博弈论第三章习题

问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中a 、b 数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a 或b 应满足什么条件？

①0a <，不借—不分—不打；

②01a <<，且2b >，借—不分—打；

③1a >，且2b >，借—不分—打(,)a b ；

④0a >，且2b <，借—分—（2，2）

问题2：三寡头市场需求函数Q P -=100，其中Q 是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？

1123111231(100)2(98)q q q q q q q q q π=----=---

2123221232(100)2(98)q q q q q q q q q π=----=---

3123331233(100)2(98)q q q q q q q q q π=----=---

331230,(98)/2q q q q π∂=⇒=--∂ 代入，11212122(98)/2,(98)/2q q q q q q ππ=--=--

（a ，b ） （0，4）

1212

0,0q q ππ∂∂==∂∂，得***12398/3,49/3q q q ===

***1234802/9,2401/9πππ===。

问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所示。

（1）若a 和b 分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？

（2）T N L --是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？

（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？

（1）博弈方1在第一阶段选择R ，在第三阶段选择S ，博弈方2在第二阶段选择M 。 （2）不可能。T N L --带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R 的得益300；无论a 和b 是什么数值，该路径都不能构成Nash 均衡，不能成为子博弈完美Nash 均衡。

（3）由于T N L --不是本博弈的子博弈完美Nash 均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位的得益，唯一有可能实现300单位及以上的得益的路径为L N S --，要使该路径成为子博弈完美Nash 均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须300,300a b >≥。

问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品

（a ，b ） 50，300

选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。

（1）用扩展型表示这一博弈。

（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？

若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元；

若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元，

所以：甲的策略为：选择生产高档产品；

乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，乙选择高档。

本博弈的子博弈Nash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。

问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。

两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施）

实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另一个（给，实施）不可信。

问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润

函数是q c aq p ++--

=21)（π，企业2的利润函数是p b q +--=22)（π，其中p 是企业1的价格，q 是企业2的价格。求：

（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；

（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；

（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；

（4）是否存在参数c b a ,,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？

解：（1）122()02()0p aq c p q b q

ππ∂=--+=∂∂=--=∂，解得：,p ab c q c =-= 12,b ab c ππ==-

（2）22()0q b q π∂=--=∂，代入得到

21)p ab c b π=--++（，12)0p ab c p

π∂=--+=∂（，得 p ab c =-，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价p ab c =-，企业2的定价q b =，利润也与（1）相同。与同时选择无异。

（3）将p aq c =-代入

-1000，1000）

222))q b p q b aq c π=--+=--+-（（

22)0q b a q

π∂=--+=∂（，解得2a q b =+，代入得 2

2

a p a

b

c =+- *12

a b b π=+>，2*24a ab c ab c π=+->- （4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激励。①当2

4

a a

b

c ab c +->-0a ⇒≠，企业2希望先决策； ②当2

a b b >+时，企业1希望先决策，只要0a <都希望自己先决策。

2

0,0,0,024

a a

b b ab

c ab c >+>->+->，因此当 0,2

a a

b <>-和

c ab <时都能满足，这样才参数范围都希望自己先决策。

问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为Q a Q P -=)(，其中321q q q Q ++=，i q 是厂商i 的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数c ，没有固定成本。如果厂商1先选择产量1q ，厂商2和厂商3观察到1q 后同时选择2q 和3q ，问它们各自的产量和利润是多少？

解：[]123()()1,2,3i i a c q q q q i π=----=

21232

31233

2020a c q q q q a c q q q q ππ∂=----=∂∂=----=∂

2311()3q q a c q ==--，代入得1111()3

a c q q π=-- 令*11110,()2

d q a c dq π==-，代入得：**231()6q q a c ==-