高中数学必修三练习题(精编)
高中数学必修三习题带答案
第一章1. 家中配电盒至电视机的线路断了，检测故障的算法中，为了使检测的次数尽可能少，第一步检测的是 B(A)靠近电视的一小段，开始检查 (B)电路中点处检查 (C)靠近配电盒的一小段开始检查 (D)随机挑一段检查2. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤，从下列选项中选最好的一种算法 C (A)S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播 (B)S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播 (C)S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播 (D)S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶 3. 给出以下四个问题：①输入一个数x ,输出它的相反数；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ,b ,c ,中的最大数；④求函数⎩⎨⎧<+≥-=)0(2)0(1)(x x x x x f 的函数值；⑤求两个正整数a ,b 相除的商及余数.其中不需要用条件语句来描述其算法的有_____125_______. 4. 下面的问题中必须用条件分支结构才能实现的是__23__________.①求面积为1的正三角形的周长； ②求方程0ax b +=(,a b 为常数)的根； ③求两个实数,a b 中的最大者； ④求1+2+3+…+100的值 5. 840和1764的最大公约数是84.6. 用秦九韶算法计算多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++，在4x =-时的值时，3V 的值为 C(A)-845 (B)220 (C)-57 (D)34 9.___28_____.12.(08-广东-9)阅读下图的程序框图，若输入4m =，3n =，则输出a =12，i =3；13．按如图所示的框图运算：若输入x =8,则输出k =5；(基本算法语句)1.下列给出的赋值语句中正确的是 B(A)M =4 (B)M M -= (C)3==A B (D)0=+y x 2.下列给变量赋值的语句正确的是 D(A)3a =(B)1a a +=(C)3a b c ===(D)8a a =+ 3.下列赋值语句中错误的是 C(A)1N N =+ (B)*K K K = (C)()C A B D =+ (D)M=M/5第二章一、选择题：1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( D )．A．简单随机抽样 B．系统抽样C．分层抽样 D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样2．某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（ C ）A. 不全相等B. 均不相等C. 都相等D. 无法确定3．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为( A )k=5A.5，10，15，20B.2，6，10，14C.2，4，6，8D.5，8，11，144．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。
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19.（12 分）你有一箱牛奶内装 6 盒，如果其中有 2 盒已经过期，问你从中随机拿出 2 盒， 拿到过期牛奶的概率有多大？ 0.6 20.（12 分）如图是某市抽取的 100 户居民月使用水量（单位顿）的频率分布直方图，各 组频率分别是 0.04,0.08,0.15，0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02。
是否使用共享单车作为交通工具，调查的结果如表所示，则该小区居民交通工具为共享单
车的人数为 9500
．
第 II 卷（非选择题）
3、解答题（70 分）
17. （10 分）甲乙两台机床同时生产一种零件，10 天中，两台机床每天生产的次品数分别 是：
甲0 1 乙2 3
02 11
20 3 1 2 4 02 1 1 0 1
相同，现从中随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是（ B ）
1
A.
B. 3
1
C.
1
D.
12
10
5
10
6. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲丙相邻的概率为（ A ）
1
1
A．
B．
2
3
2
C．
3
1
D．
4
7. 将 x 2005 输入如下图所示的程序框图得结果（ A ）
一、单选题（60 分）
第 I 卷（选择题）
1. 某班级有50 名学生，其中有30 名男生和20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为116 ， 124 ， 118 ， 122 ， 120 ，五名女生的成绩分别为118 ， 123 ， 123 ， 118 ， 123 ，下列说法一定正确的
高中数学必修三练习题
高中数学必修三练习题一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 已知函数f(x) = 3x - 2，当x = 2时，f(x)的值是：A. 4B. 6C. 8D. 103. 函数y = 2x + 3的斜率是：A. 2B. 3C. -2D. -34. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，第5项a5的值是：A. 13B. 15C. 17D. 195. 圆的标准方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，圆心坐标是：A. (2, 3)C. (0, 0)D. (3, 2)6. 已知直线l1的方程为y = 2x + 1，直线l2的方程为y = -3x + 5，这两条直线的交点坐标是：A. (1, 3)B. (-1, 1)C. (1, 1)D. (-1, 3)7. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数是：A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 6x + 9C. x^3 - 6x^2 + 9D. 3x^2 - 12x8. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，这个三角形的面积是：A. 6B. 9C. 10D. 129. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π10. 已知抛物线y = x^2 - 4x + 4，其顶点坐标是：B. (2, 4)C. (-2, 0)D. (-2, 4)二、填空题（每题3分，共15分）11. 已知等比数列的首项a1 = 2，公比q = 3，第4项a4 = ______。
12. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是 ______。
13. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，直线l与x轴的交点坐标是 ______。
新人教版高中数学必修3全册同步测试题及解析答案.doc
新人教版高中数学必修3 全册同步测试题及解析答案篇一:高一数学必修3全册各章节课堂同步习题（详解答案）第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念班次姓名［自我认知］:1.下面的结论正确的是（）.A.一个程序的算法步骤是可逆的B. 一个算法可以无止境地运算下去的C.完成一件事情的算法有且只有一种D. 设计算法要本着简单方便的原则2.下面对算法描述正确的一项是（）. A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同，结果必然不同3.下面哪个不是算法的特征（）A.抽象性B.精确性C. 有穷性D.唯一性4.算法的有穷性是指（）A.算法必须包含输出B.算法中每个操作步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限D.以上说法均不正确5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(lOmin)、听广播(8min)几个步骤，从下列选项中选最好的一种算法()A.S1洗脸刷牙、S2 刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播 B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播 C. S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D.S1吃饭同时听广播、S2泡面；S3烧水同时洗脸刷牙；S4刷水壶6.看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是()A.从济南到北京旅游，先坐火车,再坐飞机抵达B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C.方程x2?l?0有两个实根D.求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15 7.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c?a,b的值；③输出斜边长c的值，其中正确的顺序是()A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③［课后练习］:8.若f?x?在区间?a,b?内单调，且f?a??f?b??O,则f?x?在区间?a,b?内()A.至多有一个根B.至少有一个根C.恰好有一个根D.不确定9.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步：取A=89 ,B=96 ,C=99；第二步：①；第三步：②;第四步：输出计算的结果.10.写出求1+2+3+4+5+6+7+100的一个算法.可运用公式l+2+3+?+n= 第一步①；第二步②;第三步输出计算的结果.11.写出Ix2x3x4x5x6的一个算法.12.写出按从小到大的顺序重新排列x,y,z三个数值的算法. n（n?l）直接计算.21.1. 2程序框图［自我认知］:1 •算法的三种基本结构是（）A.顺序结构、条件结构、循环结构B.顺序结构、流程结构、循环结构C.顺序结构、分支结构、流程结构D .流程结构、循环结构、分支结构2 .程序框图中表示判断框的是（）A.矩形框B.菱形框D.圆形框D.椭圆形框3.如图⑴、（2）,它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为（）（1）33(2)3A.⑴n>1000 ? (2)n<1000 ?B.⑴n<1000 ?⑵n>1000 ?C.(Dn<1000?⑵n>1000 ?D. (l)n<1000 ?(2)n<1000?4.算法共有三种逻辑结构，即顺序逻辑结构,条件逻辑结构和循环逻辑结构，下列说法正确的是()A.—个算法只能含有一种逻辑结构B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D.—个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合［课后练习］:5.给出以下一个算法的程序框图(如下图所示)，该程序框图的功能是()A.求输出a,b,c三数的最大数B.求输出a,b,c三数的最小数3333C.将a,b,c按从小到大排列D.将a,b,c按从大到小排列第5题图第6题图6.右边的程序框图（如上图所示），能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是A.m?O?B.x?O ?C.x?l ?D.m?l?7.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构（）A.顺序结构B.条件结构和循环结构C.顺序结构和条件结构D.没有任何结构?x2?l（x?0）8.已知函数f?x???，设计一个求函数值的算法，并画出其程序框图（x?0）?2x?l1.1.2程序框图（第二课时）［课后练习］:班次姓名1 . 如图⑴的算法的功能是.输出结果i=,i+2=.2.如图⑵程序框图箭头a指向①处时，输出s=.箭头a指向②处时，输出s=.3.如图⑷所示程序的输出结果为s=132,则判断中应填A、i>10? B、i>ll? C、i<ll?D、i>12? 4.如图⑶程序框图箭头b指向①处时，输出s=.箭头b指向②处时, 输出S= _________5、如图⑸是为求1-1000的所有偶数的和而设计的一个程序空白框图，将空白处补上。
