高二数学基本初等函数的导数公式
1.2.1基本初等函数的导数公式
x
x
x
x x x x x x
x x x x
1
,
x x x
所以y lim y lim
x x0
x0
1 x x
1. x 2x
探究点2 基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c(c为常数),则 f ' (x) = 0 ； （2）若f(x)=xa (a∈Q*),则 f ' (x) = x1 ； （3）若f(x)=sin x,则 f ' (x) = cos x ； （4）若f(x)= cos x,则 f ' (x) = -sin x ； （5）若f(x)=ax,则 f ' (x) = axln a ；
（6）若f(x)=ex,则f′(x)=__e__x_;
1 （7）若f(x)=logax,则f′(x)=__x_l_n_a__;
1 （8）若f(x)=ln x,则f ′(x)=___x___.
解：由导数公式：p '(t) 1.05t ln1.05 所以p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年）
【总结提升】
(1)用导数的定义求导是求导数的基本方法， 但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以 简化求导过程，降低运算难度． (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特 征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构 进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利 用幂函数的求导公式求导．
【总结提升】
(3) f ( x) ex x,则f '( x)等于 _e_x_+__1_;
f（' 1）等于 _e__+_1__
(4)曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于__3__．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
高中数学《基本初等函数的导数》知识点讲解及重点练习
§5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数学习目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝x 3 f ′(x )＝3x 2 f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．若f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( √ )3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若y ＝sin 60°，则y ′＝cos 60°.( × )一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 0； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫13x； (3)y ＝lg x ； (4)y ＝x 2x ；(5)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)y ′＝0.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫13x ln 13＝－⎝⎛⎭⎫13x ln 3. (3)y ′＝1x ln 10.(4)∵y ＝x 2x＝32,x∴31223322y'x 'x x ⎛⎫===. ⎪⎝⎭(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．(3)要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝2 020； (2)y ＝13x 2；(3)y ＝4x ； (4)y ＝log 3x .解 (1)因为y ＝2 020， 所以y ′＝(2 020)′＝0. (2)因为y ＝13x 2＝23x -，所以y ′＝251332233.x x ---=-－ (3)因为y ＝4x ， 所以y ′＝4x ln 4. (4)因为y ＝log 3x ， 所以y ′＝1x ln 3. 二、利用导数研究曲线的切线方程例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 延伸探究求曲线y ＝ln x 的过点O (0,0)的切线方程．解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1x 0.又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练2 (1)函数y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为( ) A ．y ＝12x －16 B ．y ＝12x ＋16 C ．y ＝－12x －16 D ．y ＝－12x ＋16答案 A解析 因为y ′＝3x 2， 当x ＝2时，y ′＝12， 故切线的斜率为12， 切线方程为y ＝12x －16.(2)已知曲线y ＝ln x 的一条切线方程为x －y ＋c ＝0，求c 的值． 解 设切点为(x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 得y ′＝1x.因为曲线y ＝ln x 在x ＝x 0处的切线方程为x －y ＋c ＝0，其斜率为1. 所以0=|x x y'＝1x 0＝1，即x 0＝1， 所以切点为(1,0)． 所以1－0＋c ＝0， 所以c ＝－1.利用导数公式求切点坐标问题典例 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 解 由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点， ∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的切线斜率为k ＝y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.故可得P (1,1)，∴与直线l 平行的抛物线的切线方程为2x －y －1＝0. 故P (1,1)点即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大．[素养提升] (1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． (2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．1．给出下列命题： ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于①，y ′＝0，故①错；对于②，∵y ′＝－2x 3，∴y ′|x ＝3＝－227，故②正确；显然③，④正确．2．已知f (x )＝x ，则f ′(8)等于( ) A ．0 B ．2 2 C.28D ．－1 答案 C解析 f (x )＝x ，得f ′(x )＝1212x -，∴f ′(8)121=828⨯=-3．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 答案 ACD解析 只有B 是错误的．因为y ′132212'x 'x --⎛⎫===-= ⎪⎝⎭4．已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝ .答案 1解析 因为f (x )＝ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 ．答案 x ＋y －6＝0 解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)， 即x ＋y －6＝0.1．知识清单： (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． (3)切线方程．2．方法归纳：方程思想、待定系数法． 3．常见误区：不化简成基本初等函数.1．下列求导运算正确的是( ) A ．(cos x )′＝－sin x B ．(x 3)′＝x 3ln x C ．(e x )′＝x e x －1 D ．(ln x )′＝1x ln 10答案 A2．