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法错误的是A.B. 在区间上单调递增C. 在区间上的最大值为2D. 若为偶函数，则Z12. 若，则下列说法一定正确的是A. B.C. 若，则D. 若，则13. 已知向量，，，若，则实数________.14. 的展开式中，除常数项外，各项系数和为________.15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则外接圆的半径为________.16. 如图所示，四边形ABCD为菱形，，，平面ABCD，M，P，Q分别为BG，BA，EF的中点，N为平面EFG内一点，且直线平面当的面积最小时，三棱锥的外接球的体积为________.17. 2021年8月5日，在东京奥运会乒乓球女团决赛中，中国队战胜日本队，获得金牌．2021年8月6日，在东京奥运会乒乓球男团决赛中，中国队战胜德国队，获得冠军．某乒乓球业余爱好者协会为了解某社区青少年喜欢打乒乓球是否与性别有关，做了相关调查，制成如下列联表．喜欢不喜欢总计男8020100女7030100总计15050200男、女青少年喜欢乒乓球的频率分别为多少？能否有的把握认为喜欢乒乓球与性别有关？附：，k18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求；若的面积，求a的最小值．19. 已知正项数列的前n项和为，且满足求数列的通项公式；若，求20. 如图，在圆锥PO中，A，B，C，D四点在底面积圆O上，且，证明：若平面PAB与平面PCD的交线为l，且二面角的余弦值为，求圆锥PO的体积．21. 已知直线是曲线在处的切线．求a，b的值；证明：22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点E为椭圆C上一动点，O 为坐标原点．若，求的面积；若过点E的斜率为k的直线l与椭圆C相交于另一点F，，M为线段EF的中点，射线OM与椭圆C相交于点N，与的面积分别为、，求的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合中元素个数问题，属于基础题.利用列举法化简集合A，即可得到集合A中的元素个数.【解答】解：，所以集合A中的元素个数为故答案选：2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，共轭复数，属于基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则可求．【解答】解：，则故答案选：3.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题.利用列举法列举基本事件，再求事件的概率.【解答】解：从甲、乙、丙、丁四人中任取两人，共有甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁种方法，其中甲、乙两位学生至少有一位被选中的有甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁种方法，故所求事件的概率为故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题.由二倍角公式以及诱导公式化简可得.【解答】解：故答案选：5.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数的运算，属于基础题.由，则，根据，即可求出【解答】解：因为，故函数的定义域为R，因为，所以函数为奇函数，所以，又因为，所以，所以故选：6.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的应用，考查余弦定理，属于中档题.在线段AB上取一点G，且连接GE，PG，由图可知，为异面直线PE与AF所成角，利用余弦定理即可得放入三角形中进行求解.【解答】解：在线段AB上取一点G，且连接GE，PG，如图所示，在四边形ABCD中，易证，所以为异面直线PE与AF所成角，因为，，所以，，所以，则异面直线PE与AF所成角的余弦值为故选：7.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的综合应用，要求考生掌握数形结合的思想，把动态问题借助于焦点或准线转移到静态问题上，属于中档题.根据已知条件，得到动点M的轨迹方程，即可求解.