初高中数学衔接课程教案初高中数学公式大全-乘法公式
【初高一衔接】专题02 乘法公式-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课(解析版)
乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式公式二、完全平方公式在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1.2.3.4.5.公式三、立方和公式公式四、立方差公式例1、计算例2、计算例3、已知a、b是方程（1）；（2）；（3）；（4）【解答】（1）77；（2（3）112；（4）24【解析】∵a、b是方程a+b=7，ab＝11.（1）；（2；（3）；乘法公式巩固练习一. 选择题1．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【解答】C【解析】A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．2．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）【解答】D【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）【解答】A【解析】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.4．如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a【解答】A【解析】设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，S＝S1﹣S2＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，∴5a﹣b＝0，∴b＝5a．5．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36【解答】C【解析】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．二．填空题6．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为．【解答】﹣1【解析】∵（a+b）2＝7，∴a2+2ab+b2＝7，∵a2+b2＝5，∴7+2ab＝5，∴ab＝﹣1．7．，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2．按照这种运算规定，当x＝时，＝0．【解答】8【解析】由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x+4）（x﹣3）＝0，x2﹣4﹣（x2+x﹣12）＝0，解得x＝8．8．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解析】连接EC ，∵正方形ACDE 和正方形CBFG ， ∴∠ACE ＝∠ABG ＝45°， ∴EC ∥BG ，∴△BCG 和△BEG 是同底（BG ）等高的三角形， 即S △BCG ＝S △BEG ， ∴当BC ＝n 时，Sn ＝2，∴S2020﹣S 2019＝20202﹣20192＝2020+2019）（2020﹣2019）＝9． 如果，那么a+2b ﹣3c ＝ ．【解答】0【解析】原等式可变形为：a ﹣2+b+1+ ﹣5（a ﹣2）+（b+1）+ +5＝0（a ﹣2+4+（b+1+1+＝0（﹣2）2+（﹣1）2+ ＝0；即：﹣2＝0，﹣1＝0，﹣1＝0，∴＝2＝1，＝1，∴a ﹣2＝4，b+1＝1，c ﹣1＝1， 解得：a ＝6，b ＝0，c ＝2； ∴a+2b ﹣3c ＝6+0﹣3×2＝0．10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b ）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．【解答】（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n【解析】（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．三．解答题11．已知x+y＝﹣6，xy＝5，求下列代数式的值：（1）x+y（1﹣x）；（2）x2+y2．【解答】（1）﹣11；（2）26【解析】（1）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴原式＝x+y﹣xy＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣6）2﹣2×5＝26．12．已知A＝2x+3，B＝x﹣2．化简A2﹣AB﹣2B2，并求当x＝时该代数式的值．【解答】1【解析】∵A＝2x+3，B＝x﹣2，∴A2﹣AB﹣2B2＝（2x+3）2﹣（2x+3）（x﹣2）﹣2（x﹣2）2＝4x2+12x+9﹣（2x2﹣4x+3x﹣6）﹣2（x2﹣4x+4）＝4x2+12x+9﹣2x2+4x﹣3x+6﹣2x2+8x﹣8＝21x+7，当x＝时，原式＝21+7＝1．13．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．【解答】﹣2【解析】原式＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2）÷y＝（﹣4xy+3y2）÷y＝﹣4x+3y，当x＝﹣1，y＝﹣2时，﹣4x+3y＝4﹣6＝﹣2．14. 已知，求的值.【解析】15. （1）若，，求的值；（2）若，求的值.【解答】（1）40；（2）27【解析】（1）将代入得.16. 已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状.【解答】等边三角形【解析】由已知得，∵a、b、c为三角形的三边长，∴，∴，即，，，，，，即三角形为等边三角形.17．前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题：图①说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成；图②说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分．（1）请结合图①和图②分别写出学过的两个乘法公式：图①：；图②：．（2）请利用上面的乘法公式计算：①1002﹣99×101；②（60）2．【解答】（1）①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，②（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1，②【解析】（1）由图①可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；由图②可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1002﹣99×101＝1002﹣（100﹣1）×（100+1）＝1002﹣（1002﹣1）＝1002﹣1002+1＝1；②（60）2＝（60+2＝3600+2+＝3602．