概率论与数理统计课后答案第7章

第7章 假设检验

7.1 设总体2

(,)N ξ

μσ~，其中参数μ

，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些

是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0

H μ

=.

解：（1）是简单假设，其余位复合假设

7.2 设1225,,,ξξξ 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题

0010

:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥ ，试决定常数c

，使检验的显著性水平为0.05

解：因为(,9)

N ξ

μ~，故9(,

)25

N ξ

μ~

在0H 成立的条件下，

000

53(||)(||)

53521()0.05

3c P c P c ξμξμ-≥=-≥⎡

⎤=-Φ=⎢⎥⎣⎦

55(

)0.975,

1.96

3

3c c Φ==，所以c =1.176。

7.3 设子样1225,,,ξξξ 取自正态总体

2

0(,)N μσ，2

σ已知，对假设检验

001

0:,:H H

μμμμ

=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=> ，

（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；

（2）设0μ=0.05，20σ=0.004，α=0.05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误的概率。

解：（1）在0H 成立的条件下，2

00(,

)

n

N σξ

μ~，此时

00

0000

0()c P c P n n ξμμα

ξσσ⎛⎫

--=≥=≥

⎪⎝⎭

所以，

00

10

c n α

μμσ--=，由此式解出00

10c n

ασμμ-=

+

在1H 成立的条件下，2

0(,)

n

N σξ

μ~，此时

01010

1000

010

()(

)(

)

()

c P c P n n c n

n n n ααμ

ξμβξσσσμμμμ

σσμμμσ--⎛⎫--=<=<

⎪⎝

⎭

+--=Φ=Φ-=Φ-

由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为

010

0.9511()

0.650.51(3)

0.2

1(0.605)(0.605)0.7274

n αμμβμσμ---=-Φ-

-=-Φ-

=-Φ-=Φ=

7.4 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()

f x 的母体，对

()

f x 考虑统

计假设：

0011101

201

:():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨

⎨⎩⎩其他

其他

试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2m in

αβ+=，并求其最小值。

解 设检验函数为

1()0x c x φ∈⎧=⎨

⎩其他

（c 为检验的拒绝域）

0101011

1

1

2()2()

()2[1()]()2[1()]

()2(12())

2(14)()P x c P x c P x c P x c E x E x x d x x x d x x x d x

αβφφφφφ+=∈+∈=∈+-∈=+-=

+-=+

-⎰⎰⎰

要使2m in

α

β+=，当140

x

-≥时，()0

x φ=

当140

x

-<时，()1x φ=

所以检验函数应取114

()104

x x x φ⎧

≤⎪⎪=⎨

⎪>⎪⎩，此时，1

722(14)8

x d x α

β+=+

-=

⎰。

7.5 设某产品指标服从正态分布，它的根方差σ已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时? 解 总体2

(,150)N ξ

μ~，对假设，0:1600H μ=，采用

U 检验法，在0H 为真时，

检验统计量

- 1.2578

x u n μσ=

=

临界值1/2

0.975 1.96

u u α-==

1/2||u u α-<，故接受0

H 。

7.6 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，根方差保持在0.06Ω，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62Ω，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平α=0.01。 解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量ξ，则E ξμ

=未知，2

(0.06)

D ξ

=，

假设为 0: 2.64H μ=，统计量

- 3.33

u

n ξμσ

=

=-