【解答】解：由题意可知，，解得，因此点M的轨迹是抛物线，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点M作准线的垂线，垂足为N，所以因为，即因为存在定点P，使得为定值，所以有，此时点P为抛物线的焦点，所以故选：8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数与方程的关系，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化，构造函数，属于中档题.方程等价于，令，利用导数研究函数的单调性，可得，即可求解.【解答】解：方程等价于，令，则，令，则在内恒成立.所以在上单调递增，因为，所以当时，，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，故实数a的取值范围为故选：9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查数字特征，考查处理前后数据的平均数、众数、中位数及方差之间的关系，属于基础题.根据前后样本数据之间的平均数、众数、中位数及方差之间的关系可得.【解答】解：因为，，，的平均数，众数和中位数均为3，方差为2，所以数据，，，的平均数、众数、中位数及方差分别为7、7、7及8，所以及，所以A，D项错误，B、C项正确.故选：10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程和性质，属于基础题.利用双曲线的标准方程和性质逐个判断即可.【解答】解：对于A，由题意知，则，所以双曲线的焦点在x轴上，故A项正确;对于B，焦距为，焦点坐标为，故B项错误;对于C，因为该双曲线的渐近线方程为，，所以C项错误.对于D，因为，又，则，则，所以，所以e的最大值为，故D项正确；故选：11.【答案】AC【解析】【分析】本题考查三角函数的综合应用，理解三角函数的对称性、单调性、周期性，属于中档题.根据题意，结合三角函数图象与性质，进而对选项进行一一验证即可.【解答】解：因为直线为函数图象的一条对称轴，所以，因为，所以，故A错误；所以，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故B正确；当时，，则，所以在区间上的最大值为1，故C错误；，若函数为偶函数，则，解得，故D正确.故选：12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查不等式性质，要求考生理解对数的运算性质及指数函数的性质，属于中档题.利用函数单调性以及不等式性质逐项分析求解.【解答】解：因为，所以，所以，故选项A正确；令，，所以，故选项B不正确；因为，所以函数在区间上单调递增，所以，即，故选项C正确；因为，所以，所以，所以，即，故选项D正确.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示，属于基础题.由向量的坐标运算得，根据两向量共线的充要条件解答即可.【解答】解：向量，，，，，，解得14.【答案】49【解析】【分析】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题，属于中档题.利用二项式展开项通项公式，以及二项式定理即可求解【解答】解：的展开式的通项公式为，，1，2，，6，令，解得，所以展开式中的常数项为，令，得到所有项的系数之和为，所以除常数项外，各项系数的和为故答案为：15.【答案】5【解析】【分析】本题考查解三角形，要求考生掌握正、余弦定理及三角恒等变换，属于基础题.利用余弦定理及同角三角关系求得，即可利用正弦定理求解.【解答】解：，所以，因为，所以，因为，所以外接圆的半径为故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题考查球的体积公式、线面平行的性质、面面平行的判定、面面平行的性质，属于中档题.证出平面平面AEG，求出的面积最小时，三棱锥的外接球半径，即可求出结果.【解答】解：因为，，且平面ABCD，所以四边形GBCF，EDCF均为矩形，所以，，所以四边形APQE为平行四边形，所以，因为平面AEG，平面AEG，所以平面AEG，因为，且平面AEG，平面AEG，所以平面AEG，又，所以平面平面AEG，因为直线平面MPQ，所以点N在直线EG上，由题意易知，，因为，所以当FN最小时，的面积最小，因为四边形ABCD为菱形，所以，所以当N为EG中点时，FN最小，所以平面EGB，所以，所以，均是以BF为斜边的直角三角形，所以BF是三棱锥外接球的直径，又因为，所以，所以三棱锥外接球的半径为，故三棱锥外接球的体积为故答案为：17.【答案】解：男生喜欢乒乓球的频率为，女性喜欢乒乓球的频率为由题知，，所以没有的把握认为喜欢乒乓球与性别有关.【解析】本题主要考查以奥运会中国丘乓球女团、男团夺冠为情景，要求考生运用独立性检验等相关知识解答相关问题.