精--第一章集合与简易逻辑章末总结.doc
第1章+集合与简单逻辑知识点汇总
《人教A版必修一知识点汇总》第1章《集合与常用逻辑用语》知识点汇总1.1 《集合的概念》1.集合的概念一般地，由某些确定的对象组成的整体就称为集合，简称为集.组成这个集合的对象称为这个集合的元素。
注:集合通常用大写字母表示，如A,B,C…元素通常用小写字母表示，如a,b,c…2.集合与元素之间的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A,读作“a属于A”;（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A,读作“a不属于A”;3.集合中元素的三种特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了（即x∈A与x∉A必居其一.）（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同.（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置.4.集合的分类根据集合所含有元素的个数，将集合分为：（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；（3）空集：特别的，把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅.5.常用的数集例如1∈N，−5∈Z,π∉ Q6. 用列举法表示集合当集合中元素的个数为有限个（或无限个但呈现出某种规律）时，可以把集合中所有的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用大括号“｛｝”把它们括起来，这种表示集合的方法就称为列举法。
例1小于6的所有正整数组成的集合A用列举法可以表示为A=｛1,2,3,4,5｝.7.用描述法表示集合当集合的元素是无穷多个时，我们可以利用元素的特征性质来表示集合，这种表示集合的方法就叫做描述法.注：用描述法表示集合时，在大括号｛｝中画一条竖线（分隔符），竖线的左侧表示的是组成集合的元素，竖线的右侧是元素所具有的特征性质（或元素满足的条件）.解：小于1的所有整数组成的集合A用描述法表示为A=｛x ∣ x＜1,且 x∈Z ｝1.2集合间的基本关系1.子集与包含关系（1）定义像上面这样，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合A为B的子集．记作：A⊆B(或者B⊇A)，读作：A包含于B（或B包含A）.规定：空集是任何集合的子集，即 ∅⊆A.（2）用Venn图表示集合与集合之间的关系例如集合A=｛1,2,3｝与B=｛1,2,3,4,5｝的关系为A⊆B，用Venn图表示为（3）非子集与不包含关系如果集合A不是集合B的子集，记作A⊈B或B⊉A,读作“A不包含于B“（或B不包含A）.例如：集合C=｛2,3｝，集合D=｛2,4,5｝，则集合C不是集合D的子集，即C⊈D.2.集合与集合相等若集合A和集合B的元素完全相同：即A的每个元素都是B的元素，而B的每个元素也都是A的元素，那么就说A和B相等，记作“A=B”例如A={1，2，3} 与B={3 , 1 , 2}，则A=B.3.真子集与真包含于一般的，若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则A叫做B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作A真包含于B（或B真包含A）注：空集是任何非空集合的真子集例如A={1，3}与B={1, 3，5}，则A⫋B（即A是B的真子集）.1.3《集合的基本运算》1.交集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B”.即 A∩B={ x | x∈A 且 x∈B }.（2）实例运用例1设集合A={2,4,6}, 集合B={0,1,2},则A∩B={2}．例2 设集合A={x | −2<x≤1}，集合B ={x|−1≤x < 3}，则Ａ∩B={x |−1≤x ≤1}．2.并集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B.读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A或x∈B}.（2）实例运用例1 设集合A={1,3,5,7}, 集合B={0,2,3,4,6},则A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7}．例2 设集合A={x |−1<x≤2}, 集合B={x |0<x≤3}，则 A∪B={x |−1<x≤3}.3.补集的概念及其运算（1）定义一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作C U A，即C U A={ x | x∈U且x∉A }（2）实例运用例1设全集U={x∈N|x＜7}，集合A={1,2,4,6},则C U A={0,3,5}．例2设全集U= R，集合A={x|−2≤x＜1}，则CA={ x | x＜−2或 x≥1 }．U1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件（1）定义一般地，“若p, 则q”为真命题，即由“条件p 可以推出条件 q ”，记作：p⇒ q那么就称：“p 是 q 的充分条件， q 是p的必要条件”注：如果“若p, 则 q ”为假命题，即由“条件p不能推出条件 q ”，记作： p⇏ q那么就称：“p不是 q 的充分条件， q 不是p的必要条件”（2）实例运用例1若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；解析：设题设“四边形的两组对角分别相等”为p，结论“这个四边形是平行四边形”为 q∵ p ⇒ q∴p是 q的充分条件, q是p的必要条件例2若x2=1，则x = 1；解：设题设“x2=1”为 p ，结论“x = 1”为 q∵由x2=1可得x=1或x=−1∴p ⇏ q故p不是q的充分条件,q不是p的必要条件2.充要条件（1）定义一般地，如果 p ⇔ q （即情况1：原真逆真）我们就称 p 是 q 的充分必要条件，简称为“ 充要条件”.注1（情况2：原真逆假）如果 p ⇒ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的充分而不必要条件；注2（情况3：原假逆真）如果 p ⇏ q ，且 q ⇒p , 我们就称 p是 q 的必要而不充分条件；注3（情况4：原假逆假）如果 p ⇏ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的既不充分也不必要条件；（2）实例运用例1 p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；解：①原命题：“若p，则q”∵ 已知两个三角形相似∴ 两个三角形三边成比例即 p ⇒ q （相似三角形的性质）∴ p是q的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知两个三角形三边成比例∴ 两个三角形相似即 q ⇒ p （三边定理）∴ p 是 q 的必要条件.综上所述，∵ p ⇔ q，即原真逆真，∴ p 是 q 的充要条件例2 p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；解：①原命题：“若 p ，则 q ”∵ 已知四边形是正方形∴ 四边形的对角线互相垂直且平分即 p ⇒ q∴ p 是 q 的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知四边形的对角线互相垂直且平分∴ 四边形是菱形,即 q ⇏ p∴ p 不是 q 的必要条件综上所述，∵ 原真逆假，∴ p 是 q 的充分而不必要条件1.5 全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题一变：∀ （任意）变 ∃（存在） 二变：结论 p(x) 变 它的反面 ¬p(x) 像上面这样，短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示；含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.例如，命题“对任意的n ∈Z,2n +1 是奇数”；“所有的正方形都是矩形” 等都是全称量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，全称量词命题“对 M 中任意一个 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∀x ∈M ,p(x)2.存在量词与存在量词命题像上面这样，短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.例如，命题“有的平行四边形是菱形”；“有一个素数不是奇数” 等都是存在量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，存在量词命题“存在M 中的元素 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∃ x ∈M ,p(x)3. 全称量词的否定（1）概念一般地，对于全称量词命题：∀x ∈M , p(x)它的否定为：∃x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ”注2：全称量词命题的否定是存在量词命题（2）实例运用例1所有能被3整除的整数都是奇数；解：原全称量词命题的否定为：“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”一变：∃ （存在）变 ∀（任意） 例2对 ∀ x ∈R , x 2≥0 ;解：原全称量词命题的否定为:“ ∃ x ∈R ,x 2<0 ”4.存在量词命题的否定（1）概念一般地，对于存在量词命题：∃ x ∈M , p(x)它的否定为：∀x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ” 注2：存在量词命题的否定是全称量词命题（2）实例运用例1 ∃x ∈R,x +2 ≤ 0 ;解：原存在量词命题的否定为“ ∀x ∈R,x +2 > 0” 例2 有的三角形是等边三角形；解：原存在量词命题的否定为“ 所有的三角形都不是等边三角形 ”二变：结论 p(x) 变它的反面 ¬p(x)。
高中数学核心知识点及基本思想方法总结1----集合与简易逻辑
高中数学核心知识点及基本思想方法总结第一章 集合与简易逻辑¤第一部分·集合与集合运算¤◆内容概述◆集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。
“疯人数学家”康托尔(Cantor,G.F.P,1845-1918年，德国人)是集合论的创始者。
目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。
集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。
要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。
了解空集和全集的意义。
了解属于、包含、相等关系的意义。
掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。
◆知识点拨◆※< 1 >※ 集合与元素。
一般地，某些指定的对象．．．．．集在一起就成为一个集合（确定性）。
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
【注意】①集合的确定性如何体现？（例如很高的山，一条快乐的鱼能成为一个集合么） ②元素与集合的关系。
（属于∈、不属于∉）【例题】设集合},12|{},,2|{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==，若B b A a ∈∈,，试判断a+b 与A 、B 的关系。
〖分析〗两个集合中的k 不可以理解成是同一个变量，即解作：Z k k b a k b B b k a A a ∈+=+∴+=∴∈=∴∈,14,12,,2,，此法失去任意性。
〖解答〗.,,.1)(2,,12,,,2,21212211A b a B b a Z k k k k b a Z k k b B b Z k k a A a ∉+∈+∴∈+++=+∴∈+=∴∈∈=∴∈ ③集合中元素的三个特征。
（确定性、互异性、无序性） 【例题】已知}1,12,3{2+--=a a a A ，其中R a ∈。
（1）若A ∈-3，求实数a 的值；（2）当a 为何值时，集合A 的表示不正确？〖解答〗.2,,,11213123:,,3,)2(;10,12333,13)1(222-=∴∈+=-+=--=--==-=--=-∴+≠-a R a A a a a a a a A a a a a a 的表示不正确时或或即表示不正确集合个元素有重复情况时当由集合中元素的互异性或解得或显然④集合的表示方法有哪些？（列举法、描述法、图示法、区间法）【思考】各表示方法的特点，比如描述法注意限制决定条件、条件决定元素、元素决定集合。
第一章集合与简易逻辑小结
第一章集合与简易逻辑小结Summary of the first chapter set and simple l ogic第一章集合与简易逻辑小结前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。
教学目的：⒈理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法．⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．教学重点：1.有关集合的基本概念;2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件教学难点：1.有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系;2.对一些代数命题真假的判断. 授课类型：复习授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识．教学过程：一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】：【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1、等价转化的数学思想；2、求补集的思想；3、分类思想；4、数形结合思想．【解题规律】1、如何解决与集合的运算有关的问题:1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题：1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题二、基本知识点：集合：1、集合中的元素属性：（1）（2）（3）2、常用数集符号：n z qr3、子集：数学表达式4、补集：数学表达式5、交集：数学表达式6、并集：数学表达式7、空集：它的性质（1）（2）8、如果一个集合a有n个元素（crada=n）,那么它有个个子集，个非空真子集注意：（1）元素与集合间的关系用符号表示；（2）集合与集合间的关系用符号表示解不等式：1、绝对值不等式的解法：（1）公式法：|f（x）|>g（x） |f （x）|0△=0△-------- Designed By JinTai College ---------。
高一数学-集合与简易逻辑小结 精品
课题：第一章集合与简易逻辑小结教学目的：⒈理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法．⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．教学重点：1.有关集合的基本概念;2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件。
