宁夏长庆高级中学2020-2021学年第一学期高二期中考试数学(理)试卷 Word版含答案

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宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文)试卷

宁夏长庆高级中学2020---2021学年第一学期高二期中考试文科数学试卷满分：150分时间：120分钟卷I（选择题）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数应为()A．10 B．9 C.8 D．72.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A．13 B．17 C.19 D．213.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为()A．11 B．11.5 C.12 D．12.54.如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．(单位：分)已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为()A．2，6 B．2，7C．3，6 D．3，75.下列说法正确的是()A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为,则比赛5场,甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效的可能性为76%6.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”,则与事件A互斥的事件是()A.所取的3个球中至少有一个白球B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C.所取的3个球都是黑球D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球7．下列三个不等式：①x＋1x≥2(x ≠0)；②ca＜cb(a＞b＞c ＞0)；③a＋mb＋m＞ab(a，b，m为正数且a＜b)．其中恒成立的个数为()A．3 B．2 C．1 D．08．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|>3}，则集合A∩B等于() A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x<3} C．{x|2<x≤3} D．{x|－1<x<3}9．变量,x y之间的一组相关数据如表所示：若,x y之间的线性回归方程为ˆˆ12.28y bx=+，则ˆb的值为（）A．0.92-B．0.94-10．若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A．2 B．3 C．4 D．511.某研究机构在对线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到如下数据:由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.65x+,则在这些样本点中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为()A. B. C. D.12．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A.3π10B．3π20C．1－3π10D．1－3π20卷II（非选择题）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．2020年高考某题的得分情况如下：其中众数是.14.甲、乙两支篮球队进行一局比赛,甲获胜的概率为0.6,若采用三局两胜制举行一次比赛,现采用随机x4567y8.27.8 6.6 5.4x4681012y12356得分(分)0123 4百分率(%)37.08.6 6.028.220.2模拟的方法估计乙获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜;6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数.034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751 据此估计乙获胜的概率为 .15. 若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 等于 .16．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)已知a >0，b >0，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9.18．(本小题满分12分)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)甲：9，10，11，12，10，20 乙：8，14，13，10，12，21. (1)在如图给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图； (2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．19．(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)x ∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶520．(本小题满分12分1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.22．2020年高考成绩揭晓，某高中再创辉煌，考后学校对于单科成绩逐个进行分析：现对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析，规定：大于等于135分为优秀，135分以下为非优秀，成绩统计后，得到如下的22⨯列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311. （1）请完成上面的列联表；（2）请问：是否有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”？（3）用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研，然后再从这5名学生中随机抽取2名学生进行谈话，求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）参考数据：。

2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二(上)期末数学(理科)试卷 (解析版)

2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i2．，则f′（x0）等于（）A．2B．1C．D．03．若实数a＝+，b＝2，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．不确定4．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）5．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣综合法B．①﹣综合法，②﹣分析法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法6．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣47．若f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个9．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．204811．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）12．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）二、填空题（共4小题）.14．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为．15．（+x）dx＝．16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q＝8300﹣170P﹣P2．问该商品零售价定为元时毛利润最大（毛利润＝销售收入﹣进货支出）．17．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则+的最小值为．三、解答题（共7小题，共70分）18．求函数f（x）＝x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）＝x2围成的图形的面积．19．设x＞0，y＞0，且x+y＝1，求证（1+）（1+）≥9．20．已知函数f（x）＝x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．21．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．22．设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．23．已知函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．24．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（1）求a，b的值．（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i 解：复数＝＝2﹣i，故它的共轭复数为2+i，故选：A．2．，则f′（x0）等于（）A．2B．1C．D．0解：∵，∴＝f′（x0）＝故选：C．3．若实数a＝+，b＝2，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．不确定解：∵＝10+2，＝20又2＜10，∴10+2＜20，即＜∴+＜2，即a＜b故选：A．4．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）解：函数f（x）＝（x﹣3）e x，∴f′（x）＝e x+（x﹣3）e x＝（x﹣2）e x，令f′（x）＝0，解得x＝2；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，∴f（x）的单调增区间是（2，+∞）．故选：C．5．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣综合法B．①﹣综合法，②﹣分析法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：B．6．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．7．若f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵两个球体的形状相同，大小不一定相同，故两个球体一定属于相似体；∵两个长方体的形状不一定相同，故两个长方体不一定属于相似体；∵两个正四面体的形状，一定相同，故两个正四面体一定属于相似体；∵两个正三棱柱的形状不一定相同，故两个正三棱柱不一定属于相似体；∵两个正四棱锥的形状不一定相同，故两个正四棱锥不一定属于相似体；故一定属于相似体的个数是2个，故选：C．9．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．解：由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选：C．10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．2048解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n＝＝2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n＝，可得当n＝12，去除两端的“1”可得78﹣23＝55，则此数列前55项的和为S12﹣23＝212﹣1﹣23＝4072．故选：A．11．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．12．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球解：因为2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9，4+5＝9，4+6＝10，5+6＝11，则甲可以得出为2，6或3，5或3，6或4，5或2，5或3，4其中的一组因为2×3＝6，2×4＝8，2×5＝10，2×6＝12，3×4＝12，3×5＝15，3×6＝18，4×5＝20，4×6＝24，5×6＝30，则乙可以得出为2，6，或3，4其中的一组，根据甲乙的所说的可得这个两个求球为2，6或3，4，故A，B，C错误，D正确，故选：D．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），则函数f（x）关于直线x＝3对称，c＝e ln4＝4，f（c）＝f（4）＝f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若＝，b＝log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．解：因为复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，可得：，解得：m∈（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．15．（+x）dx＝．解：（+x）dx＝dx+xdx，其中dx表示个单位圆，其面积为×π×12＝，xdx＝（x2）＝0，∴（+x）dx＝，故答案为：．16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q＝8300﹣170P﹣P2．问该商品零售价定为30元时毛利润最大（毛利润＝销售收入﹣进货支出）．解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L（p）＝pQ﹣20Q＝Q（p﹣20）＝（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）＝﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，所以L′（p）＝﹣3p2﹣300p+11700．令L′（p）＝0，解得p＝30或p﹣﹣130（舍去）．此时，L（30）＝23000．因为在p＝30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，故答案为：3017．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则+的最小值为5+2．解：y＝ln（x+b）的导数为y′＝，由切线的方程y＝x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，∵a、b为正实数，则+＝（a+b）（+）＝2+3++≥5+2＝5+2．当且仅当a＝b，即a＝，b＝3﹣时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．求函数f（x）＝x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）＝x2围成的图形的面积．解：∵（1，2）为曲线f（x）＝x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k＝f′（1）＝（3x2﹣2x+1）|x＝1＝2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x．∴y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB＝×2×4＝4，g（x）＝x2围与直线x＝2，x轴围成的区域的面积S＝x2dx＝x3＝，∴y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形的面积为：S′＝S△AOB﹣S＝4﹣＝．19．设x＞0，y＞0，且x+y＝1，求证（1+）（1+）≥9．【解答】证明：要证（1+）（1+）≥9成立，﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为x＞0，y＞0，且x+y＝1，所以y＝1﹣x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）只需证明（1+）（1+）≥9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即证（1+x）（2﹣x）≥9x（1﹣x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即证2+x﹣x2≥9x﹣9x2，即证4x2﹣4x+1≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即证（2x﹣1）2≥0，此式显然成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）20．已知函数f（x）＝x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．解：（1）f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），令f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）＝0，解得x＝2，x＝﹣2，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增16单调递减﹣16单调递增∴f（x）极大值为f（﹣2）＝16，f（x）极小值为f（2）＝﹣16；（2）由（1）知，f（﹣2）＝16，f（2）＝﹣16，又f（﹣3）＝9，f（3）＝﹣9∴f（x）最大值为f（﹣2）＝16，f（x）最小值为f（2）＝﹣16．21．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝1+4＝5，f（3）＝1+4+8＝13，f（4）＝1+4+8+12＝25，∴f（5）＝1+4+8+12+16＝41．（2）∵f（2）﹣f（1）＝4＝4×1，f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，f（5）﹣f（4）＝16＝4×4，由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．∴f（n）﹣f（n﹣1）＝4（n﹣1），f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4•（n﹣2），f（n﹣2）﹣f（n﹣3）＝4•（n﹣3），…f（2）﹣f（1）＝4×1，∴f（n）﹣f（1）＝4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]＝2（n﹣1）•n，∴f（n）＝2n2﹣2n+1．（3）当n≥2时，＝＝（﹣），∴+++…+＝1+（1﹣+﹣+…+﹣）＝1+（1﹣）＝﹣．22．设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x＝﹣处取得极小值，且为﹣，由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）．23．已知函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】（I）解：函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）＝f′（x）＝2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）＝＝，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）＝2（x﹣1﹣lnx﹣a）＝0，解得a＝x﹣1﹣lnx，令u（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2＝（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）＝1＞0，u（e）＝2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）＝0，令a0＝x0﹣1﹣lnx0＝v（x0），其中v（x）＝x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）＝1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0＝v（1）＜a0＝v（x0）＜v（e）＝e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a＝a0时，有f′（x0）＝0，f（x0）＝u（x0）＝0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）＝0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）＝0；又当x∈（0，1]，f（x）＝﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．24．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（1）求a，b的值．（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【解答】解；（1）f′（x）＝3ax2+b，∵函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．∴f′（2）＝12a+b＝0，f（2）＝8a+2b+c＝c﹣16．解得a＝1，b＝﹣12．（2）由（1）可得：f（x）＝x3﹣12x+c，f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），∴x＝﹣2时，f（x）有极大值28，∴（﹣2）3﹣12×（﹣2）+c＝28，解得c＝12．∴f（x）＝x3﹣12x+12，列出表格：x[﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2） 2 （2，3] f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：在x＝2处取得极小值12﹣16＝﹣4．又f（﹣3）＝21．∴f（x）在[﹣3，3]上的最小值是﹣4．。