18．要说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．【解答】见解析【解析】（1）小刚：（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）小王：（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；（3）小丽：如图所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，19．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【解答】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①13；（2）﹣4036【解析】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：，把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，．②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×2020＝﹣4036．20．如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S阴影＝．方法2：S阴影＝．（2）写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为．（3）①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）＝6，则mn的值为．②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．【解答】（1）4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①40，②x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6【解析】（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a×2b＝4ab，方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，（2）由（1）可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）①由（2）得，4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2＝142﹣62＝（14+6）（14﹣6）＝20×8＝160，∴mn＝160÷4＝40，②由（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，把x+y＝10，xy＝16代入得，（x﹣y）2＝102﹣4×16＝36，∴x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6．21．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：；（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若ab＝2，a+b＝4，求a2+b2的值．【解答】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）12【解析】（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2，方法2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即，（a+b）2﹣2ab，（2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）由（2）得，ab＝2，a+b＝4，求a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12．22．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分面积为：（用a、b的代数式表示）；（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）利用（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求（x﹣y）2的值；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式；（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解答】（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）16；（4）（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab；（5）2019.5【解析】（1）图2中，阴影部分的边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，也可以从边长为（a+b）的正方形面积减去图1的面积，即（a+b）2﹣4ab＝a2+b2﹣2ab，（2）通过（1）的计算可知，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝26﹣9＝16，（4）整体长方形的面积为（3a+b）（a+b），图中八个四边形的面积和为3a2+b2+4ab，因此有：（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab，（5）如图，连接EC，则EC∥BG，如图所示：∴S△BEG＝S△CBG2，∴S2020﹣S2019＝20202﹣20192，＝2020+2019）（2020﹣2019），＝2019.5，。
初高中数学衔接课程教案初高中数学公式大全-乘法公式