教学难点：1.有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系;2.对一些代数命题真假的判断.授课类型：复习授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识．教学过程：一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】：【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1、等价转化的数学思想；2、求补集的思想；3、分类思想；4、数形结合思想．【解题规律】1、如何解决与集合的运算有关的问题:1)对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题：1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题。
二、基本知识点：集合：1、集合中的元素属性：（1）（2）（3）2、常用数集符号：N Z Q R3、子集：数学表达式4、补集：数学表达式5、交集：数学表达式6、并集：数学表达式7、空集：它的性质（1）（2）8、如果一个集合A有n个元素（CradA=n）,那么它有个个子集，个非空真子集。
高中数学知识点总结大全（文科）
高中数学知识点总结目录第一章一一集合与简易逻辑 (1)第二章一一函数 (4)第四章三角函数 (19)第六章不等式 (33)第七章直线和圆的方程 (38)第八章圆锥曲线 (48)第九章(B)直线、平面、简单几何体 (53)第十章排列、组台、二项式定理 (69)第三章导数 (78)第一章一一集合与简易逻辑集合一识点归纳：定义：一组对象的全体形成一个集合.特征：确定性、互异性、无序性.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图分类：有限集、无限集.数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集如关系：属于E、不属于£、包含于J(或U)、真包含于5、集合相等=・运算：交运算ACB={x|xEA且XEB}；并运算AUB={x|xGA或xEB};补运算C u A={x\x^A且xCU},U为全集性质：ACA：<1)CA：若ACB.BJC,则AJC：AAA=AUA=A；AA4> =4>：AU4)=A：AAB=A<=>AUB=B<=>ACB；Anc t/A=4)；AUC"A=I：C[7(C L rA)=A：C L-(AoB)=(C Lr A)n(C L.B).方法：韦恩示意图，数轴分析.注意:①区别6与W、乒与己、a与{a}、4>与{4)}.{(1,2)}与{1,2}；②ACB时，A有两种情况：A=4>与AN4>・③若集合A中有n(WGAT)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2”，所有真子集的个数是2”-1,所有非空真子集的个数是2”-2.④区分集合中元素的形式:如A={x\y=x2+2x+l}^B={y\y=x2+2x+l}^ C={(x,y)|y=X：+2x+1}：D={x\x=x2+2x+]}i E=((x,y)|y=x2+2x+l,x e Z,y e Z}:F={(x,V)|y=尸+2x+1}；G={z|y=[2+2x+l,z=与.X空集是指不含任何元素的集合.{0}、。
【精品】集合与简易逻辑
【关键字】精品第一节集合1、有关集合的记号：∈，，N，N*，Z，Q，R，Z+，R-，等.2、集合分有限集与无限集.3、集合的表示法：列举法、描述法(公式描述或语言描述)、图示法.4、集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.5、子集设集合A、B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，就称集合A是集合B的子集.记为AB(或BA).6、真子集设集合A、B，如果AB,且AB(即B中含有A中不含有的元素)，则集合A叫做集合B的真子集，记为AB ；7、子集、真子集的性质：(1)AA(即任何一个集合是它本身的子集)；(2)A(其中叫做空集，即空集是任何集合的子集)；(3)A(A 不是空集，即空集为任何非空集合的真子集)；(4)传递性：若AB，且BC，则 A B(5)集合相等：AB，且BAA=B；(6)集合的子集个数公有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.8、全集在研究某一问题的过程中，所有集合都包含于某一个集合，这个集合就叫做全集（在不同的问题中，可以有不同的全集；但在确定的问题中，全集只能有一个）.9、补集记全集为U，在全集中，由所有不包含于全集U的元素组成的集合叫做全集U中集合A的补集(简称A补)，记为CUA .10、全集和补集的性质(1)AU，CUAU；(2)CU(CUA)= A，称A与CUA 互补；(3)CU= U，CUU= (与U互补)；(4)在全集U中，若CUA=B，则CUB=A，称集合A与B 互补11、交集由所有A、B中公有的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|xA，且xB}.12、并集由所有A、B中的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B={x|xA，或xB}.13、交集和并集的性质：(1)A∩A=A，A∪A=A；(2)A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；(3)A∩= ；A∪= A ；(4)A∩B A，A∩B B；A A∪B，B A∪B，A∩BA∪B；(5)若A∩B=A，则A B，反之亦然；若A∪B=A，则BA，反之亦然；(6)CU(A∩B)=CU A ∪ CUB，CU(A∪B)= CU A∩ CUB (对偶律)；(7)若将集合A的元素的个数记为card(A)，则card(A)、card(B)、card(A∩B)、card(A∪B)之间有下列关系(经研究找出结论，即容斥原理)：.练习：1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．4．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．5.设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．6．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．7．(2010年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．8．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．9．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．10．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n 是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝______11．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．第二节简易逻辑1、逻辑联结词：或、且、非，引进符号，分别为“∨、∧、﹁”.2、用逻辑联结词将简单命题组成复合命题的三种形式：p∨q、p∧q、﹁p.3原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ6(1)提出反设：针对要证结论提出反设(即要证结论的“否”)；(2)找到矛盾：从反设出发，经过推理，得出矛盾(与已知矛盾，或与已知定理、公理矛盾，或自相矛盾)，由矛盾判定假设不成立，从而肯定欲证结论的正确性.7.充分必要条件的四种形态：(1)若p⇒q，且q⇒p，则称p和q 充要条件，记为p⇔q；(2)若p⇒q，但q⇒p，则称p是q的充分不必要条件；(3)若p ⇒q ，但q ⇒p ，则称p 是q 的必要不充分条件；(4)若p ⇒q ，且q ⇒p ，即p 、q 间无因果关系，那么p(q)既不是q(p)的充分条件，又不是q(p)的必要条件.8、证明充要条件的两种情况：要证p 是q 的充要条件(1)分开证明，两步到位：1o 证充分性(即由p ⇒q)；2o 证必要性(即由q ⇒p)；由1o 、2o 知，p 是q 的充要条件.(2)等价转化，一步到位：p ⇔s ⇔t ⇔u ⇔v ⇔…r ⇔q ，则p 是q 的充要条件.求充要条件 要求q 成立的充要条件：先由q 推出p ，从而知p 是q 的必要条件；再证充分性，即由p 推出q.综上知q 成立的充要条件是p.习题1.如果命题“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，那么p 、q( ) A 都是真命题 B 都是假命题C 中至少有一个假命题D 中必为一真一假2.要用反证法证明“某数是偶数，且不能被6整除”，提出的反设应是假设 ( )(A)某数是偶数，且能被6整除 (B)某数不是偶数，且能被6整除(C)某数不是偶数,且不能被6整除 (D)某数不是偶数，或能被6整除3.设p ：031>-+x x ，q ：1|1|>-x ，则﹁p 是﹁q 的 ( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件4.关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根的充要条件是( )(A)1≤a (B)10≤<a (C)1<a (D)1≤a ，且0≠a5.用反证法证明“ab ≠0”所提出的反设可以是：①ab=0；②a 、b 都为0；③a 、b 中至多有一个为0；④a 、b 中至少有一个为0，其中错误的是 _____________此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
第一章 集 合与简易逻辑小结
第一章集合与简易逻辑小结在数学的广阔领域中，集合与简易逻辑如同两座基石，为后续更深入的学习打下了坚实的基础。
让我们一同来梳理和回顾这部分重要的知识。
首先，来谈谈集合。
集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的一个整体。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，所有正整数也能组成一个集合。
集合有几个关键的概念得弄清楚。
像元素，这是构成集合的基本单位。
如果一个元素属于某个集合，我们就说这个元素在这个集合里面。
集合的表示方法有列举法，就是把集合里的元素一个一个列出来；还有描述法，通过描述元素的特征来确定集合。
集合之间的关系也很重要。
包含关系，比如集合 A 的所有元素都在集合 B 里面，那 A 就是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集，但 B 中还有A 没有的元素，那 A 就是B 的真子集。
还有相等关系，两个集合的元素完全一样，那它们就相等。
集合的运算也不能马虎。
交集，就是两个集合共有的元素组成的集合；并集，则是把两个集合的所有元素放在一起组成的新集合；补集，是在一个给定的全集里，去掉某个集合的元素后剩下的元素组成的集合。
再来看看简易逻辑。
逻辑连接词像是“且”“或”“非”，在判断命题的真假时特别有用。
比如说，命题“p 且q”只有当 p 和 q 都为真时才是真命题；“p 或q”只要 p 和 q 中有一个为真就是真命题；“非p”则是和 p 的真假相反。
充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重点。
如果有“若 p 则q”，p 能推出 q，那 p 就是 q 的充分条件；反过来，q 能推出 p，p 就是 q 的必要条件；要是 p 能推出 q，q 也能推出 p，那 p 就是 q 的充要条件。
在实际应用中，集合和简易逻辑的知识经常会结合在一起。
比如在解决一些不等式的问题时，我们可以先求出不等式的解集，也就是一个集合，然后通过逻辑推理来判断不同解集之间的关系，找到满足条件的解。
举个例子，假设集合 A ＝｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 3}，集合 B ＝｛x ｜ 2 ＜ x ＜ 4}，那么 A 和 B 的交集就是｛x ｜ 2 ＜ x ＜ 3}，并集就是｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 4}。
高中数学知识汇总 第一章 集合与简易逻辑
第一章 集合与简易逻辑1.1 集合1）常用的数集有以下几类：2）集合的特征：确定34）集合的表示方法：。
5）集合的分类：有限集、无限集。
1.2 子集、全集、补集1）子集A B ⊂：集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ，我们也说集合A 是集合B 的子集。
一般地：a :空集是任何集合的子集； b :任何集合是它本身的子集。
B A ≠⊂：集合A 真包含于集合B 。
一般地：空集是任何非空集合的真子集。
2）全集与补集S 是全集，A 是S 的一个子集，S C A 是补集（或余集），{,}S C A x x S x A =∈∉。
1.3 交集、并集交集：{,}A B x A x B ⋂=∈∈且。
并集：{,}A B x A x B ⋃=∈∈或。
交集并集1.4 含绝对值的不等式的解法1）{}(0)x a a x a a <=-<<<， 2）{,}(0)x a x a x a a >=<-><或。
1.5 一元二次不等式解法1）求根； 2）画图。
1.6 逻辑联结词1）与命题：2）或命题3）非命题：1.7 四种命题（1）四种命题的形式：1）原命题：若p 则q ； 2）逆命题：若q 则p ； 3）否命题：p ⌝则q ⌝； 4）逆否命题：若q ⌝则p ⌝； （2）四种命题的相互关系：（3）原命题与其他三个命题的真假关系： 1）原命题为真，它的逆命题不一定为真； 2）原命题为真，它的否命题不一定为真； 3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；。
集合与简易逻辑知识点归纳
{}9B =,;B A =B B =)()();U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+()()card B card A B -()U A =ð()U A =ð13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B).有两相)(,2121x x x x <有两相等ab x x 221-==无实根有意义的①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （否命题⇔逆命题.）②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.（原命题⇔逆否命题.）4.反证法是中学数学的重要方法。
会用反证法证明一些代数命题。
充分条件与必要条件答案见下一页数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案例1选A;例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9AB =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-,{}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-.[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。
例4C 例5C 例6①∉,②Ü,③Ü,④例7填2 例8C 例9∅例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。
集合与简易逻辑复习与小结