下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(5x 2)′352;5x -= ④(cos 2)′＝－sin 2. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 ∵②(x －1)′＝－x －2； ④(cos 2)′＝0. ∴②④错误，故选A.3．已知函数f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)，若f ′(－1)＝－4，则α的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝αx α－1，f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4， ∴a ＝4.4．若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 f ′(x )＝－sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 5．(多选)已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1) D ．(1，－1)答案 BC解析 y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 6．已知[cf (x )]′＝cf ′(x )，其中c 为常数．若f (x )＝ln 5log 5x ，则曲线f (x )在点A (1,0)处的切线方程为 ． 答案 x －y －1＝0解析 由已知得f ′(x )＝ln 51x ln 5＝1x， 所以f ′(1)＝1，在A 点处的切线方程为x －y －1＝0.7．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是 ． 答案 4解析 因为y ′＝12x，所以切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，所以a ＝4.8．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ． 答案 (1,1) 解析 设f (x )＝e x ， 则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1.设g (x )＝1x (x >0)，则g ′(x )＝－1x2.由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1. 所以P (1,1)．9．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 10．已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝⎛⎭⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解 设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为y ′＝2x ，所以k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上，所以x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12， 所以x 0＝1或x 0＝－2，则k ＝2或k ＝－4， 所以直线方程为y ＋2＝2⎝⎛⎭⎫x ＋12或 y ＋2＝－4⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即2x －y －1＝0或4x ＋y ＋4＝0.11．已知函数f (x )＝x 3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．多于2条 D ．不能确定答案 B解析 y ′＝f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，x 30)， 由3x 20＝1，得x 0＝±33， 即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处均有斜率为1的切线，故有2条． 12．若曲线y ＝x α＋1(α∈Q 且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝ . 答案 2解析 y ′＝αx α－1，所以y ′|x ＝1＝α，所以切线方程为y －2＝α(x －1)，即y ＝αx －α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.13．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，则关于x 的不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为 ．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π2＋2k π，k ∈Z 解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1， ∴由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，则sin x ＝1，解得x ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝ . 答案 sin x解析 由已知得，f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f 2 020(x )＝f 4(x )＝sin x .15．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.16．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，求a 1＋a 2＋…＋a 99的值．解 导函数y ′＝(n ＋1)x n ，切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，所以切线方程为y ＝(n ＋1)x －n ，可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1，0，则a n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.。
1.2.2导数运算法则2
语言表示：y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积
例1 求下列函数的导数
(1) y=ln(x+2)
解：（ 1 ）函数y ln(x 2)可以看作y ln u和 u x 2的复合函数，根据复合 函数求导法则有
y u yxx '' y yuu '' u u x''' x x (x x 2) 2)'' (ln (lnu u) )'' ( 1 11 1 1 1 u xx 22 u
三、复合函数的求导法则: 思考：怎样求y=ln(x+2)的导数？
1.复合函数的定义： 对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量 u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
如下函数由多少个函数复合而成：
1. y sin 2 x 2. y （ 2 x 3)
二、导数的运算法则:
f ( x ) g ( x ) f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
u yxx '' y yuu '' u y u '' ' x xx
x x ))'' sin (sinu u) )'' (( cos cosu u
12个基本初等函数的导数公式
这里将列举 12 个基本初等函数的导数以及它们的推导过程，初等函数的导数可由之计算。
函数原函数导函数
常函数
（即常
（为常数）
数）
幂函数
指数函
数
对数函
数
（且，）
正弦函
数
余弦函
数
正切函
数
余切函
数
反正弦
函数
反余弦
函数
反正切
函数
反余切
函数
口诀
为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：
常为零，幂降次，对倒数（ e 为底时直接倒数， a 为底时乘以 1/lna ），指
不变（特其余，自然对数的指数函数圆满不变，一般的指数函数须乘以 lna ）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
和导数运算法则 , 求函数 y x 2 x 3 的导数.