乘法公式同学们,大家好:今天和大家一起来复习乘法公式.在初中我们学过这两组乘法公式:⑴平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.⑵完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.今天我们再来学习几个乘法公式,在高中会经常用到它们.⑶三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.证明:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.注:①大家要总结公式的规律,方便记忆和运用:三数和平方,等于这三个数的平方和,加上每两个数积的2倍;②如果括号里有负号,把它看作加“负数”,仍用这个公式计算.例1 计算⑴(x+2y+z)2; ⑵(m－n－3)2.解:⑴原式=x2+(2y)2+z2+2x·2y+2xz+2·2yz=x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz.⑵原式=m2+(－n)2+(－3)2+2m·(－n)+2m(－3)+2(－n)(－3)=m2+n2+9－2mn－6m+6n.例2 已知长方体的对角线长8,全面积为132,求所有棱长的和.解:设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,则对角线长a2+b2+c2=8,即a2+b2+c2=64, 全面积S=2ab+2ac+2bc=132,求所有棱长的和,即求4(a+b+c),先求a+b+c.∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=64+132=196=142,∴a+b+c=14,所有棱长的和为4(a+b+c)=4×14=56⑷立方和公式:(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3. 立方差公式:(a－b)(a2+ab+b2)=a3－b3证明:(a+b)(a2－ab+b2)=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3(a－b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2－a2b－ab2－b3=a3－b3.注:③这两个公式左边是两个数的和(或者差),与一个二次三项式相乘,其首末两项是这两个数的平方和,中间减去(或加上)它们的积,不是积的2倍,所以它不是完全平方式．．．．．．．．．．.右边是这两个数的立方和(或者立方差).大家必须抓住公式的特征,否则解题时,很容易用错.例3 计算⑴(x －3)(x 2+3x+9);⑵(2x+12)(4x 2－x+14). 解:⑴原式=x 3－33=x 3－27.⑵原式=(2x)3+(12)3=8x 3+18. 例4 下列各式,能用立方和,立方差公式计算的是__________.①(a －1)(a 2－a+1);②(x 2－y)(x 4+x 2y+y 2);③(a+b)(a 2－2ab+b 2);④(a －2b)(a 2+2ab+4b 2). 解:①中间两个符号应该异号,错;②对;③三项式中间系数应该是1,错;④对.所以选②④. ⑸两数和立方公式:(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3;两数差立方公式:(a －b)3=a 3－3a 2b+3ab 2－b 3.证明:(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a 2+2ab+b 2)(a+b)=a 3+a 2b+2a 2b+2ab 2+ab 2+b 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(a －b)3=(a －b)2(a －b)=(a 2－2ab+b 2)(a －b)=a 3－a 2b －2a 2b+2ab 2+ab 2－b 3=a 3－3a 2b+3ab 2－b 3.注:④这两个公式是先求和(或差),再立方,而立方和,立方差公式是先求立方,再求和(或差);⑤这两个公式的结果是一个三次齐次式,按照a 的降幂,b 的升幂排列,系数依次是1,3,3,1,和立方系数全正,差立方系数符号是+,－,+,－.这两个公式又称完全立方公式.例5 计算⑴(x+2)3; ⑵(3a －b)3. 解:⑴原式=x 3+3x 2·2+3x·22+23=x 3+6x 2+12x+8.⑵原式=(3a)3－3(3a)2b+3(3a)b 2－b 3=27a 3－27a 2b+9ab 2－b 3.例6 已知a+b=3,ab=1,求⑴a 2+b 2; ⑵a 3+b 3.解:⑴∵a+b=3,ab=1,∴a 2+b 2=(a+b)2－2ab=32－2=7.⑵解1:∵a+b=3,ab=1,a 2+b 2=7∴a 3+b 3=(a+b)(a 2－ab+b 2)=3(7－1)=18.如果不求a 2+b 2,还可以这样做.解2:⑵∵(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=a 3+b 3+3ab(a+b)∴a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)=33－3×1×3=18.小结:本节课我们一起复习了乘法公式,除了我们初中学过的平方差公式,完全平方公式,还有三数和平方公式,立方和、立方差公式,和立方、差立方公式,这些公式在高中都会用到.下面给大家留一份课后练习,请大家及时完成.。
乘法公式教学设计-2024年初升高数学衔接教材
1. 针对乘法公式的适用范围和条件，需要进行更深入的讲解和练习，让学生们能够熟练掌握和运用。
2. 加强对学生的个别辅导，关注那些在乘法公式理解和运用方面存在困难的学生，帮助他们提高。
4. 乘法公式的推导过程：通过观察和推理，我们可以发现平方差公式和完全平方公式的规律，并给出公式的表达式。
5. 乘法公式的运用步骤和注意事项：在运用乘法公式进行计算时，我们需要注意公式的适用范围和条件，以及公式的正确运用步骤。
6. 乘法公式解决实际问题：乘法公式不仅可以用于计算题目，还可以用于解决实际问题。我们可以运用乘法公式计算几何图形的面积、物理量的计算等问题，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
（2）引导学生总结解决实际问题的方法和步骤。
5. 课堂小结（5分钟）：引导学生回顾本节课的学习内容，巩固对乘法公式的理解和运用。
6. 作业布置（5分钟）：布置一些相关的练习题目，让学生课后巩固所学知识。
7. 课后反思（5分钟）：教师进行课后反思，总结课堂教学的优点和不足，为下一步的教学做好准备。
六、知识点梳理
三、学情分析
在教学乘法公式之前，我们对学生的层次、知识、能力、素质等方面进行了全面的了解和分析，以便更好地制定教学策略和目标。
1. 学生层次：本节课面向的是初升高阶段的学生，他们在初中阶段已经接触过一些基本的数学知识，包括代数、几何等。学生的数学基础层次参差不齐，部分学生对代数知识有一定的掌握，而部分学生可能在这方面存在不足。
（2）完全平方公式：同样引导学生通过观察和推理，发现完全平方公式的规律，并给出公式的表达式。
初高中衔接知识专题乘法公式
初高中衔接知识专题乘法公式
先来看今天的知识点：
乘法公式：
1. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b
2.
2. 立方和公式： (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b
3.
3. 立方差公式： (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
4. 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
5. 完全立方公式：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
这些公式可以用多项式乘多项式的方法，通过计算获得，亲爱的同学，你可以把这些公式作为练习，自己计算一下.