高中高一数学必修三练习试题.docx
高一数学必修三练习题一、选择题1. 下面一段程序执行后输出结果是( )程序：A=2A=A*2A=A+6PRINT AA. 2B. 8C. 10D. 182. 从学号为0～ 50的高一某班 50 名学生中随机选取5 名同学参加数学测试, 采用系统抽样的方法 ,则所选 5名学生的学号可能是()A. 1,2,3,4,5B.5,16,27,38,49 C.2,4,6,8,10D.4,13,22,31,403. 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子 , 其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当 x 为某一实数时可使x 20 ”是不可能事件③“明天福安要下雨”是必然事件④“从 100个灯泡中取出 5 个 ,5 个都是次品”是随机事件 . 其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C.2D.34. 下列各组事 件 中 , 不 是 互 斥 事 件 的 是( )A. 一个射手进行一次射击, 命中环数大于 8 与命中环数小于6B. 统计一个班数学期中考试成绩 , 平均分数低于 90分与平均分数不高于80 分C.播种菜籽100 粒 , 发芽 90 粒与发芽80 粒D. 检查某种产品, 合格率高于 70% 与合格率为 70%5. 某住宅小区有居民 2 万户 , 从中随机抽取200户, 调查是否安装电话, 调查的结果如表所示 ,则该小区已安装电话的户数估计有()电话动迁户原住户A. 6500 户B. 300户C. 19000户D. 9500已安装6530户4065未安装6.在样本的频率分布直方图中, 共有 11 个小长方形 , 若中间一个小长立形的面积等于其他110 个小长方形的面积的和的, 且样本容量为160, 则中间一组有频数为4( )A. 32B. 0.2C. 40D. 0.257. 袋中装有 6 个白球 ,5只黄球,4个红球,从中任取 1 球 , 抽到的不是白球的概率为()第 1 页共 12 页A.2B.4C.3D.非以上答案51558. x1, x2,..., x n的平均数是x, 方差是s 2, 则另一组数3x12, 3x 22,..., 3x n2的平均数和方差分别是()A.3x, s 2B.3x 2, s2C.3x2,3 s2D.3x2,3 s 2 2 6s 29.如下图所示 ,程序执行后的输出结果为了( )开始n 5s 0n n1nos 15?s s nyes输出 n第 9 题图结束A. -1B. 0C. 1D. 210.从 1,2,3,4,5中任取两个不同的数字, 构成一个两位数, 则这个数字大于40 的概率是()2413A. B. C. D.555511. 小强和小华两位同学约定下午在福安二中门口见面, 约定谁先到后必须等10 分钟 , 这时若另一人还没有来就可以离开. 如果小强是1： 40 分到达的 , 假设小华在 1 点到 2 点内到达, 且小华在1点到 2 点之间何时到达是等可能的, 则他们会面的概率是( )1B.1C.11A. D.624312.在两个袋内, 分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的 6张卡片 , 今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为第 2 页共 12 页1111 ()A. B. C. D.36912二、填空题：13. 口袋内装有100 个大小相同的红球、白球和黑球, 其中有45 个红球 , 从中摸出 1 个球 , 摸出白球的概率为0.23, 则摸出黑球的概率为_______.14.用辗转相除法求出153 和 119 的最大公约数是______________.15.设有以下两个程序：程序 (1) A=-6程序 (2) x=1/3B=2i=1If A<0 then while i<3A=-A x=1/(1+x)END if i=i+1B=B^2wendA=A+B print xC=A-2*B endA=A/CB=B*C+1Print A,B,C程序（ 1 ）的输出结果是______,________,_________.程序（ 2 ）的输出结果是__________.16. 有 5 条长度分别为1,3,5,7,9的线段, 从中任意取出 3 条 , 则所取 3 条线段可构成三角形的概率是 ___________.三、解答题17.从一箱产品中随机地抽取一件产品 , 设事件 A= “抽到的一等品” , 事件 B= “抽到的二等品” ,事件 C= “抽到的三等品”, 且已知P A 0.7 , P B0.1, P C 0.05 ,求下列事件的概率：⑴事件 D= “抽到的是一等品或二等品”；⑵事件E=“抽到的是二等品或三等品”第 3 页共 12 页18. 一组数据按从小到大顺序排列, 得到 -1,0,4,x,7,14中位数为5, 求这组数据的平均数和方差 .19. 五个学生的数学与物理成绩如下表：⑴作出散点图；⑵求出回归方程 .学生A B C D E数学8075706560物理706668646220.铁路部门托运行李的收费方法如下： y 是收费额 ( 单位：元 ),x 是行李重量 ( 单位：㎏ ),当 0 x 20 时,按0.35/㎏收费,当 x20 ㎏时,20㎏的部分按0.35元/㎏,超出20㎏的部分 , 则按 0.65 元 / ㎏收费 . ⑴请根据上述收费方法求出Y 关于 X 的函数式；⑵画出流程图 .第 4 页共 12 页21. 某次数学考试中, 其中一个小组的成绩是：55, 89, 69, 73, 81, 56, 90, 74, 82.试画一个程序框图：程序中用S(i) 表示第i 个学生的成绩, 先逐个输入S(i)( i=1,2,,), 然后从这些成绩中搜索出小于75 的成绩 .( 注意：要求程序中必须含有循环结构)第 5 页共 12 页22 对某种电子元件的使用寿命进行调查, 抽样 200个检验结果如表：⑴列出频率分布表；⑵ 画出频率分布直方图以及频率分布折线图；⑶估计电子元件寿命在100h ～ 400h 以内的频率；⑷估计电子元件寿命在400h以上的频率 .寿命 (h)100,200200,300300,400400,500500,600个数20308040301. 下面一段程序执行后输出结果是( C )程序：A=2第 6 页共 12 页A=A*2A=A+6PRINT AA.2B.8C.10D.182. 从学号为0～ 50 的高一某班 50 名学生中随机选取5 名同学参加数学测试, 采用系统抽样的方 法 ,则所选5名学生的 学号可 能 是( B )A.1,2,3,4,5 B.5,16,27,38,49 C.2,4,6,8,10D.4,13,22,31,403. 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子 , 其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当 x 为某一实数时可使x 20 ”是不可能事件③“明天福安要下雨”是必然事件④“从 100个灯泡中取出 5 个 ,5 个都是次品”是随机事件 . 其中正确命题的个数是( D )A. 0B. 1C.2D.34.下列各组事 件 中 , 不 是 互 斥 事 件 的 是( B)A.一个射手进行一次射击, 命中环数大于 8 与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩 , 平均分数低于 90分与平均分数不高于80 分C.播种菜籽100 粒 , 发芽 90 粒与发芽80 粒D. 检查某种产品, 合格率高于 70% 与合格率为 70%5. 某住宅小区有居民2 万户 , 从中随机抽取200 户 , 调查是否安装电话, 调查的结果如表所电话 动迁户示 , 则该小已安装 65区已安装电话的户数估计有( D )未安装40A. 6500 户B. 300户C. 19000户 D. 9500 户6.在样本的频率分布直方图中, 共有 11 个小长方形 , 若中间一个小长立形的面积等于其他110 个小长方形的面积的和的, 且样本容量为 160, 则中间一组有频数为4( A )A. 32B. 0.2C. 40D. 0.257.袋中装有 6 个白球 ,5只黄球 ,4 个红球 , 从中任取 1 球 , 抽到的不是白球的概率为( C )243A. B. C. D.非以上答案51558.x1 , x2 ,..., x n的平均数是x, 方差是s 2, 则另一组数3x12, 3x 22,..., 3x n2第7 页共 12 页的平均数和方差分别是( C )A.3x, s 2B.3x2, s2C.3x2,3 s2D.3x2,3 s 2 2 6s29.如下图所示,程序执行后的输出结果为了( B)开始n 5s 0n n1nos 15?s s nyes输出 n第 9 题图结束A.-1B.0C.1D.210.从 1,2,3,4,5中任取两个不同的数字, 构成一个两位数, 则这个数字大于40的概率是( A)A.2B.4C.1D.3555511. 小强和小华两位同学约定下午在福安二中门口见面, 约定谁先到后必须等10分钟 ,这时若另一人还没有来就可以离开. 如果小强是1：40分到达的 , 假设小华在 1 点到 2 点内到达,且小华在 1点到 2点之间何时到达是等可能的 , 则他们会面的概率是( D)A.1B.1C.1D.1 624312.在两个袋内 , 分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的 6 张卡片 , 今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为1111(C) A. B. C. D.36912二、填空题：0.32第8 页共 12 页13. 口袋内装有100 个大小相同的红球、白球和黑球, 其中有45 个红球 , 从中摸出 1 个球 , 摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为_______.14.用辗转相除法求出 153 和 119 的最大公约数是 ______________. 1715.设有以下两个程序：程序 (1) A=-6程序 (2)x=1/3B=2i=1If A<0 then while i<3A=-A x=1/(1+x)END if i=i+1B=B^2wendA=A+B print xC=A-2*B endA=A/CB=B*C+1Print A,B,C程序（ 1）的输出结果是______,________,_________.程序（ 2 ）的输出结果是4__________.（ 1） 5、9、 2；（ 2 ）716. 有 5 条长度分别为1,3,5,7,9的线段,从中任意取出 3 条 , 则所取 3 条线段可构成三角形的概率是 ___________.310三、解答题17.从一箱产品中随机地抽取一件产品 , 设事件 A= “抽到的一等品” , 事件 B= “抽到的二等品” ,事件 C= “抽到的三等品”, 且已知P A0.7 , P B0.1 , P C0.05 ,求下列事件的概率：⑴事件 D= “抽到的是一等品或二等品”；⑵事件 E= “抽到的是二等品或三等品”解：⑴ P D P A B P A P B =0.7+0.1=0.8⑵P E = P B C P B P C=0.1+0.05=0.1518. 一组数据按从小到大顺序排列, 得到 -1,0,4,x,7,14中位数为5, 求这组数据的平均数和方差 .解：排列式：-1,0,4,x,7,14第9 页共 12 页∵中位数是5, 且有偶数个数∴4 x5∴ x6 2∴这组数为-1,0,4,6,7,14∴x 519.五个学生的数学与物理成绩如下表：学生A B C D E数学8075706560物理7066686462⑴ 作出散点图；⑵求出回归方程 .解:1物理2（）70（）y0.36 x 40.8?60607080数学20.