集合与简易逻辑复习与小结一、基础知识总结基础知识框图表解常绝时鱼不并氏］鬲单曲分式用竽贰一朮二次力探垠G国二、重点知识归纳、总结1、集合部分解决集合问题时，首先要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素组成，需要对集合的文字语言、符号语言、图形语言进行相互转化•其次，由于集合知识概念多、符号多，所以要注意集合的特性，空集的特殊性，符号的表示的特殊性•三是注意知识间的内在联系，注意集合思想与函数思想的联系，集合与不等式、解析几何、三角函数等知识的联系.确是性V互异性(1)集合中元素的三大特征L无序性「按元素前个数分为有除集和无限集(2)集合的分类I按元素的性质可分为数氯点集等-列举法<描困吿(3)集合的三种表示方法L丈氏图梏(4)集合的运算①n元集合共有2n个子集，其中有2n—1个真子集，2n- 1个非空子集；②A Q B={x|x € A 且x € B}③ A U B={x|x € A 或x € B}④-A={x|x € S 且x^A}，其中A二S.2、不等式的解法(1) 含有绝对值的不等式的解法①|x|va(a>0)= —a<x<a；|x|>a(a>0) = x>a，或x< —a.②|f(x)|<g(x) = - g(x)vf(x)vg(x)；|f(x)|>g(x) = f(x)>g(x)或f(x)< —g(x).③|f(x)|<|g(x)| = [f(x)] 2v[g(x)] 2= [f(x) + g(x)] [f(x) —g(x)]<0.④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用零点分段讨论法”去绝对值.如解不等式：|x+ 3| —|2x—1|<3x + 2.(2) 一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式，经过不等式的同解变形，都能化为ax2+ bx + c>0(a>0), 或ax2+ bx + c v 0 (a>0)的形式，再根据大于取两边，小于夹中间”得解集(若判别式△ W0则利用配方法求解较方便).详细解集见下表:「分类讨论去幷班*(3) 分式不等式的解法L转整式不等式①分类讨论去分母法：s(^) 1/(^) >久町苫仗)1/W v祕材昭(力gW V(^)£如翻 L/W>②转整式不等式法：运用时，必须使不等式一边为0，转化为. wo形式，则:> 0 口畑烛心> Q 兀讥用卩㈤馆吐0 gW Uw 工0J澤扶转化为不等式齟弟解(4) 高次不等式的解法iFL逻辑联结词或” 且” 非”是判断简单合题与复合命题的依据；真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助；掌握好反证法证明问题的步骤.J简車命题(1)命题曳合齡题①简单命题：不含逻辑联结词的命题②复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题(2)复合命题的真值表非p形式复合命题的真假可以用下表表示p且q形式复合命题的真假可以用下表表示p或q形式复合命题的真假可以用下表表示(3)四种命题及其相互之间的关系一个命题与它的逆否命题是等价的.(4)充分、必要条件的判定①若p三q且q芦p,则p是q的充分不必要条件；②若p古q且p，则p是q的必要不充分条件；③若p= q且q= p，则p是q的充要条件；④若p右q且q吕p，则p是q的既不充分也不必要条件•(5)反证法反证法是命题与其逆否命题等价”这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般步骤是：①假设命题的结论不成立•②经过推理论证，得出矛盾•③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确(1)正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的.(2)在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的确定性”在表示一个集合时，要特别注意它的互异性” 无序性”(3)在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.(4)对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围.用集合表示不等式(组)的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视, 如在关系式'_ ••中，易漏掉三二的情况.(5)若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.(6)若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.(7)解不等式的基本思想是化归、转化，解含有参数的不等式常需要分类讨论，同解变形是解不等式的理论依据.(8)学习四种命题，关键是理解命题结构及逻辑联结词或”且”、非”的含义, 掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础.(9)基本的逻辑知识是认识问题和研究问题不可缺少的工具，是我们进行学习、掌握和使用语言的基础，数学又是逻辑性很强的学科，因此，学习一些逻辑知识是非常必要的，通过学习和训练可以规范和提高推理的技能，发展思维能力•重点是正确使用逻辑联结词或” 且” 非”是否使用得当的依据是真值表，利用真值表再结合四种命题的充要条件可判定复合命题的真假性•注意区别一些易错的逻辑关系，如都是”都不是”、不都是”5、在学习和运用集合知识的过程中，须注意的几个问题目前在中学数学教学中，集合知识主要有两方面的应用.(1)把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素•例如，方程(或方程组)的解集，不等式(或不等式组)的解集，具有某种性质或满足某些条件的数集、点集、向量集(以后会学)等，因集合元素的任意性，使得集合语言有着广泛的应用性.(2)使用集合间的运算法则或运算思想，解决某些逻辑关系较复杂的问题•例如，运用集合法判断真假复合命题和充要条件，运用集合的交集思想、并集思想、补集思想解题等.三、学法指导(一)要注意理解、正确运用集合概念例1、若P={y|y=X 2,x € R} , Q={y|y=x 2+ 1,x € R}，则P QQ 等于()A. PB. QC. ；：D.不知道分析：类似上题知P集合是y=x2(x € R)的值域集合，同样Q集合是y= x 2+ 1 (x € R) 的值域集合，这样P Q Q意义就明确了.例2、若P={y|y=x2,x€ R} , Q={(x , y)|y=x2,x€ R}，则必有()A. p n Q=OB. P QC. P=QD. P ' Q有的同学一接触此题马上得到结论P=Q这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x €R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x € R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物.(二)要充分注意集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.丄例3、若A={2 , 4,a-2a2—a+ 7},B={1,a + 1,a F-2a+ 2,——(a2- 3a—8),a3+ a2+ 3a+ 7}, 且A n B={2 , 5}，试求实数a的值.解：T A n B={2, 5},至此不少学生认为大功告成，事实上，这只是保证A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查.例4、已知集合A={x|x 2—3x + 2=0},B={x|x 2—ax+ a—仁0}，且A U B=A，贝V a 的值为点评：本题不能直接写出B={1 , a—1}，因为a—1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.(三)要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的•因此，在证明(判断)两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.例5、设集合A={a|a=n2+ 1,n€ N*}，集合B={b|b=k2—4k + 5,k € N*}，试证:A ’ B.•/ n € N,「. n + 2€ N(3)两个集合A、B相等，之所以不以“ A、B所含元素完全相同”来定义，而是用子集来定义，显然比较科学，它具有可操作性，用起来很方便.空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合•当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误.例6、已知集合A={x|x2+ (m+ 2)x + 1=0,x € R}，若A AR+=己，则实数m的取值范围是分析：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2+ (m + 2)x + 1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A QR+ =0可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围.4.解得m>0或一4<m<0 ,艮卩m> —例7、已知集合A={x|x 2—3x —10< 0},集合B={x|p + K x< 2—1}.若B— A，求实数p 的取值范围.10<0 得一2<x<5.解：由x2—3x —由 B 匚 A 得：一2< p + 1 且 2p — K 5.••• 2 w pw 3②当 B=0 时，即 p + 1>2p — 1 = p v 2.由①、②得：p w 3.点评：从以上解答应看到：解决有关 A n B 勿、A U B=0 ,A B 等集合问题易忽视空集(五) 要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性事实上，各种数学语言形态间的互译，可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的 解决途径，因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情.对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言.即方程x 2— x — a — 2=0 ②有等根时a 的取值集合.方程②有等根的条件是厶 =(—1)2— 4( — a — 2)=0,以上解法对吗？不难看出，将 A 译为方程②有等根时a 的取值集合是不准确的.例8、已知集合 =1卜」有唯一元素 用列举法表示 a 的值构成的集合A .解：集合B 表示方程a(2)集合语言与其它语言转译过程中，根据问题的需要也可能转译成图形语言, 利用数形结合解题.根据解题需要，有时也可能将其它语言转译为集合语言.(六)要注意数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.例9、设A={x| —2<x< —1,或x>1} , B={x|x 2+ ax+ b< 0},已知A U B={x|x> —2}, A nB={x|1<x < 3}试求a、b 的值.点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果.例10、若关于x的不等式|x+ 2| —11 —x|<a有解，求实数a的取值范围.|x + 2| —11 —x|<a 无解时，a w —3.故|x + 2| -11 -x|<a 有解时，a>—3.(七)要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样能起到反难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这就是正难则反”的解题策略，是补集思想的具体应用.有的问题，根据问题具体情况，也可采用交集思想、并集思想去处理.例11、已知集合A={x|x 2-4mx + 2m + 6=0,x € R}，若A PR - ^，求实数m的取值范围.分析：集合A是方程x2-4mx+ 2m+ 6=0①的实数解组成的非空集合,A P R-工二意味着方程①的根有:(1)两负根,(2) —负根一零根,(3) —负根一正根三种情况，分别求解较麻烦，上述三种情况虽可概括为方程①4/w -的较小根但在目前的知识范围内求解存在困难,如果考虑题设A P R z J的反面:A P R-= J ,则可先求方程①的两根x i、X2均非负时m的取值范围•用补集思想求解尤为简便.解：设全集U={m| △ =( - 4m)2- 4(2m + 6) > 0}若方程x2—4m灶2m^ 6=0的二根为X i、X2均非负,点评：采用“正难则反”的解题策略.具体地说，就是将所研究对象的全体视为全集, 求出使问题反面成立的集合 A ，即便为所求.例12、命题甲：方程x 2+ mx +仁0有两个相异负根； 命题乙：方程4x 2 + 4(m — 2)x + 1=0 无实根，这两个命题有且只有一个成立，求 m 的取值范围.分析：使命题甲成立的 m 的集合为A ,使命题乙成立的 m 的集合为B ,有且只有一个命 题成立是求A ^B 与［尺貝Q B 的并集.解：使命题甲成立的条件是:(1) m€ A Q 5" ,(2) m € 5虫 Q B.高考解析1、(上海)设a i、3、c i、a2、b2、C2、均为非零实数，不等式a i x2+ b i x+ c i>0和a2x2+ b2x+ C2>0的解集分别为集合M和N,那么“”是M = N”的什么条件？分析：利用二次函数与一元二次不等式的关系•玉亠5•••如果- -：-- ，贝y M=N”,如果' * 则M邛J”,“一 * -- ”一" M=N”；反之若M = N=二,即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零.因此，M = N”芦玄绻 ^ ”，因此既非充分也非必要条件.答案：即非充分又非必要条件2、(高考试题)设a,b 是两个实数，集合A={(x,y)|x=n,y=na + b,n€ Z},B={(x,y)|x=m,y=3m 2 + 15,m€ Z},C={(x,y)|x 2+ y2< 144是xoy平面内的点集，讨论是否存在a与b，使是A Q B^''和(a,b) € C同时成立？分析：解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来. 解法：假设存在实数a与b,同时满足题设中的两个条件，即有：从中消去b 得a2+ (3n2+ 15- na)2w 144,即: (1 + n2)a2- 2n(3n2+ 15)a+ (3n2+ 15)2—144< 0.此时判别式△ =4 n2(3 n2+ 15)2—4(1 + n2)[(3n2+ 15)2—144]=36( —n4+ 6n2—9)=—36(n2—3)2••• n € 乙•••△ <0,又二次项系数1 + n2>0,•••上述关于a的二次不等式无解，因此同时满足题意中两个条件的实数a与b是不存在的•。
必修第一册·第一章《集合与常用逻辑用语》知识点总结