记忆这些公式时，要注意以下几点：
第一：要注意公式中有负号时，负号所处的位置.
第二：完全平方公式展开后，每一项的次数都是2，如果某一项里面有两个字母，它的系数也是2，如： 2ab；如果某一项是单独一个字母的平方，它的系数是1，如： a2.
完全立方公式与此类似.
有“负号”的那个完全立方公式，展开后，如果某一项含有b的奇数次方，这一项的符号就是“负号”. 如： -3a2b，因为它含有b的一次方，所以它的符号是“负号”.
千万不要小看上面的这两道例题哦，它们不但经常会出现在初中的一些探究题中，而且可以作为最基本的模型，在高中的好多知识模块中都能用到. 亲爱的同学，你一定要好好琢磨这两道例题的特点和解法，最好能自己再做一遍.。
初升高衔接乘法公式与因式分解演示文稿
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练习2 计算 : ( x 1)( x - 1)( x2 x 1)( x2 x 1)
解法一：原式=（x2 -1）（ x2 1）2 -x2 =（x2 -1)( x4 x2 1) =x6 -1
初升高衔接乘法公式与因式分 解演示文稿
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优选初升高衔接乘法
公式与因式分解Ppt
第二页，总共二十五页。
初中所学过的乘法公式：
1、平方差公式
(a b)(a b)=a2 b2
2、完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)2 a2 2ab b2
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因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公
因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公 式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法 、配方法、拆(添)项法等等．
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一、公式法(立方和、立方差公式)
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
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因式分解： 2x2 4xy 2 y2 8z2 解 2x2 4xy 2 y2 8z2 2(x2 2xy y2 4z2 )
： 2[(x y)2 (2z)2 ]
2(x y 2z)(x y 2z)
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三、十字相乘法 1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
1 2
5 4
第二十二页，总共二十五页。
数学教案高中乘法公式汇总
数学教案高中乘法公式汇总主题：乘法公式汇总教学目标：1. 熟练掌握高中乘法公式的运用；2. 理解并掌握乘法公式的推导过程；3. 能够灵活运用乘法公式解决实际问题。
教学内容：1. 乘法的基本概念；2. 乘法公式的应用；3. 乘法公式的推导。
教学重点：1. 熟练掌握常见乘法公式；2. 灵活运用乘法公式解决问题。
教学难点：1. 掌握乘法公式的推导过程；2. 利用乘法公式解决实际问题的能力提升。
教学方法：1. 探究式教学；2. 合作学习。
教学过程：一、乘法的基本概念（5分钟）1. 引导学生回顾乘法的定义；2. 介绍乘法的基本性质。
二、乘法公式的应用（15分钟）1. 讲解常见乘法公式的应用；2. 练习乘法公式的运用。
三、乘法公式的推导（20分钟）1. 讲解乘法公式的推导过程；2. 举例说明乘法公式的推导。
四、练习与巩固（15分钟）1. 给学生一些练习题，巩固所学知识；2. 解答学生提出的问题。
五、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考乘法公式在实际生活中的应用；2. 提出拓展问题，让学生独立思考。
六、总结与反思（5分钟）1. 对本节课所学内容进行总结；2. 学生进行自我反思，指出需要加强的地方。
教学反馈：1. 学生表现出对乘法公式的理解程度；2. 学生在练习中的表现；教学资料：1. 乘法公式的应用举例；2. 乘法公式推导过程的教学讲义；3. 练习题及答案。
教学评估：1. 学生在练习中的表现；2. 学生对乘法公式推导的理解程度。
（注：本教案仅供参考，教师可根据实际情况进行调整和修改。
）。
初三升高一数学衔接教学教案——初三知识汇总,高一数学提前预习(教师版教案)
第二讲 函数与方程——一元二次方程练习题
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况 是（ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程 的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第一讲 数与式
1．2 分解因式
初中升高中数学衔接
初中数学知识汇总，高一数学提前预习
第一讲 数与式
1．2 分解因式
第一讲 数与式
1．2 分解因式
第一讲 数与式
1．2 分解因式
初中升高中数学衔接
初中数学知识汇总，高一数学提前预习
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第二讲 函数与方程
第一讲 数与式
1.1.3．二次根式第源自讲 数与式1.1.3．二次根式
第一讲 数与式
初高中数学衔接一：乘法公式
第一节 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++；（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数3. 计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)（3）(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2 （4）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．4.已知x +y =10，x 3+y 3=100，求x 2+y 2的值；5.观察下列各式：()()()()()()x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-111111111223324……由猜想到的规律可得()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________。
初高中常用的乘法公式
初高中常用的乘法公式在初高中的数学学习中，乘法是一个基本的运算，而乘法公式又是乘法运算的重要基础。
下面是一些初高中常用的乘法公式：1.两个数相乘的基本原则：a×b=b×a，即乘法交换律。
2.乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)，即三个或多个数相乘时，它们的积不受乘法顺序的影响。