2020-2021学年宁夏长庆高级中学2019级高二上学期期中考试数学(理)试卷及答案

2020-2021学年宁夏长庆高级中学2019级高二上学期期中考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)第I 卷一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分,共60分．在每小题给出的4个选项中,只有一项符合题目要求）1.命题“若22y >x ,则y >x ”的逆否命题是( )A ．若y <x ,则22y <xB ．若y ≤x ,则22y ≤xC ．若y >x ,则22y >xD ．若y ≥x ,则22y ≥x 2.“()01－2=x x ”是“0=x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.命题“0≥,∈2x x R x +∀”的否定是( )A ．0<,∈∀2x x R x + B ．0≤,∈∀2x x R x + C ．0<,∈∃2000x x R x + D ．0≥,∈∃2000x x R x +4.方程()0<122xy y x =+所表示的曲线形状是( )A ．B ．C ．D ．5.已知直线03－:=+y x l ,椭圆1422=+y x ,则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交 6.若直线l 的方向向量为()2,0,1=,平面α的法向量为()4－,02－，=,则( )A ．α∥lB ．α⊥lC ．α⊂lD ．l 与α斜交 7.焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A ．13422=+y xB ．1422=+y xC ．14322=+y xD ．1422=+y x8.抛物线x y 42=的焦点到双曲线13y －22=x 的渐近线的距离是( )A ．21B ．23C ．1D ．39.已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AF AK 2=,则AFK Δ的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．3210.如图所示,1F ,2F 是椭圆14221=+y x C ：与双曲线2C 的公共焦点,A ,B 分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点．若四边形21BF AF 是矩形,则2C 的离心率是( )A ．2B ．3C ．23D ．2611.在平行六面体1111-D C B A ABCD 中,M 为AC 与BD 的交点,若B A =11,D A =11,A A =11,则下列向量中与B 1相等的向量是( )A ．++2121－ B ．c b a ++2121 C ．+21－21 D ．c b a +21－21－12.已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,ABM Δ为等腰三角形,且顶角为°120,则E 的离心率为( )A ．5B ．2C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分,共20分）13.过椭圆191622=+y x 的焦点F 的弦中最短弦长是_____________．14.直线1－x y =被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是________． 15.如图,在三棱柱111-C B A ABC 中,所有棱长均为1,且⊥1AA 底面ABC , 则点1B 到平面1ABC 的距离为________．16.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果()－4－1,,2=,()0,2,4=,()－1－1,2,=．对于结论：①AB AP ⊥；②AD AP ⊥；③是平面ABCD 的法向量；④∥.其中正确的是____________．三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.如图,斜率为34的直线l 经过抛物线px y 22=的焦点()0,1F ,且与抛物线相交于A ,B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB 的长．18.已知()()0≤5-1:x x p +,()01≤≤-1:＞m m x m q +． (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围；(2)若5=m ,q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,求实数x 的取值范围．19.如图,正方体1111-D C B A ABCD 中,M 、N 分别为AB 、C B 1的中点．选用合适的方法证明以下问题： (1)证明平面BD A 1∥平面11CD B ； (2)证明MN ⊥面BD A 1.20.设P 是圆2522=+y x 上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且PD MD =. (1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点()03，且斜率为54的直线被C 截得的线段的长度．21.如图,已知在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,且2=AD ,1=AB ,⊥PA 平面ABCD ,E ,F 分别是线段AB ,BC 的中点, (1)证明：FD PF ⊥；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得EG ∥平面PFD .22.已知椭圆C 的两个焦点分别为()01-1，F 、()012，F ,短轴的两个端点分别为1B 、2B . (1)若211B B F Δ为等边三角形,求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点,且F F 11⊥,求直线l 的方程．。

