专题突破练5 专题一 常考小题点过关检测

专题突破练5专题一常考小题点过关检测

一、单项选择题

1.(2020全国Ⅰ,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()

A.-4

B.-2

C.2

D.4

2.(2020山东淄博4月模拟,2)命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是()

A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1

B.?x?(0,+∞),ln x=x-1

C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1

D.?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1

3.(2020全国Ⅲ,理2)复数1

1-3i

的虚部是()

A.-3

10B.-1

10

C.1 10

D.3

10

4.(2020天津,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.(2020山东模考卷,2)已知a+b i(a,b∈R)和1-i

1+i

是共轭复数,则a+b=()

A.-1

B.-1

2

C.1

2

D.1

6.(2020山西太原二模,理5)若a,b是两个非零向量,且|a+b|=m|a|=m|b|,m∈[1,√3].则向量b与a-b夹角的取值范围是()

A.[π

3,2π

3

] B.[π

3

,5π

6

]

C.[2π

3,5π

6

] D.[5π

6

,π]

7.(2020山东济南一模,5)方舱医院的创设,在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用.某方舱医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜

班比戊晚两天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五值夜班的护士为( ) A.甲 B.丙 C.戊

D.庚

8.关于x 的方程x 2+(m-3)x+m=0在(0,2)内有两个不相等实数根,则实数m 的取值范围是( ) A.(2

3,1]

B.(23,1)

C.(1,3)

D.(-∞,1)∪(9,+∞)

二、多项选择题

9.已知x<-1,那么在下列不等式中成立的是( ) A.x 2-1>0

B.x+1

x <-2 C.sin x-x>0

D.cos x+x>0

10.若1

a <1

b <0,则下列不等式成立的是( ) A.

1a+b

<

1ab

B.|a|+b>0

C.a-1a

>b-1b

D.ln a 2>ln b 2

11.(2020海南天一大联考模拟三,9)设a ,b ,c 为实数且a>b ,则下列不等式一定成立的是( ) A.1a

>1b

B.2 020a-b >1

C.ln a>ln b

D.a (c 2+1)>b (c 2+1)

12.(2020山东历城二中模拟四,10)已知a ,b 是单位向量,且a +b =(1,-1),则( ) A.|a +b |=2 B.a 与b 垂直 C.a 与a -b 的夹角为π

D.|a -b |=1

三、填空题

13.(2020全国Ⅰ,文14)设向量a =(1,-1),b =(m+1,2m-4),若a ⊥b ,则m= . 14.(2020天津河北区线上测试,15)已知a>0,b>0,且1a

+1b

=1,则

1a -1+4

b -1

的最小值为 .

15.(2020山东济宁6月模拟,14)在平行四边形ABCD 中,AD=6,AB=3,∠DAB=60°,DE ????? =12

EC ????? ,BF

????? =12

FC ????? ,若FG ????? =2GE ????? ,则AG ????? ·BD

?????? = .

16.已知f (x )=x 2+2x+1+a ,?x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为 .

专题突破练5 专题一 常考小题

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1.B 解析 由已知得A={x|-2≤x ≤2},B={x |x ≤-a

2}.因为A ∩B={x|-2≤x ≤1},所以有-a

2

=1,解得a=-2.

2.A 解析 因为已知的是特称命题,所以它的否定为全称命题,故选A .

3.D 解析 ∵1

1-3i =1+3i

(1-3i )(1+3i )=1+3i

10=1

10+3

10i,∴复数1

1-3i 的虚部是3

10. 4.A 解析 若a>1,则a 2>a 成立.

若a 2>a ,则a>1或a<0.故“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件.故选A . 5.D

解析 由1-i

1+i

=

(1-i )2

2

=-2i

2=-i,得a+b i =-(-i)=i,所以a=0,b=1,所以a+b=1.

6.C 解析 根据题意,设|a |=|b |=t ,则|a+b |=mt ,再设向量b 与a-b 夹角为θ,

则有|a+b |2

=(a+b )2

=a 2

+b 2

+2a ·b =m 2t 2

,变形可得a ·b =m 2t 22

-t 2

,

则有|a-b |2

=(a-b )2

=a 2

+b 2

-2a ·b =2t

2

-2(m 2t 22-t 2

)=4t 2-m 2t 2,

则cos θ=b ·(a -b )

|b ||a -b |=a ·b -b

2

|b ||a -b |=m 2t 22

-t 2-t 2

√2=1

2×2√2=-1

2×√4-m 2.由1≤m ≤√3,得1≤√4-m 2≤√3,则有-√3

2≤cos θ≤-1

2.

