梯度旋度散度Word版

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大学物理：坐标散度旋度梯度

divA A
哈密顿
xˆ yˆ zˆ x y z
拉普拉斯2
2 x2
2 y 2
2 z 2
divA 0 正源
divA 0 负源
divA 0 无源
散度的基本运算公式
•C 0
k A k A
C为常矢量 k为常数
A B A B u A u A A u
u为标量
散度定理 The divergence theorem
六面体的体积
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
三种正交坐标系直角坐标系
矢量A三个坐标分量 Ax , Ay , Az 三个单位矢量： xˆ, yˆ, zˆ
x y z
l x l y l z l
cos cos cos
x
y
z
梯度 gradient
1. 是一个矢量
2. 的模就是在给定点的最大方向导数 3. 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即的变
化率最大的方向。
grad xˆ yˆ zˆ
x y z
xˆ
x
yˆ
( )
( )
1
2
(
)
f ( ) f '( )
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
2、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
梯度的重要性质
场，反之亦然。
环量与旋度, 斯托克斯定理

(梯度,散度,旋度)

P 2 + Q 2 + R2 = C
所以有：所以有：
PPx + QQ x + RRx = 0，PPy + QQ y + RR y = 0， PPz + QQz + RRz = 0
i ∂ − A × rot ( A) = − ( P,Q, R ) × ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ =− ∂z R i P ∂R ∂Q − ∂y ∂z j Q ∂P ∂R − ∂z ∂x k R ∂Q ∂P − ∂x ∂y
义斯托克斯公式的物理意 :
向量场 F 沿封闭曲线 Γ 的环流量 , 等于F
的旋度场 rotF通过 Γ 张成的曲面的通量 .
中常 ; 性质: (1) ∇×(cF) = c ∇× F, 其 c为数
(2) ∇×(F + F2 ) = ∇× F + ∇× F2; 1 1
( 3) 设ϕ是数量函数 , 则有
例1 设径向量 p = ( x , y , z ), 令p =|| p ||, 求梯度 ∇p.
2 2 2 2 解： Q p = p ⋅ p = x + y + z ,
∴ 2 p∇p = ∇p 2 = ∇ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( x , y , z ) = 2 p,
因此，当因此， p ≠ 0时,
k ∂ ∂z R
也可写成向量积的形式 : rotF = ∇× F
设 S 为双侧曲面 , Γ 为其边界曲线 , 其中 S 的侧和 Γ 的方向满足右手法则 .
设t = (cos α t , cos β t , cos γ t )是曲线 Γ正向上的单
位切向量 , 定义弧长元素向量 :

梯度、散度和旋度.

梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。

之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。

这里假设读者已经了解了三者的定义。

它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。

这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。

这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。

下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。

这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。

I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。

事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。

当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。

II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。

这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。

(完整word版)梯度,散度,旋度以及其混合运算的简单应用与物理含义

梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。

之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式.这里假设读者已经了解了三者的定义。

它们的符号分别记作如下:从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。

这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数,得到的还是一个矢量函数.这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度"、“散度的梯度"、“梯度的旋度"、“旋度的散度"和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次,而一维波动方程具有如下的形式（1）其中a为一实数,于是可以设想，对于一个矢量函数来说,要求得它的波动方程,只有求它的“旋度的旋度”才能得到。

下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：（2)(3）（4)旋度公式略显复杂.这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。

I。

梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而（5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6）称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符.事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。

当空间内无电荷分布时,即ρ=0,则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时,比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向,场强处处相等,于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地,则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。

II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度.这就好比说清水中滴入一滴红墨水,起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。

梯度散度旋度公式大全

梯度散度旋度公式大全梯度、散度和旋度是向量场的重要性质，在多个领域中都有广泛的应用。

本文将综述梯度、散度和旋度的定义和主要公式，并分析它们的物理意义和数学性质。

1. 梯度（Gradient）梯度是一个标量函数的偏导数的向量。

假设有一个标量函数f(x,y,z)，其梯度为∇f，表示函数f在其中一点上最大的变化率和方向。

在直角坐标系中，梯度可以表示为：∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)其中∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z表示函数f对应的偏导数。