宁夏长庆高级中学2020学年高二数学上学期期中试题理

宁夏长庆高级中学2020学年第一学期高二年级数学期中试卷（理科）满分：150分考试时间：120分钟I 卷一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分){}101,10,3,2.1a n d a a n 求中，已知等差数列===( )A ．27B ．29C ．32D ．38（）=-︒︒︒︒10sin 160cos 10cos 20sin .2A.－32 B.32 C.－12 D.12{}）（求已知项和的前等比数列D S a q a S n a n n n n ,36,3,4..31=== A ．54 B ．-52 C ．-54 D ．52 4．△ABC 中，cos A ＝3－3sin A ，则A 的值为( )A.π6B.π2C.2π3D.π6或π2 5．在△ABC 中， B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形的值是则是第二象限角，且已知)4cos(,53cos .6απαα--=( )A.210 B ．－210 C.7210 D ．－7210{}{}（）项和的前成等比数列，则，若的公差为等差数列=n n n S n a a a a a 84,2,2.7A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n n ＋12D.n n －128.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．0B ．1 C.-3 D ．3 9.等差数列{a n }中，若a 1，a 2 011为方程x 2－10x ＋6＝0的两根，则a 2＋a 1 006＋a 2 010＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40 10.使函数)cos(2)yx x ϕϕ=+++为奇函数，且在[0,]4π上是减函数的ϕ的值是（）A ．3π B ．56π C ．43πD ．116π11.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．4 C.1 D ．3 12.已知在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin cos 0b A a B C ++=，若32,sin 5c C ==，则a b +=（）A.C.D. II 卷二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知在ABC △中，15BC =，10AC =，60A =︒，cos B =_________． 14.设a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b的最小值是________．{}===+n n n n n S a S a S n a 则，若，项和为的前已知数列,21.1511________.的最小值为则已知的对边分别是中，角在C ABB A B A c b aC B A ABC cos .cos tan cos tan )tan (tan 2.,,,,.16+=+∆三、解答题(共6小题,共60分))4()122(42;12)7(1)10.(172x x x x x x ->+-≥-）（）（解下列不等式：分本小题18. （本小题12分）已知3sin 5α=,(,)2παπ∈，5cos 13β=-,β是第三象限的角.⑴ 求cos()αβ-的值；⑵ 求sin()αβ+的值.19.（本小题12分）已知锐角三角形ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（1）求角B 的大小；（2）若a =，5c =，求b 的值．20.（本小题12分）在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ..,3,3)2()1(.272cos 2sin 4,,,,)12.(212的值和求若的度数；求角的对边，分别是角中，在分本小题c b c b a A A C B C B A c b a ABC =+==-+∆{}{}{}{}.,)2()1()2()1(.,83)12.(22112n n nn n n n n n n n n n n T n c b a c b b b a b n n S n a 项和的前求数列令的通项公式；求数列是等差数列，且项和的前已知数列分本小题++=+=+=++理科数学答案一．选择题1. B2.D3.D4.D5.D6.A7.A8.C9.B 10.B 11. C 12.D 二．填空题 13.36 14.223+ 15.1)23(-n 16.21 三．解答题17.解：（1）43≤≤x （2）32≠x 6533)sin()2(6516)cos(132sin 135cos 54cos 53sin )1(0sin 0cos ),2(.18=+-=-∴-=∴-=-=∴=<∴<∴∈βαβαββααββαππαΘΘΘΘ又是第三象限角又解： 7072353322527cos 2)2(6)1(21sin sin sin 2sin sin 220,20.19222=∴>=⨯⨯⨯-+=-+===∴=∴=<<<<∴∆b b B ac c a b B B A B A A b a B A ABC ΘΘΘπππ又锐角解：{}12)121121(...)7151()5131()311(21)121121(21)12)(12(11)2(12211664316,3)1(.20111142+=⎥⎦⎤+--++-+-+⎢⎣⎡-=∴+--=+-==-=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+∴==+n n n n T n n n n a a b n a d a d a d a S a n S a n n n n n n n ΘΘ项和，为其前为等差数列，解：[]⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴>>⎩⎨⎧==+∴-+=∴=+===∴<<=∴=-∴=+-+=-+-∴=-+∆12210,0232cos 3,3,3)2(3021cos 0)1cos 2(72cos 4cos 44,272cos )cos(12272cos 2sin 4,,,,)1(.21222222c b c b c b bc c b bca cb Ac b a A A A A A A A A C B A C B C B A c b a ABC 或又又即的对边分别是角中，在解：ΘΘΘΘπππ{}{}{}2221543143211111322211111211122323)2)1(2...242322(32)2)1(...242322(3)1(32)2()1()2(1334173211217115611156252311183)1(.22++++++++--⋅=∴⋅-=-∴⋅++⋅++⨯+⨯+⨯=⋅+++⨯+⨯+⨯=+⋅=++=+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+==+=∴∴+=+=∴==+=-=≥∴-+====∴+=n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n T n T n n T n T n b a C n b d b d b d b b b a b b a d b b b a b n a a n n S S a n n n S S a n n n S n a ΘΘΘΘ，即的公差为设是等差数列，且符合时，当时，当又时，当项和的前数列解：。

2019-2020学年宁夏银川市兴庆区长庆高级中学高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版

宁夏长庆高级中学2019---2020学年第一学期高二数学期中试卷（理科）命题人：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，)1. 已知椭圆221259x y +=，1F ，2F 分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，则||ON 的长为（） A ．1B ．2C ．3D ．42. 已知)3,1,2(-=，),2,4(x -=，)2,,1(x -=,若c b a ⊥+)(，则x 等于( )A ．4B ．－4 C.12 D ．－63.抛物线28=y x 的焦点到直线=0x -的距离是( )A ．B ．2C D ．14. 下列说法错误的是（）A ．对于命题01,:2>++∈∀x x R x p ，则01,:020≤++∈∃⌝x x R x p B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若命题q p ∧为假命题，则q p ,都是假命题D ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则0232≠+-x x ” 5. 如图三棱锥O ABC -中，P 是棱BC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===，则AP 可以表示为（）A. 111222a b c -++B.1122a b c -++C.1122a b c ++D. 111222a b c ++6. 已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为,则C 的渐近线方程为（）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±7. 已知点()3,4A ，F 是抛物线28y x =的焦点，M 是抛物线上的动点，当||||AM MF +最小时，M 点坐标是（） A ．(0,0)B．(3, C．(3,- D ．(2,4)8. 已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A ．OM ++=B ．OM --=2C ．3121++=D ．613121++=9.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y += 10. 如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1=1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 11. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．812. 设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（）C.2二、填空题: (本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝______．14. 已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线的方程是__________．15. 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围_________.16. 已知椭圆)04(116:222>>=+b b y x C 的左右焦点为21,F F ，离心率为23，若P 为椭圆上一点，且︒=∠9021PF F ，则面积为21PF F ∆___________三、解答题: (本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. （本小题10分）已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设==,.(1)求和的夹角θ的余弦值；(2)若向量k +与k 2-互相垂直，求k 的值． 18. （本小题12分）已知曲线22981x y += （1）求其长轴长，焦点坐标，离心率；（2的双曲线方程；19. （本小题12分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的一点.(I)求证:平面 PAC ⊥平面PBC(II)若2AB AC PA ===，1，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 20. （本小题12分）已知抛物线C:y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5．（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则求|AB |+|DE |的最小值.21. （本小题12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，，求三棱锥E-ACD 的体积.22. （本小题12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程（2）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.13. 4 14. y 4－x 12＝1. 15. [12，1)∪(52，＋∞) 16. 417. 解：a ＝AB →＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，.....(1分)b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．.......（2分） (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，..............（5分）所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)ka ＋b＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，.....（6分）ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，......（7分）所以(k －1，k ，2)·(k＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0....（9分）即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.....（10分）18. (1)由题意易得：长轴长2a=18，....（2分）焦点坐标(0,±......（4分）离心率e 3c a ==．.....（6分） (2)设双曲线方程为：()222210,0y x m n n m-=>>∴2272{m n n+==，解得：6{, 6m n ==∴双曲线方程为：2236y x -=.....（12分） 19. (Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥, 又PAAC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PACBC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .....（6分）(Ⅱ)如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)B,()0,1,1P .故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 1110,0,y z =∴+=⎪⎩ 不妨令11y =，则()10,1,1=-n ......（9分）()0,0,1AP =,2221,cos sin 1=-=><=n θ....（12分） 20. 【答案】（1）y 2＝4x ；【解析】（1）由题意得|MF |＝4＋2p＝5，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ．.....（5分）（2）.....（12分） 21. 解：（I ）连接BD 交AC 于点O,连结EO 。

宁夏2021年高二上学期期中数学试卷(理科)A卷(考试)

