2019秋九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.3 相似三角形 23.3.1 相似三角形习题讲
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[推荐学习]2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.1相似三角形同步23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念 1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，其对应边A ′B ′＝4 cm ，则相似比为________．2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )A. 23B. 32C. 49D. 943．如图23－3－1，Rt △ADC ∽Rt △DBC ，AC ＝3，BC ＝4，试求△ADC 与△DBC 的相似比．图23－3－1＝∠B＝50°，∠C＝70°，则∠2＝________°，AD（）＝（）BC.7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ADE∽△ABC，其中∠ADE＝∠B.图23－3－38．如图23－3－4，已知AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，且△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F在平行四边形ABCD 的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个图23－3－611．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC 中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.(1)求ADAB的值；(2)求BC的长．图23－3－712．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A2B2C2的相似比为________．13．已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别为1和 3.若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的第三边长为________．图23－3－814. 如图23－3－8所示，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH 的长．图23－3－916．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG于点Q，则QI ＝________．图23－3－1017．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．1. 322. B3．解：∵Rt △ADC ∽Rt △DBC ，∴AC DC ＝DC BC ，即3DC ＝DC 4， ∴DC 2＝12，则DC ＝2 3，∴△ADC 与△DBC 的相似比为32 3＝32.4．D ． 5．B6．70 AC ED 7．解：(1)AD AB ＝AE AC ＝DEBC .(2)AO A ′O ＝BO B ′O ＝AB A ′B ′.(3)AD AB ＝AE AC ＝DE BC.8．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°.(2)∵△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD.又∵AC＝4，BC＝6，∴CD＝4×46＝83.9．C [解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴△ADE∽△EFC，共3对．故选C.10．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．11．解：(1)∵AD＝4，DB＝8，∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，∴ADAB＝412＝13.(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB.∵DE＝3，∴3BC＝13，∴BC＝9.12 2∶5[解析] ∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，∴AB∶A1B1＝2∶3，A1B1∶A2B2＝3∶5.设AB＝2x，则A1B1＝3x，A2B2＝5x，∴AB∶A2B2＝2∶5，∴△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.13． 214．2∶515．∵AB∥GH∥DC，∴△CGH∽△CAB，△BGH∽△BDC，∴GHAB＝CHCB，GHDC＝BHBC，∴GH AB ＋GH DC ＝CH CB ＋BH BC＝1. ∵AB ＝2，DC ＝3，∴GH 2＋GH 3＝1，∴GH ＝65. 16． 4317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论．设另外两条边的长分别为x ，y (x <y )． 根据题意，得5x ＝6y ＝73或5x ＝63＝7y 或53＝6x ＝7y， 所以x ＝157，y ＝187或x ＝52，y ＝72或x ＝185，y ＝215. 故另一个三角形的另外两边的长为157，187或52，72或185，215.。
华师版九年级数学上册作业课件(HS)第23章 图形的相似 相似三角形 第4课时 相似三角形的性质
第 23 章 图形的相似
23.3 相似三角形
第4课时 相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
1．(2分)(重庆中考)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为 （ A） A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
2．(3分)△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，AD，A′D′分别是边BC，
12．(6分)如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠B，若AC＝ 2，AD＝1. (1)求DB的长； (2)求△ACD与△ABC的面积的比．
解：(1)∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AACB ＝AACD ， 又∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴DB＝AB－AD＝3 (2)∵△ACD∽△ABC 且AACB ＝12 ，∴△ACD 与△ ABC 的面积的比为 1∶4
9．(3分)一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的 最长边为24，则较大三角形的周长为___6_0______．
相似三角形面积的比等于相似比的平方
10．(3分)已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的 面积比为( A ) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1 11．(3分)(贵港中考)如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形 BCFE＝16，则S△ABC＝( B ) A．16 B．18 C．20 D．24
7．(3分)(沈阳中考)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中
线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是(
)
A．3∶C5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
8．(3 分)如图，在△ ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，DE∥BC， 且 AD＝13 AB，则△ ADE 的周长与△ ABC 的周长的比为__1_∶__3____．
第23章23.3.3.相似三角形的性质
【规范解答】(1)∵AE∶EB＝1∶2， ∴AE∶AB＝1∶3. ∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB 綊 CD.∴AE∶CD＝AE∶AB＝1∶3， △AEF∽△CDF. ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝1∶3. (2)∵△AEF∽△CDF，∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9. ∵S△AEF＝6cm2，∴S△CDF＝6×9＝54(cm2)． 【方法归纳】在以平行四边形为背景的图形中，要利用平行四边形的对边平 行，得出角的相等关系，寻找证明三角形相似的条件.