要求考生有运用所学知识解决实际问题的能力，体现数学运算及数据分析的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求.属于基础题.根据列联表即可求解；由计算可得.18.【答案】解：设R为三角形的外接圆的半径，所以因为，所以，所以，所以，所以，因为，且，所以因为，所以，所以，由易知，，因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以a的最小值为【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积公式，考查正弦定理，考查同角三角函数的基本关系，考查余弦定理及基本不等式，属于中档题.设R为三角形的外接圆的半径，由正弦定理可得，利用同角三角函数的基本关系，求出即可;由易知，，利用余弦定理及基本不等式即可求出a的最小值.19.【答案】解：当时，，，，当时，，，两式作差得：，，即是以1为首项，1为公差的等差数列，由得，，，两式相减得：【解析】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的判定及通项公式，以及错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.利用数列的递推关系，根据与的关系，可推出是以1为首项，1为公差的等差数列，由此可得的通项公式；利用错位相减法求和可得.20.【答案】证明：因为，，所以，故线段AD为圆O的直径.连接OC，因为，所以，所以，又因为，且，PO、平面POC，所以平面POC，因为平面POC，所以；解：由题意，四边形ABCD是等腰梯形，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为，，所以，，，，，所以，，，设平面PAB的法向量，所以，即，取，解得，，所以平面PAB的一个法向量设平面PCD的法向量，所以，即，取，解得，，所以平面PCD的一个法向量，因为二面角的余弦值为，所以，解得或经检验，不合题意，所以圆锥PO的体积为【解析】本题考查线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角，利用空间向量求面面的夹角，圆锥体积的计算，属于中档题.根据题意利用线面垂直的判定定理证明平面POC，再由平面POC，线面垂直的性质可得；以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出，再由圆锥的体积公式可得.21.【答案】解：因为，所以，又因为，所以，综上知，证明：先证：，即，令，，由，解得，由，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立.再证：，即，令，，由，解得，由，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即，当且仅当时等号成立.所以【解析】本题考查导数的几何意义，构造函数，考查利用导数研究函数的单调性，考查导数中的函数不等式，属于较难题.由题知，，将代入，可求出a，b；将问题转化为先证：，利用导数研究函数得单调性即可；再证，构造函数，利用导数研究函数得单调性即可得证.22.【答案】解：设，，所以，由于，，，所以所以的面积为因为M为线段EF的中点，所以与的面积之比；设直线，，，由，得，所以，，所以，因为，所以，；所以，，即；整理得：，满足；当时，，此时；当时，射线OM所在直线方程为，由，得；所以，；综上，的取值范围【解析】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题；设，，运用余弦定理即可解决问题；直线与椭圆联立，韦达定理，求出斜率与截距的关系；根据点M为中点，表示出面积比值，结合前面所求解决问题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
行政职业能力测验临考冲刺试卷（三）参考答案第一部分言语理解与表达1C。
D项表述显然是错误的，可先排除；材料中只是说法律的制定要审慎，并没说不应做大的变动，所以应排除A；“争议”并不是“好法律”的充分条件，所以B项也应排除。
正确答案为C。
2D。
由材料“当股市的盈利机会不被人们所看好时，浮躁才会消失，车市才有希望”，可知作者想说明的是车市怎样才能好起来的问题。
故正确答案为D。
3C。
A项表述显然不符合现实，可先排除；B项表述虽然没有错误，但并不是作者要表达的观点，应排除；D项表述从材料中并不能看出，也应排除。
故正确答案为C。
4A。
由文中第一句可直接得出，“不善于与人交谈”是“引起纠纷或误会”的原因。
故选A。
5D。
材料的主要意思是廉政是为官之本，为官之道还要勤政，利国利民，为国家人民作出贡献，纵观四个选项，最符合题意的是D项。
故选D。
6C。