宁夏2021年高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2018高二下·甘肃期末) 在中，的对边分别为 ,若，，，则的值为（）A .B .C .D . 62. （2分）在公差不为零的等差数列{an}中，2a5﹣a72+2a9=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7 ，则log2（b5b9）=（）A . 1B . 2C . 4D . 83. （2分） (2016高二上·高青期中) 不等式≤0的解集为（）A . （﹣∞，1]∪（3，+∞）B . [1，3）C . [1，3]D . （﹣∞，1]∪[3，+∞）4. （2分）函数的最小值为（）A . 6B . 7C . 8D . 95. （2分）(2018高二上·阜阳月考) 在中，角的对边分别为，已知，则（）A . 1B . 2C .D .6. （2分）下列命题中正确的是（）A . 函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数B . 函数y=2sin(-2x)在区间[0,]上是单调递增的C . 函数y=2sin(-x)-cos(+x)的最小值是﹣1D . 函数y=sinπx•cosπx是最小正周期为2的奇函数7. （2分） (2017高一上·六安期末) 手表时针走过1小时，时针转过的角度（）A . 60°B . ﹣60°C . 30°D . ﹣30°8. （2分）已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（）A . 4B . 3C . 2D . 19. （2分）已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q="2," a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28= （）A . 25B . 210C . 215D . 22010. （2分） (2017高三上·赣州期中) 若函数，则关于m的不等式的解集为（）A .B . （0，2）C .D .11. （2分）(2018·攀枝花模拟) 已知等比数列的前项和满足 ,且则等于（）A .B . 27C .D . 912. （2分） (2016高二上·玉溪期中) 设φ∈R，则“φ=2kπ+ （k∈Z）”是“f（x）=cos（2x+φ）为奇函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·天津模拟) 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且 a=2csinA，c= ，且△ABC的面积为，则a+b=________．14. （1分） (2016高三上·临沂期中) 在等差数列{an}中，a4=5，a7=11，设bn=（﹣1）nan ，则数列{bn}的前101项之和S101=________．15. （1分） (2016高二上·济南期中) 已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为________．16. （1分） (2017高一下·河北期末) 已知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），若bn+1=（n﹣2λ）•（ +1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________三、解答题. (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二下·正定期末) 在中，角，，所对的边分别为，，，若，， .（1）求的值；（2）求的面积.18. （15分） (2017高二上·如东月考) 已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足：.（1）若成等比数列，求实数的值；（2）若，求证：数列为等差数列；（3）在（2）的条件下，求 .19. （5分） (2017高二下·襄阳期中) 命题p：方程 + =1表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：直线y=x+m与抛物线y2=4x有公共点．若“p∨q”为真，求实数m的取值范围．20. （10分） (2019高一下·马鞍山期中)（1）若不等式对恒成立，求的取值范围；（2）解关于的不等式 .21. （15分） (2019高二上·六安月考)（1）已知，求的最大值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，且，求的最小值.22. （5分） (2019高三上·雷州期末) 已知数列的前项和 .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和 .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题. (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。

宁夏2021版高二上学期期中数学试卷(理科)B卷(模拟)

宁夏2021版高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·深圳月考) 如图，在正四棱柱中，，，点为上的动点，则的最小值为（）A .B .C .D .2. （2分）过两点A（﹣1，2），B（1，3）的直线方程为（）A . x﹣2y+5=0B . x+2y﹣3=0C . 2x﹣y+4=0D . x+2y﹣7=03. （2分）(2017·上饶模拟) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，点B∈C，若，则|FB|=（）A . 4B . 8C .D .4. （2分）过点（3，1）作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A . 2x+y﹣ =0B . 2x﹣y﹣ =0C . 4x﹣y﹣ =0D . 4x+y﹣ =05. （2分）直线和圆的位置关系是（）A . 相离B . 相切C . 相交不过圆心D . 相交过圆心6. （2分） (2020高一下·惠山期中) 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（）A .B .C .D . 或7. （2分）直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A . 2B . 2C .D . 18. （2分）垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是（）A . x＋y－＝0B . x＋y＋1＝0C . x＋y－1＝0D . x＋y＋＝09. （2分） (2017高三上·安庆期末) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ，F2 ， O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·上海模拟) 若抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n 的值为（）A .B . 1C . 2D . 1311. （2分）(2018·广东模拟) 已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·扶余月考) 已知椭圆与双曲线的渐近线有4个交点，则以这个交点为顶点的四边形的面积是（）A .B .C .D . 16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·江苏模拟) “直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．14. （1分） (2018高二上·吉安期中) 过直线l：上一点P作圆C：的切线，，若，关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．15. （1分）椭圆的两焦点为F1 ， F2 ，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为________16. （1分） (2020高二下·虹口期末) 我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，､是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以W为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于________.三、计算题 (共6题；共65分)17. （10分） (2020高一下·重庆期末) 已知圆经过点和点且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.18. （10分） (2018高二上·哈尔滨月考) 已知一组动直线方程为: .（1）求证:直线恒过定点，并求出定点的坐标;（2）若直线与轴正半轴，轴正半轴半分别交于点两点，求ΔAOB 面积的最小值.19. （10分） (2019高二上·海口月考) 已知圆，直线与圆交于不同的两点．（1）求实数的取值范围；（2）若，求直线的方程．20. （15分） (2017高二上·越秀期末) 如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．21. （10分） (2015高二上·西宁期末) 设椭圆的离心率，椭圆上一点A 到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆交于A，B两点，且AB中点为，求直线l方程．22. （10分）(2016·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p ＞0).（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p ， -p）；②求p的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、计算题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

宁夏2021版高二上学期期中数学试卷(理科)D卷

宁夏2021版高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（）A . 锐角三角形的内角是锐角或钝角B . 至少有一个实数x，使x2≤0C . 两个无理数的和必是无理数D . 存在一个负数x，使＞22. （2分） (2016高一下·随州期末) 已知过点P（4，1）的直线分别交x，y坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为8，则这样的直线有（）A . 4B . 3C . 2D . 13. （2分）下列四个命题，其中m，n，l为直线，α，β为平面①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β；②设l是平面α内任意一条直线，且l∥β⇒α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；④若α∥β，m⊂α⇒m∥β．其中正确的是（）A . ①②B . ②③D . ①②④4. （2分） (2016高三上·长春期中) A，B是△ABC的两个内角，p：sinAsinB＜cosAcosB；q：△ABC是钝角三角形．则p是q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D . 66. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为（）A .B .C .7. （2分） (2017高二上·乐山期末) 如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 钝角三角形8. （2分） (2020高二上·云浮期末) 已知椭圆的左焦点为，点是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于、两点.若点到直线的距离是1，且，则椭圆的离心率是（）A .B .C .D .9. （2分）圆心在曲线y=上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·承德期末) 若实数满足，则的最大值为（）A .B .C .D . 111. （2分）(2018·龙泉驿模拟) 已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共13分)13. （10分） (2018高一上·海珠期末) 已知的三个顶点（1）求边上高所在直线的方程；（2）求的面积．14. （1分） (2018高一上·广东期末) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为________．15. （1分） (2015高二上·福建期末) 椭圆的左焦点为F1 ， P为椭圆上的动点，M是圆上的动点，则|PM|+|PF1|的最大值是________．16. （1分） (2018高二下·孝感期中) 命题“若或，则”的逆命题是________命题（填“真”或“假”）.三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）(2018·茂名模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−2,0)，其倾斜角为a ，在以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角a的取值范围；（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求的取值范围．18. （10分） (2019高一上·上海月考) 设p：实数满足，其中，命题q：实数x满足 .（1）若，且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19. （5分）如图：是直径为2的半圆，O为圆心，C是上一点，且=2．DF⊥CD，且DF=2，BF=2， E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；20. （10分）(2016·海口模拟) 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1 ， y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ = ，求证：直线AB的斜率的平方为定值．21. （5分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（Ⅰ）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．22. （10分）已知函数f（x）=x+ ﹣1（1）记g（x）=f（x+1），试证明：g（x）图象关于原点对称．（2）若方程f（x）=t（x2﹣2x+3）|x|有三个解，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共13分)13-1、13-2、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