(1)证明：∵四边形 EFGH 是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE ＝∠C， ∴△AEH∽△ABC.
(2)求这个正方形的边长与面积．
解：如图，设 AD 与 EH 交于点 M. ∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形 EFDM 是矩形，∴EF＝DM， 设正方形 EFGH 的边长为 x，∵△AEH∽△ABC，∴EBHC＝AAMD，∴4x0＝303－0 x， ∴x＝1720，∴正方形 EFGH 的边长为1720cm，面积为1444900cm2.
3，则△ABC 与△DCA 的面积之比为( C )
A．2∶3
B．2∶5
C．4∶9
D． 2∶ 3
6．如图，在△ABC 中，EF∥BC，EABE＝12，S 梯形 BCFE＝8，则 S△ABCD．13
7．如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，D、E 分别是 AC、BC 的中点， 则下面四个结论：①△CDE∽△CAB；②DE∥AB；③DE＝1；④△CDE 的 面积与△CAB 的面积之比为 1∶4.其中正确的有( D )
AB2＋BC2＝ 82＋62＝10cm，BH＝ABA·CBC＝81×06＝254(cm)，∴1y0＝2542－4 y， 5
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 【教案】相似三角形的应用
相似三角形的应用【知识与技能】会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.【过程与方法】通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力.【情感态度】【教学重点】构建相似三角形解决实际问题.【教学难点】把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决.一、情境导入，初步认识复习1.相似三角形有哪些性质？2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）二、思考探究，获取新知第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.例1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，从而求得OB的长度.解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA,∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°,∴△OAB∽△O′A′B′.答：金字塔的高度OB为137米.例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一这一边上选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD ∽△ECD （两角分别相等的两个三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB=6050120⨯=⨯CD EC BD =100（米）.答：两岸间的大致距离为100米.这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.例3 如图，已知D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE=∠C.求证：AD ·AB=AE ·AC.【分析】把等积式化为比例式ABAC AE AD =,猜想△ADE 与△ABC 相似，从而找条件加以证明.证明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE ∽△ACB （两角分别相等的两个三角形相似）. ∴AB AE AC AD , ∴AD ·AB=AE ·AC.三、运用新知，深化理解1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m ，在这岸离开岸边16m 处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE ∽△ACD,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC 的长.2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C 、D ，然后测出两人之间的距离CD=1.25m ，颖颖与楼之间的距离DN=30m （C 、D 、N 在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m ，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？【答案】1.24m 2.20.8m【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.四、师生互动，课堂小结这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？【教学说明】学生小组讨论，分小组陈述演示，教师归纳板书.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题（相似）来解决,进一步提高学生应用数学知识的能力.。
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[推荐学习]2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.4相似三角形的应23.3.4 相似三角形的应用知识点 1 利用三角形相似测量宽度1．如图23－3－47，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC ＝10 m，DC＝20 m，则河的宽度AB等于( ) A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m图23－3－472. 如图23－3－48是一个折叠小板凳的左视图，图中有两个等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为4，底边长为6，另一个三角形框架的腰长为2，则相应的底边长为________．图23－3－483. 如图23－3－49，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份．如果小管口中DE正好对着量具上30份处米6．如图23－3－51是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm.图23－3－517．［2017·吉林］如图23－3－52，某数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2 m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4 m，BD＝14 m，则旗杆AB的高为________m.图23－3－528．如图23－3－53，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m.图23－3－539．如图23－3－54所示(示意图)，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高了几米？图23－3－5410．如图23－3－55，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120 mm，高AD＝60 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是________ mm.图23－3－5511．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远的一小块积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为20米，该学生的眼睛离地面的距离为1.5米，那么旗杆的高度是多少？