铁路部门托运行李的收费方法如下： y 是收费额 ( 单位：元 ),x 是行李重量 ( 单位：㎏ ),当 0 x 20 时,按0.35/㎏收费,当 x20 ㎏时,20㎏的部分按0.35元/㎏,超出20㎏的部分 , 则按 0.65 元 / ㎏收费 . ⑴请根据上述收费方法求出Y 关于 X 的函数式；⑵画出流程图 .0.35x0 x 20解: y0.35*20 0.65 x20x 20程序如下 :INPUT “请输入行李的重量”;xIF x＞20 THENy= 0.35*20 0.65* x20ELSEy= 0.35* xEND IFPRINT “金额为”;yEND21. 某次数学考试中, 其中一个小组的成绩是：55, 89, 69, 73, 81, 56, 90, 74, 82.试画一个程序框图：程序中用S(i)表示第i 个学生的成绩, 先逐个输入S(i)( i=1,2,, ), 然第 10 页共 12 页后从这些成绩中搜索出小于75 的成绩 .( 注意：要求程序中必须含有循环结构)开始i 1Y i 9N输入 S ii i1i 1i9NS i75Y输出 S ii i1结束22 对某种电子元件的使用寿命进行调查, 抽样 200 个检验结果如表：寿命 (h)100,200200,300300,400400,500500,600个数2030804030⑴列出频率分布表；⑵画出频率分布直方图以及频率分布折线图；⑶估计电子元件寿命在 100h ～400h 以内的频率；⑷估计电子元件寿命在 400h以上的频率 .解 : （1）（ 2）略第 11 页共 12 页区间频数频率频率 / 组距100,200200.10.001 200,300300.150.0015 300,400800.40.004 400,500400.20.002 500,600300.150.0015（3）P100 h ,400h=0.65（ 4）P400 h ,600h=0.35第 12 页共 12 页。
高中数学必修三练习题精编
必修三第三章测试卷一、选择题：1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率( )A.12B.13C.23D ．1 2．将骰子向桌面上先后抛掷2次，其中向上的数之积为12的结果有( )A ．2种B ．4种C ．6种D ．8种3．在面积为S 的△ABC 的内部任取一点P ，则△PBC 的面积小于S 2的概率为( ) A.14 B.12 C.34 D.234．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( ) A ．A 与C 互斥 B ．B 与C 互斥 C ．任何两个均互斥 D ．任何两个均不互斥 5.如图，是由一个圆、一个三角形与一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为( )A.34B.38C.14D.186．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A.16B.13C.12D.237．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.4π D.4π－1 8．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是A.25B.710C.45D.910 9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.7810．一个数学兴趣小组有女同学2名，男同学3名，现从这个数学兴趣小组中任选2名同学参加数学竞赛，则参加数学竞赛的2名同学中，女同学人数不少于男同学人数的概率为( )A.310B.25C.35D.71011．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于( )A.12B.23C.13D.2512.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.12－1πB.1πC ．1－2π D.2π二、填空题：13．取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P 随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为________．15．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之与是偶数的概率是________．三、解答题：17．(本小题满分10分)同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，计算：(1)向上的数相同的概率．(2)向上的数之积为偶数的概率．18．(本小题满分12分)袋子中装有大小与形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12. (1)求n 的值．(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．19．(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之与不大于4的概率．(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．20．(本小题满分12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．21．(本小题满分12分)为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人，18人，36人．(1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；(2)若从抽到的6人中随机抽取2人进行调查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．22．(本小题满分12分)一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的四个顶上分别标有数字1,2,3,4.将这个正方体与正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之与为b.(1)求事件b＝3a的概率；(2)求事件“点(a，b)满足a2＋(b－5)2≤9”的概率．必修三综合检测一、选择题1．下列事件中，是随机事件的是( )①从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中任取3个，3个都是正品；②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；④同性电荷，相互排斥；⑤某人购买体育彩票中一等奖．A ．②③④B ．①③⑤C ．①②③⑤D ．②③⑤2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A ．6B ．8C ．10D ．123．下表是某厂1～4由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a ＝( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.254．如图所示的算法流程图中，输出的S 表达式为( )4题图A ．1＋2＋…＋49B ．1＋2＋…＋50C .11＋2＋…＋49D .11＋2＋…＋505．废品率x%与每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为y ^＝234＋3x ，表明( )A ．废品率每增加1%，生铁成本增加3x 元B ．废品率每增加1%，生铁成本每吨增加3元C ．废品率每增加1%，生铁成本增加234元D ．废品率不变，生铁成本为234元6．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是( ) A .34 B .23 C .12 D .137．某公司在2014年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则( )A ．月收入的中位数是15，x 与y 有正线性相关关系B ．月收入的中位数是17，x 与y 有负线性相关关系C ．月收入的中位数是16，x 与y 有正线性相关关系D ．月收入的中位数是16，x 与y 有负线性相关关系8．如图所示是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．P ＝N 1 000B ．P ＝4N 1 000C ．P ＝M 1 000D ．P ＝4M 1 0009．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：组别 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数 12 13 24 15 16 13 7则样本数据落在[10,40)上的频率为( )A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.6410．如图，样本A 与B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA 与xB ，样本标准差分别为s A 与s B ，则( )A .x A >xB ，s A >s B B .x A <x B ，s A >s BC .x A >x B ，s A <s BD .x A <x B ，s A <s B11．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数与平均数分别是( )A .91.5与91.5B ．91.5与92C ．91与91.5D ．92与9212.如图，边长为2的正方形内有一不规则阴影部分，随机向正方形内投入200粒芝麻，恰有60粒落入阴影部分，则不规则图形的面积为( )A .35B .45C .65D .32二、填空题：13．利用秦九韶算法，求当x＝23时，多项式7x3＋3x2－5x＋11的值的算法．①第一步：x＝23，第二步：y＝7x3＋3x2－5x＋11，第三步：输出y；②第一步：x＝23，第二步：y＝((7x＋3)x－5)x＋11，第三步：输出y；③算6次乘法，3次加法；④算3次乘法，3次加法．以上描述正确的序号为________．14．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数K，K＋1，其中K＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之与(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之与为9＋1＋0＝10)大于14”为A，则P(A)＝__________________.15．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.16．从参加某知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示．观察图形，估计这次知识竞赛的及格率(大于或等于60分为及格)为________．三、解答题：17．(本小题满分10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：(1)求取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．18．(本小题满分12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示.(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．19．(本小题满分12分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．20．(本小题满分12分)(2015·福建卷)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．21．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？22．(本小题满分12分)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生(1)(2)3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．。