宁夏2021年高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷

宁夏2021年高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·日照模拟) 已知等差数列{a}的前n项和为Sn ，公差为d，且a1=﹣20，则“3＜d＜5”是“Sn的最小值仅为S6”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2016高一下·揭西开学考) 命题“∃x∈R，ex﹣x﹣1＜0”的否定是（）A . ∃x∈R，ex﹣x﹣1≥0B . ∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0C . ∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0D . ∀x∈R，ex﹣x﹣1≥03. （2分） (2017高二下·怀仁期末) 给出下列四个命题：①若，则或；② ,都有；③若是实数，则是的充分不必要条件；④“ ” 的否定是“ ” ；其中真命题的个数是（）A .B .C .D .4. （2分）下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③从总体中抽取的样本（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），若记=xi ，=yi则回归直线y=bx+a必过点（,）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且p（﹣2≤ξ≤0）=0.3，则p（ξ＞2）=0.2；其中正确的个数有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5. （2分） (2017高二下·赤峰期末) 对命题的否定正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）以下说法错误的是（）A . 命题“若“，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则”B . “x=2”是“”的充分不必要条件C . 若命题p：存在，使得，则￢p：对任意x∈R，都有﹣x+1≥0D . 若p且q为假命题，则p，q均为假命题7. （2分） (2015高二上·怀仁期末) 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1 ，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2 ，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A .B .C . 2D .8. （2分）(2018·佛山模拟) 已知分别为双曲线的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .9. （2分） (2017高二上·湖北期中) 已知直线l：y=kx+1过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=1截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）抛物线x2=8y的焦点坐标为（）A . （2，0）B . （4，0）C . （0，2）D . （0，4）11. （2分） (2019高二上·襄阳期中) 在一个平面上，机器人到与点的距离为8的地方绕点顺时针而行，它在行进过程中到经过点与的直线的最近距离为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高二上·黄石期末) 设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A （a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线 1的公共点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·黑龙江模拟) 已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足 =3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为________．14. （1分） (2019高二下·长春期中) 已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且过 C, D 两点的双曲线的离心率为________.15. （1分） (2017高一上·成都期末) 若 =（λ，2）， =（3，4），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．16. （1分） (2018高二上·寿光月考) 下列命题正确的是________（写出正确的序号）．①已知，，，则动点的轨迹是双曲线左边一支；②已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为，则实数的值是；③抛物线（）的焦点坐标是 .三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高一下·锦屏期末) 已知圆C1：x2+y2﹣3x﹣3y+3=0，圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．18. （10分） (2016高二上·成都期中) 已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．（1）若“￢p”为假命题，求m范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19. （10分）(2016·新课标I卷文) 在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（1）求；（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．20. （5分）(2017·荆州模拟) 设椭圆E： + =1（a＞0）的焦点在x轴上．（Ⅰ）若椭圆E的离心率e= a，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=2 与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P，问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由．21. （10分） (2016高一下·赣榆期中) 如图，平行四边形ABCD中，，，，．（1）用表示；（2）若，，∠DAB=60°，分别求和的值．22. （10分） (2018高二下·赤峰期末) 过椭圆：右焦点的直线交于，两点，且椭圆的长轴长为短轴长的倍.（1）求的方程；（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，，且，求四边形面积的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二上学期期中考试(文)数学试卷(解析版)

宁夏银川市长庆高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）试卷一､选择题1. 若p 是真命题，q 是假命题，则（） A. p q ∧是真命题 B. p q ∨是假命题 C.p ⌝是真命题D. q ⌝是真命题『答案』D『解析』因为p 是真命题，q 是假命题，所以p q ∧是假命题，选项A 错误，p q ∨是真命题，选项B 错误，p ⌝是假命题，选项C 错误，q ⌝是真命题，选项D 正确，故选D.2. 有一机器人的运动方程为23st t （t 是时间，s 是位移），则该机器人在时刻2t =时的瞬时速度为（）A. 194B. 174C. 154D. 134『答案』D『解析』因为()23s f t t t ==+，所以()23'2f t t t =-，则()313'2444f =-=，所以机器人在时刻2t =时的瞬时速度为134，故选D.3. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（）A. x ∀∈R ，0x >B. 0x ∃∈R ，00x >C. x ∀∈R ，0x ≤D. 0x ∃∈R ，00x ≤『答案』C『解析』命题“有些实数的绝对值是正数”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，即x ∀∈R ，x ≤.故选：C.4. 椭圆221169x y +=的焦距为（）A. 10B. 5C.D. 『答案』D『解析』由题可知：22216972c a b c c =-=-=⇒==，所以椭圆221169x y +=的焦距为故选：D5. “0x >”是“0x ≠”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．故选A ．6. 双曲线221169x y -=上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（）A. 12B. 14C. 16D. 18『答案』B『解析』设双曲线的左焦点为1F ，右焦点为2F ，则2128PF F a P -==，故268PF -=，故214PF =或22PF =-（舍）.故选C.7. 若抛物线22y px =上一点0(2,)P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（） A. 24y x = B. 26y x = C. 28y x = D.210y x = 『答案』C『解析』∵抛物线22y px =，∴准线为2Px =-，∵点0(2,)P y 到其准线的距离为4，∴242P--=，∴4p =，∴抛物线的标准方程为28y x =. 8. 已知定点A 、B ，且|AB |＝4，动点P 满足||P A |﹣|PB ||＝3，则|P A |的最小值是（）A. 12B. 32C. 72D. 5『答案』A『解析』由动点P 满足||P A |﹣|PB ||＝3，且3AB<故可得点P 的轨迹为以,A B 为左右焦点的双曲线，故可得23,24a c ==，解得3,22a c ==，由双曲线的几何性质可得PA的最小值为12c a -=.故选：A.9. 过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（）A. 2B. 3C. 12 D. 13『答案』A『解析』设1122(,),(,)A x yB x y ，则12122,2x x y y +=+=，121212AB y y k x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率2c e a ====.故选：A.10. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,P A⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为那么|PF|=（）A. B. 8C. D. 16『答案』B『解析』设A（-2，t），，∴，∴，∴PF =8.11. 设双曲线22221x ya b-=(0a>，0b>)，离心率e=，右焦点(c,0)F，方程20ax bx c--=的两个实数根分别为1x，2x，则点12(),P x x与圆228x y+=的位置关系（）A. 在圆外 B. 在圆 C. 在圆内 D. 不确定『答案』C『解析』因为双曲线22221x ya b-=(0a>，0b>)的离心率e=所以1c ba a===，所以12121,b cx x x xa a+===-=所以()222121212218x x x x x x+=+-=+<，即点12(),P x x在圆228x y+=的内部，故选：C12. P是双曲线221916x y-=的右支上一点，M、N分别是圆()2254x y++=和()2251x y-+=上的点，则PM PN-的最大值为()A. 6B. 7C. 8D. 9『答案』D『解析』易得双曲线221916x y-=的焦点分别为1F(-5，0)，2F(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、1F三点共线以及P与N、2F三点共线时所求的值最大，此时PM PN -=21(2)(1)PF PF =6+3=9.二､填空题13. 抛物线24y x =上的点A 到其焦点的距离是6，则点A 的横坐标是______. 『答案』5 『解析』设点()00,A x y ，则抛物线24y x =上的点A 到其焦点的距离为016x +=，即05x =，故答案为：5.14. 已知命题:∀∈p x R ，2104x x -+<，命题0:∃∈q x R ，00sin cos x x +=，则p q ∨，p q ∧，p ⌝，q ⌝中是真命题的有________．『答案』p q ∨，p ⌝.『解析』对于命题p ，因为11404∆=-⨯=，故2104x x -+≥，故p 为假命题.对于命题q ，取04x π=，则00sin cos x x +=，故q 为真命题，所以p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，q ⌝为假命题. 故答案为p q ∨，p ⌝.15. 已知函数f (x )＝ln x －f ′ (12)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________．『答案』-1『解析』根据题意，函数f (x )＝ln x －f ′ (12)x 2＋3x －4，其导数112'32f x xf x '=-+（）（），令12x =，1111152'3,,1222222f f f '=-⨯⨯+∴'=（）（）（）令1x =，则15213 1.12f x '=-⨯⨯+=-（）即答案为-1.16. 已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为．『答案』1x =-『解析』由222122{202422y pxy py p y y p p p y x =∴--=∴+==∴==-，准线1x =-.三､解答题17. 已知函数ln y x x =+. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.『解』（1）因为ln y x x =+，所以11y x '=+（2）因为ln y x x =+在1x =处的值为1，11y x '=+在1x =处的值为2所以切线方程为()121y x -=-，即210x y --=18. 已知命题:∈p m R 且10m +≤，命题2:,10∀∈++>q x x mx R 恒成立，若p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，求m 的取值范围.『解』命题p 为真命题，有1m ≤-；命题q 为真命题，则240m -<，即22m -<<，p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则,p q 一真一假， p 真，q 假时，2m ≤-，p 假，q 真假时，12m -<<，综上m 的取值范围是2m ≤-或12m -<<． 19. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，实轴长为2.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l：y kx =+C 的左支交于A ､B 两点，求k 的取值范围.『解』（1）设双曲线方程为22221x y a b -=(0a >，0b >).由已知得：a =2c =，再由222+=a b c ，∴21b =，∴双曲线方程为2213x y -=.（2）设()A A A x y ，，()B B B x y ，，将y kx =+2213x y -=，得()221390k x ---=，由题意知()2221303610,0,90,13A B A B k k x x x x k ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎪+=<⎨⎪-⎪=>⎪-⎪⎩解得1k <<.所以当13k <<时，l 与双曲线左支有两个交点.20. 已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++．（1）求a ，b 的值．（2）若方程()0f x m +=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根，求实数m 的取值范围．（e 为自然对数的底数）『解』（1）函数f （x ）＝a ln x ﹣bx 2，则：()'2af x bx x =-，所以：()'2432af b =-=-，且满足：f （2）＝a ln2﹣4b ＝﹣6+2ln2+2．解得：a ＝2，b ＝1．（2）由（1）得：f （x ）＝2ln x ﹣x 2，令h （x ）＝f （x ）+m ＝2ln x ﹣x 2+m ，则：()()2212'2x h x x x x -=-=，令h '（x ）＝0，得x ＝1（x ＝﹣1舍去）．在内，当x ∈11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，h ′（x ）＞0，所以：h （x ）是增函数；当x ∈（1，e 』时，h '（x ）＜0，∴h （x ）是减函数．则：方程h （x ）＝0在『1e ，e 』内有两个不等实根的充要条件是()()1'0100h e h h e ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎨⎪≤⎪⎪⎩＞，解不等式得：2112m e ≤+＜．21. 已知曲线C 上每一点到点(1,0)F 的距离等于它到直线1x =-的距离. （1）求曲线C 的方程；（2）是否存在正数a ，对于过点(,0)M a 且与曲线C 有两个交点A ､B 的任一直线，都有OA OB ⊥？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.『解』（1）由抛物线的定义可得：12p=，2p ∴= ，∴曲线C 的方程是：24y x =；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当斜率存在时，过点M 的直线方程可设为()y k x a =-，由2()4y k x a y x =-⎧⎨=⎩，消去y ，得()22222240k x ak x a k -++=，212224ak x x k ++=，212x x a =，124y y a =-，若OA OB ⊥，则2121240OA OB x x y y a a =+=-=，解得0a =或4a =，又0a >，从而4a =，当斜率不存在时，由24x a y x =⎧⎨=⎩，同理可得4a =，综上，4a =.22. 已知抛物线2y x =-与直线()1y k x =+相交于A,B 两点，O 为坐标原点.（1）求证：OA OB ⊥; （2）当2k =时，求AB 的弦长. 『解』（1）设()()1122,,,A x y B x y ，由()21y x y k x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，可得()221k x x +=-，即()2222210k x k k +++=①，()()222121212121OA OB x x y y k x x k x x k =+=++++，由韦达定理可得：()222222110k OA OB k k k k +=+-⨯+=，所以OA OB ⊥.（2）当2k =时，（1）中的①可以化为：24940x x ++=，AB ==.。