3.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c，即一个数与两个数的和相乘，等于分别与这两个数相乘再相加。
(a+b)×c=a×c+b×c，即两个数的和与另一个数相乘，等于分别与这两个数相乘再相加。
4.平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，即一个两项式的平方等于它的第一项的平方加上两倍的第一项与第二项的乘积加上第二项的平方。
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2，即一个两项式的平方等于它的第一项的平方减去两倍的第一项与第二项的乘积加上第二项的平方。
5.乘法中的零公式：a×0=0，即任何数与0相乘，结果都为0。
6.乘法中的1公式：a×1=a，即任何数与1相乘，结果都为它本身。
7. Sum of Two Squares（两数平方和）：若一个数等于两个整数的平方和，则它必定是两个整数的乘积。
8.根据乘积的性质来约分：若a×b=a×c，则b=c（若a不为0）；若a×b=c×a，则b=c（若a不为0）。
除了这些常用的乘法公式，还有一些特殊的乘法公式：9.乘方公式：a^2=a×a，即一个数的平方等于它与自己相乘。
a^3=a×a×a，即一个数的立方等于它自己与自己相乘再与自己相乘。
a^4=a×a×a×a，即一个数的四次方等于它自己与自己相乘再与自己相乘再与自己相乘。
初升高数学衔接班教案(教师版)乘法公式数与式
乘法公式一、【归纳初中知识】在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便，初中我们主要学习了两个基本乘法公式：①平方差公式：22))((bababa-=-+①完全平方公式：2222)(bababa+±=±在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例2的思想来研究上述公式的几何维度解析。
你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？例1：利用几何图形证明当0,>ba时，2222)(bababa++=+解析：由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子：⎪⎩⎪⎨⎧±=±±=+abbabaabbaba4)()(2)(22222，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换在高中数学当中是一个非常重要的工具。
二、【衔接高中知识】高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有很强的代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼： ①完全立方和公式：33223()33a b a a b ab b +=+++①完全立方差公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-公式③、③我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢？①立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+①立方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-最后，我们再填补三数平方和的公式：①三数平方和：)(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++三、 【例题精讲】例1：观察下列算式：81322=-163522=-245722=-327922=-（1）按照上述规律续写2个式子；（2）用文字反应出上述式子的规律；（3）证明你所发现规律的正确性；答案：（1）4091122=- 48111322=-（2）任意相邻奇数之差为8的倍数（本题是大数减小数）（3）n n n 8)12()12(22=--+例2：观察下列算式：71233=-192333=-373433=-614533=-（1）按照上述规律续写两个式子；（2）求33332017201820192020+--答案：（1）915633=- 1276733=-（2）由题意可知，连续相邻自然数的立方差具有规律，则从此入手。
初升高数学衔接课程
初升高中衔接教程数学第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念}6x<．【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等， 即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集第6讲集合的基本运算变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.知识点三、补集【内容概述】1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.3.对补集定义的理解要注意以下几点：（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.4.集合图形，理解补集的如下性质：（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B【典型例题】例5.设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.变式2：设集合}123|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ， 则)()(N C M C U U =__________________.例6.已知全集R U =，}12|{},523|{≤≤-=+<<=x x P a x a x M ，若P C M U ⊂，求实数a 的取值范围.变式1：已知集合},0624|{2R x m mx x x A ∈=++-=，},0|{R x x x B ∈<=，若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.变式2：已知集合}50|{≤-<=a x x A ，}62|{≤<-=x a x B . （1）若A B A = ，求a 的取值范围；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.例7.学校50名学生调查对A 、B 两个事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对第7讲集合的综合复习第8讲函数的概念与定义域。
新高一衔接教材数学学案第一讲 乘法公式