12．［教材练习第1题变式］数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为 1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图23－3－56)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m．请你帮她算一下树高是多少？图23－3－5613．如图23－3－57(示意图)，小华在晚上由路灯C的底部A走向路灯D的底部B.当她走到点P时，发现她身后影子的顶部刚好接触到路灯C的底部A处；当她向前再步行12 m到达点Q时，发现她身前影子的顶部刚好接触到路灯D的底部B处．已知小华的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m，且AP＝QB.(1)求两个路灯之间的距离；(2)当小华走到B处时，她在路灯C下的影长是多少？图23－3－571．B 2. 33. 54．解：∵∠CEA＝∠BDA＝90°，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴ADAE＝BDCE.∵AD＝20 m，BD＝15 m，CE＝45 m，∴2020＋DE＝1545，解得DE＝40(m)．答：河宽DE为40 m.5．C6．167．98．5.59．解：设长臂端点升高了x米．根据题意，得116＝0.5x，解得x＝8.答：长臂端点升高了8米．10． 40 11．]解：∵旗杆高度1.5＝202，∴旗杆高度＝15(米)．答：旗杆的高度是15米．12如图：设BD是BC在地面上的影子，树高为x m，则CBBD＝10.8.∵CB＝1.2，∴BD＝0.96，∴树在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56.由竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得x3.56＝10.8，解得x＝4.45，∴树高是4.45 m. 13．解：(1)∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，∴APAB＝PMBD，即APAB＝1.69.6＝16，∴AP＝16 AB.∵AP＝QB，生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 ∴QB ＝16AB ， 而AP ＋PQ ＋QB ＝AB ，∴16AB ＋12＋16AB ＝AB ，∴AB ＝18. 答：两个路灯之间的距离为18 m.(2)如图，设她在路灯C 下的影子为BE . ∵BF ∥AC ，∴△EBF ∽△EAC ，∴BE AE ＝BF AC， 即BE BE ＋18＝1.69.6＝16， 解得BE ＝3.6.答：当小华走到B 处时，她在路灯C 下的影长是3.6 m.。
华师版九年级数学上册作业课件(HS)第23章 图形的相似 相似三角形 相似三角形判定定理 1
9．(2020·贵港)如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，若 BC＝3，BD＝2，
且∠BCD＝∠A，则线段 AD 的长为( B )
13．(杭州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB 于点E. (1)求证：△BDE∽△长． 解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B ＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC， ∴△BDE∽△CAD (2)∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，在 Rt△ADB 中，AD＝ AB2－BD2 ＝ 132－52 ＝12，∵21 AD·BD＝12 AB·DE
16 BC＝3，则 AD＝__5__．
7．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC ＝8，AD＝6，当AP的长为__4_或__9__时，△ADP和△ABC相似.
8．(江西中考)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且 ∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
∴DE＝6103
14．(2020·苏州)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F. (1)求证：△ABE∽△DFA； (2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
解：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB， ∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA (2)∵E 是 BC 的中 点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE＝ AB2＋BE2 ＝ 62＋22 ＝2 10 ，
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 【教案】相似三角形
相似三角形【知识与技能】1.知道相似三角形的概念；2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长；4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似.【过程与方法】在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.【情感态度】培养学生严谨的数学思维习惯.【教学重点】掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.【教学难点】熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数.一、情境导入，初步认识复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？二、思考探究，获取新知 1.相似三角形的有关概念：由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似.三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？ 如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A=A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，C A AC C B BC B A AB ''=''=''，那么△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”.由于∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，所以A 与A ′是对应顶点，B 与B ′是对应顶点，C 与C ′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记C A ACC B BC B A AB ''=''=''=k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC ∽△A ′B ′C ′，它的相似比为k ，即指B A AB''=k ，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比应是B A AB''，就不是k 了，应为多少呢？同学们想一想. 如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比k=1，你会发现什么呢？C A ACC B BC B A AB ''=''=''=1，所以可得AB=A ′B ′,BC=B ′C ′,AC=A ′C ′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？2.