高中数学选择性必修三 8 3 分类变量与列联表(精练)(含答案)
8.3 分类变量与列联表（精练）【题组一列联表】1．（2020·全国）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，利用2×2列联表进行检验，经计算K2的观测值k＝7.069，参考下表，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过（）A．0.001 B．0.01 C．0.99 D．0.999【答案】B【解析】k＝7.069＞6.635，对照表格，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过0.01，故选：B.2．（2020·全国高二单元测试）在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，说法正确的是（）A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关B．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别无关C．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关【答案】D【解析】由表中数据得2230(6987)14161317K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈0.002 42<3.841.因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选：D.3．（2020·全国）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K2＝2()()()()()n ad bca b c d a c c d-++++，算得K2＝2110(40302020)60506050⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈7.822.附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】根据独立性检验的定义，由27.822 6.635K≈>，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选：C.4．（2020·全国高二课时练习）某中学共有5000人，其中男生有3500人，女生有1500人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理，我们（）A．没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”B．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D．有99%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”【答案】B【解析】由题意得，男生、女生各抽取的人数为35001500 300210,30090 50005000⨯=⨯=，又由频率分布直方图可知，每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数的频率为0.75，所以在300人中每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数为3000.75225⨯=，又有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，所以男生每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数为22560165-=，可得如下的22⨯列联表：结合列联表可得22300(456016530)4.762 3.8412109075225Κ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”，故选：B．5．（2020·全国高二课时练习）通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：附表：)2k随机变量22()()()()()n ad bcXa b c d a c b d-=++++，经计算2 4.762X≈，参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别无关”C．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别有关”D．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别无关”【答案】A【解析】2 4.762 3.841X≈>，则参照题中附表，可得在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”或有95%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别有关”.故选：A．6．（2020·全国高二单元测试）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到如下22⨯列联表：附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++.)2k0.12.706根据表中的数据，下列说法中正确的是（）A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”【答案】D【解析】由题意，根据22⨯列联表中的数据，得2240(131557)6.46518222020K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，又3.841 6.465 6.635<<，所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.故选：D.7．（多选）（2020·全国高三专题练习）(多选)2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中(35岁以上含35岁)的信息，下列结论中一定正确的是（）A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高【答案】ABD【解析】设等高条形图对应2×2列联表如下：根据第1个等高条形图可知，35岁以上男性比35岁以上女性多，即a>b；35岁以下男性比35岁以下女性多，即c>d.根据第2个等高条形图可知，男性中35岁以上的比35岁以下的多，即a>c；女性中35岁以下的比35岁以下的多，即b>d.对于A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，所以A正确；对于B，35岁以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，所以B正确；对于C，35岁以下男性人数为c，35岁以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，所以C 不一定正确；对于D，35岁以上的人数为a＋b，35岁以下的人数为c＋d，因为a>c，b>d，所以a＋b>c＋d，所以D正确．故选：ABD.8．（多选）（2021·全国高二专题练习）因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：附表：附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++以下说法正确的有（ ）A ．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B ．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6C ．有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D ．没有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系 【答案】AC【解析】因为男女比例为4000︰5000，故A 正确．满意的频率为204020.667903+=≈，所以该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值约为0.667，所以B 错误．由列联表2290(20102040)9 6.63540506030K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系，所以C 正确，D 错误． 故选：AC.【题组二 独立性检验】1．（2021·安徽芜湖市）“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示､咨询答疑､导购销售的新型服务方式.某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名.男生中在直播平台购物的人数占男生总数的23，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的78. （1）填写22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为X ，求X 的分布列与期望.附：n a b c d =+++，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）列联表答案见解析，没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：2. 【解析】（1）列22⨯列联表：22100(4053520) 5.556 6.63575256040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.故没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关 （2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为Y ，则0,1,2,3,4Y =，且3~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(4)24X Y Y Y =--=-，故4,2,0,2,4X =--，且4411(4)(0)4256P X P Y C ⎛⎫=-==== ⎪⎝⎭， 1314313(2)(1)4464P X P Y C ⎛⎫⎛⎫=-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22243127(0)(2)44128P X P Y C ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3343127(2)(3)4464P X P Y C ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，444381(4)(4)4256P X P Y C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭. 所以X 的分布列为()434E Y =⨯=，()(24)2()42342E X E Y E Y =-=-=⨯-=， 即()2E X =2．（2021·安徽高二期末）随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市发行2亿元消费券.为了解该消费券使用人群的年龄结构情况，该市随机抽取了50人，对是否使用过消费券的情况进行调查，结果如下表所示，其中年龄低于45岁的人数占总人数的35.（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关.参考数据：)20k 0.15 2.072 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（2）从使用消费券且年龄在[15,25)与[25,35)的人中按分层抽样方法抽取6人，再从这6人中选取2名，记抽取的两人中年龄在[15,25)的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）列联表答案见解析，有99%的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：23. 