必修第一册·第一章《集合与常用逻辑用语》1.元素 把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：···a b c 、、） 2.集合把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：···A B C 、、） 3.元素的特征 确定性、互异性、无序性. ①求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性. 4.元素与集合的关系 ①属于：a A ∈；②不属于：a A ∉.5.常用数集①自然数集 N （包含0和正整数） ②正整数集 *N 或+N③整数集 Z ④有理数集 Q ⑤实数集 R6.集合的分类 ①有限集；②无限集；③空集.7.集合的表示方法①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用{}括起来.例如{}1,3,5,7、{}2,4,6,8⋅⋅⋅，②描述法：把集合A 中所有具有共同特征()P x 的元素x 所组成的集合表示为{}()x A P x ∈.例如{}1020x x ∈<<Z 、{}21,x x k k =+∈Z③图示法（Veen 图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合.例如8.常见集合的表示方法①方程的解集：{}230x x +=②不等式的解集：{}230x x +>③奇数集：{}21,x x n n =+∈Z ④偶数集：{}2,x x n n =∈Z⑤函数图象上的点构成的集合：(){},23x y y x =+⑥方程组的解： 或{}(1,1)①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集···），以及元素的范围（x ∈N 、*N 、Z 、R ···）.9.子集 集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素.记作：A B ⊆或B A ⊇ 读作：A 包含于B 或B 包含A①任何一个集合是它本身的子集.②若A B ⊆，且B C ⊆，则A C ⊆.10.集合相等若A B ⊆，且B A ⊆，则A B =.①若A B =，且B C =，则A C =. ②欲证A B =，只需证A B ⊆，且B A ⊆.11.真子集如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A .记作：A ⫋B 读作：A 真包含于B 或B 真包含A()2,0x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭①若A ⫋B ，且B ⫋C ，则A ⫋C ②若A B ⊆，且A B ≠，则A ⫋B .③⊆和⫋用于集合和集合之间，∈和∉用于元素和集合之间.12.空集 不含任何元素的集合. 符号：∅①空集是任何集合的子集.②空集是任何非空集合的真子集.③解决有关A B =∅、A B ⊆等问题时，一定要先考虑∅ 的情况，以防漏解.13.子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有()n n *∈N 个元素,则其子集个数是2n ，真子集个数是21n -，非空子集个数是21n -，非空真子集个数是22n -.14.交集 属于集合A 且属于集合B .（A 和B 的公共部分）记作：A B 读作：A 交B 含义：{},A B x x A x B =∈∈且①A B B A =；②A A A =；③A A ∅=∅=∅；④()A B A ⊆；⑤()A B B ⊆；⑥A B A B A ⊆⇔=.15.并集属于集合A 或属于集合B .（包含A 和B 的所有元素）记作：A B 读作：A 并B 含义：{},A B x x A x B =∈∈或①A B B A =；②A A A =；③A A A ∅=∅=；④()A A B ⊆；⑤()B A B ⊆；⑥A B A B B ⊆⇔=.16.全集 研究问题中涉及的所有元素. 符号：U17.补集 由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合.符号：A C U 含义：{}A U A C U ∉∈=χχχ，且①U A C U ∈；②Φ=U C U ；③U C U =φ；④A A C C U U =)(；⑤U A C A U=⋃； ⑥φ=⋂A C A U ；⑦)()()(B A C B C A C U U U =；⑧)()()(B A C B C A C UU U =. ⑨注意补集思想在解题中的运用，“正难则反”.18.命题可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.表示：“若p ，则q ”、“如果p ，那么q ”.其中p 为命题的条件,q 为命题的结论.19.充分条件与必要条件①“若p ，则q ”是真命题，即p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②“若p ，则q ”是假命题，即p q ⇒，则p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.判断充分条件、必要条件的三种方法：①定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假；②集合法：利用集合的包含关系判断；③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性，若12p p ⇒，23p p ⇒，则13p p ⇒.20.充要条件如果“若p ，则q ”和“若q ，则p ”都是真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，则可记作p q ⇔，这时称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.充分条件、必要条件的判断：①p q ⇒且q p ⇒ p 是q 的充分不必要条件 ②p q ⇒且q p ⇒ p 是q 的必要不充分条件③p q ⇔ p 是q 的充要条件 ④p q ⇒且q p ⇒ p 是q 的既不充分也不必要条件21.全称量词 短语“所有的”“任意一个”通常叫做全称量词. 符号：∀ 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.“对M 中任意一个x ，()p x 成立”用符号记为：,()x M p x ∀∈22.存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”通常叫做存在量词. 符号：∃ 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.“存在M 中元素的x ，()p x 成立”用符号记为：,()x M p x ∃∈23.全称量词命题和存在量词命题的否定①全称量词命题,()x M p x ∀∈的否定为：,()x M p x ∃∈⌝.②存在量词命题,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝.①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论.②全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.③一个命题和它的否定，只能是一真一假.【常见考法】一 集合的含义及表示1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．42．下列集合中，表示方程组 的解集的是（ ） 31x y x y +=⎧⎨-=⎩A ．{}2,1B ．{}2,1x y ==C ．(){}2,1D ．(){}1,23．已知集合{}1,2,3,4,5A =，()(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104．下列各式中，正确的个数是:①{0}{0,1,2}∈；②{0,1,2}{2,1,0}⊆；③{0,1,2}∅⊆；④{0}∅=；⑤{0,1}{(0,1)}=；⑥0{0}=.A ．1B ．2C ．3D ．4二 集合间的基本关系1．已知集合{}22A x x x =∈-≤Z ∣，{1,}B a =，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1,1,0,2}-B ．{1,0,2}-C ．{1,1,2}-D ．{0,2}2．已知(){}ln A x y a x ==-，{}2540B x x x =-+<，若B C A U ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．(],4-∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞3．集合，{}21,B y y x x A ==+∈，则集合B 的子集个数为 A ．5 B ．8 C ．3 D ．24．已知集合{}2|230A x N x x *=∈--<，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为A ．2B ．3C ．4D ．85．已知集合{|A x y ==，集合{|}B x x a =≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．(],2-∞-C ．()2+∞，D ．[)2+∞，三 集合间的基本 运算 1．已知集合{}2log 1A x x =<，集合{B y y ==，则A B =（ ）A ．()0,∞+B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞ 2．已知集合{|A x x =是1~20以内的所有素数}，{}8B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}3,5,7B ．{}2,3,5,7C ．{}1,2,3,5,7D ．{}0,1,2,3,5,73．已知集合||32M x x =-<<∣， ，则（ ） A ．(2,2)M N ⋂=- B ．(3,2)M N ⋂=-C ．[2,)M N ⋃=-+∞D ．()3,M N ⋃=-+∞103x A x Z x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭1|42x N x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭4．设集合()(){}10A x x x a =--≥，{}1B x x a =≥-，若A B R =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],2-∞C ．1, D ．[)2,+∞ 5．已知集合(){}22,1A x y x y =+=，(){},1B x y x y =+=，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．∅ C ．(){}1,0 D ．()(){}0,1,1,06.若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0},且N ⊆M,则实数a 的值为7.设集合A={x|a-2≤x ≤2a+3},B={x|x2-6x+5≤0}.(1)若A ∩B=B,求实数a 的取值范围;（2）若φ=)(B C A R ，求实数a 的取值范围；四 充分条件与必要条件1．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．无法判断2．已知,x y R ∈，则“220x y +=”是“0xy =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3．设,m n R ∈，则“m n >”是 的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知,a b 为实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知 p ：0≤2x -1≤1， q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数112m n -⎛⎫< ⎪⎝⎭a 的取值范围是( )A ．[0，12] B ．(0，12) C ．(－∞，0]∪[12，＋∞) D ．(－∞，0)∪(12，＋∞) 6．若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．7．已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.8．已知命题p ： ，q ：B ＝{x |x ﹣a ＜0}，若命题p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是_____.9．已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>,{}2|60B x x x =--≥,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.10．设集合{}2|320A x x x =++=，(){}2|10B x x m x m =+++=；（1）用列举法表示集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值.11．己知()2:253,:220p x q x a x a -≤-++≤.（1）若p 是真命题，求对应x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.五 全称量词与存在量词1．已知{}|12A x x =≤≤，命题“2,0x A x a ∀∈-≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）2|01x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭A ．4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤2．下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（ ）A ．所有能被2整除的正数都是偶数B ．存在三角形的一个内角，其余弦值为C ．m ∃∈R ，210x mx ++=无解D ．x ∀∈N ，32x x >3．将“222x y xy +≥对任意实数,x y 恒成立”改写成符号形式为（ ）．A ．,x y ∀∈R ，222x y xy +≥B ．,x y ∃∈R ，222x y xy +≥C ．0x ∀>，0y >，222x y xy +≥D ．0x ∃<，0y <，222x y xy +≥ 4．已知:R p x ∃∈，220mx +≤，:R q x ∀∈，2210x mx +>﹣，若q p 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{}1m m ≥B ．{}1m m ≤-C ．{}2m m ≤-D ．{}11m m -≤≤5．若命题“∃x ∈R ，使2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．(][,13,)-∞-⋃+∞ 6．下列命题中，真命题的个数是（ ） ① 的最小值是22；②x N ∃∈，2x x ≤；③若x A B ∈，则x A B ∈；④集合{}210A x kx x =-+=中只有一个元素的充要条件是14k =. A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．下列叙述正确的是（ ）A ．已知0x >，则 的最小值是2B ．已知a ，b 为实数，则a b >是 的充要条件C ．已知,x y R ∈，“1xy <”是“x ，y 都小于1”的必要不充分条件D ．若命题p ：1,x ∀>213x +>，则p 的否定是：1,x ∃>213x +≤8．命题“x R ∀∈，使20x a -≥”是真命题，则a 的范围是________.9．四个命题：①x R ∀∈，2320x x -+>恒成立；②0x Q ∃∈，202x =；③0x R ∃∈，2010x +≠；④x R ∀∈，224213x x x >-+.其中真命题为________.10.设命题P ：实数x 满足，命题q ：实数x 满足 若 a=3 且 q p 为真，求实数 x 的取值范围；32224y x +42x x ++11a b<12．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．．。
第一章 集合与简易逻辑