△ABC 中，D 是AB 上任意一点，过D 作DE ∥BC,交AC 边于E ，那么△ADE 与△ABC 是否相似？【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得BC DE AC AE =，通过度量发现ABADBC DE =，所以可以判断出△ADE 与△ABC 相似.思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？（2）若是DE ∥BC,DE 与BA 、CA 延长线交于E 、D ，那么△ADE 与△ABC 还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式.【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.例1 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长.解：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、运用新知，深化理解1.如图所示，DE∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长.2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E 是边AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，BE 的延长线交CD 的延长线于点G.（1）求证：BCAEGB GE =; （2）若GE=2,BF=3，求线段EF 的长.【答案】1.（1）DE ∶BC=2∶5 （2）AE=6,BC=235. 2.（1）证明：∵AD ∥BC ，∴△GED ∽△GBC ，∴BCEDGB GE =.又∵ED=AE, ∴BCAEGB GE =. （2）设EF 的长为x,则由（1）知BCAEGB GE =, 又∵GB GE BC AE =,∴BFEFGB GE =,即3322xx =++,解得x 1=-6（舍去）,x 2=1,∴EF=1.【教学说明】第2题教师适当，小组讨论后独立完成. 四、师生互动，课堂小结你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解.。
华师大版九年级数学上第23章图形的相似23.3.2(第二节)相似三角形的判定公开课优秀教学案例
2.利用多媒体技术和实物模型，为学生提供丰富的直观资源，提高学生的直观表达能力。
3.组织小组合作学习，培养学生的问题解决能力和团队合作精神。
4.注重过程性评价与终结性评价相结合，全面评价学生的学习过程和结果。
五、教学过程
1.导入：通过复习相似图形的概念，引导学生自然过渡到相似三角形的学习。
2.新课导入：介绍相似三角形的定义和性质，引导学生理解和掌握。
2.设计具有层次性的问题，引导学生自主探究相似三角形的判定方法。
3.组织小组合作学习，培养学生的问题解决能力和团队合作精神。
4.利用多媒体技术，展示相似三角形的动态变化过程，提高学生的直观表达能力。
5.在教学过程中，关注学生的个体差异，给予不同的学生不同的指导和鼓励。
6.引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自己的优点和不足，及时调整学习策略。
3.通过本节课的学习，使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学素养。
三、教学重点与难点
1.教学重点：相似三角形的定义和性质，相似三角形的判定方法。
2.教学难点：相似三角形的判定方法的灵活运用，相似三角形在实际问题中的解决。
四、教学策略
1.采用问题驱动的教学模式，引导学生自主探究相似三角形的判定方法。
3.判定方法探索：设计一系列具有层次性的问题，引导学生自主探究相似三角形的判定方法。
4.实例讲解与应用：运用多媒体技术和实物模型，讲解相似三角形的判定过程，并引导学生运用所学知识解决实际问题。
华师大版九年级数学上第23章图形的相似23.3.2(第二节)相似三角形的判定公开课教学设计
2.引导学生通过观察、猜想、验证等途径，自主探究相似三角形的判定方法，培养学生的动手操作能力和观察力。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队协作能力和表达能力，提高学生对知识的理解和运用能力。
4.注重培养学生的问题解决能力，引导学生运用所学知识解决实际问题时，能够灵活选择和运用判定方法。
-目的：拓展学生的知识面，提高学生解决复杂问题的能力。
4.小组合作题：分组讨论，共同解决一道相似三角形判定的问题，要求每组提交一份解题报告。
-目的：培养学生的团队协作能力和交流表达能力，共同提高。
5.思考题：请同学们思考，相似三角形判定方法在平面几何中还有哪些应用？举例说明。
-目的：激发学生的思考，提高学生对相似三角形知识体系的认识。
（四）课堂练习
1.设计练习：教师设计具有代表性的练习题，涵盖相似三角形的判定方法，让学生进行巩固。
-教师设计：这里有一些关于相似三角形判定的练习题，请同学们独立完成。
2.互动解答：学生互相讨论，解答练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
-教师指导：在解答练习题的过程中，如果遇到问题，可以与周围的同学讨论，我也会巡回解答你们的疑问。
-教师提问：同学们，我们之前学习了全等三角形的判定方法，谁能来说一说有哪些判定方法？
-学生回答：SSS、SAS、ASA、AAS等。
2.生活实例：展示生活中含有相似三角形的图片，如建筑物的立面图、摄影作品等，引导学生观察并发现相似三角形的美。
-教师引导：同学们，观察这些图片，它们有什么共同的特点？
-学生回答：它们都包含了相似的三角形。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：以生活中的实例，如摄影中的构图、建筑物的相似结构等，引出相似三角形的判定问题，激发学生的学习兴趣。
华东师大版数学九年级上册23.3.2相似三角形的判定优秀教学案例
2.学生在解决实际问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强他们的自信心，培养他们克服困难的意志。
3.学生能够认识到数学与生活密切相关，增强他们的数学应用意识，提高他们的数学素养。
4.学生能够尊重事实，遵循逻辑规律，培养他们严谨的学习态度和良好的学习习惯。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过展示实际生活中的图片，如建筑物的平面图、电路图等，引导学生发现相似三角形的应用，激发学生的学习兴趣，让学生认识到数学与生活的紧密联系。
2.问题情境：设计具有挑战性和探究性的问题，如“判断两个三角形是否相似？”、“为什么相似三角形的对应边成比例？”等，激发学生的好奇心，引发学生的思考。
（二）过程与方法
1.学生通过自主学习、合作交流、探讨研究等方法，掌握相似三角形的判定方法和性质。
2.学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现相似三角形的判定规律，培养他们的逻辑思维能力和解决问题能力。
3.学生能够在解决实际问题的过程中，运用相似三角形的知识，提高他们的实践操作能力。
（三）情感态度与价值观
3.鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维和创新能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，鼓励他们分享自己的观点和思考，培养学生的沟通能力和团队协作能力。
2.设计具有挑战性和探究性的小组活动，如探究相似三角形的判定方法、相似三角形的性质等，让学生在合作中思考，在思考中合作。
3.教师在小组合作过程中给予及时的指导和反馈，帮助学生建立正确的数学观念，提高他们的数学素养。
3.知识情境：通过回顾全等三角形的知识，引导学生发现全等三角形与相似三角形的联系和区别，为学习相似三角形奠定基础。
华师版九年级数学上册第二十三章教学课件 相似三角形的判定
感悟新知
知3－练
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，
紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比
较法判断.
