概率论与数理统计第四版课后习题答案
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概率论与数理统计课后习题答案
第七章参数估计
1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm 计) 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S 2。
解:μ,σ2
的矩估计是
61
22
106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑n
i i x X n X σμ
621086.6-⨯=S 。
2.[二]设X 1,X 1,…,X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
(1)⎩
⎨⎧>=+-其它,0,)()1(c
x x c θx f θθ
其中c >0为已知,θ>1,θ为未知参数。
(2)⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=-.,01
0,)(1其它x x θx f θ
其中θ>0,θ为未知参数。
(5)()p p m x p p
x X P x m x
m
x
,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。
解:(1)X c
θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc
θ
θ
=--=-==
=+-∞+-∞+∞
-⎰
⎰
1
,11)()(1令,
得c
X X
θ-=
(2),1)()(10
+=
=
=
⎰
⎰
∞+∞
-θθdx x
θdx x xf X E θ
2
)1(,1
X X θX θθ-==+得令
(5)E (X ) = mp
令mp = X , 解得m
X p
=ˆ 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解:(1)似然函数
1211
)()()(+-===
∏θn θ
n n n
i i
x x x c
θ
x f θL
0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1
1
=-
+=-++=∑∑
==n
i i
n
i i x
c n n θθ
d θL d x θc θn θn θL
∑=-=
n
i i
c
n x
n
θ1
ln ln ˆ (解唯一故为极大似然估计量)
(2)∑
∏=--
=-+-===
n
i i θn n n
i i
x θθn
θL x x x θ
x f θL 1
1
211
ln )1()ln(2)(ln ,)
()()(
∑∑====+⋅-=n
i i
n
i i
x n θ
x
θ
n θL d 1
2
1
)
ln (ˆ,0ln 21
12)(ln 。(解唯一)故为极大似然估
计量。
(5)∑∑==-
=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===
∏
n
i n
i i
i
x mn x n n
i i p p
x m x m x X P p L 1
1
)1(}{)(11
,
()),1ln()(ln ln )(ln 1
1
1
p x mn p x
p L n
i i n
i i
n
i m x i
--
++=
∑∑∑===
01)
(ln 1
1
=---
=∑∑==p
x
mn p
x
dp
p L d n
i i
n
i i
解得m
X mn
x
p n
i i
=
=
∑=2
,
(解唯一)故为极大似然估计量。 4.[四(2)] 设X 1,X 1,…,X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解:(1)矩估计X ~ π (λ ),E (X )= λ,故λˆ=X 为矩估计量。
(2)极大似然估计λn n x n
i i e x x x λλx P λL n
i i
-=∑==
=
∏
!
!!);()(2111
,
λn x λx
λL n
i i
n
i i
--
=
∑∑==1
1
!ln ln )(ln
X λn λ
x
λ
d λL d n
i i
==-=∑=ˆ,0)
(ln 1
解得为极大似然估计量。