【解析】（1）由题意得515105505153505m n m +++++=⎧⎪++⎨=⎪⎩解得10,5m n ==；由以上统计数据填写下面22⨯列联表，如下 根据公式计算2250(1027103)9.98 6.63537133020K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关：（2）由题意知抽取的6人中年龄在[15,25)的有2人，年龄在[25,35)的有4人， 所以X 的可能取值为0,1,2.且21124242222666281(0),(1),(2)51515C C C C P X P X P X C C C =========， 所以X 的分布列为()012515153E X =⨯+⨯+⨯=.3．（2021·江西新余市·高二期末（文））推进垃圾分类处理，是落实绿色发股理心的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.（1）某垃圾站的日垃圾分拣量y （千克）与垃圾分类志愿者人数x （人）满足回归直线方程y bx a =+，数据统计如下：已知511405i i y y ===∑，52190i i x ==∑，51885i i i x y ==∑，根据所给数据求t 和回归直线方程.y bx a =+.附：1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-.（2）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15. ①若被调查的男性居民人数为a 人，请完成以下2×2列联表：②若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人?附()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++，【答案】（1）60t =，8.56y x =+；（2）①2×2列联表见解析；②20 【解析】（1）根据表中数据可知()125304045405y t =++++=，解得60t =， ()12345645x =++++=， 5152221588554408.590545i ii ii x y x yb xx ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑，408.546a =-⨯=，所以回归直线方程为8.56y x =+； （2）①根据题意可得2×2列联表如下：②在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，22214325555 6.63564355a a a a a a K a a a a ⎛⎫⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭∴==>⋅⋅⋅，解得19.905a >，故a 的最小值为20，所以被调查的女性居民至少20人.4（2021·云南曲靖市）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望.)2k0.500.455（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++）（其中n a b c d=+++）【答案】(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.；(2)分布列见解析，125.【解析】(1)根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下:根据公式可得22100(40401010)36 6.63550505050K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.(2)根据分层抽样，可知35岁以下(含35岁)的人数为4010850⨯=人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且122138282833310101085656(1),(2),(3)12010120C C C C C P X P X P X C C C =========，其分布列为1231201201205EX =⨯+⨯+⨯=. 5．（2021·江西高二期末）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ，B 两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．附：下面的临界值表仅供参考．（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．）【答案】（1）0.040a =，82.5；（2）分布列见解析，95EX =；（3）列联表见解析，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】（1）由0.005100.010100.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得0.040a =．令得分中位数为x ，由()0.020100.040900.5x ⨯+⨯-=， 解得82.5x =．故综合评分的中位数为82.5． （2）由（1）与频率分布直方图 ，优质花苗的频率为()0.040.02100.6+⨯= ，即概率为0.6， 设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X ，则3~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()3032805125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；()2133236155125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭； ()2233254255125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()33332735125P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭． 其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望355EX =⨯=． （3）结合（1）与频率分布直方图， 优质花苗的频率为()0.040.02100.6+⨯=，则样本中，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：可得()221002010304016.667 6.63560405050K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．6.（2020·四川成都市）一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面22⨯列联表：（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【答案】（1）有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）分布列见解析；期望为23． 【解析】（1）由题中22⨯列联表，可得()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系． （2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人， 男性人数为106230⨯=人；女性人数为206430⨯=人． 由题，随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．()022426620155C C P C ξ====，()1124268115C C P C ξ===，()2024261215C C P C ξ===， ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望()01251515153E ξ=⨯+⨯+⨯==． 7．（2020·山东济南市）2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出，国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人(其中450人为女性)的得分(满分：100分)数据，统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求()50.594P Z <<；（2）把市民分为对垃圾分类“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)两类，请完成如下22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关？（3）从得分不低于80分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取10名.再从这10人中随机抽取3人，求抽取的3人中男性人数的分布列及数学期望.14.5≈；②若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=；③()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， .n a b c d =+++【答案】（1）0.8186；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关；（3）分布列详见见解析，数学期望：95. 【解析】（1）由题意知：350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.0565μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，又50.565≈9465≈+ 所以11(50.594)0.68270.95450.818622P Z <<=⨯+⨯=. （2）由题意得列联表如下：221000(235310315140)14.249 6.635375625550450K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.（3）不低于80分的被调查者的男女比例为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取10人中，男性为6人，女性为4人.设从这10人中随机抽取的3人中男性人数为ξ，则ξ的取值为0,1,2,3343101(0)30C P C ξ===，21463103(1)10C C P C ξ===，12463101(2)2C C P C ξ===，363101(3)6C P C ξ===，所以随机变量ξ的分布列为所以其期望()2310265E ξ=+⨯+⨯= 8．（2020·四川师范大学附属中学）新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习．为检验网课学习效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有网课结束后进行考试，根据考试结果将这2000名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上 升”两类，对应的人数如下表所示：（1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到()0.001）说明，是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中 随机抽取 3人做进一步调查，记抽到3名成绩上升的学生得1分，抽到1名成绩没有上升的学生得1-分，抽到3名生的总得分用X 表示，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】（1）列联表见解析，有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；（2）分布列见解析，数学期望为34． 