宁夏长庆高级中学2020-2021学年第一学期高二期中考试数学(理)试卷

宁夏长庆高级中学2020-2021学年第一学期高二年级数学（理科）期中试卷第I 卷一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求） 1.命题“若22y >x ，则y >x ”的逆否命题是( )A ．若y <x ，则22y <xB ．若y ≤x ，则22y ≤xC ．若y >x ，则22y >xD ．若y ≥x ，则22y ≥x2.“()01－2=x x ”是“0=x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.命题“0≥,∈2x x R x +∀”的否定是( )A ．0<,∈∀2x x R x +B ．0≤,∈∀2x x R x +C ．0<,∈∃2000x x R x +D ．0≥,∈∃2000x x R x +4.方程()0<122xy y x =+所表示的曲线形状是( )A ．B ．C ．D ．5.已知直线03－:=+y x l ，椭圆1422=+y x ，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交6.若直线l 的方向向量为()2,0,1=，平面α的法向量为()4－,02－，=，则( ) A ．α∥l B ．α⊥l C ．α⊂l D ．l 与α斜交7.焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A ．13422=+y xB ．1422=+y xC ．14322=+y xD ．1422=+y x8.抛物线x y 42=的焦点到双曲线13y －22=x 的渐近线的距离是( )A ．21B ．23C ．1D ．39.已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AF AK 2=，则AFK Δ的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．3210.如图所示，1F ，2F 是椭圆14221=+y x C ：与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形21BF AF 是矩形，则2C 的离心率是( )A ．2B ．3C ．23D ．2611.在平行六面体1111-D C B A ABCD 中，M 为AC 与BD 的交点，若B A =11，D A =11，A =11，则下列向量中与B 1相等的向量是( )A ．++2121－ B ．++2121 C ．+21－21 D ．c b a +21－21－12.已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，ABM Δ为等腰三角形，且顶角为°120，则E 的离心率为( )A ．5B ．2C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分） 13.过椭圆191622=+y x 的焦点F 的弦中最短弦长是_____________．14.直线1－x y =被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是________． 15.如图，在三棱柱111-C B A ABC 中，所有棱长均为1，且⊥1AA 底面ABC ，则点1B 到平面1ABC 的距离为________．16.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()－4－1,,2=，()0,2,4=，()－1－1,2,=．对于结论：①AB AP ⊥；②AD AP ⊥；③是平面ABCD 的法向量；④∥.其中正确的是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.如图，斜率为34的直线l 经过抛物线px y 22=的焦点()0,1F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB 的长．18.已知()()0≤5-1:x x p +，()01≤≤-1:＞m m x m q +． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若5=m ，q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数x 的取值范围．19.如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，M 、N 分别为AB 、C B 1的中点．选用合适的方法证明以下问题：(1)证明平面BD A 1∥平面11CD B ； (2)证明MN ⊥面BD A 1.20.设P 是圆2522=+y x 上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且PD MD =. (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点()03，且斜率为54的直线被C 截得的线段的长度．21.如图，已知在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且2=AD ，1=AB ，⊥PA 平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，(1)证明：FD PF ⊥；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .22.已知椭圆C 的两个焦点分别为()01-1，F 、()012，F ，短轴的两个端点分别为1B 、2B . (1)若211B B F Δ为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F F 11⊥，求直线l 的方程．★★答案★★1.【★★答案★★】B2.【★★答案★★】B3.【★★答案★★】C4.【★★答案★★】C5.【★★答案★★】C6.【★★答案★★】B7.【★★答案★★】A8.【★★答案★★】B9.【★★答案★★】B10.【★★答案★★】D11.【★★答案★★】A12.【★★答案★★】D13.【★★答案★★】【解析】由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为＝＝.14.【★★答案★★】(3,2)【解析】设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2，∴所求点的坐标为(3,2)．15.【★★答案★★】√217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(√32,12,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则C1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32,12,−1)，C1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，C1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1，－1)，设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，则有{C1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=√32x+12y−1=0,C1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=y−1=0.解得n＝(√33,1,1)，则所求距离为|C1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|n||＝√3+1+1＝√217.16.【★★答案★★】①②③【解析】由于AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．17.【★★答案★★】解(1)由焦点F(1,0)，得＝1，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线l的方程为y＝(x－1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，所以线段AB的长为.18.【★★答案★★】解(1)由(x＋1)(x－5)≤0得－1≤x≤5，∵p是q的充分条件，∴解得m≥4.(2)当m＝5时，q：－4≤x≤6，根据已知，p，q一真一假，当p真q假时，无解；当p假q真时，解得－4≤x＜－1或5＜x≤6.综上，实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6].19.【★★答案★★】给出用向量方法的证明，此题用空间几何的证明法则证明也可(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)，设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2,0,2)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2,2,0)，∴{2x +2z =02x +2y =0， ∴取m ＝(－1,1,1)，同理平面B 1CD 1的法向量为n ＝(－1,1,1)，∴m ∥n ， ∴平面A 1BD ∥平面B 1CD 1； (2)∵M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点，∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1,1)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥m ，∴MN ⊥面A 1BD . 20.【★★答案★★】(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(xp ，yp )，由已知，得{x p =x,y p =54y,因为P 在圆上，所以x 2＋(54y )2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x−3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.则Δ＝(－3)2＋32＝41>0，x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8，所以线段AB 的长为|AB |＝√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 ＝√(1+1625)(x 1−x 2)2＝√4125[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]＝√4125×41＝415. 21.【★★答案★★】∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)．(1)不妨令P (0,0，t )，∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,1，－t )，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1,0)，∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝1×1＋1×(－1)＋(－t )×0＝0， ∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PF ⊥FD ；(2)设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由{n ·PF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x +y −tz =0,x −y =0, 令z ＝－1，解得x ＝y ＝t 2，∴n ＝(t 2,t2,1)，设点G 的坐标为(0,0，m )，又E (12,0,0)，则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−12,0,m)，要使EG ∥平面PFD ，只需EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ＝0，即(−12)×t2＋0×t2＋m ×1＝0，即m －t4＝0，解得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求．22.【★★答案★★】(1)设椭圆C 的方程为x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．根据题意知，a ＝2b ，a 2－b 2＝1，解得a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为x 243＋y 213＝1.(2)易求得椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由{y =k (x −1),x 22+y 2=1,得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2+1，x 1x 2＝2(k 2−1)2k 2+1，F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 2＋1，y 2)．因为F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2−12k 2+1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±√77. 故直线l 的方程为x ＋√7y －1＝0或x －√7y －1＝0.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