新高一衔接教材数学学案第一讲 乘法公式一、知识要点我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 __________________________________;（2）完全平方公式．__________________________________;在高中还经常用到下列一些乘法公式，需要熟记与运用.（1）立方和公式__________________________________；证明:（2）立方差公式 __________________________________;（3）三数和平方公式__________________________________;证明.（4）两数和立方公式__________________________________;（5）两数差立方公式__________________________________;对上面列出的其他三个公式，同学们可以自己去证明．二、例题讲练例1计算：22)312(+-x x解说明 多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．例2 （I ）计算： （1）.__________)964)(32(22=+-+y xy x y x （2）._____)964)(32(2=++-x x x （3）.___________)916141(31212=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m （4）._______))()()((2222=++-+-+b ab a b a b ab a b a（II ）利用立方和、立方差公式进行因式分解（1）._______________2733=-n m （2）.________________812733=-n m （3）.____________1253=-x （4）.________________________66=-n m 说明 1、在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构；2、为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数，1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．即____;14____;13____;12____;112222==== ._____20____;19____;18____;17____;1622222=====._____9____;8____;7___;6_____;5___;4____;3____;233333333========._____2____;2____;2___;2_____;2___;2____;2____;298765432========例3 已知2310x x -+=，求331x x +的值． 解.说明 本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．例4 已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解说明 注意字母的整体代换技巧的应用．三、备用练习1.若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ）. A.2m B.214m C.213m D.2116m 2.不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）. A.总是正数 B.总是负数 C.可以是零 D.可以是正数也可以是负数3.填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．（4）_____;2_____;2_____;2_______;2____;265432=====.__________2________;2_______;2______;210987====4.已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．5.已知1x y +=，求333x y xy ++的值．。
乘法公式课件-2024年初升高数学教材衔接衔接
（4）完全平方公式 （5）三数和平方公式
(a b)2 a2 2ab b2
三数平方和+三数两两积的2倍
(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac)
（6）两数和立方公式 （7）两数差立方公式
初高中教材衔接
第一课时 乘法公式与根式
乘法公式的应用
一、乘法公式
（1）平方差公式 （2）立方差公式
（3）立方和公式
a2 b2 (a b)(a b)
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 两数差乘以两数平方和+两数积 an bn (a b)(an1 an2b …… abn2 bn1)
(a b)3 aห้องสมุดไป่ตู้ 3a2b 3ab2 b3
一降一升一三一，左加右边是正号，左减右边正负间
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
乘法公式的应用
例1：计算 （1）(4 m)(16 4m m2 ) （2）(1 m 1 n)( 1 m2 1 mn 1 n2 )
5 2 25 10 4
解：a2 2b2 2a 6b 7 (a2 2a 1)+2(b2 3b 9) 3
(a 1)2 2(b 3)2 3 3 0 2 22
42
选A
根式
根式
拓展知识
根式
例3
根式
双重二次根式
根式
根式
根式
根式
根式
根式
例7
根式
8
根式
8
根式
8
（3）(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)
（4）(x2 2xy y 2 )( x2 xy y 2 )2
暑期初高中数学衔接讲义+乘法公式知识梳理
乘法公式知识梳理在初中阶段，我们已经学习过了一些乘法公式：(1) 平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；(2) 完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．进入高中后，我们将会面临更复杂的计算，会用到更多的乘法公式：(3) 三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++(4) 两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；(5) 两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-;(6) 立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；(7) 立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-.高中阶段乘法公式证明：对于（3）（4）的证明，只需展开计算即可.（3）：)(2))(()(2222222bc ac ab c b a c cb ca bc b ba ac ab a c b a c b a c b a +++++=++++++++=++++=++（4）：322332222322233322))(2()()()b ab b a a b ab ab b a b a a b a b ab a b a b a b a +++=+++++=+++=++=+（对于（6），可以由（4）变形得到.（6）：))((]3))[(()(3)(33)(33)22232233332233ab b a b a ab b a b a b a ab b a ab b a b a b a b ab b a a b a -++=-++=+-+=--+=+⇔+++=+（对于（5）和（7），只需分别将（4）和（6）中的b 替换为−b 即可。