第一章 集合与简易逻辑1.集合的初步知识：⑴集合的基本概念①集合的元素：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的 叫做这个集合的元素.若a 是集合A 的元素，就说a 集合A ，记作 .若a 不是集合A 的元素，称a 集合A ，记作 .不含任何元素的集合叫做 ，记作 .②集合元素的特性: .③集合的分类： .④集合的表示法： .⑤常见数集的记号： （自然数集）、 (正整数集)、 （整数集）、 （有理数集）、 （实数集）.⑵集合与集合的关系①子集与真子集：对于集合A ，B ，若A 的任何一个元素都是B 的元素，就说集合B 包含集合A ，记作 ，此时也说集合A 是集合B 的 .对于集合A 与B ，若 且 则A=B.若A ⊆B 且A=B ，就说A 是B 的 ，记作 .传递性：对于集合C B A ,,，如果C B B A ⊆⊆,，则 .如果A B ，B C ，则 .空集是 的子集, 即 .空集是 的真子集，即 .含n 个元素的集合的子集的个数为 .含n 个元素的集合的真子集的个数为 .②补集与全集：若A ⊆S ，则A 在S 中的补集C s A= .若一个集合含有要研究的各个集合的全部元素，则这个集合就可以看做一个全集，全集通常用U 表示.③交集与并集：A ∩B= ；A ∪B= .④摩根律：(C U A)∩(C U B)= .(C U A)∪(C U B)= .⑶不等式的解法①含绝对值的不等式：|x|<a(a>0) ⇔ .|x|>a(a>0) ⇔ .)0(><+c c b ax ⇔ . )0(>>+c c b ax ⇔ . ②一元二次不等式：ax 2+bx+c>0或ax 2+bx+c ＜0 (a>0)的解集如下表：△=ac b 42- 0>∆0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x221-== 无实根 的解集)a (c bx ax 002>>++的解集)a (c bx ax 002><++⒊简易逻辑⑴逻辑联结词： 这些词叫做逻辑联结词；简单命题： 的命题叫做简单命题；复合命题：由简单命题与 .构成的命题叫做复合命题.⑵四种命题及其关系：如右图所示.一个命题与 是等价的.⑶反证法：通过否定 而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
集合与简易逻辑知识归纳优选版
选版命题：可以判断真假的语句； 逻辑联结词：或、且、非； 简单命题：不含逻辑联结词的命题； 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
三种形式：p 或q 、p 且q 、非p真假判断：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若⌝p则⌝q；逆否命题：若⌝q则⌝p；互为逆否的两个命题是等价的。
反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立。
第一章《集合与函数概念》主要知识点归纳一、集合 对于以下几个问题，你弄清楚了吗？1、集合中的元素有什么特征？（确定性、互异性、无序性）2、符号“∈”与“⊆”有什么区别？分别怎么用？4、集合的表示方法主要有哪几类？你能用描述法正确表示集合了吗？5、集合之间的关系主要有几种？他们分别怎么表示？各个关系怎么理解？6、下面几个集合中的重要性质，你知道了吗？ （1）.,,B A B A A B A B A A ⋃⊆⋂⊆⋂⋃⊆. （2）B B A B A =⋃⇔⊆;A B A B A =⋂⇔⊆.7、空集特殊性你知道了吗？（空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.）8、如何用图像法（韦恩图、数轴法）正确表示集合之间的包含关系？ 9、一个有限集有多少个子集？有多少个真子集？10、对于集合,,A B A B C A 的含义，你能正确理解吗？(交集：{}|,A B x x A x B ⋂=∈∈且；并集：{}|,A B x x A x B ⋃=∈∈或； 补集：若{},|,U B U C B x x U x B ⊆=∈∉则且；)11、对有关含参数问题，你能正确运用分类讨论解题了吗？你能正确进行分类吗？书写格式清楚吗？（二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．5．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用，正确运用数形结合解题。
高考总复习——第一章 集合与简易逻辑
高考总复习——第一章集合与简易逻辑(共51页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第一节集合[备考方向要明了]考什么怎么考1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力．如(理)2012年全国T1，江西T1等．(文)2012年天津T9等．2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断．如(文)2012年全国T1，福建T1，湖北T1等．(理)2011北京T1. (2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题．3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或Venn图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力．如(理)2012北京T1、陕西T1、山东T1等．(文)2012陕西T1、上海T2等.[归纳·知识整合]1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R[探究] 1.集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}相同吗它们的元素分别是什么提示：这4个集合互不相同，A是以方程x2＝0的解为元素的集合，即A＝{0}；B是函数y＝x2的定义域，即B＝R；C是函数y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是抛物线y＝x2上的点组成的集合．2．0与集合{0}是什么关系∅与集合{∅}呢提示：0∈{0}，∅∈{∅}或∅⊆{∅}．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个A B或B A元素不是A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)[探究] 3.对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系提示：A＝B.假设A≠B，则A∩B A∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}[探究] 4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗提示：一般情况下不相同，如A＝{0,1}在全集B＝{0,1,2}中的补集为∁B A＝{2}，在全集D＝{0,1,3}中的补集为∁D A＝{3}．[自测·牛刀小试]1．(2012·山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为( )A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：选C 由题意知∁U A＝{0,4}，又B＝{2,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}．2．(教材改编题)已知集合A＝{x|2x－3<3x}，B＝{x|x≥2}，则( )A．A⊆B B．B⊆AC．A⊆∁R B D．B⊇∁R A解析：选B ∵A＝{x|2x－3<3x}＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，∴B⊆A.3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为( )A．1或－1 B．1或3C．－1或3 D．1，－1或3解析：选B ∵5∈{1，m＋2，m2＋4}，∴m ＋2＝5或m 2＋4＝5， 即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1,5,13}；当m ＝1时，M ＝{1,3,5}； 当m ＝－1时M ＝{1,1,5}不满足互异性． ∴m 的值为3或1.4．(教材改编题)已知集合A ＝{1,2}，若A ∪B ＝{1,2}，则集合B 有________个． 解析：∵A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2}， ∴B ⊆A ，∴B ＝∅，{1}，{2}，{1,2}． 答案：45．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：∵B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}＝{x |x ≥4，或x ≤1}， 且A ∩B ＝∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1>1，a ＋1<4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <3.即2<a <3.答案：(2,3)集合的基本概念[例1] (1)(理)(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(文)(2013·济南模拟)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若9∈(A ∩B )，则实数a 的值为________．[自主解答] (1)(理) 法一：由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ，当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个；y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个；y ＝3时，x 可取4,5，有2个；y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．法二：因为A 中元素均为正整数，所以从A 中任取两个元素作为x ，y ，满足x >y 的(x，y)即为集合B中的元素，故共有C25＝10个．(文) 集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}．故所求集合中元素的个数为3.(2)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9.∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合题意；当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B不满足集合中元素的互异性，故a≠3；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意．∴a＝5或a＝－3.[答案] (1)(理)D (文)C (2)5或－3本例(2)中，将“9∈(A∩B)”改为“A∩B＝{9}”，其他条件不变，则实数a为何值解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9，即a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，∴A∩B＝{－4,9}，不满足题意，∴a≠5.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，不满足集合中元素的互异性，∴a≠3.当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，∴A∩B＝{9}，符合题意，综上a＝－3.———————————————————解决集合问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．1．(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．(2)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析：(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}为非空集合，∴a－1≥0，即a≥1.(2)∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}， 即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(1)[1，＋∞) (2)(－∞，1]集合间的基本关系[例2] 已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[自主解答] A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a ＝0，则A ＝R ；②若a <0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a≤x <－1a ；③若a >0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a<x ≤4a .当a ＝0时，若A ⊆B ，此种情况不存在． 当a <0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧4a >－12，－1a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <－8，a >0或a ≤－12.又∵a <0，∴a <－8. 当a >0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≥－12，4a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0，a ≥2或a <0.又∵a >0，∴a ≥2.综上知，当A ⊆B 时，a <－8或a ≥2. [答案] (－∞，－8)∪[2，＋∞)保持例题条件不变，当a 满足什么条件时，B ⊆A解：当a ＝0时，显然B ⊆A ； 当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a >2，即⎩⎪⎨⎪⎧－8≤a <0，－12<a <0.又∵a <0，∴－12<a <0.当a >0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，0<a ≤2.又∵a >0，∴0<a ≤2.,综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.)——————————————————— 根据两集合的关系求参数的方法已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．2．(文)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．2或3D ．0或2或3解析：选D 当B ＝∅时，m ＝0，显然成立； 当B ＝{2}时，6m ＝2，即m ＝3；当B ＝{3}时，6m＝3，即m ＝2. 故m ＝0或2或3.2．(理)若集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，x ∈R }，集合B ＝{1,2}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)若A ＝∅，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2；(2)若1∈A ，则12＋a ＋1＝0，解得a ＝－2，此时A ＝{1}，符合题意；(3)若2∈A ，则22＋2a ＋1＝0，解得a ＝－52，此时A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2)集合的基本运算[例3] (1)(理)(2012·北京高考)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，－1)D ．(3，＋∞)(文)(2012·陕西高考)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2](2)(2013·威海模拟)已知集合A ＝{1,2a}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝( )(3)(2013·武汉模拟)已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.