【精准解析】宁夏银川市长庆高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

宁夏长庆高级中学2020---2021学年第一学期高二年级数学期末试卷（理科）满分；150分.考试时间；120分钟. 命题；本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.i 是虚数单位，复数131ii-- 的共轭复数是( ) A. 2－i B. 2＋iC. －1＋2iD. －1－2i【答案】B 【解析】13i 42i2i 1i 2--==--，那么它的共轭复数为2+i ，故选B. 2. ()()0002lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '等于( )A. 2B. 1C.12D. 0【答案】C 【解析】根据 00x 0f (x 2x)f (x )l im 2x→+-=f′（x 0），将已知条件代入即可求出所求．解：∵00x 0f (x 2x)f (x ) l im x →+-=1， ∴00x 0f (x 2x)f (x ) l im 2x →+-=f′（x 0）=12 故选C ．3. 若实数a b ==a 与b 的大小关系是A. a b =B. a b <C. a b >D. 不确定【答案】B 【解析】试题分析：由题可设；a b <<22(37)(25),1022120,22110,84100+<+<<< 成立，则a b <成立．考点：分析法证明不等式.4. 函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是（）A. (),2-∞B. ()0,3C. ()1,4D. ()2,+∞【答案】D 【解析】【分析】求导分析导函数大于0的区间即可.【详解】易得()()'2xf x x e =-,当()'0f x >时解得2x >.故函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞. 故选：D【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的方法,属于基础题.5. 下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A. ①综合法，②反证法B. ①分析法，②反证法C. ①综合法，②分析法D. ①分析法，②综合法【答案】C 【解析】【分析】由分析法和综合法的证明思路即可得到答案．【详解】由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故选C.【点睛】本题考查分析法和综合法的证明思路，属于基础题． 6. 若()()221f x xf x '=+，则()0f '等于（）A. 2B. 0C. -2D. -4【答案】D 【解析】【分析】先求导，算出()1f '，然后即可求出()0f '【详解】因为()()221f x xf x '=+，所以()()212f x f x ''=+所以()()1212f f ''=+，得()12f '=- 所以()42f x x '=-+，所以()04f '=- 故选：D【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.7. 若()224ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为（）A. ()2+∞，B. ()()102-⋃+∞，，C. ()0，+∞D. ()10-，【答案】A 【解析】【分析】求导，令()0f x '>，解不等式可得选项．【详解】因为()224ln f x x x x =--，所以()2'4224220x x f x x x x--=--=>，又0x >，故()2220x x -->，即()()2120x x +->，结合0x >可得2x >．故选：A ．8. 我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（） A. 4 B. 2C. 3D. 1【答案】B 【解析】分析：根据题意，结合题中所给的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的，只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.9. 已知函数()y xf x =‘的图象如图所示，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数y ＝xf ′（x ）的图象，依次判断f （x ）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可【详解】由函数y ＝xf ′（x ）图象可知：当x ＜﹣1时，xf ′（x ）＜0，f ′（x ）＞0，此时f （x ）增，当﹣1＜x ＜0时，xf ′（x ）＞0，f ′（x ）＜0，此时f （x ）减，当0＜x ＜1时，xf ′（x ）＜0，f ′（x ）＜0，此时f （x ）减，当x ＞1时，xf ′（x ）＞0，f ′（x ）＞0，此时f （x ）增．故选C ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．属于基础题． 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048【答案】A 【解析】【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n -==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072，故选A ．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．11. 若函数2322ln ,0()4,0x x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩的图像和直线y ax =有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（） A. 2(,4)e-B. (0,4)C. 2(,0)e-D.2(,0)(0,4)e-⋃ 【答案】D 【解析】【分析】当x=0时，显然符合题意；当x≠0时，问题可转化为()22,04,0xlnx x g x x x x >⎧=⎨--⎩＜和直线y a =有三个不同的公共点，从而得到结果. 【详解】由题意可知：原点显然满足题意，问题可转化为()22,04,0xlnx x g x x x x >⎧=⎨--⎩＜和直线y a =有三个不同的公共点，如图所示：由图易得：()2a ,00,4e ⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭故选D【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A. 一定有3号球 B. 一定没有3号球C. 可能有5号球D. 可能有6号球【答案】D 【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2 ，6）根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球故选D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.13. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()33-=+f x f x ，且对任意12∈，x x （0，3)都有()()21210-<-f x f x x x ，若2a =2log 3b =，ln 4c e =，则下面结论正确的是（）A. ()()()<<f a f b f cB. ()()()<<f c f a f bC. ()()()<<f c f b f aD. ()()()<<f a f c f b【答案】C 【解析】【分析】由条件()()33-=+f x f x ，可知函数()f x 关于3x =对称，由对任意12∈，x x （0，3)都有()()21210-<-f x f x x x ，可知函数在x ∈（0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到a b c ，，的大小．【详解】因为()()33-=+f x f x ，得函数()f x 关于3x =对称，又对任意12∈，x x （0，3)都有()()21210-<-f x f x x x ，所以函数()f x 在x ∈（0，3)时单调递减，因为020221log 32a b <=<=<=<，所以()()()2f a f f b >>，又()()ln4=442f c f e=∴=，，所以()()2f c f =，所以()()()<<f c f b f a ，故选C .【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题: (本大题共4小题，每小题5分，共20分 )14. 在复平面内，复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围是________．【答案】()()2,12,--+∞【解析】【分析】由已知建立不等式组，解之可得答案．【详解】根据题意得出22020m m m +>⎧⎨-->⎩，解得21m -<<-或>2m ，所以实数m 的取值范围是()()2,12,--+∞．故答案为：()()2,12,--+∞．15.11)x dx -=⎰________．【答案】2π【解析】【分析】利用定积分的几何意义及其计算公式，可得结论．【详解】由题意，可得()1112221111111(1)2|02222x x dx x dx xdx x πππ----⎛⎫-+=-+=+⨯=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰. 故答案为：2π． 16. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．【答案】30 【解析】【分析】【详解】由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L （p ）=pQ ﹣20Q=Q （p ﹣20）=（8300﹣170p ﹣p 2）（p ﹣20） =﹣p 3﹣150p 2+11700p ﹣166000，所以L′（p ）=﹣3p 2﹣300p+11700．令L′（p ）=0，解得p=30或p=﹣130（舍去）．此时，L （30）=23000．因为在p=30附近的左侧L′（p ）＞0，右侧L′（p ）＜0．所以L （30）是极大值，根据实际问题的意义知，L （30）是最大值，故答案为30【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用导数求函数的最值，由于函数为单峰函数，故极值就为函数的最值．一般实际应用题，先理解题意，构建数学模型，写出数学表达式，用数学知识解决实际应用题．注意要结合实际，比如取整问题． 17. 已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23a b+的最小值为__________. 【答案】526+【解析】【分析】函数求导，由切线方程y x a =-可得1a b +=，再利用基本不等式求得最值. 【详解】ln()y x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，,a b 为正实数，则23232323()()2352526b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++≥+⋅=+，当且仅当6a b =，即62,36a b =-=-时，取得最小值526+. 故答案为：526+【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.三、解答题: (本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18. 