概率论与数理统计第四版课后习题答案

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概率论与数理统计课后习题答案

第七章参数估计

1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm 计) 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S 2。

解:μ,σ2

的矩估计是

61

22

106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑n

i i x X n X σμ

621086.6-⨯=S 。

2.[二]设X 1,X 1,…,X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。

(1)⎩

⎨⎧>=+-其它,0,)()1(c

x x c θx f θθ

其中c >0为已知,θ>1,θ为未知参数。

(2)⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤=-.,01

0,)(1其它x x θx f θ

其中θ>0,θ为未知参数。

(5)()p p m x p p

x X P x m x

m

x

,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。

解:(1)X c

θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc

θ

θ

=--=-==

=+-∞+-∞+∞

-⎰

1

,11)()(1令,

得c

X X

θ-=

(2),1)()(10

+=

=

=

∞+∞

-θθdx x

θdx x xf X E θ

2

)1(,1

X X θX θθ-==+得令

(5)E (X ) = mp

令mp = X , 解得m

X p

=ˆ 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

解:(1)似然函数

1211

)()()(+-===

∏θn θ

n n n

i i

x x x c

θ

x f θL

0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1

1

=-

+=-++=∑∑

==n

i i

n

i i x

c n n θθ

d θL d x θc θn θn θL

∑=-=

n

i i

c

n x

n

θ1

ln ln ˆ (解唯一故为极大似然估计量)

(2)∑

∏=--

=-+-===

n

i i θn n n

i i

x θθn

θL x x x θ

x f θL 1

1

211

ln )1()ln(2)(ln ,)

()()(

∑∑====+⋅-=n

i i

n

i i

x n θ

x

θ

n θL d 1

2

1

)

ln (ˆ,0ln 21

12)(ln 。(解唯一)故为极大似然估

计量。

(5)∑∑==-

=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===

n

i n

i i

i

x mn x n n

i i p p

x m x m x X P p L 1

1

)1(}{)(11

()),1ln()(ln ln )(ln 1

1

1

p x mn p x

p L n

i i n

i i

n

i m x i

--

++=

∑∑∑===

01)

(ln 1

1

=---

=∑∑==p

x

mn p

x

dp

p L d n

i i

n

i i

解得m

X mn

x

p n

i i

=

=

∑=2

(解唯一)故为极大似然估计量。 4.[四(2)] 设X 1,X 1,…,X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。

解:(1)矩估计X ~ π (λ ),E (X )= λ,故λˆ=X 为矩估计量。

(2)极大似然估计λn n x n

i i e x x x λλx P λL n

i i

-=∑==

=

!

!!);()(2111

λn x λx

λL n

i i

n

i i

--

=

∑∑==1

1

!ln ln )(ln

X λn λ

x

λ

d λL d n

i i

==-=∑=ˆ,0)

(ln 1

解得为极大似然估计量。

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