[自主解答] (1)(理) ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－23，B ＝{x |x <－1，或x >3}，∴A ∩B ＝{x |x >3}．(文) 由lg x >0⇒x >1，∴M ＝{x |x >1}， 由x 2≤4⇒－2≤x ≤2，∴N ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴M ∩N ＝{x |x >1}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |1<x ≤2}．(2)由A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12得2a＝12，解得a ＝－1，则b ＝12.所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，则A∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，12.(3)依题意及韦恩图得，B ∩(∁U A )＝{5,6}．[答案] (1)(理)D (文)C (2)D (3){5,6}———————————————————1.集合的运算口诀集合运算的关键是明确概念.集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.2.解决集合的混合运算的方法解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解.3．(文)(2013·枣庄模拟)已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0，1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：选A 由题易得集合A＝{0,1}，图中阴影部分所表示的集合是不在集合A中，但在集合B中的元素的集合，即(∁U A)∩B，易知(∁U A)∩B＝{－1,2}．故图中阴影部分所表示的集合为{－1,2}．3．(理)(2013·南昌模拟)已知全集U＝R，函数y＝1x2－4的定义域为M，N＝{x|log2(x－1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}解析：选C 集合M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∁U M＝[－2,2]，集合N＝(1,3)，所以∁U M∩N＝(1,2]．集合中的新定义问题[例4] 非空集合G关于运算⊕满足：(1)对任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在c ∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕c＝c⊕a＝a，则称集合G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G ＝{非负整数}，⊕为整数的加法； ②G ＝{偶数}，⊕为整数的乘法； ③G ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法； ④G ＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法． 其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④[自主解答] ②错，因为不满足条件(2)；④错，因为不满足条件(1)． [答案] B ——————————————————— 解决新定义问题应注意以下几点(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质． (2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决． (3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解诀．4．(理)若x ∈A ，且11－x∈A ，则称集合A 为“和谐集”．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，0，1，12，23，2，3，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＝－2时，11－x ＝13∉M ，故－2不是“和谐集”中的元素； 当x ＝－1时，11－x ＝12∈M ；当x ＝12时，11－x ＝2∈M ；当x ＝2时，11－x＝－1∈M .所以－1，12，2可以作为“和谐集”中的一组元素；当x ＝－12时，11－x ＝23∈M ；当x ＝23时，11－x＝3∈M ；当x ＝3时，11－x ＝－12∈M .所以－12，23，3可以作为“和谐集”中的一组元素；当x ＝0时，11－x ＝1∈M ，但x ＝1时，11－x 无意义，所以0,1不是“和谐集”中的元素．所以集合M 的子集为“和谐集”，其元素只能从两组元素：－1，12，2与－12，23，3中选取一组或两组，故“和谐集”有⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，23，3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，－12，23，3三个．4．(文)若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2.所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.1组转化——两个集合的运算与包含关系之间的转化在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下，集合的运算关系和包含关系之间可以相互转化，如A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅，在解题中运用这种转化能有效简化解题过程．3种技巧——集合的运算技巧(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．(2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现．(3)两个有限集合相等，可以从两个集合中的元素相同求解，如果是两个无限集合相等，从两个集合中元素相同求解就不方便，这时就根据两个集合相等的定义求解，即如果A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B .5个注意——解答集合题目应注意的问题(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系． (3)要注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． (4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．(5)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.创新交汇——与集合运算有关的交汇问题1．集合的运算是高考的常考内容，以两个集合的交集和补集运算为主，且常与函数、不等式、三角函数、向量等内容相结合，以创新交汇问题的形式出现在高考中．2．解决集合的创新问题常分三步： (1)信息提取，确定化归的方向；(2)对所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．[典例] (2012·重庆高考)设平面点集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |y －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )π π π[解析] 不等式(y －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0.集合B 表示圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A ∩B 所表示的平面区域如图所示．由线y ＝1x，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半．[答案] D [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)命题方式的创新：题目并不是直接求解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，x －12＋y －12≤1所表示的平面区域的面积，而是以求集合交集的形式考查．(2)考查内容的创新：本题通过集合A ，B 考查了一元一次函数y ＝x 、反比例函数y ＝1x的图象和圆的方程(x －1)2＋(y －1)2＝1，以及圆和函数y ＝1x的图象的对称性、不等式所表示的平面区域等内容．2．解决本题的关键有以下两点(1)正确识别集合A 与集合B 中元素的几何性质，并正确画出各自所表示的区域； (2)注意到圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与函数y ＝1x(x >0)的图象都关于直线y ＝x 对称．3．在解决以集合为背景的创新交汇问题时，应重点关注以下两点(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此类问题的前提．如本题应首先搞清集合A 与B 的性质，即不等式表示的点集．(2)剥去集合的外表，将陌生转化为熟悉是解决此类问题的关键，如本题去掉集合的外表，将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题．[变式训练]1．已知A ＝{(x ，y )|y ＝|ln x |}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |x 29＋y 24＝1，则A ∩B 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．2D ．8解析：选B A ∩B 中元素的个数就是函数y ＝|ln x |的图象与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数，如图所示．由图可知，函数图象和椭圆有两个交点，即A ∩B 中有两个元素，故A ∩B 的子集有22＝4个．2．设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x || x －⎪⎪⎪1i < 2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1)D ．[0,1]解析：选C ∵y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |，且x ∈R ，∴y ∈[0,1]，∴M ＝[0,1]．在N 中，x ∈R 且⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i < 2，∴|x ＋i|< 2，∴x 2＋1<2，解得－1<x <1，∴N ＝(－1,1)．∴M ∩N ＝[0,1)．3．设M ＝{a |a ＝(2,0)＋m (0,1)，m ∈R }和N ＝{b |b ＝(1,1)＋n (1，－1)，n ∈R }都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝( )A ．{(1,0)}B ．{(－1,1)}C ．{(2,0)}D ．{(2,1)}解析：选 C 设c ＝(x ，y )∈M ∩N ，则有(x ，y )＝(2,0)＋m (0,1)＝(1,1)＋n (1，－1)，即(2，m )＝(1＋n,1－n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝1＋n ，m ＝1－n ，由此解得n ＝1，m ＝0，(x ，y )＝(2,0)，即M ∩N ＝{(2,0)}．(限时：45分钟 满分81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·辽宁高考)已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}解析：选B ∁U A ＝{2,4,6,7,9}，∁U B ＝{0,1,3,7,9}，则(∁U A )∩(∁U B )＝{7,9}． 2．已知S ＝{(x ，y )|y ＝1，x ∈R }，T ＝{(x ，y )|x ＝1，y ∈R }，则S ∩T ＝( ) A ．空集 B ．{1} C ．(1,1)D ．{(1,1)}解析：选D 集合S 表示直线y ＝1上的点，集合T 表示直线x ＝1上的点，S ∩T 表示直线y ＝1与直线x ＝1的交点．3．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3解析：选B 由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，有m ∈A ，所以有m ＝m 或m ＝3，即m ＝3或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素互异性知m ≠1.4．设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：选B B ＝{x |－1≤x ≤3}，A ∩(∁RB )＝{x |3<x <4}．5．(2012·湖北高考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 的个数为24－2＝22＝4，即C ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．6．(2013·厦门模拟)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)解析：选 D 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －3，9a 2－1，a 2＋1，－1，则实数a 的值为________．解析：若a －3＝1，则a ＝4，此时9a 2－1＝a 2＋1＝17不符合集合中元素的互异性；若9a 2－1＝1，则a ＝49，符合条件；若a 2＋1＝1，则a ＝0，此时9a 2－1＝－1，不符合集合中元素的互异性．综上可知a ＝49.答案：498．(文)设集合U ＝{1,2,3,4}，M ＝{x ∈U |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{2,3}，则实数p 的值为________．解析：由条件可得M ＝{1,4}，把1代入x 2－5x ＋p ＝0，可得p ＝4，再检验可知结论成立．答案：48．(理)(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 19．(2013·合肥模拟)对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝m ＋n2，当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝mn ，设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，则集合A 中的元素个数为________．解析：(1)当a ，b 都为偶数或都为奇数时，a ＋b2＝6⇒a ＋b ＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a ，b )有2×5＋1＝11个．(2)当a ，b 为一奇一偶时，ab ＝6⇒ab ＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a ，b )有2×3＝6个．综上可知，集合A 中的元素共有17个． 