梯度向量的方向指向函数变化最快的方向，并且梯度大小表示函数变化的速率。

梯度的物理意义很直观，它可以表示物理场中的力的方向和大小，也可以表示温度场中的温度梯度。

梯度具有以下重要性质：（1）梯度的方向垂直于等值面，且指向函数增加的方向。

（2）梯度的大小表示函数在该点上的最大变化率。

（3）梯度为零的点为函数的极值点。

2. 散度（Divergence）散度是一个矢量场的发散的量度。

假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其散度为∇·F，表示矢量场在其中一点上的流入和流出的总量。

在直角坐标系中，散度可以表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z表示矢量场对应的分量的偏导数。

散度可以理解为矢量场的源或汇，具有以下重要性质：（1）散度为正表示矢量场在该点上流入，为负表示矢量场在该点上流出。

（2）散度为零的点为矢量场的源或汇。

（3）散度为正相关于区域密度增加，散度为负相关于区域密度减少。

3. 旋度（Curl）旋度是一个矢量场的旋转量的量度。

假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其旋度为∇×F，表示矢量场在其中一点上的旋转程度和方向。

在直角坐标系中，旋度可以表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,∂Q/∂x-∂P/∂y)其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示矢量场对应的分量的偏导数。

哈密顿算子与梯度、散度、旋度

引进哈密顿算符：引进哈密顿算符：
∂r ∂ r ∂ r ∇= i + j + k ∂x ∂y ∂z
r ∇⋅ D = ρ r ∇⋅ B = 0 r r r ∂D ∇× H = δ + r ∂t r ∂B ∇× E = − ∂t
标量场的梯度(gradient) 标量场的梯度(gradient)
考虑压强标量场，空间某点的梯度，记考虑压强标量场，空间某点的梯度， p 定义为如下矢量：为 ∇ ，定义为如下矢量： 1.大小等于压强在空间给定点单位长度上 1.大小等于压强在空间给定点单位长度上的最大变化率。的最大变化率。 2.方向为给定点压强变化率最大的方向方向为给定点压强变化率最大的方向。 2.方向为给定点压强变化率最大的方向。笛卡尔坐标系下梯度表达式：笛卡尔坐标系下梯度表达式：
对速度矢量场，对速度矢量场，流体微团运动分析证明速度散度的物理意义是标定流体微团运动过程中相对体积的时间变化率。动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场，对矢量场，在笛卡尔坐标系下其旋度定义为：义为： ir rj kr
r ∇ × V = ∂ ∂x Vx − ∂ ∂y Vy ∂ ∂z Vz r i +
例如麦克斯韦方程组的微分形式为
∂Hz ∂Hy ∂Dx − = δx + ∂t ∂y ∂z ∂Dy ∂Hx ∂Hz =δy + − ∂z ∂x ∂t ∂Hy ∂Hx ∂DZ − = δz + ∂x ∂y ∂t
∂Ez ∂Ey ∂Bx − =− ∂t ∂y ∂z ∂By ∂Ex ∂Ez − =− ∂z ∂x ∂t ∂Ey ∂Ex ∂Bz − =− ∂x ∂y ∂t

