平行四边形和三角形的中位线专题培优

平行四边形和三角形的中位线（二)
1、如图，过□ABCD内一点P作边的平行线EF、GH，若S四边形PHCF
＝5,Ｓ四边形ＰGAE=3，则S△PBD=____＿_＿＿_．
2、如图，□ABCD中,M、N分别是ＡＤ、ＡB上的点,且BM＝ＮD,
其交点为Ｐ，求证：∠ＣPB＝∠ＣPD．
３、已知等腰△EAD和等腰△CAB,EA=ＥＤ，CA=CB，∠AED=∠ACB=α，以线段AC、AＥ为边作平行四边形ＡＣＦＥ,连接BF、DF.
(1）如图1，当α＝９0°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数；
（2）如图２，当０°<α<９０°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数．
４、如图1,在△O ＡB 中，∠OAB=900,∠AOB=300,OB ＝８.以OB 为边，在△OAB 外作等边△ＯBC,D 是ＯB 的中点,连接A Ｄ并延长交O Ｃ于Ｅ. (１）求证：四边形ＡB ＣE 是平行四边形；
(２)如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为FG,求ＯG 的长。

5、如图,△ＡＢC 中,∠A ＣB ＝90°，C Ｄ⊥AB 于D ，A Ｅ平分∠BAC ，交C Ｄ于Ｋ，交BC 于E ，F 为BE 上一点且B Ｆ＝CE ，求证:F Ｋ∥ＡＢ.
6、四边形ABCD 中,A Ｄ∥BC,(１)如图1,若Ｅ、F 分别是A Ｂ、ＣD 的中点，求证:EF=
2
1
(AD+BC ） (2）如图,2,若G 、H 分别是A Ｂ、C Ｄ的中点，求证：ＧＨ<
2
1
(A Ｂ+ＣD) (3)如图3，连接AC 、B Ｄ，若M 、Ｎ分别是ＡC 、BD 的中点,求证：MN ＜2
1
(BC —ＡD)
7、如图,点Ｐ是四边形ＡＢＣD的对角线ＢD的中点,Ｅ，F分别是ＡB,CＤ的中点,AＤ=BC，∠ＣBD=45∘．∠ADＢ=105∘，试探究ＥF与PF之间的数量关
系，并证明。

8、如图,将△ABＣ的边AＢ绕点A顺时针旋转角α得到线段AＤ，同时边ＡC绕点Ａ逆时针旋转角α得线段AE(α≠1８０°-∠BＡC)，连接BＤ、CE,分别作BＤ、ＢC、ＣE中点，Ｍ、P、N，连接MP、PN．
(1)如图1,若α＝60°时，∠MPN=__＿_____;
（２)改变旋转方向,如图2,边AＢ绕点A逆时针旋转角α得ＡD,边AC绕点Ａ顺时针旋转角α得到线段AE，其余条件不变，写出∠MPN与α之间的关系，并证明.
9、如图，在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰Ｒt △A ＢM 和等腰Ｒt △CA Ｎ，P 是边BC 的中点，求证:PM=PN.
10、如图,在△ＡBC 中，D 、E 是AC 、BC 的中点，ＢＦ=3
1
AB,ＢD 与ＦC 相交于G,连接EG,求证:EG ∥ＡＣ.
1１、已知在△ＡBC 中,AF 、BE 分别是中线,且相交于点Ｐ,记AB ＝ｃ,BC=a,ＡC ＝b ，如图．ﻫ(１） 求证：A Ｐ＝２PF ，BP ＝2PE;ﻫ(２) 如图（2)，若AF ⊥ＢE 于Ｐ,试探究a 、ｂ、c 之间的数量关系;
（３) 如图(3),在平行四边形ABCD 中,点E 、F 、G 分别是ＡＤ、ＢC 、CD 的中点，ＢE ⊥EG ，ＡD=４，AB ＝６,求A Ｆ的长．ﻫ
12、如图,△ABＣ中，∠ＡＣB=９00,BC＝6，AC＝8,将△AＢC绕C点按逆时针方向旋转角得到△DEＣ,设ＡD交ＥB于P,Q是BC的中点,连接PQ，在旋转过程中,求:（１)∠BＰA的度数(2)PQ 的最大值
反馈练习
１．如图，□ABCＤ的周长为３２cm,AB：BC=5：3，AE⊥CＢ的延长
线于E ，AF ⊥C Ｄ的延长线于Ｆ,∠E ＡF =2∠C ，求A Ｂ、BC 、AE 、AF 的长.
2、如图,□ABC Ｄ中,∠Ａ与∠D 的平分线交于点Ｅ,∠B 与∠C 的平分线交于点F ，求证:EF +BC =AB
3、如图，在四边形ABCD 中，Ｐ是对角线ＢD 的中点，E 、F 分别是ＡB 、C
Ｄ的中点，ＡD =BC ,∠PE Ｆ=18°，求∠EPF .
４、已知△A ＢC 中,A Ｂ=10,ＡC=7,AD 是角平分线，C Ｍ⊥AD 于M,且N 是BC 的中点。

求ＭN 的长。

710
12
A C
M
５、已知M是线段ＡB的中点，从AB上另一点C任意引线段ＣD，设CD的中点为N，ＢD的中点为P，ＭＮ的中点为Ｑ,求证：直线PQ平分线段AC.。