解 因为y x 2 x 3
' 3
'
x
3 '
2x 3
'
'
3x 2.
2
所以,函数 y x 3 2 x 3 的导数是 y ' 3x 2 2.
例 3 日常生活中的饮用水 通常是经过 净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加 .已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费 用单位 : 元为 5284 80 x 100.求净化到下纯度 c x 100 x 时, 所需净化费用的瞬时变 化率 :
1.2.2 基本初等函数的导数公 式 及导数的运算法则
为了方便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基本初等函数的导数公 式
1 . 若 f x c, 则 f ' x 0 ; 2 . 若 f x x n n N , 则 f ' x nx n 1 ; 3 . 若 f x sin x, 则 f x cos x ;
'
4 . 若 f x cos x, 则 f ' x sin x ; 5 . 若 f x a , 则 f x a ln a ;
x ' x
6 . 若 f x e x , 则 f ' x e x ;
1 7 . 若 f x log a x, 则 f x ; x ln a 1 ' 8 . 若 f x ln x, 则 f x . x
'
2. f x gx ' f ' xgx f xg' x;
高中导数公式表
高中导数公式表导数是一种非常重要的数学概念，在大学物理，化学，生物等学科中都有着广泛的应用。
它是研究表面积变化，角速度变化，声能传播等，以及其他曲线变化的重要工具。
它可以说是定量描述变化的利器。
下面我们来看看高中导数公式表。
1、基本导数公式：（1）恒定函数的导数是零：f(x)=0（2）任何一种多项式的导数等于它本身：f(x)=ax^n,其中a为常数，n为自然数，则 f(x)=anx^{n-1} （3）e为自然对数的底数，e^x导数等于本身：f(x)=e^x, f(x)=e^x（4）sin x cos x导数分别为：f(x)=sin x, f(x)=cos xf(x)=cos x, f(x)=-sin x（5）ln x导数等于 1/x：f(x)=ln x, f(x)=1/x2、基本微分链式法则：（1）链式法则初等形式：若 dz/dx=dy/dx，则 dz/dy=dz/dx×dx/dy（2）链式法则延伸形式：若 dz/dy=dz/du×du/dv×dv/dx，则dz/dx=dz/du×du/dv×dv/dx3、定义域：（1）函数在取得有效值时，它的定义域被称为有效域；（2）函数在取得无效值时，它的定义域被称为无效域；（3）定义域内的值称为定义域内值；（4）定义域外的值称为定义域外值。
4、极限：（1）极限定义：极限是指当x的取值越来越接近某一个特定的值的时候，函数的值也越来越接近某一个特定的值，这个特定的值就叫做函数的极限。
（2）极限的计算：极限的计算有两个主要的方法，一种是用数字的方法，即通过给出很多的实数值点，来估算函数的极限；另一种是用公式的方法，即通过函数曲线特性来解决极限问题。
5、微分：（1）确定微分式：微分式是求出y变化率的公式，即可以确定函数变化的速率，其根据函数本质（即模型的特性）来决定。
（2）微分的计算：可以利用解析法进行计算，也可以利用数值法近似计算，甚至可以利用机器学习算法来计算，如神经网络等。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex;
公式7.若f
(2)求 y＝1x＋x22＋x33的导数．
[解析] (1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. (2)y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数
(1)y=yx'3+s3inxx2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
1 x
B.(log
函数的单调性与导数
理解训练：
求函数 y 3 x 2 3 x 的单调区间。
1 1 令y ' 0得x , 令y ' 0得x 2 2 1 2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( , ) 2 1 单调递减区间为 ( , ) 2 变1：求函数 y 3 x 3 3 x 2 的单调区间。
1 17 1 17 当 f ( x) 0 , 即 x 时, 函 或x 2 2 数 f ( x) 单调递增; 1 17 1 17 当 f ( x) 0 , 即 时, 函数 f ( x) x 2 2 单调递减.
总结：
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
在(－ ∞,＋∞)上 是增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的 前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂 的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单.