答案：17三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．A ＝{x |－2<x <－1或x >1}，B ＝{x |a ≤x <b }，A ∪B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |1<x <3}，求实数a ，b 的值．解：∵A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴b ＝3， 又A ∪B ＝{x |x >－2}， ∴－2<a ≤－1， 又A ∩B ＝{x |1<x <3}， ∴－1≤a <1， ∴a ＝－1.11．(文)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}， 当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．11．(理)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围． 解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． (1)若A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，显然不成立； 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4⇒43≤a ≤2； 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，此时不等式组无解，∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2.(2)∵要满足A ∩B ＝∅， 当a ＝0时，B ＝∅满足条件； 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或3a ≥4. ∴a <0时成立，综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a ＝3.12．(理)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m <0}． (1)当m <12时，化简集合B ；(2)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(3)若∁R A ∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围． 解：∵不等式x 2－(2m ＋1)x ＋2m <0⇔(x －1)(x －2m )<0. (1)当m <12时，2m <1，∴集合B ＝{x |2m <x <1}． (2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ， ∵A ＝{x |－1≤x ≤2}， ①当m <12时，B ＝{x |2m <x <1}，此时－1≤2m ≤1⇒－12≤m <12；②当m ＝12时，B ＝∅，有B ⊆A 成立；③当m >12时，B ＝{x |1<x <2m }，此时1<2m <2⇒12<m ≤1；综上所述，m 的取值范围是－12≤m ≤1.(3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}， ∴∁R A ＝{x |x <－1，或x >2}，①当m <12时，B ＝{x |2m <x <1}，若∁R A ∩B 中只有一个整数，则－3≤2m <－2⇒－32≤m <－1；②当m ＝12时，不符合题意；③当m >12时，B ＝{x |1<x <2m }，若∁R A ∩B 中只有一个整数，则3<2m ≤4⇒32<m ≤2.综上所述，m 的取值范围是－32≤m <－1或32<m ≤2.12．(文)设集合A ＝{x |x ＋1≤0，或x －4≥0}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2}． (1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：A ＝{x |x ≤－1，或x ≥4}． (1)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≤－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤－12，∴a ＝2或a ≤－12.即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝2，或a ≤－12.(2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，且有三种情况．①⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2a ＋2≤－1，解得a ≤－3；②⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋22a ≥4，解得a ＝2；③由B ＝∅，得2a >a ＋2，得a >2.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选C 由于M ＝{－1,0,1}，所以x ＝0，－1，故N ＝{0，－1}，所以N ⊆M . 2．设全集U ＝R ，A ＝{x |－x 2－3x >0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x >0}B ．{x |－3<x <－1}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－1}解析：选B 依题意得集合A ＝{x |－3<x <0}，所求的集合即为A ∩B ，所以图中阴影部分表示的集合为{x |－3<x <－1}．3．若集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝{x |x ≥0} B ．A ∩B ＝{1,2} C ．(∁R A )∩B ＝{0,1}D ．A ∪(∁R B )＝{x |x ≥1}解析：选 B 依题意得，A ∪B ＝{x |x ≥1}∪{0}，A ∩B ＝{1,2}，(∁R A )∩B ＝{0}，A ∪(∁R B )＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，因此结合各选项知，选B.4．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：A＝{x|log2x≤2}＝{x|0<x≤4}，即A＝(0,4]，由A⊆B，B＝(－∞，a)，且a 的取值范围是(c，＋∞)，可以结合数轴分析得c＝4.答案：4第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系．1.对本节内容的考查形式多为选择题或填空题．2.对命题及其关系的考查主要有以下两种方式：(1)考查简单命题的真假判断，其中结合命题的四种形式、充要条件以及复合命题、全称命题等组成的混合选项问题是命题的重点．(2)考查命题的四种形式，以原命题的否命题、逆否命题的形式为考查重点．如(文)2012年湖南T3.(理)2012年湖南T2.3.对充要条件的考查，主要从以下三个方面命题：(1)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，多以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置关系等为主．如(文)2012年福建T3，天津T5，上海T16等．(理)2012年北京T3，天津T2，安徽T6等．(2)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的探求，尤其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.(3)考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取值范围．如(理)2011年陕西T12.(文)2011年陕西T14.[归纳·知识整合]1．命题在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[探究] 1.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数可能有几个提示：由于原命题与逆否命题是等价命题；逆命题与否命题是等价命题，所以真命题的个数可能为0,2,4.3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充分必要条件．记作p ⇔q .[探究] 2.“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的说法相同吗提示：两者说法不相同．“p 的一个充分不必要条件是q ”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，显然这与“p 是q 的充分不必要条件”是截然不同的．3．命题“若p ，则q ”的逆命题为真，逆否命题为假，则p 是q 的什么条件提示：逆命题为真即q ⇒p ，逆否命题为假，即p ⇒/ q ，故p 是q 的必要不充分条件．[自测·牛刀小试]1．(教材改编题)给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选D 逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，是真命题． 否命题为：若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0，是真命题． 逆否命题为：若x ≠0或y ≠0，则x 2＋y 2≠0，是真命题． 2．下列命题：①“a >b ”是“a 2>b 2”的必要条件；②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的充要条件；③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③解析：选B ①a >b ⇒/ a 2>b 2，且a 2>b 2⇒/ a >b ；故①不正确；②a 2>b 2⇔|a |>|b |，故②正确；③“a >b ”⇒a ＋c >b ＋c ，且a ＋c >b ＋c ⇒a >b ，故③正确．3．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：选 B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．4．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选 C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．5．(文)(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 A 由不等式2x 2＋x －1>0，即(x ＋1)(2x －1)>0，得x >12或x <－1，所以由x >12可以得到不等式2x 2＋x －1>0成立，但由2x 2＋x －1>0不一定得到x >12，所以“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的充分不必要条件．5．(理)(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 A 因为f (x )是偶函数⇔φ＝k π，k ∈Z ，所以“φ＝0”是“f (x )是偶函数”的充分而不必要条件．四种命题及其真假判断[例1] 在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] 原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)＝2.[答案] B———————————————————判断四种命题间的关系的方法(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提．1．设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．解：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.因此它的逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题．充分条件、必要条件的判断[例2] (1)(文)(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(理)(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x ＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是( )A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3[自主解答] (1)(文)“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的充要条件．由a 1＝22≠－14，解得a ＝1.(理)“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充要条件是：由a1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝－2或1.故“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件．(2)a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．或用排除法：对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.[答案] (1)(文)C (理)A (2)A ——————————————————— 充分条件、必要条件的判断方法判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .2．已知命题p ：函数f (x )＝|x －a |在(1，＋∞)上是增函数，命题q ：f (x )＝a x(a >0且a ≠1)是减函数，则p 是q 的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若命题p 为真，则a ≤1；若命题q 为真， 则0<a <1.∵由q 能推出p 但由p 不能推出q ， ∴p 是q 的必要不充分条件.充要条件的应用[例3] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围． [自主解答] (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．保持本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．———————————————————1.解决与充要条件有关的参数问题的方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.2.利用转化的方法理解充分必要条件 若綈p 是綈q 的充分不必要必要不充分、充要条件，则p 是q 的必要不充分充分不必要、充要条件.3．(文)设p ：log a x >0；q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1>1，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由已知q ：x <1，当0<a <1时，p ：0<x <1，符合条件．当a >1时，p ：x >1，不符合条件．答案：(0,1) 3．(理)已知不等式1x －1<1的解集为p ，不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)。
第一章集合与简易逻辑教学小结
