2014年华约自主招生数学试题及参考解答

2014年“华约”自主招生数学试题

1、设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是5个正整数，从中任取4个数求和所得的集合为{}44,45,46,47，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的值．

2、甲乙2人进行乒乓球比赛，单局甲胜的概率为p （p >12

），若采取5局3胜制，设甲比赛获胜的概率是q ．问当p 为何值时，q p -取得最大值？

3、已知函数())cos sin sin 2sin 4f x x x x a x b π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝

⎭（a>0）有最大值1和最小值-4．求a 、b 的值．

4 、已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，设-1f 表示f 的反函数，f g 表示函数f 与函数g 的复合

函数，即()()(())f

g x f g x =

（1）证明-11

1()()()()f

g x g f x --=．

（2）记()()F x f x =-，1()()G x f x -=-, 证明：若()F x 是()G x 的反函数，则()f x 是奇函数．

5、从椭圆12222=+b

y a x )0(>>b a 上的动点M 作圆2

22b y x =+的2条切线，切点为P 和Q ，直线

PQ 与x 和y 轴的交点分别为E 和F ，求EOF ∆面积的最小值。

6、已知数列{}n a 满足n

n n qa np a +=+1，01=a 。

（1）若1=p ，求{}n a 的通项公式；

（2）若1||

7、设n 为正整数，证明当n x ≤时，

2

1e n

x x n n x n ⎛

⎫-⋅-⋅≤ ⎪⎝⎭．

附录：2014年“华约”自主招生数学参考解答

1 [解法1] 设五个数任取四个，得到的五个和分别是44，45，46，47，a ．由题意，a 是44，45，46，47中的一个．又

12345

444546474a

x x x x x ++++=++++

是整数，知46a =且1234557x x x x x ++++=．从而这五个数是574413-=，574512-=，574611-=，

574611-=，574710-=．

[解法2]

2 【解法1】

设甲胜的局用1表示，乙胜的局用0表示．甲取得比赛胜利的情形有：111,01111

3C ⨯,1010124C ⨯.

()()2

313233411q p C p p C p p =+-+-，设()54361510f p q p p p p p =-=-+-．

则()()

()2

432222'30121111f p p p p p p p p p =30-60+-=30-+-=30--．

由单调性可知，当

1130

2430p =

+-时，q p -取到最大值． 【解法2】

4、解析：

5、解析：

7 答案：原不等式等价于： 2

1e n

x

x n x n n ⎛

⎫-≤⋅-⋅ ⎪⎝⎭；

若2

x n ≥，则左边非正，右边非负，自然成立．

若2

x n ≤，则右边

222

221e 1111n

n

n

x

n x x x x x n n n n n n x n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅≥⋅-⋅+=⋅-≥⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也成立，证毕．

注：第7题证明中用了如下两个事实：

（1）若0x ≥，则e 1x

x ≥+；

（2）若1x ≥-，1α≥，则

()11x x α

α+≥+．

其中第二个不等式称为贝努力不等式．历年“华约”题目中围绕e 的不等式屡见不鲜． 除上述两个结论外， （3）若0x ≥，则

()ln 11x

x x x ≥+≥

+；

（或()2

ln 12x x x x

-≤+≤）．

（4）若0x ≥，则 3

sin tan 6x x x x x

-<<<；

（5）若0x ≥，则 2

cos 12x x ≥-

．

也常用在不等式的估计中．上面的不等式涵盖了指数、对数、三角函数、幂函数的一阶或高阶估计，比较全面，是值得了解的！