1.2 散度-旋度-梯度

u u( x, y, z) u(r ) C
如同温层，等位面，等高线
a
b
等值面
d c
2
方向导数
如何了解标量场中某一点的标量函数U沿某一方向的变化情况？
b a
等值面
d c
方向导数：标量函数在给定点沿某一方向对距离的变化率
U l
3
方向导数
z
ez
z
U l
M ( x 0 x , y0 y, z 0 z )
1 1 ( ) 的梯度 R R
z
r
Q ( x , y , z ) R
o
r
P ( x, y, z )
y
x
16
源点与场点
• 源点： • 场点：
( x, y, z) ( x, y, z )
源点 r'
R
场点
r
O
17
例题
1 1 距离矢量 R r r ，求标量场 R 的梯度 ( ) R z Q ( x , y , z )
数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
A dS A en dS A cos θdS
s s s
通量(Flux)
dS en dS
S
C
有向曲面：开表面，右螺旋
闭合曲面，外法线
通量：穿过曲面s的矢量线的总数
22
通量的应用
• 判断闭合曲面内源的性质
ey ez 直角坐标系中： ex x y z 1 柱面坐标系中： e e ez z 1 1 球面坐标系中： eR e e R R R sin

梯度、散度、旋度表达式的推导精编版

是一封闭曲线，我们在积分号中加一
小圆圈Ñ ，并称之为矢量 a 沿封闭回
线 L 的环量。
3．旋度
b.旋度
1) 定义：
矢量 a 的矢量旋度rota在 n 方向的投影：
Ñ ar • rd r
r
no
tl iaL s0
m S
注意：1）L 为封闭曲线，即积分为封闭
积分
2）S 的界面为 L
3．旋度
b.旋度
2) 表示形式
2. 散度
b. 散度 2) 表示形式
利用高斯公式把面积分转化为体积分上式可得：
Ñ (ax ay az )dV
x y z
所以，最后可得
Ñ Ñ lim
ar
•
r dS
lim
( ax x
ay y
az )dV z
ax
ay
az
•
r a
ai
v0 V
v0
V
x y z
xi
2. 散度
b. 散度
3）面积分与体积分的转换
1.梯度
g. 梯度的单位
由定义可知
x
n
(nr ,
xr )
x
所以
x
r i
y
r j
z
r k
上式即为在直角坐标系中的表示。
h. 性质 • drr d
证明：
•
drr
xi
• dxi
x
dx
y
dy
z
dz
2. 散度
a . 通量给定一矢量 a(r , t)，在场内取一曲面 S,它可以
是封闭的也可以是不封闭的，在 S 面上取一面积元素 d S ,在 d S 上任取一点 M,作 S 面在 M 点的法线，令 n 表示 S 面上法线方向的单位矢量，a 表示 M 点上的矢量函数的值，则

电磁场基础--二、梯度、散度和旋度数学定义

电磁场基础--⼆、梯度、散度和旋度数学定义⼆、梯度、散度和旋度数学定义2.1哈密顿算⼦哈密顿引进的⼀个⽮性微分算⼦称为哈密顿算⼦或▽算⼦：优点：在运算中既有微分⼜有⽮量的双重运算性质，其优点在于可以把对⽮量函数的微分运算转变为⽮量代数的运算，从⽽可以简化运算过程，并且推导简明扼要，易于掌握。

⾝并⽆意义，就是⼀个算⼦，同时⼜被看作是⼀个⽮量，在运算时，具有⽮量和微分的双重⾝份。

运算规则为：其梯度、散度及旋度⽤▽算⼦表⽰为（u 为标量；A为⽮量）：2.2 拉普拉斯算⼦拉普拉斯算⼦是n维中的⼀个⼆阶微分算⼦，定义为（▽f）的（▽·f）。

因此如果f是⼆阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算⼦定义为：f的拉普拉斯算⼦也是笛卡尔xi中的所有⾮混合⼆阶：数学表⽰式⼆维空间：其中x与y代表 x-y 平⾯上的笛卡尔：的表⽰为：三维空间：笛卡尔下的表⽰为：的表⽰为：2.3 梯度数学定义标量u的哈密顿算⼦运算。