“第一章集合与简易逻辑”教学小结对于高中数学教学内容的确定与安排，新大纲明确指出，应精选那些在现代社会生活、生产和科学技术中有着广泛应用的、为进一步学习所必需的、在理论上、方法上、思想上是最基本的、同时又是学生所能接受的知识。
在内容的安排上，既要注意各部分知识的系统性，注意与其他学科的相互配合，更要注意符合学生的认识规律，还要注意与义务教育内容相衔接。
因此新大纲、新教材对以往的教学目的、教学内容均作了较大幅度的调整。
由于就能力要求而言，旧大纲中提出三大能力，即培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
而新大纲中提出了四大能力及一种意识，即思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力及创新意识，其中创新意识主要是指培养学生能对自然界和社会中的数学现象会从数学的角度发现和提出问题，进而进行探索和研究。
因此在新教材的编写上，增删了很多内容。
教学中更应注重联系生活实际，增强学生解决实际问题的能力及创新意识。
下面就第一章两个小节的内容，一对增删内容作一些教学内容的调整对比说明，二就教材的新布局论它的一些调整思想，三谈一点教学要求与设想，以供参考。
一、新旧教材的对比1．对于第一节集合部分，新旧大纲的教学要求基本一致，其教学目标有：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；（2）了解空集、全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；（3）掌握有关的术语和符号；（4）能正确表示一些简单的集合。
而不同点主要呈现在一些符号的表示上，有：（1）自然数集由原来的{1，2，3，…}改为现在的{0，1，2，3，…}，即增加了一个0 ；（2）补集记号由原来的变为现在的 CUA ，突出了全集；（3）真子集的记号由原来的变为现在的 .2．对于第二节简易逻辑部分，它为新增教学内容，教学要求为：（1）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；（2）理解四种命题及其相互关系；（3）掌握充要条件的意义。
二、调整本章的指导思想1．集合是近、现代数学的一个重要基础，它的概念和基本思想，在高中数学中，有着广泛而重要的应用。
第一章 集合与简易逻辑
第一章 集合与简易逻辑§1.1 集合的概念与运算★考点精析1.集合中元素的三个特性： 、 、 .2.元素与集合的关系有 和 两种，表示符号为 和 .集合的表示法： 、 、 . 5.集合间的基本关系：子集，真子集，相等.若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有21n-，非空子集有21n-个，非空真子集有22n-个．6.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.7.交集：{}B x A x x B A ∈∈=⋂且|； 并集：{}B x A x x B A ∈∈=⋃或|；补集：若{}B x U x x B C U B U ∉∈=⊆且则|,；8.基本性质：（1）A A A =Φ⋃Φ=Φ⋂,,A A A A A A =⋃=⋂,；（2）A B A A B =⇔⊆ ．A B A A B =⇔⊇ ； （3）()U U U C A C B C A B = ，()U U U C A C B C A B = 。
★基础演练1、若A 、B 、C 为三个集合，A B B C = ，则一定有 （ ）（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A 2、若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ） （A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M ．3、已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数___m =。
4、已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P 为 ；P 的子集有 个；P 的非空真子集有 个．5、调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 ，最小值为 ．6、集合{(,)|||}A x y y a x ==，{(,)|}B x y y x a ==+，若A B 为单元素集，实数a 的取值范围为 ．★典例归类例1、已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则（ ）()A P F =()B Q E = ()C E F =()D Q G =设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈， 1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则 （ ）()A M N = ()B M N ⊂≠ ()C M N ⊇ ()D M N φ=例2、设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．变式练习2若a b R ∈，，集合{1}{0}b a b a b a+=，，，，，求20112011b a -的值.例3、已知集合{}32|320A x x x x =++>，{}2|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤ ，{}|2A B x x =>- ，求实数a 、b 的值．说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．例4、已知集合222{|(1)(1)0}A y y a a y a a =-++++>，215{|,03}22B y y x x x ==-+≤≤，若A B φ= ，求实数a 的取值范围．1、若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆， 求实数a 的取值范围．2、已知集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B φ≠ ，求实数m 的取值范围．分析：本题的几何背景是：抛物线22y x mx =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．★巩固练习1、(2006山东)定义集合运算：A ⊙B =｛z |z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 （ ）A.0B.6C.12D.18 2、设全集为U ，在下列条件中，是B A ⊆的充要条件的有（ ） 个 ①A B A = ，②U C A B φ= ，③U U C A C B ⊆，④U A C B U = ， A.1 B.2 C.3 D.4 3、设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3A B = ，{}1,5,7U A C B = ，{}9U U C A C B = ，则A = ，B = ．4、集合{(,)|20}A x y x y =-=，1{(,)|0}2y B x y x -==-，则A B = ，A B = . 5、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．66、设数集3{|}4M x m x m =≤≤+，1{|}3N x n x n =-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N的长度的最小值是 ．§1.2 简单不等式的解法★考点精析1.绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2.当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．3.解绝对值不等式的其他方法： （1）利用绝对值的集合意义法：(2) 利用函数图象法：原理：不等式f(x)>g(x)的解集是函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象上方的点的横坐标的集合.4.一元二次不等式的解法、一元二次方程、一元二次不等式以及二次函数之间的关系；5.分式不等式的基本解法、要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；6.高次不等式的基本解法、要注重对重因式的处理．7.解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；或者利用二次函数的图象来写出一元二次不等式的解集。
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第一章集合与简易逻辑章末总结一、本章数学思想方法1、分类讨论思想（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。
（3）分类讨论要注意的几点：(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。
【例1】已知三元素集，且a=b，求x与y的值。
【解】∵0∈b，a=b，∴0∈a。
又集合为3元素集，∴x≠xy,∴x≠0．又0∈b，y∈b,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y这时，，∴|x|=x2．则x=0(舍去)x=±1当x=1时，a={1，1，0}舍去；当x=－1时，a={－1，1，0}，b={0，1，－1}满足a=b，∴x=y=－1．【点评】此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论．【例2】解不等式分析将定义区域，划分为三段，x 分别讨论．解 (1)当x一、本章数学思想方法1、分类讨论思想（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。
（3）分类讨论要注意的几点：(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。
【例1】已知三元素集，且a=b，求x与y的值。
【解】∵0∈b，a=b，∴0∈a。
又集合为3元素集，∴x≠xy,∴x≠0．又0∈b，y∈b,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y这时，，∴|x|=x2．则x=0(舍去)x=±1当x=1时，a={1，1，0}舍去；当x=－1时，a={－1，1，0}，b={0，1，－1}满足a=b，∴x=y=－1．【点评】此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论．【例2】解不等式分析将定义区域，划分为三段，x 分别讨论．解 (1)当x一、本章数学思想方法1、分类讨论思想（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。
（3）分类讨论要注意的几点：(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。
【例1】已知三元素集，且a=b，求x与y的值。
【解】∵0∈b，a=b，∴0∈a。
又集合为3元素集，∴x≠xy,∴x≠0．又0∈b，y∈b,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y这时，，∴|x|=x2．则x=0(舍去)x=±1当x=1时，a={1，1，0}舍去；当x=－1时，a={－1，1，0}，b={0，1，－1}满足a=b，∴x=y=－1．【点评】此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论．【例2】解不等式分析将定义区域，划分为三段，x 分别讨论．解 (1)当x一、本章数学思想方法1、分类讨论思想（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。
（3）分类讨论要注意的几点：(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。
【例1】已知三元素集，且a=b，求x与y的值。
【解】∵0∈b，a=b，∴0∈a。
又集合为3元素集，∴x≠xy,∴x≠0．又0∈b，y∈b,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y这时，，∴|x|=x2．则x=0(舍去)x=±1当x=1时，a={1，1，0}舍去；当x=－1时，a={－1，1，0}，b={0，1，－1}满足a=b，∴x=y=－1．【点评】此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论．【例2】解不等式分析将定义区域，划分为三段，x 分别讨论．解 (1)当x一、本章数学思想方法1、分类讨论思想（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。
（3）分类讨论要注意的几点：(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。
【例1】已知三元素集，且a=b，求x与y的值。
【解】∵0∈b，a=b，∴0∈a。
又集合为3元素集，∴x≠xy,∴x≠0．又0∈b，y∈b,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y这时，，∴|x|=x2．则x=0(舍去)x=±1当x=1时，a={1，1，0}舍去；当x=－1时，a={－1，1，0}，b={0，1，－1}满足a=b，∴x=y=－1．【点评】此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论．【例2】解不等式分析将定义区域，划分为三段，x 分别讨论．解 (1)当x一、本章数学思想方法1、分类讨论思想（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。
（3）分类讨论要注意的几点：(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。
【例1】已知三元素集，且a=b，求x与y的值。
【解】∵0∈b，a=b，∴0∈a。
又集合为3元素集，∴x≠xy,∴x≠0．又0∈b，y∈b,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y这时，，∴|x|=x2．则x=0(舍去)x=±1当x=1时，a={1，1，0}舍去；当x=－1时，a={－1，1，0}，b={0，1，－1}满足a=b，∴x=y=－1．【点评】此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论．【例2】解不等式分析将定义区域，划分为三段，x 分别讨论．解 (1)当x一、本章数学思想方法1、分类讨论思想（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。
（3）分类讨论要注意的几点：(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。
【例1】已知三元素集，且a=b，求x与y的值。
【解】∵0∈b，a=b，∴0∈a。
又集合为3元素集，∴x≠xy,∴x≠0．又0∈b，y∈b,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y这时，，∴|x|=x2．则x=0(舍去)x=±1当x=1时，a={1，1，0}舍去；当x=－1时，a={－1，1，0}，b={0，1，－1}满足a=b，∴x=y=－1．【点评】此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论．【例2】解不等式分析将定义区域，划分为三段，x 分别讨论．解 (1)当x一、本章数学思想方法1、分类讨论思想（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。