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ ①求定义域
②求 f '( x )
③令f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递增区间
f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递减区间
④作出结论
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
题型一： 题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y = x − 2 x + 3 1 2 (2) y = − 2 ; x x x (3) y = ; 2 1− x (4) y = tan x;
3 2
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
答案: 答案 (1) y′ = 3x2 − 2;
1 4 + 3; 2 x x 1 + x2 (3) y′ = ; 2 2 (1 − x ) (2) y′ = −
1 (4) y ′ = ; 2 cos x
2
(5) y = (2 x − 3) 1 + x ; 1 (6) y = 4 ; x (7) y = x x ;
(5) y′ =
6 x3 + x 1+ x
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ′ ′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ′ ′ ′ ′ 4 2 ＝5x －9x －10x. 2 2 法一： 解：(2)法一：y′＝(2x ＋3)′(3x－2)＋(2x ＋3)(3x－2)′ 法一 ′ ′ － ＋ － ′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 － ＋ ＝18x2－8x＋9. ＋ (2)法二 ∵ ＝ 法二： 解： 法二： y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， － ＝ － ，
( Cu )′ = C u ′.
u u′v − uv′ 法则3 )′ = ( (v ≠ 0) 2 v v
u(x + ∆x) u(x) − ∆y v(x + ∆x) v(x) = ∆x ∆x u ( x + ∆ x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆ x ) = v ( x + ∆ x )v ( x )∆ x u(x + ∆x) − u(x) v(x + ∆x) − v(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = v ( x + ∆ x )v ( x )
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式的推导过程1.常数函数的导数：常数函数的导数为0。
这可以通过导数的定义来证明。
假设常数函数为f(x) = C，其中C是一个常数。
导数的定义为f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h，将f(x) = C代入该式，可得f'(x) = lim(h->0) [C - C]/h = 0。
2.幂函数的导数：幂函数的导数可以使用幂函数的定义和导数的定义来推导。
假设幂函数为f(x) = x^n，其中n是一个正整数。
根据导数的定义，可以计算出f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
将f(x) = x^n代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [(x+h)^n -x^n]/h。
可以采用二项式定理展开分子表达式：(x+h)^n = C(n, 0)x^n + C(n, 1)x^(n-1)h + C(n, 2)x^(n-2)h^2 + ... + C(n, n-1) xh^(n-1) + h^n其中C(n,k)表示从n中选取k个元素的组合数。
因此，分子展开为[(x+h)^n-x^n]/h=C(n,1)x^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)h+...+C(n,n-1)h^(n-1)+h^n可以观察到，在这个表达式中，只有第一项不含h，其他项都有h的幂次方。
因此，当h趋近于0时，这些含有h的幂次方都会趋近于0，只剩下第一项C(n, 1)x^(n-1)，即f'(x) = C(n, 1)x^(n-1) = nx^(n-1)。
3.指数函数和对数函数的导数：指数函数和对数函数的导数可以通过化简导数的定义来推导。
假设指数函数为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1、对于任意实数x和x+h，有f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
将f(x) = a^x代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [a^(x+h)-a^x]/h。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5284 2因为c 98 1321 , 2 100 98 所以, 纯净度为98%时, 费用的瞬时变化率 是1321 元 / 吨.
'
函数 f x 在某点处的导数的大小 表示函数 在 此 点附近变化的快 慢 .由上 述 计算可知,
' '
c 98 25c 90 .它表示纯净度为 98% 左 右时 净 化费用的变化率 ,大 约是 纯 净 度 为 90% 左右时净化费用变化率 的 25 倍 .这说 明,水的纯净度越高 ,需要的净化费用就越多 , 而且净化费用增加的速 度也越快.
'
4 . 若 f x cos x, 则 f ' x sin x ; 5 . 若 f x a , 则 f x a ln a ;
x ' x
6 . 若 f x e x , 则 f ' x e x ;
1 7 . 若 f x log a x, 则 f x ; x ln a 1 ' 8 . 若 f x ln x, 则 f x . x
例4
求下列函数的导数
2 0.05 x 1
解 1函数y 2x 3 可以看作函数 y u3和 u 2x 3的复合函数 . 由复合函数求导法则有
2
1 y 2 x 3 ; 2 y e ; 3 y sinπx φ 其中π, φ均为常数.