【解析】（1）()222000500500300700125 3.472 2.7068001200120080036K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯∴有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联．（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从8人中随机抽取3人，随机变量X 所有可能的取值为3,1,1,3--()0353381356C C P X C ⋅=-== ()12533815156C C P X C ⋅=-==()21533815128C C P X C ⋅=== ()3053385328C C P X C ⋅===X ∴的分布列如下：()115301033113565656564E X =-⨯-⨯+⨯+⨯= 9．（2020·全国高二专题练习）景泰蓝（Cloisonne ），中国的著名特种金属工艺品之一，到明代景泰年间这种工艺技术制作达到了最巅峰，因制作出的工艺品最为精美而闻名，故后人称这种瓷器为“景泰蓝”．其制作过程中有“掐丝”这一环节，某大型景泰蓝掐丝车间共有员工10000人，现从中随机抽取100名对他们每月完成合格品的件数进行统计．得到如下统计表：（1）若每月完成合格品的件数超过18件，则车间授予“工艺标兵”称号，由以上统计表填写下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；（2）为提高员工的工作积极性，该车间实行计件工资制：每月完成合格品的件数在12件以内（包括12件），每件支付员工200元，超出(0,2]的部分，每件支付员工220元，超出(2,4]的部分，每件支付员工240元，超出4件以上的部分，每件支付员工260元，将这4段频率视为相应的概率，在该车间男员工中随机抽取2人，女员工中随机抽取1人进行工资调查，设实得计件工资超过3320元的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)2k0.12.706【答案】（1）表格见解析，有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；（2）分布列见解析，1310. 【解析】（1）22⨯列联表如下：22100(488422)4 3.84150509010K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关．（2）若员工实得计件工资超过3320元，则每月完成合格品的件数需超过16件，由题中统计表数据可得，男员工实得计件工资超过3320元的概率125P =，女员工实得计件工资超过3320元的概率212P =． 设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3320元的人数为X ，随机抽取的女员工中实得计件工资超过3320元的人数为Y ，则21~2,,~1,52X B Y B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，2319(0)(0,0)5250P P X Y ξ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭，210223213121(1)(1,0)(0,1)5525250P P X Y P X Y C C ξ⎛⎫====+===⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 22122213218(2)(2,0)(1,1)5255225P P X Y P X Y C C ξ⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2212(3)(2,1)5225P P X Y ξ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭，所以随机变量ξ的分布列为所以9218213()01235050252510E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 10．（2020·广东广州市）某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，在开学初进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分．现随机抽取年级120名学生的成绩，统计结果如下所示：（1）若测试分数90分及以上认定为优良．分数段在[]120,150，[)90,120，[)0,90内女生的人数分别为4人，40人，20人，完成下面的22⨯列联表，并判断：是否有95％以上的把握认为性别与数学成绩优良有关？（2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取10人进行座谈，现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和记为X ，求X 的分布列及数学期望()EX ．附表及公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）表格见解析，没有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良有关；（2）分布列见解析，8. 【解析】（1）解：依题意，完成下面的22⨯列联表：()22120164440200.102 3.84136845664K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.故没有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良有关.（2）解：按照分层抽样，评定为“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级的学生分别抽取1人，6人，3人.现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和X 的可能取值为15，10，5，0.()1116210162154515C C P X C ⨯====，()211613*********104515C C C P X C C ==+==()116321018654515C C P X C ====，()232103104515C P X C ====所以X 的分布列为：所以()151050815151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 11．（2020·湖南高三月考）某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G 手机购买意向调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有X 人，女员工有Y 人，求随机变量X Y ξ=-的分布列与数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.)20k 0.15 2.072【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：83. 【解析】1）由题意得：2×2列联表如下：2228(28810)448= 3.3212161018135K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由（1）知在样本里属于“追光族"的员工有12人.其中男员工10人，女员工2人， 所以ξ可能的取值有0,2,4，4010241221014(4)(40)=49533C C P P X Y C ξ======且，3110241224016(2)(31)=49533C C P P X Y C ξ======且，221024121(0)(22)=4951145C C P P X Y C ξ======且， ξ∴的分布列为：ξ∴的期望()024*******E ξ=⨯+⨯+⨯=. 12．（2020·全国高三专题练习）某电商平台为提升服务质量，从用户系统中随机选出300名客户，对该平台售前服务和售后服务的评价进行统计，得到一份样本数据，并用以估计所有用户对该平台服务质量的满意度.其中售前服务的满意率为1315，售后服务的满意率为23，对售前服务和售后服务都不满意的客户有20人（1）完成下面22⨯列联表，并分析是否有97.5%的把握认为售前服务满意度与售后服务满意度有关；（2）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务两项都满意的客户保有率为95%，只对其中一项不满意的客户保有率为66%，对两项都不满意的客户保有率为1%，从该运营系统中任选3名客户，求在业务服务协议终止时保有客户人数ξ的分布列和期望，附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关；（2）分布列见解析，数学期望为125.【解析】（1）由题意知对售前服务满意的有1330026015⨯=人，对服务不满意的有13001003⨯=人，所以，补全22⨯列联表如下：经计算得22300(180208020)755.77 5.0242001002604013K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关.（2）在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务都满意的客户保有的概率为1805795%300100⨯=， 只有一项满意的客户保有的概率为1002266%300100⨯=， 对二者都不满意的客户保有的概率为20115%300100⨯=. 所以，从系统中任选一名客户保有的概率为5722141005++=， 故4~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，{0,1,2,3}ξ∈， 311(0)5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 2134112(1)55125P C ξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 2231448(2)55125P C ξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 3464(3)5125P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭ 所以ξ的分布列为：()1248641201231251251255E ξ=+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考查独立性检验、二项分布、独立重复试验以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查分析问题的能力.本题第二问解题的关键在于根据保有率计算得到系统中任选一名客户保有的概率为5722141005++=，进而得到4~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，属于中档题。
高中数学必修三练习题(含解析)