根据材料可知，“一个月的工资够买几个‘巨无霸’”是以劳动者的收入来衡量其买“巨无霸”的能力，即用收入来衡量购买力的水平。
故选C。
7B。
仔细阅读材料，可以发现这段文字是从一个平常简单的生活故事中揭示出一个深刻的人生哲理，而盲者的看法与“佛的透悟”并不沾边，只是盲者的个人看法。
故选B。
8D。
仔细阅读材料，可知A项陈述太绝对；B、C项陈述不够全面，均应该排除。
故选D。
9D。
这段文字重在强调制定和完善促进服务行业发展的政策措施，其目的是为了推进服务业的发展，故D项最适合。
10B。
根据材料可知，累进制的原则是收入越高纳税率越高，可推出累进制有利于防止贫富差距，而材料最后一句话指出销售税违背了累进制的原则。
故选B。
11C。
原文第一句重点讲人的社会价值，第二句重点讲人的自我价值，第三句提出马克思主义的人生价值观。
因此，正确答案为C。
12B。
仔细分析四个选项，可以发现A项中没有涉及写意手法的重要性，不符合题意；C、D两项过于片面，故选B。
13A。
在文中可以发现“假定完美是物理和工程科学可遇而又可即的目标”，所以完美不可能在科学上实现。
故选A。
14B。
根据题意，要迎合上级的期望，则信息必须是使上级满意的，故选B。
15B。
这道题很容易理解，第一句是关键句，即这段文字的观点；第二句是一个事例，通过它来论证这段文字的观点。
A项显然与题意不符合，应首先排除；C、D两项只是在谈事例，根本不是这段文字的观点，也应排除；针对“光彩工程”，这段文字中提到“在当前国内普遍缺电的形势下这是不适宜的”，所以，B项比较准确地概括了该段文字的意思。
故正确答案为B。
16D。
认真阅读材料，可以发现因为假设所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，可得出A选项；部分纺织工是女工，可以得出B选项；没有一个梳毛工投了健康保险，而部分梳毛工是女工，可以得出C选项。
故选D。
17B。
原文讲述了公路的发展对动物生存状态的影响，尤其是对较小动物种群的影响。
A、C项只说出了文中的部分内容；D项不完全符合文意。
故选B。
18C。
这段话的关键词是最后一句中的“这就是”，它是对前面所有论述的总结，即这段话要说明的意思。
故正确答案为C。
19A。
阅读材料可以发现，中国缺乏的不只是研究型企业，还有“企业参与的科研基地”。
据此可知，B项陈述不够全面，C、D两项材料中都没有提及。
故选A。
20A。
该段文字的重点在于说明“在一个工业化和商品化的时代，人们正在越来越远离土地上的过程”，即劳动创造的精神愉悦越来越少，与自然的生命交流越来越少，由此判断，只有A项正确。
21C。
仔细阅读所给材料可知，四个选项中“落后”修饰文言文是最为合适的。
故选C。
22C。
“道路”是指地面上供人或马通行的部分，抽象方面指做事情的方向；“里程”指发展的过程；“历程”是指经历的过程；“经历”是指亲身见过、做过或遭受的事。
题干的意思是对以往发展的回顾。
故正确答案为C。
23B。
在社会主义市场经济下，政府和企业是非管理或者非领导的关系，政府主要是把社会环境维护好，把市场秩序维护好，在宏观层面引导企业管理，控制企业合法经营。
故选B。
24C。
根据句意，首先可以排除“举足轻重”，因为“举足轻重”是指所处地位重要，一举一动都关系到全局，这与题意正好相反。
其他三个词是近义词，“无足轻重”是指无关紧要；“无关大体”是指与本身利害无关或关系不大；“无伤大雅”是指对主要方面没有妨害。
结合语境对它们进行分析，可知正确答案为C。
25D。
前面句子阐述的理论显然与后面的句子描述的情况是截然相反的，是很难想象到的情形，所以应该感到意外。
故选D。
26B。
本题关键是要正确理解“终身”与“终生”的意义。
“终身”是指一辈子、一生。
而“终生”则是指从生到死。
27A。
“壮丽”是雄壮而美丽的意思；“华丽”是美丽而有光彩的意思，多指服饰方面；“艳丽”指鲜艳美丽，多指色彩；“瑰丽”是异常美丽的意思，多指抽象方面。
故正确答案为A。
28A。
“割断”是指截断、切断；“隔断”是指阻隔、使断绝。
根据“山水相连”、“一脉相承”可知，用“割断”更加合适。
故选A。
29D。
“完整”是指具有或保持着应有的各部分；“完备”侧重于齐全、不缺少，强调应该有的都有了；“完善”强调不但齐全而且良好；“完美”是指完备美好，没有缺点。
根据题意，用“完美”比较合适。
故选D。
30B。
初看这四个选项好像都符合题意，但仔细推敲，可以发现这四个词语还是有区别的。
“巧夺天工”的本意是精巧的人工胜过天然，形容技艺已经达到炉火纯青的地步；“别出心裁”是指独具一格，与众不同；“尽善尽美”形容事物非常完美，毫无缺陷；“任劳任怨”指做事不辞劳苦，不怕别人埋怨。
根据词义，可以首先排除A、D两项，联系句子的整体意思可知B项比C项更合适。
故选B。
31C。