已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．【答案】43【解析】【分析】先求导数，确定切线斜率，根据点斜式得切线方程，再确定积分区间，最后根据定积分得面积.【详解】因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .由22y x y x ⎧=⎨=⎩可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积()02232218424333S x xdx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查导数几何意义、利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.19. 设,x y 为正实数，且1x y +=，求证：11119x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】证明见解析. 【解析】【分析】对1111x y ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用1x y +=化简，得到52x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭然后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为,x y 为正实数，且1x y +=，所以111111111131x y x y x y x y x y xy x y xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++=+++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++35259y x x y y x y x y x y x xy ⎛⎫+=++++=++≥+= ⎪⎝⎭+，当且仅当12x y ==等号成立. 所以11119x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 20. 已知函数()312f x x x =-.(1)求函数()f x 的极值；(2)当[]3,3x ∈-时，求函数()f x 的最值．【答案】（1）()f x 的极大值为()216f -=，极小值为()216f =-；（2）()f x 的最大值为()216f -=，最小值为()216f =-【解析】【分析】（1）直接利用导数求函数的极值.(2)比较端点函数值和极值的大小即得解. 【详解】(1)f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)＝0，解得x ＝2或x ＝－2，x ，f ′(x )，f (x )的变化如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增16单调递减－16单调递增∴函数f (x )的极大值为f (－2)＝16，极小值为f (2)＝－16. (2)由(1)知，f (－2)＝16，f (2)＝－16，又f (－3)＝9，f (3)＝－9，∴当x ∈[－3,3]时，函数f (x )的最大值为f (－2)＝16，最小值为f (2)＝－16.【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值：①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x ）；②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间(,)a b ，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值.21. 中国民间十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含()f n 个小正方形．（1）求出(5)f 的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出(1)f n +与()f n 之间的关系式，并根据你得到的关系式猜测出()f n 的表达式；（3）求1111(1)(2)1(3)1()1f f f f n ++++--- (2n ≥)的值．【答案】（1）(5)41f =；（2）(1)()4f n f n n +-=，2()221f n n n =-+；（3）3122n- 【解析】【分析】（1）按着规律画出第五个图即可求得()5f ；（2）根据规律可确定()()14f n f n n +-=，再利用累加法可求()f n 的表达式；（3）先化简()11f n -，再利用裂项相消法进行求和.【详解】（1）按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得(5)41f =.（2）可得(2)(1)41f f -=⨯；(3)(2)842f f -==⨯；(4)(3)1243f f -==⨯；(5)(4)1644f f -==⨯；……由上式规律，可得()(1)4(1)f n f n n --=-,(1)()4f n f n n +-=累加可得2(11)(1)()(1)4[12(1)]4222n n f n f n n n +---=+++-=⨯=-，又(1)1f =，∴2()221f n n n =-+.(3)当2n ≥时，211111()1222(1)121f n n n n n n n ==-⎛⎫=- ⎪-⎝-⎭-，∴()()()()1111121311f f f f n ++++---1111111131111122231222n n n n⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 【点睛】思路点睛：本题考查利用累加法求数列通项公式和裂项相消法求和，（1）若已知1a 和1()n n a a f n --=求通项，利用累加法进行求解；（2）裂项相消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：①已知1(1)n a n n =+求和，即111=(+11n n n n -+）；②已知1(21)(21)n a n n =-+求和，即1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+；③已知n a ==22. 已知函数()3f x ax bx c =++在点2x =处取得极值16c -. (1)求,a b 的值；(2)若()f x 有极大值28，求()f x 在[]3,3-上的最小值．【答案】(1) 1,12a b ==-;(2) 4-. 【解析】【分析】（1）f′（x ）=3ax 2+b ，由函数f （x ）=ax 3+bx+c 在点x=2处取得极值c ﹣16．可得f′（2）=12a +b=0，f （2）=8a+2b+c=c ﹣16．联立解出．（2）由（1）可得：f （x ）=x 3﹣12x+c ，f′（x ）=3x 2﹣12=3（x+2）（x ﹣2），可得x=﹣2时，f （x ）有极大值28，解得c ．列出表格，即可得出．【详解】解：因()3f x ax bx c =++.故()23f x ax b '=+由于()f x 在点x=2处取得极值c-16.故有()()20,216,f f c ⎧'=⎪⎨=-⎪⎩即120,8216,a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩化简得120,48,a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得a=1，b=-12.（2）由（1）知()312f x x x c =-+；()()()2312322f x x x x ==-'-+.令()0f x '=，得12x =-，22x =.当(),2x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(),2-∞-上为增函数；当()2,2x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在()2,2-上为减函数；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()2,+∞上为增函数.由此可知()f x 在12x =-处取得极大值；()216f c -=+，()f x 在22x =处取得极小值()216f c =-.由题设条件知16+c=28，得c=12.此时()3921f c -=+=，()393f c =-+=，()2164f c =-+=-，因此()f x 在[]3,3-上的最小值为()24f =-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23. 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围【答案】（1）y bx c =+（2）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()0f '，再根据点斜式写切线方程；（2）由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零，解不等式可得c 的取值范围试题解析：解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b =++'．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．24. 已知函数f （x ）＝－2xlnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a>0.（Ⅰ）设g （x ）为f （x ）的导函数，讨论g （x ）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a ∈（0，1），使得f （x ）≥0恒成立，且f （x ）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.【答案】（Ⅰ）当x ∈（0，1）时，g'（x ）＜0，g （x ）单调递减当x ∈（1，＋∞）时，g'（x ）＞0，g （x ）单调递增（Ⅱ）见解析【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）由已知，函数f （x ）的定义域为（0，＋∞） g （x ）＝f '（x ）＝2（x －1－lnx －a ）所以g'（x）＝2－22(1)xx x-=当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增（Ⅱ）由f '（x）＝2（x－1－lnx－a）＝0，解得a＝x－1－lnx令Φ（x）＝－2xlnx＋x2－2x（x－1－lnx）＋（x－1－lnx）2＝（1＋lnx）2－2xlnx 则Φ（1）＝1＞0，Φ（e）＝2（2－e）＜0于是存在x0∈（1，e），使得Φ（x0）＝0令a0＝x0－1－lnx0＝u（x0），其中u（x）＝x－1－lnx（x≥1）由u'（x）＝1－1x≥0知，函数u（x）在区间（1，＋∞）上单调递增故0＝u（1）＜a0＝u（x0）＜u（e）＝e－2＜1即a0∈（0，1）当a＝a0时，有f '（x0）＝0，f（x0）＝Φ（x0）＝0再由（Ⅰ）知，f '（x）在区间（1，＋∞）上单调递增当x∈（1，x0）时，f '（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）＝0当x∈（x0，＋∞）时，f '（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）＝0又当x∈（0，1]时，f（x）＝（x－a0）2－2xlnx＞0故x∈（0，＋∞）时，f（x）≥0综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.考点：本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.。