五一作业1．tan（﹣345°）＝（）A．2+B．﹣2+C．﹣2﹣D．2﹣【解答】解：∵tan30°＝tan（2×15°）＝＝，∴可得tan215°+6tan15°﹣＝0，∴解得tan15°＝2﹣，负值舍去，∴tan（﹣345°）＝﹣tan（360°﹣15°）＝tan15°＝2﹣．故选：D．2．已知tan（π﹣α）＝2，则＝（）A．±B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵tan（π﹣α）＝﹣tanα＝2，∴tanα＝﹣2，∴＝＝4sinαcosα＝＝＝＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3．将函数y＝sin x cos x﹣cos2x+的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，下列结论正确的是（）A．g（x）是最小正周期为2π的偶函数B．g（x）是最小正周期为4π的奇函数C．g（x）在（π，2π）上单调递减D．g（x）在[0，]上的最大值为【解答】解：令f（x）＝sin x cos x﹣cos2x+＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣；∵f（x）向右平移个单位∴g（x）＝sin[2（x﹣﹣）]﹣＝sin（2x﹣）﹣＝﹣cos2x﹣，A答案：T＝＝＝π，所以A错．B答案：此函数为偶函数，所以B错误．C答案：增区间为kπ≤x≤kπ+，所以C错误．D答案：正确．故选：D．4．设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则sinθ＝（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin x﹣2cos x＝（sin x﹣cos x）＝sin（x﹣φ），其中cosφ＝，sinφ＝．当x﹣φ＝2kπ+（k∈Z）时，取的最大值．∴θ＝φ+2kπ+（k∈Z）时，取得最大值，则sinθ＝sin（φ+2kπ+）＝cosφ＝，故选：D．5．下列关于函数f（x）＝sin|x|和函数g（x）＝|sin x|的结论，正确的是（）A．g（x）值域是[﹣1，1]B．f（x）≥0C．f（x+2π）＝f（x）D．g（x+π）＝g（x）【分析】结合f（x）和g（x）的解析式，分别进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin|x|＝，函数f（x）∈[﹣1，1]，f（x）是偶函数，不具备周期性，故C，B错误，g（x）＝|sin x|≥0，即函数g（x）的值域是[0，1]，故A错误，g（x+π）＝|sin（x+π）|＝|﹣sin x|＝|sin x|＝g（x），故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的周期性，值域的判断，结合绝对值的意义是解决本题的关键．6．函数f（x）＝cosωx（ω＞0）在区间上是单调函数，且f（x）的图象关于点对称，则ω＝（）A．或B．或2C．或2D．或【解答】解：f（x）的图象关于点对称，则ω＝，整理得：ω＝（k∈Z），当k＝0时，ω＝，所以函数f（x）＝，函数的最小正周期为3π，所以函数f （x）在区间上是单调递减函数．当k＝1时，ω＝2，所以函数f（x）＝cos2x，函数的最小正周期为π，所以函数f（x）在区间上是单调递减函数．当k＝2时，ω＝，所以函数f（x）＝cos x，函数的最小正周期为，所以函数f（x）在区间上是不是单调递减函数，函数的单调性先减后增，故错误．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果，x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•+φ＝﹣，∴φ＝﹣，∴f（x）＝cos（2x﹣）．如果，x1≠x2，则2x1﹣∈（﹣，），2x2﹣∈（﹣，），∵f（x1）＝f（x2），∴2x1﹣+（2x2﹣）＝0，∴x1+x2＝，则f（x1+x2）＝cos（﹣）＝cos＝﹣cos＝﹣，故选：B．8．已知tanα+＝4（α∈（π，π）），则sinα+cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵tanα+＝4，∴tan2α﹣4tanα+1＝0，解得，又∵α∈（π，π），∴tan，sinα＜0，cosα＜0，∴sinαcosα＝，∴，∴sinα+cosα＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是中档题．9．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，当时函数f（x）取最大值，则当ω取最小值时，函数f（x）在上的最大值为（）A．﹣2B．C．D．0【解答】解：∵f（）＝2cos（+φ）﹣1＝0，∴cos（+φ）＝，∴+φ＝2kπ±，k∈Z，①∵f（）＝2cos（+φ）﹣1＝1，∴cos（+φ）＝1，∴+φ＝2mπ，m∈Z，②由①②可得φ＝8kπ﹣6mπ±，由于|φ|＜π，可取k＝1，m＝1，解得φ＝（舍去），则ω＝6m﹣2，m∈Z，可得正数ω的最小值为4，即有f（x）＝2cos（4x+）﹣1，由x∈，可得4x+∈[，π]，可得f（x）在上递减，则f（x）的最大值为f（﹣）＝2cos﹣1＝2×﹣1＝0，故选：D．10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin（A+C）＝，则tan C+的最小值为（）A．B．2C．1D．【分析】利用正弦定理和余弦定理化简，求出sin（B﹣C）＝sin C，可得tan（B﹣C）＝tan C，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由sin（A+C）＝，得sin B＝＝，所以b2＝c2+ac，由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得a﹣2c cos B＝c，利用正弦定理sin A﹣2sin C cos B＝sin C，sin B cos C+cos B sin C﹣2sin C cos B＝sin B cos C﹣cos B sin C＝sin C，即sin（B﹣C）＝sin C，∵锐角△ABC中，∴tan（B﹣C）＝tan C，∴tan C+＝tan C+≥2＝，当且仅当tan C＝时取等号．故选：A．【点评】本题考查了三角形面积的计算公式、正弦定理、和差公式、基本不等式的性质．，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．【解答】解：设A（cosθ，sinθ），则B（，），∴2y A+y B＝2sinθ+＝2sinθ+sinθcos+cosθsin＝＝＝，∴2y A+y B的最大值为，故选：C．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数，是中档题．12．已知函数，过点，当的最大值为9，则m的值为（）A．2B．C．2和D．±2【解答】解：由题意T＝，故ω＝2，将A的坐标代入f（x）得φ）＝0，故φ＝2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝﹣．故，∴+[1﹣2]令t＝∈[0，1]，故g（x）可化为：y＝﹣2t2+4mt+1，t∈[0，1]对称轴为：t＝m，开口向下．①当m≤0时，t＝0时，y max＝1≠9②当m≥1时，t＝1时，y max＝4m﹣1＝9，∴符合题意；③当0＜m＜1时，t＝m时，y max＝2m2+1＝9，∴m＝±2（舍）综上，当m的值为时，原函数取得最大值9．故选：B．【点评】本题考查了倍角公式、三角函数的图象与性质以及利用换元法求函数的最值等问题．本题的难点一是难以发现角之间的倍数关系，二是换元之后的分类讨论忽视了讨论的范围．13．已知α，β∈（，π），sinα＝，cos（α+β）＝，则β＝【分析】利用两角和差的三角公式进行转化，先求出cosβ的值即可．【解答】解：由于α，β∈（，π），∴α+β∈（π，2π），∵cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝﹣，cosα＝﹣，∴cosβ＝cos[（α+β﹣α）]＝cos（α+β）cosα）+sin（α+β）sinα＝×（﹣）+（﹣）×＝＝﹣，∴β＝．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的余弦公式进行转化是解决本题的关键，难度不大．14．设，若f（x）在上为增函数，则ω的取值范围是【解答】解：设，在上，ωx﹣∈[﹣﹣，﹣]，由于f（x）为增函数，∴，即，求得0＜ω≤，【点评】本题主要考查正弦函数的单调增区间，属于基础题．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边AD，CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是[﹣3，﹣1]．【解答】解：由题意＝2，＝1，•＝••cos∠BAD＝2×1×cos＝1．∵＝λ，＝λ＝λ．∴＝（1﹣λ），＝（1﹣λ）＝（1﹣λ）．结合图形，有＝+＝+（1﹣λ），＝（1﹣λ）﹣．∴•＝[+（1﹣λ）]•[（1﹣λ）﹣]＝（1﹣λ）2﹣•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）2＝1﹣λ﹣1+（1﹣λ）2﹣4（1﹣λ）＝λ2+λ﹣3，∵λ∈[0，1]，∴由二次函数知识，可知λ2+λ﹣3＝（λ+）2﹣∈[﹣3，﹣1]．∴•的取值范围为[﹣3，﹣1]．故答案为：[﹣3，﹣1]．16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，以AB为直径在△ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若＝，则的最小值为．【解答】解：如图，以O为原点建立直角坐标系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣1，﹣2），即有直线BC的方程为y＝x﹣1，可设Q（m，m﹣1），＝，即为（2，0）•（m+1，m﹣1）＝2（m+1）＝，解得m＝，即Q（，﹣），设P（cosα，sinα），0≤α≤π，可得＝（，﹣）•（cosα+1，sinα+2）＝cosα+﹣sinα﹣＝（2cosα﹣sinα）＝cos（α+θ），θ∈（0，），当cos（α+θ）＝﹣1即α+θ＝π，可得的最小值为﹣．故答案为：﹣．17．已知α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β）的值，根据两角差的余弦函数公式可求cosβ的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝＝﹣．（2）∵α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝（﹣）×+×＝．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．18．设函数，其中0＜ω＜3．若．（1）求ω；（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的最小值．【分析】（1）将代入，结合0＜ω＜3构造一个关于ω的不等式、方程的混合组，解出ω即可．（2）先根据图象的平移变换与伸缩变换的规律，求出y＝g（x）的解析式，再利用“整体思想”结合正弦函数的性质求解即可．【解答】解：（1）因为f（x）＝sin，且＝0，所以﹣＝kπ，k∈Z．故ω＝6k+2，k∈Z．又0＜ω＜3，所以ω＝2．（2）由（1）得f（x）＝sin．所以g（x）＝sin（），因为x∈，所以x﹣，所以，当x﹣＝﹣，即x＝﹣时，g（x）取得最小值﹣．【点评】本题通过对三角函数的图象和性质以及图象变换知识与方法的考查，考查了学生的数学运算、直观想象以及逻辑推理等数学核心素养，本题属于一道中档题．19．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C+c sin A＝b+c．（1）求A；（2）若a＝，b+c＝3，求b，c．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合辅助角公式即可求解；（2）由已知结合余弦定理即可求解．【解答】解：（1）因为a cos C+c sin A＝b+c．由正弦定理可得，sin A cos C+sin C sin A＝sin B+sin C＝sin（A+C）+sin C，展开可得，sin A cos C+sin C sin A＝sin A cos C+sin C cos A+sin C，因为sin C≠0，所以，即sin（A﹣）＝，∴A﹣＝或A﹣＝（舍），故A＝；（2）因为a＝，b+c＝3，由余弦定理可得，＝＝＝，解可得，bc＝2，所以或．【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求cos2x0的值．【分析】（Ⅰ）先由二倍角公式及辅助角公式化简可得，然后根据正弦函数的性质令，解出即可得到增区间；（Ⅱ）先根据题意化简得，由x0的范围结合平方关系计算可得，再通过配角，利用余弦的和角公式计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）＝，令，解得，∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ），则，由于，则，故，∴＝＝．