思路点拨： 利用三边成比例判定两三角形相似的方法：
先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序 排列，找出两个三角形的对应边；
再分别计算小、中、大三组对应边的比; 最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角 形相似，否则不相似.
●应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角 形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要 注意边的对应情况.
感悟新知
2. 数学表达式
如图23.3-13，在△ ABC 和△ DEF 中，
∵
AB DE
BC EF
CA FD
,
∴△ ABC ∽△ DEF.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例 3 图23.3-14， 图23.3-15 中小正方形的边长均为1， 则图23.3-15 中的哪一个三角形( 阴影部分) 与图 23.3-14 中的△ ABC相似？
知1－讲
感悟新知
3. 常见的相似三角形的类型
知1－讲
(1)平行线型：如图23.3-9 ①， 若DE ∥ BC， 则△
ADE ∽△ ABC.
(2)斜交线型：如图23.3-9 ②，若∠ AED= ∠ B，则
△ AED ∽△ ABC.
感悟新知
(3)“ 子母”型：如图23.3-9 ③，若∠ ACD= ∠ B， 知1－讲 则△ ACD ∽△ ABC.
知1－练
感悟新知
知识点 2 边角关系判定三角形相似定理
知2－讲
1. 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
特别提醒：
第23章 23.3 3.相似三角形的性质
A．9 C.12
B．10 D．13
8．某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使
得水池的一边在△ABC的边BC上，△ABC中，边BC＝60m，高AD＝30m.
则水池的边长应为( B )Βιβλιοθήκη A．10mB．20m
C.30m
D．40m
9．(青海中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝
13．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝ 40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形 EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG 的交点为M. (1)求证：AAMD ＝HBCG； (2)求这个矩形EFGH的周长． (1)证明：∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC.∵AM为△AHG的高，AD为△ ABC的高，∴AAMD ＝HBCG；
解：设△ABC的周长为x，则△ADE的周长为x－16.因为
AD AB
＝
AE AC
，∠EAD
＝∠CAB，所以△EAD∽△CAB，所以
x－16 x
＝
AD AB
＝
3 5
，解得x＝40，所以
△ABC和△ADE的周长分别是40和24.
7．如图，在△ABC中，EF∥BC，AEEB＝12，S梯形BCFE＝8，则S△ABC是( A )
5．(北京中考)如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点．若S△CMN ＝1，则S四边形ABNM＝ 3 .
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 12:46:07 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
23.相似三角形的判定第1课时PPT课件(华师大版)
∴△ACD∽△ABC．
(2) 解：∵△ACD∽△ABC， ∴AC＝AD，即 4 ＝3， AB AC AB 4 ∴A B ＝16. 3
第23章 图形的类似
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F. 求证：△DEH∽△BCA．
第23章 图形的类似
两角判定两个三角形类似
| 23.3.2 类似三角形的判定 第1课时 |
华师版(2012)九年级上册数学
回顾知识
类似多边形
第23章 图形的类似
性质
对应边成比例，对应角相等，类似比等于对应 边的比）
当类似比等于 1 时，类似图形即是全等图形， 全等是一种特殊的类似
定义
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的 延长线)相交，所构成的三角形与原三角形类似
第23章 图形的类似
2．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角 分别为60° ,80 ，则这两个三角形( C )
A．一定不类似
B．不一定类似
C．一定类似
D．全等
第23章 图形的类似
3．如图，在△ABC中，若D是AB上的一点，且∠ACD＝∠B． 求证：△ACD∽△ABC； 若AD＝3，AC＝4，求AB的长．
.
新知探究
活动一 1.视察学生与老师的直角三角板（30° 与 60°），会类似吗？测量 测量，得出你的猜想.
第23章 图形的类似
活动一 2.两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°，75° . ①分别量出两个三角形三边的长度； ②这两个三角形类似吗？
第23章 图形的类似
活动二 2.与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′，