梯度本质：作⽤对象：标量场运算对象：标量运算结果：向量（⽮量）梯度针对⼀个标量场（势场），衡量⼀个标量场的变化⽅向。

梯度为0说明该势场是个等势场。

其结果为向量。

2.4 散度数学定义散度表⽰是的场分量沿各⾃⽅向上的变化规律。

哈密顿算⼦与⽮量A（->）的点积为⽮量A的散度。

散度本质：作⽤对象：向量场运算对象：向量运算结果：标量散度针对⼀个向量场，衡量⼀个向量场的单位体积内的场强。

散度为0说明这个场没有源头。

其结果为标量。

2.5 旋度数学定义旋度表⽰是的各个分量沿着与它们相垂直的⽅向上的变化规律。

哈密顿算⼦与⽮量A的叉乘，即为⽮量旋度。

旋度本质：作⽤对象：向量场运算对象：向量运算结果：向量旋度针对⼀个向量场，衡量⼀个向量场的⾃旋。

旋度为0说明这个场是个保守场（⽆旋场），保守场⼀定是某个标量场的梯度场。

其结果为⽮量。

2.6 ⽮量场的旋度与散度的意义：数量（）场的梯度与⽮量场的和可表⽰为：与拉普拉斯算⼦的关系。

[详解]散度,旋度,梯度

散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F=▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分：设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i+ Q(x.y,z)j+ R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n是Σ 在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ 向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度，记作div A，即div A= δP/δx + δQ/δy + δR/δz。

上述式子中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。

梯度gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。

如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

更严格的说，从欧氏空间R n到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度、散度、旋度表达式的推导

旋度
在电场和磁场中，旋度用于描述电场和磁场的变化产生的涡旋效应，即电场和磁场的变化产生的旋转运动。
图像处理中的应用
01
梯度
在图像处理中，梯度用于描述图像像素值的斜率，即像素值变化的方向
和大小。通过计算图像的梯度，可以提取图像中的边缘、轮廓等特征。
02
散度
散度在图像处理中主要用于判断像素点附近的局部变化情况，可以用于
梯度的几何意义
梯度表示函数图像在某一点的切线斜率。在二维空间中，梯度向量可以看作是切线斜率最大的方向向量。
梯度运算的性质
梯度的线性性质
若$f(x,y)$和$g(x,y)$在某点可微，则$[f(x,y)+g(x,y)]'$等于$f'(x,y)$和$g'(x,y)$的线性组合。
梯度的乘积性质
若$f(x,y)$和$g(x,y)$在某点可微，则$[f(x,y)g(x,y)]'$等于 $f'(x,y)g(x,y)+f(x,y)g'(x,y)$。
旋度用于描述流体场中旋转运动的强度和方向，即涡旋的强度和旋转方向。在流体力学中，旋度可以用于判断流体场的旋转运动
特性。
电场和磁场中的应用
梯度
在电场和磁场中，梯度用于描述电场强度E和磁场强度H随空间位置的变化率，即电场和磁场的方向和大小。
散度
在电场和磁场中，散度用于描述电通量和磁通量在某点附近的净流量，即流入和流出的通量之差。
散度的定义公式
设向量场为 F(x, y, z)，则散度在某一点 P(x, y, z)的值即为向量 F 在该点的方向导数的最大值。
散度的几何意义
散度表示向量场中某点处单位体积内流出（或流入）的向量数量。

旋度散度梯度

求和 3 ? r r
b) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 df f (u ) u du
证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有
f (u ) f (u ) f (u ) f (u ) ex ey ez x y z df (u ) u df (u ) u df (u ) u ex ey ez du x du y du z df (u ) u u u (e x ey ez ) du x y z df (u ) u 证毕 du
( g f ) f ( g ) g ( f ) (6) ( g f ) ( g f ) ( g f ) g ( g f ) f ( g f )
a)设 r ( x x) ( y y) ( z z ) 为源点 x 与场 x 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。
2 2 2
第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有
源点
r
场点（观察点）
§0-5
二阶微分算符
格林定理
Second-order
Difference Operator,
Green’s Theorem
1、一阶微分运算(First-order Difference Calculation) 将算符直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 , A , A 这些都叫一阶微分运算。举例：
2 2 ez xy yx 0
（2） ( g ) 0