【点评】本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查化简计算能力，属于基础题．21．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，D是线段BC上一点，且＝，F为线段AB上一点．（1）设＝，＝，设＝x+y，求x﹣y；（2）求•的取值范围；（3）若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求•．【解答】解：（1）∵＝+＝+＝+（﹣）＝+＝+，∴x＝，y＝，∴x﹣y＝（2）设＝λ，（0≤λ≤1）因为在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，∴∠CAB＝60°，∴•＝（﹣）•（﹣）＝（λ﹣）（﹣λ）＝﹣4λ2+λ•1×2×＝﹣4λ2+λ＝﹣4（λ﹣）2+∈[﹣3，]（3）∵A，M，D三点共线，∴可设＝x+（1﹣x）＝x+（1﹣x）•，∵F为AB的中点，∴＝+，又C，M，F三点共线，∴存在t∈R使得＝t，∴x+（1﹣x）＝+，∴，解得，•＝（+）•＝（++）•＝•+2＝×1×2×（﹣）+×4＝22．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．【分析】（1）根据向量数量积的定义求出f（x），结合零点的定义进行求解即可．（2）根据条件先求出A和a的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（x）＝＝2cos x sin（x﹣）+2sin x cos（x﹣）＝2sin（2x﹣），由f（x）＝0得2x﹣＝kπ，k∈Z，得x＝+，即函数的零点为x＝+，k∈Z．（2）∵f（A）＝2，∴f（A）＝2sin（2A﹣）＝2，得sin（2A﹣）＝1，即2A﹣＝2kπ+，即A＝kπ+，在三角形中，当k＝0时，A＝，满足条件，∵△ABC的外接圆半径为，∴＝2，即a＝2×＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥＝（b+c）2﹣（b+c）2＝（b+c）2，即（b+c）2≤4×9＝36，即b+c≤6当且仅当b＝c时取等号，则a+b+c≤9，即三角形周长的最大值为9．。
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必修三第三章测试卷一、选择题：1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率( )A.12B.13C.23D ．1 2．将骰子向桌面上先后抛掷2次，其中向上的数之积为12的结果有( )A ．2种B ．4种C ．6种D ．8种3．在面积为S 的△ABC 的内部任取一点P ，则△PBC 的面积小于S 2的概率为( ) A.14 B.12 C.34 D.234．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( ) A ．A 与C 互斥 B ．B 与C 互斥 C ．任何两个均互斥 D ．任何两个均不互斥 5.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为( )A.34B.38C.14D.186．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A.16B.13C.12D.237．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.4π D.4π－1 8．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是A.25B.710C.45D.910 9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.7810．一个数学兴趣小组有女同学2名，男同学3名，现从这个数学兴趣小组中任选2名同学参加数学竞赛，则参加数学竞赛的2名同学中，女同学人数不少于男同学人数的概率为( )A.310B.25C.35D.71011．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于( )A.12B.23C.13D.2512.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.12－1πB.1πC ．1－2π D.2π二、填空题：13．取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P 随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为________．15．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．三、解答题：17．(本小题满分10分)同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，计算：(1)向上的数相同的概率．(2)向上的数之积为偶数的概率．18．(本小题满分12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12. (1)求n 的值．(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．19．(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．20．(本小题满分12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．21．(本小题满分12分)为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人，18人，36人．(1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；(2)若从抽到的6人中随机抽取2人进行调查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．22．(本小题满分12分)一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的四个顶上分别标有数字1,2,3,4.将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b.(1)求事件b＝3a的概率；(2)求事件“点(a，b)满足a2＋(b－5)2≤9”的概率．必修三综合检测一、选择题1．下列事件中，是随机事件的是( )①从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中任取3个，3个都是正品；②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；④同性电荷，相互排斥；⑤某人购买体育彩票中一等奖．A ．②③④B ．①③⑤C ．①②③⑤D ．②③⑤2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A ．6B ．8C ．10D ．123．下表是某厂1～4由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a ＝( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.254．如图所示的算法流程图中，输出的S 表达式为( )4题图A ．1＋2＋…＋49B ．1＋2＋…＋50C .11＋2＋…＋49D .11＋2＋…＋505．废品率x%与每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为y ^＝234＋3x ，表明( )A ．废品率每增加1%，生铁成本增加3x 元B ．废品率每增加1%，生铁成本每吨增加3元C ．废品率每增加1%，生铁成本增加234元D ．废品率不变，生铁成本为234元6．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是( ) A .34 B .23 C .12 D .137．某公司在2014年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18A ．月收入的中位数是15，x 与y 有正线性相关关系B ．月收入的中位数是17，x 与y 有负线性相关关系C ．月收入的中位数是16，x 与y 有正线性相关关系D ．月收入的中位数是16，x 与y 有负线性相关关系8．如图所示是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．P ＝N 1 000B ．P ＝4N 1 000C ．P ＝M 1 000D ．P ＝4M 1 0009．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：组别 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数 12 13 24 15 16 13 7A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.6410．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA 和xB ，样本标准差分别为s AA .x A >xB ，s A >s B B .x A <x B ，s A >s BC .x A >x B ，s A <s BD .x A <x B ，s A <s B11．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A .91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和9212.如图，边长为2的正方形内有一不规则阴影部分，随机向正方形内投入200粒芝麻，恰有60粒落入阴影部分，则不规则图形的面积为( )A .35B .45C .65D .32二、填空题：13．利用秦九韶算法，求当x＝23时，多项式7x3＋3x2－5x＋11的值的算法．①第一步：x＝23，第二步：y＝7x3＋3x2－5x＋11，第三步：输出y；②第一步：x＝23，第二步：y＝((7x＋3)x－5)x＋11，第三步：输出y；③算6次乘法，3次加法；④算3次乘法，3次加法．以上描述正确的序号为________．14．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数K，K＋1，其中K＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)大于14”为A，则P(A)＝__________________.15．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.16．从参加某知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示．观察图形，估计这次知识竞赛的及格率(大于或等于60分为及格)为________．三、解答题：17．(本小题满分10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：(1)求取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．18．(本小题满分12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示.(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．19．(本小题满分12分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．20．(本小题满分12分)(2015·福建卷)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．21．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？22．(本小题满分12分)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生(1)(2)3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．。