Unity旋转(四元数)

在Unity 3D中，实现物体旋转有多种方式，如旋转矩阵、欧拉角和四元数等[1]。

旋转需要两个基本参量轴和角，物体从一个方位旋转到另一个方位可以采用多次改变轴和角的方式，依次旋转。

其中，有一种旋转方式是只绕一个轴旋转一次就能达到指定方位，且旋转角度在﹣180°～180°之间，称
这样的旋转方式为最短旋转。

任意指定两个方位，要找出其中的最短旋转并不是一件容易的事。

本文将给出最短旋转的数学描述以及在Unity 3D中实现最短旋转的方法。

最短旋转的数学描述
刚体的运动包括平动和转动。

描述刚体的空间位置，用三维空间坐标点（x,y,z）表示，在Unity 3D中有3个基本坐标系，分别是世界坐标系、惯性坐标系与本地坐标系。

相应的，描述刚体的旋转状态，即方位，是本地坐标系与惯性坐标系所形成的角度变化，采用欧拉角来描述。

由于本文不涉及平移，因此为方便讨论，将惯性坐标系和世界坐标系重合。

众所周知，“两点之间线段最短”，同样两个方位之间也存在类似的关系，即最短旋转，两点之间的距离用两点位置之差来描述。

相应的，两个方位之间的最短旋转用两个方位的四元数之比来描述。

如果方位a的四元数为q1，方位b的四元数为q2，刚体从方位a旋转到方位b的最短旋转的四元数为q，则q = q2÷q1。

设四元数q的4个分量分别是(x,y,z,w)，该四元数隐含了旋转轴向量n和旋转角d，设轴向量n 的3个分量为(nx,ny,nz)。

一般将轴n和角d写成“轴角对”的形式，即(n,d)=(nx,ny,nz,d )。

四元数q=(x,y,z,w)与轴角对(n,d)=(nx,ny,nz,d )之间的关系为：
q = (x,y,z,w) = (nx*sin(d/2),ny*sin(d/2),nz*sin(d/2),cos(d/2))
在Unity 3D中，改变欧拉角和改变四元数是两种基本的旋转方式，Unity 3D提供了Lerp和Slerp 两种插值函数，在两个方位之间进行采样插值。

对欧拉角的Lerp插值，很难实现最短旋转，而四元数Slerp函数插值则非常容易实现最短旋转，下面通过例子来进行验证。

在Unity3D中改变欧拉角实现旋转
在Unity 3D中，制作一个空物体，命名为a，该物体位于世界坐标系的原点位置，在其下面放置一个立方体Cube和一个小球Sphere，调整立方体和小球的大小和位置，如下图所示，让小球位于立方体的一个角点。

选中物体a，在Inspector面板上修改参数rotation为（-20,-30,9），这是物体a的欧拉角，结果如下图所示。

复制物体a，重新命名为b。

再次复制物体a，并命名为c，修改b欧拉角为（15, 80, 60），结果如下图所示，要实现的操作是物体c开始与a重合，然后旋转到物体b的位置。

为了能够跟踪物体x的旋转，对x上的小球Sphere，添加代码如下：public class MyDrawPointsPath : MonoBehaviour
{
List<Vector3> points = new List<Vector3>();
void Update()
{
points.Add(transform.position);
for (int i = 0; i < points.Count - 1; i++)
{
Debug.DrawLine(points[i], points[i + 1]);
}
}
}
为实现物体x的旋转，创建代码如下：
public class MyRotation : MonoBehaviour
{
public Transform a, b;
float t;
void Update()
{
Vector3 v = Vector3.Lerp(a.eulerAngles,b.eulerAngles, t);
transform.eulerAngles = v;
t += 0.1f * Time.deltaTime; //每秒变化0.1°
}
}
将该段代码拖拽到物体x上，将场景中的物体a和b拖放到代码的公共变量卡槽a和b上，代码中的Vector3.Lerp是系统提供的插值函数，包括3个参数：起始向量a的欧拉角、结束向量b 的欧拉角、插值t在0~1的取值，运行结果如下图所示。

从图中可以看到，物体x上的小球画出了一条奇怪的轨迹，说明用欧拉角插值不能实现最短旋转。

在Unity3D中改变四元数实现最短旋转
将上面代码中的Update()函数进行修改如下：
void Update()
{
Quaternion q1= a.rotation;
Quaternion q2= b.rotation;
Quaternion q= Quaternion.Slerp(q1, q2, t);
transform.rotation = q;
t += 0.1f * Time.deltaTime;
}
代码中q1和q2分别是a,b的四元数，Slerp是在两个四元数之间进行插值，再次运行，结果如下图所示。

通过观察可以看出，物体c绕某一固定轴一次旋转到了指定位置，实现了最短旋转。

这个旋转过程用语言可以描述为：一个刚体从初始方位为a，其欧拉角为（-20,-30,9），旋转到末方位b，欧拉角为（15,80,60），找到轴角对实现最短旋转。

仿照最短距离，本文给出了最短旋转的概念并给出了最短旋转的数学描述，即两个方位的四元数的比值。

在Unity3D中，通过修改四元数很容易实现最短旋转，并能够直观地给出旋转轴和角，对理解四元数在Unity 3D中的应用具有重要作用。