又由0≤θ≤π,得2π

3≤θ≤5π

6,即θ的取值范围为[2π3,5π

6].故选C .

7.D 解析 因为己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,所以乙可能在星期一,二,三,五,六,日.

因为乙的夜班比庚早三天,所以乙可能在星期二,三.

如果乙在星期三,则庚在周六,且丙在周五,庚比丙晚一天,但与甲的夜班比丙晚一天矛盾,则乙在周二,庚在周五.故选D .

8.B 解析 由题意,令f (x )=x 2

+(m-3)x+m ,则{

Δ=(m -3)2

-4m >0,f (0)=m >0,

f (2)=4+2(m -3)+m >0,0<-m -32

<2,

解得2

3

9.ABC 解析 由x<-1,得|x|>1,

所以x 2>1,即x 2-1>0,故A 成立;

因为x<-1,所以-x>1,0<-1

x <1,所以(-x )+(-1

x )>2,即x+1

x <-2,故B 成立; 因为x<-1,而sin x ∈[-1,1],即sin x>x ,所以sin x-x>0,故C 成立; 因为x<-1,而cos x ∈[-1,1],所以cos x+x<0,故D 不成立.故选ABC . 10.AC 解析 由1

a <1

b <0,可知b

因为a+b<0,ab>0,所以1

a+b <0,1

ab >0,故有1

a+b <1

a θ,故A 正确; 因为b-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故B 错误; 因为b

a <1

b <0,则-1

a >-1

b >0,所以a-1

a >b-1

b ,故C 正确;

因为ba 2>0,而y=ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b 2>ln a 2,故D 错误.故选AC .

11.BD 解析 对于A,若a>b>0,则1

a <1

b ,故A 错误;对于B,因为a-b>0,所以2 020a-b >1,故B 正确;对于C,函数y=ln x 的定义域为(0,+∞),而a ,b 不一定是正数,故C 错误;对于D,因为

c 2+1>0,所以a (c 2+1)>b (c 2+1),故D 正确.

12.BC 解析 由a+b =(1,-1)两边平方,得|a |2+|b |2+2a ·b =12+(-1)2=2,则|a+b |=√2.因为a ,b 是单位向量,所以1+1+2a ·b =2,得a ·b =0,则|a-b |2=a 2+b 2-2a ·b=2,所以|a-b|=√2,所以

cos =a ·(a -b )=

21×2

=2

=√22,所以a 与a-b 的夹角为π

4. 13.5 解析 由a ⊥b ,可得a ·b =1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=

5. 14.4 解析 ∵a>0,b>0,且1

a +1

b =1,

∴a>1,b>1,且b=a

a -1,

∴1a -1+4b -1=1

a -1+4a a -1

-1=1

a -1+4(a-1)≥2√1

a -1·4(a -1)=4,当且仅当a=3

2时,等号成立.

∴1

a -1+4

b -1的最小值为4.

15.21 解析 以A 为原点,AD 为x 轴,AD 的垂线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则A (0,0),B (32,3√3

2),D (6,0),F 72,3√3

2,E 132,√3

2.设点G 的坐标为(x ,y ).∵FG ????? =2GE

????? ,∴x-7

2,y-3√3

2

=2132-x ,√32-y ,解得x=112,y=5√36,∴G (112,5√36).∴AG ????? ·BD

?????? =112,5√36·92,-3√32

=994?15×3

12=21.

16.[√5-3

2,+∞) 解析 设t=f (x )=(x+1)2+a ≥a ,

∴f (t )≥0对任意t ≥a 恒成立,即(t+1)2+a ≥0对任意t ∈[a ,+∞)都成立. 当a ≤-1时,f (t )min =f (-1)=a ,

即a ≥0,这与a ≤-1矛盾;

当a>-1时,f (t )min =f (a )=a 2+3a+1,则a 2+3a+1≥0,解得a ≥√5-3

2.