乘法公式的常用变形公式：（1）222()2a b a b ab +=+-；（2）222()2a b a b ab +=-+； （3）333()3()a b a b ab a b +=+++； （4）333()3()a b a b ab a b +=+-+.例题讲解例1：计算22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++.解：（方法一）原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．（方法二）原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2：已知7,12x y xy +==，求22x y +的值. 解：∵7,12x y xy +==，∴2222()2721225x y x y xy +=+-=-⨯=例3：已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x -． 解：当0=x 时，00132=≠-+x x x ，不是它的根，故0≠x 化简，得313101322-=--=-=-+x x x x x x ，，（1）112)32)1(12)1(122222=+-=+-=+-=+（x x x x x x x x （2）36)111(3)11)(1(1-2233-=+-=++-=x x x x x x自我检测一、化简22222))(2(y xy x y xy x +-++.二、已知22169x y +=， 7x y -=，求xy 的值.三、已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值.四、已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +．参考答案一、原式=633623322222222)()])([()()y y x x y x y xy x y x y xy x y x ++=+=+-+=+-+（二、60,1207169)()(22222==-=--+=xy y x y x xy 三、2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++= 四、 （1）7232)1(12)1(122222=-=-+=-+=+x x x x x x x x （2）18)17(3)11)(1(12233=-=+-+=+x x x x x x。
高一数学衔接教材 绝对值乘法公式
诚西郊市崇武区沿街学校南江四中高一数学初高中衔接教材：绝对值、乘法公式绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的间隔． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的间隔．例1、 解不等式：|x |1≥ 例2、 解不等式：|1|2x -≤你自己能总结出一般性的结论吗例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①假设1<x，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x＜0； ②假设12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ； ③假设3x≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x≥3， ∴x＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或者者x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的间隔|PA|，即|PA|＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的间隔|PB|，即|PB|＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或者者点P 在点D(坐标为4)的右侧． x ＜0，或者者x ＞4． 练习 1．填空题： 〔1〕假设5=x ，那么x=_________；假设4-=x ，那么x=_________.〔2〕假设5=+b a ，且1-=a ，那么b ＝________；假设21=-c ，那么c ＝________2．选择题：以下表达正确的选项是〔〕 〔A 〕假设a b =，那么a b =〔B 〕假设a b >，那么a b > 〔C 〕假设a b <，那么a b <〔D 〕假设a b=，那么ab =±3．化简：|x －5|－|2x －13|〔x ＞5〕． 4．解以下不等式：〔1〕3233x x ++-≥ 〔2〕134x x +-->-(二)乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式： 〔1〕平方差公式22()()a b a b a b +-=-；1x0 4x|x －1||x －3|图1．1－1〔2〕完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式： 〔1〕立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式2233()()a b aab b a b -++=-；〔3〕三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；〔4〕两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++； 〔5〕两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x-．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x-．例24a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习： 1．填空题：〔1〕221111()9423a b b a -=+〔〕； 〔2〕(4m +22)164(m m =++)；(3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题： 〔1〕假设212xmx k ++是一个完全平方式，那么k 等于〔〕〔A 〕2m 〔B 〕214m 〔C 〕213m 〔D 〕2116m 〔2〕不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值〔〕〔A 〕总是正数〔B 〕总是负数〔C 〕可以是零〔D 〕可以是正数也可以是负数。
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乘法公式
同学们,大家好:
今天和大家一起来复习乘法公式.在初中我们学过这两组乘法公式:
⑴平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.
⑵完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
今天我们再来学习几个乘法公式,在高中会经常用到它们.