1.2.2 基本初等函数的导数公 式 及导数的运算法则
为了方便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基本初等函数的导数公 式
1 . 若 f x c, 则 f ' x 0 ; 2 . 若 f x x n n N , 则 f ' x nx n 1 ; 3 . 若 f x sin x, 则 f x cos x ;
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式的推导过程一、幂函数的导数公式：考虑函数y=x^n，其中n是实数。
为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。
首先，我们将函数写成y=x*x*...*x(n个x相乘)的形式。
然后，我们计算x处的斜率，即函数在x0处两个极接近的点之间的变化率。
这个斜率可以通过求极限得到。
因此，对于y=x^n，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ (x0 + h)^n - x0^n ] / h利用二项式定理展开，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ C(n, 0) * (x0)^(n-0) * h^0 + C(n, 1) * (x0)^(n-1) * h^1 + C(n, 2) * (x0)^(n-2) * h^2 + ... + C(n, n) * (x0)^(n-n) * h^n ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = n * x0^(n-1)所以，幂函数 y = x^n 在任意一点 x0 的导数为 dy/dx = n *x^(n-1)。
二、指数函数的导数公式：考虑函数y=a^x，其中a是一个正实数且a≠1、为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。
首先，我们将函数写成 y = e^(x * ln(a)) 的形式。
然后，我们计算 x 处的斜率，即函数在 x0 处两个极接近的点之间的变化率。
这个斜率可以通过求极限得到。
因此，对于y=a^x，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ a^(x0 + h) - a^x0 ] / h利用指数的性质a^(b+c)=a^b*a^c，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ a^x0 * a^h - a^x0 ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = a^x0 * lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ]当 h 趋近于 0 时，我们可以使用极限公式 lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ] = ln(a)。
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导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
3 1 1 ∴y′＝ 4＋4cosx ′＝－ sinx. 4
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 2 4
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
1 4 t 4
例4.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
[点评] 较为复杂的求导运算，一般综合了 和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先 将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．
练习：求下列函数的导数：
(1)y=x³-2x+3 2 3 (2)y＝ －2＋ －3 x x
2
(1)y′ =3x²－2 (2)y′ =4x＋9x²
(3) y′ =18 x ² － 8 x ＋ 9 (3)y＝(2x ＋3)(3x－2) (4) y′=1－1/2cosx
1 4 9 －4x －9x ＝－ 2－ 3－ 4. x x x
－3 －4
xsinx－2 xsinx 2 (4)y′＝ cosx －cosx′＝ ′ cosx
(xsinx－2)′cosx＋(xsinx－2)sinx ＝ 2 cos x (sinx＋xcosx)cosx＋xsin2x－2sinx ＝ cos2x sinxcosx＋x－2sinx x 2tanx ＝ ＝tanx＋ 2 － . cos2x cos x cosx
1 ( 3) y ; 2 cos x
( 4) y
6x3 x 1 x
2
;
总结：
1、熟记基本函数的导数公式 2、掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则 3、会求简单函数的导数
补充练习:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x; (4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
• [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx； 1 2 3 (3)y＝ x＋x2＋x3；
2 (4)y＝xtanx－cosx.
• [解析] (1)方法一： y′＝[(x＋ 1)2]′(x－1)＋ (x ＋ 1)2(x － 1)′ ＝ 2(x ＋ 1)(x － 1) ＋ (x ＋ 1)2 ＝ 3x2＋2x－1. 方法二： y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－ x － 1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋x2cosx. 1 2 3 －1 －2 －3 －2 ＋ ＋ (3)y′＝ x ＋3· x )′＝－x 2 3 ′＝ (x ＋ 2· x x x
x x (4)y＝x－sin · cos 2 2
[例 2] 求函数 y＝sin ＋cos 的导数． 4 4
[解析]
2x
4x
4x
∵y＝sin 4＋cos 4
2x 2 2x 2x
4x
4x
＝(sin 4＋cos 4) －2sin 4cos 4 1 2x 1 1－cosx 3 1 ＝1－ sin ＝1－ · ＝ ＋ cosx， 2 2 2 2 4 4
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
y′＝－1/2cosx.
例3.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
3.2.2
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式：
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x