由题干中的“深恶痛绝”、“恶劣”等字眼可以看出，“行为”应该要有程度深的词语来修饰，而且必须与“措施”、“行为”搭配恰当。
故选C。
32A。
前一句话是两个并列分句，第一个空应该填入“既”，与下句的“也”搭配，可排除B、D两项。
后一句话分句之间的关系是递进关系，故选A。
33A。
“眼花缭乱”是指眼睛看见复杂纷繁的东西而感到迷乱；“猝不及防”是指事情突然发生，来不及防备；“神魂颠倒”意思是精神意志倒转、不正常；“应接不暇”形容来人或者事情太多，接待应付不过来。
故选A。
34C。
我国安全生产的方针是“安全第一，预防为主”。
A、B、D三项显然不合适，故选C。
35B。
“安详”就是从容不迫、稳重，多指人；“祥和”就是吉祥平和。
根据文意，应该选祥和。
“装饰”指在身体或者物体的表面加些附属的东西，使美观；“装扮”就是打扮的意思。
根据文意，选择更具有感情色彩的装扮。
故选B。
36A。
从前后文的语境可知，“悲观”、“带动”符合文中的感情色彩。
37B。
根据题干，可知新古典经济学在西方确实起了很大的作用，只是其研究方法受到质疑。
故选B。
38B。
“流传”是指事迹、作品等传下来或传播开的意思；“留传”是留给后代的意思；“悠远”指离现在时间长或距离大的意思；“幽远”是幽深的意思；“俭朴”是俭省朴素的意思，侧重“俭省”；“简朴”是简单朴素的意思，侧重“简单”。
故正确选项为B。
39B。
“突出”有鼓出来、超过一般的显露出来、冲出的意思；“凸出”是高于周围的意思；“因缘”指缘分；佛教指产生结果的直接原因和辅助促成其结果的条件；“姻缘”指婚姻的缘分，也指合作双方关系紧密、融洽；“受奖”是指自己得到奖励；“授奖”是给某人颁奖。
故选B。
40B。
“发源地”指河流起源的地方；“发祥地”原指帝王祖先兴起的地方，现用来指民族、革命、文化等起源的地方。
所以第一个空宜填“发祥地”。
“表明”指表示清楚；“证明”指用可靠的材料来表明或断定人或事物的真实性，而“考古发现”应为“可靠的材料”，所以第二个空应该填“证明”。
“并存”指同时存在，“共存”指共同存在，第三个空应该填“并存”。
故选B。
第二部分数量关系41D。
题干数列为三级等差数列。
故选D。
42A。
仔细观察题干数列可知紧邻两个数字的乘积减去5后等于第三个数，即：3×7-5=16，7×16-5=107，16×107-5=1707。
故正确答案为A。
43C。
题干部分可分为奇数项和偶数项两组，其中奇数项为1、3、7、13，后面的数减去前面的数可得等差数列2、4、6；偶数项为3、5、9、15，后面的数减去前面的数也可得等差数列2、4、6。
由此可知等差数列的第四个数字为8，这样可得出奇数项的第五个数字，即下一项是13+8=21，同理也得出偶数项的第五个数字，即未知项是15+8=23。
故正确答案为C。
44C。
题干部分数列前后两项相减组成一个新数列，即8、9、11、14、18；这个新数列前后两项相减又组成一个数列，即1、2、3、4，很明显这是一个自然数列，那么第五个数就是5，5+18=23就构成前一数列的第六个数，这样未知项是23+61=84。
故正确答案为C。
45C。
本题是一个二级等差数列，公差为4，那么未知项就是7＋6＋4＝17。
故选C。
46C。
这是一道排列组合考题。
由题意可知，每种花色的牌各抽出5张时，只需再抽出任何一张花色的牌就符合要求；不要忘了“大王”、“小王”两张不属任何花色的牌；所以要保证至少6张牌的花色相同，需抽出的牌数为5×4＋2＋1＝23（张）。
故选C。
47B。
27－4＝23；青草每周生长量：（23×9－27×6）÷（9－6）＝（207－162）÷3＝15；原有草量：207－9×15＝72；21头牛吃的时间：72÷（21-15）＝12（周）。
故选B。
48A。
从一楼走到四楼，一共走了三层楼梯，每层的阶数是18级；从一楼走到8楼，一共有七层楼梯，7×18＝126（级）。
故选A。
49A。
最里层一周放棋子的总数为：(15－2－2－1)×4=40(个)；这个空心方阵共用棋子：（15－3）×3×4＝144(个)。
故正确答案为A。
50C。
根据题意可知第二天变为原来的1／2，第三天变为原来的2／3，即原有的1／2×2／3＝1／3，第四天变为第三天的3／4，即原有的1／3×3／4＝1／4。
依此类推，当剩下原有的1／30瓶时时间为30天。
故正确答案为C。
51D。
本题关键是要掌握梯形的面积和柱体的体积计算方法，运用勾股定理计算出梯形横断面的高为8米，所以V＝（6＋18）×8÷2×300＝28800（立方米）。
故正确答案为D。
52B。
根据题意可算出老张拥有藏书的总册数为：18000×3=54000（册），总册数减去现有书的册数就是应购书的册数，即54000-14000=40000（册）。
故正确答案为B。
53A。
这是一道典型的剪绳子考题，其有规律可循。