⑶三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
证明:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
注:①大家要总结公式的规律,方便记忆和运用:三数和平方,等于这三个数的平方和,加上每两个数积的2倍;
②如果括号里有负号,把它看作加“负数”,仍用这个公式计算.
例1 计算⑴(x+2y+z)2; ⑵(m－n－3)2.
解:⑴原式=x2+(2y)2+z2+2x·2y+2xz+2·2yz=x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz.
⑵原式=m2+(－n)2+(－3)2+2m·(－n)+2m(－3)+2(－n)(－3)=m2+n2+9－2mn－6m+6n.
例2 已知长方体的对角线长8,全面积为132,求所有棱长的和.
解:设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,则对角线长a2+b2+c2=8,即a2+b2+c2=64, 全面积S=2ab+2ac+2bc=132,求所有棱长的和,即求4(a+b+c),先求a+b+c.
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=64+132=196=142,
∴a+b+c=14,所有棱长的和为4(a+b+c)=4×14=56
⑷立方和公式:(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3. 立方差公式:(a－b)(a2+ab+b2)=a3－b3
证明:(a+b)(a2－ab+b2)=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3
(a－b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2－a2b－ab2－b3=a3－b3.
注:③这两个公式左边是两个数的和(或者差),与一个二次三项式相乘,其首末两项是这
两个数的平方和,中间减去(或加上)它们的积,不是积的2倍,所以它不是完全平方式
．．．．．．．．．．.
右边是这两个数的立方和(或者立方差).
大家必须抓住公式的特征,否则解题时,很容易用错.
例3 计算⑴(x －3)(x 2+3x+9);
⑵(2x+12)(4x 2－x+14
). 解:⑴原式=x 3－33=x 3－27.
⑵原式=(2x)3+(12)3=8x 3+18
. 例4 下列各式,能用立方和,立方差公式计算的是__________.
①(a －1)(a 2－a+1);②(x 2－y)(x 4+x 2y+y 2);③(a+b)(a 2－2ab+b 2);④(a －2b)(a 2+2ab+4b 2). 解:①中间两个符号应该异号,错;②对;③三项式中间系数应该是1,错;④对.所以选②④. ⑸两数和立方公式:(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3;
两数差立方公式:(a －b)3=a 3－3a 2b+3ab 2－b 3.
证明:(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a 2+2ab+b 2)(a+b)=a 3+a 2b+2a 2b+2ab 2+ab 2+b 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3
(a －b)3=(a －b)2(a －b)=(a 2－2ab+b 2)(a －b)=a 3－a 2b －2a 2b+2ab 2+ab 2－b 3
=a 3－3a 2b+3ab 2－b 3.
注:④这两个公式是先求和(或差),再立方,而立方和,立方差公式是先求立方,再求和(或
差);
⑤这两个公式的结果是一个三次齐次式,按照a 的降幂,b 的升幂排列,系数依次是1,3,3,1,和立方系数全正,差立方系数符号是+,－,+,－.这两个公式又称完全立方公式.
例5 计算⑴(x+2)3; ⑵(3a －b)3. 解:⑴原式=x 3+3x 2·2+3x·22+23=x 3+6x 2+12x+8.
⑵原式=(3a)3－3(3a)2b+3(3a)b 2－b 3=27a 3－27a 2b+9ab 2－b 3.
例6 已知a+b=3,ab=1,求⑴a 2+b 2; ⑵a 3+b 3.
解:⑴∵a+b=3,ab=1,∴a 2+b 2=(a+b)2－2ab=32－2=7.
⑵解1:∵a+b=3,ab=1,a 2+b 2=7∴a 3+b 3=(a+b)(a 2－ab+b 2)=3(7－1)=18.
如果不求a 2+b 2,还可以这样做.
解2:⑵∵(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=a 3+b 3+3ab(a+b)
∴a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)=33－3×1×3=18.
小结:本节课我们一起复习了乘法公式,除了我们初中学过的平方差公式,完全平方公式,还有三数和平方公式,立方和、立方差公式,和立方、差立方公式,这些公式在高中都会用到.
下面给大家留一份课后练习,请大家及时完成.。