初中几何热点问题探究

初中几何热点问题探究

推荐教师：林桂

一 几何作图及操作探究问题

这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、几何设计问题．这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知识，以达到动手动脑的目的．解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等实践活动过程，利用已有的感知与发现结论从而解决问题.关键是要学生学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题，适合现有的知识水平和实践能力．

(一)几何作图题

1、尺规作图题

（2006锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是：画线段AB ，分别以点A 、B 为圆心，以大于

2

1

AB 长为半径画弧，两弧相交于点C ，连接AC ；再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，交AC 和延长线于点D ，连接BD ，则△ABD 就是直角三角形.

⑴请你说明其中的道理；

⑵请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为300

（不写作法，保留作图痕迹）.

图2-1

2、格点作图

例1 如图，在一个“10×10”的正方形DEFG 网格中有一个△ABC ． ⑴在网格中画出△ABC 向下平移三个单位得到的△A 1B 1C 1；

⑵在网格中画出△ABC 绕C 点逆时针方向旋转900

得到的△A 2B 2C ；

⑶若以EF 所在的直线为x 轴,ED 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,写出A 1,A 2两点的坐标.

图4-1 图4-2

解析 ⑴图形平移时,图形上的每个点都平移相同的距离,如图4-2中所示△A 1B 1C 1;⑵图形

旋转过程中,各部分都旋转相同的角度,如图4-2中所示△A 2B 2C;⑶平面直角坐标系如图4-2所示,易知:A 1(8,2),A 2(4,9).

评点:平移、旋转的简单作图多以网格和坐标系为背景，借点的坐标的变化引起图形的变

化．因此，画平移、转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据相应顶点的平移方向、平移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种“以局部代整体”的作图方法是平移和旋转作图是最常用的方法．

（二）操作探究题

例1 （2006连云港）(1)图7-1是一块直角三角形纸片．将该纸片按如方法折叠，使点A 与点C 重合，DE 为折痕．试证明△CBE 是等腰三角形；

(2)再将图7-1中的△CBE 沿对称轴EF 折叠(如7-2图).通过折叠,原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”。你能将图7-3中的△ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图7-3中画出折痕；

(3)请你在图7-4中的方格纸中画出一个斜三角形,同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点上；

(4)有些特殊的四边形，如菱形，能过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究：一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？

图7-4

图7-3

图7-2

图7-1

解析 (1)由对称性可知∠A=∠ACE,所以∠ECB=∠B,所以△CEB 为等腰三角形；(2)任意三

角形都能折成“组合矩形”，其具体做法可以参照图7-3的折法,将其分成两个直角三角形，有三种不同的折法；(3)首先要体现出一条边与该边上的高相等，这样折出来的矩形才是正方形，再者要满足正方形的顶点都在格点上；(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个“组合矩形”．

评点：此题阅读量大，对学生研究问题、分析问题的能力提出了挑战，作为一道操作题学生在可能的情况下可以动手操作，但更多的是要对操作认真的观察和分析，找出问题的实质所在，同时要借助给出的操作示例运用类比的思想，启示(2)问的解题思路，而第(3)、(4)问学生可以先画图分析再得出结论．

二 几何应用问题

几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型， 几何应用问题的命题内容和形式趋向多样化，但其主要内容仍以全等的应用、相似的应用、解直角三角考查有关几何知识之外，更注重考查学生抽象、转化的思维能力．解决这类问题时，应形的应用为主．题目材料新颖，有很强的实用价值．此类问题的表现形式是：由几何图形的性质通过计算、推理来说明某种几何设计是否最优，或是设计出符合要求的几何方案，除能有效地结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想．

一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）几何综合

应用问题．

(一)三角形在实际问题中的应用

例 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图11-1，图11-2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。

图11-2

图11-3

图11-1

解析 由AB=1.5米，S △ABC =1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DE//AB ，

Rt △CDE ∽Rt △CBA ,∴

AB DE CB CD =，即5.122x x =

-，解得7

6

=x 。如图11-3，过点B 作Rt △ABC 斜边AC 的高BH ，交DE 于P ，并AC 于H 。由AB ＝1.5米，BC ＝2米，5 .1ABC ＝△S 平方米，C ＝2.5米，BH

＝1.2米。设乙加工的桌面边长为y 米，∵DE//AC ，Rt △BDE ∽Rt △BAC ，∴AC DE

BH BP =，即5

.22.12.1y y =

-，解得37

30=

y 。因为3730

76>，即y x >，22y x >，所以甲同学的加工方法符合要求。

点评：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。解决这类问题主要是灵活运

用好相似找出线段间的相等关系，正确列方程求解，在计算过程中要注意计算的准确性各技巧性．此

题可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大．

(二)有关方案设计问题应用

例1 (2007福建龙岩)拼图与设计:

(1)如图13-1,四边形ABCD 是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形为了节省材料,他准备在剩余的六块砖中(如图13-2所示)挑选若干块进行铺设,请你在图13-3所示的网格纸上帮他设计3种不同的示意图．

(2)师傅想用(1)中的④号砖四块铺设一个中心对称图形,请你把设计的图形画在图13-4所示的10×10的方格中．(要求以O 点为对称中心

)

图13-1

C