特殊的平行四边形(知识点、例题、练习)

知识点

知识点1、平行四边形

1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、性质：

（1）平行四边形两组对边分别平行。

（2）平行四边形的对边相等。

（3）平行四边形的对角相等。

（4）平行四边形的两条对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3、判定：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

知识点2、矩形

1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2、性质：

（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的两条对角线相等。

（3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。

3、判定：

（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个内角是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

知识点3、菱形

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、性质：

（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。（3）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。

3、判定：

（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）四条边都相等的四边形是菱形。

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

知识点4、正方形

1、定义：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形

2、性质：

（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角。 （3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。 3、判定：

（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）有一个内角是直角的菱形是正方形。

例题

一、选择题

1、下列说法不正确的是（ ）

（A ）一组邻边相等的矩形是正方形 （B ）对角线相等的菱形是正方形 （C ）对角线互相垂直的矩形是正方形

（D ）有一个角是直角的平行四边形是正方形

2、如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则 BD ：AC 等于（ ）．

（A ）3：2 （B ）1：3 （C ）1：2 （D ）3：1

3、矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）

（A ）6 cm 和9 cm （B ）5 cm 和10 cm （C ）4 cm 和11 cm （D ）7 cm 和8 cm

4、如图，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立的是（ ）

（A ）DB=AE （B ）BD=CE （C ） 90=∠EAC （D ） E ABC ∠=∠2 5、菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为（ ） （A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24

6、矩形长是8cm ，宽是6cm ，和它面积相等的正方形的对角线的长是（ ）

（A）4 cm （B）43 cm （C）8 cm (D)82 cm

7、如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）

A、AD=CF

B、BF=CF

C、AF=CD

D、DE=EF

二、填空题

9、如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．

10、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP 度数是．

11、如图所示，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，作AM的垂线GH交于G，交CD于H，若AM＝10cm，则GH＝________。

12、正方形的边长a，则顺次连结四边中点

所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为________。

13、已知：如图，菱形ABCD中，

AC=16cm,BD=12cm,菱形的边长为________.

三、解答题

14、平行四边形的对角线AC的垂直平分线

交BC于E，交AD于F。求证：四边形AECF为菱形。

15、如图，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ． （1）求证：CD=CE ；

（2）若BE=CE ，090=∠B ，求DAE ∠的度数．

E

D

C

B

A

16、如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于

E ．

（1）求证：四边形AECD 是菱形；

（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．

（提示：三角形中，一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形）

17、正方形ABCD 的边长为2cm ，E 为AD 中点，BF ⊥EC 于F ，求BF 的长。 （提示：面积法）

当堂练习

（一）选择题

1、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。 A 、BD AC =，

CD

AB //

B 、B

C A

D //，C A ∠=∠

C 、DO CO BO AO ===，B

D AC ⊥ D 、CO AO =，DO BO =，BC AB = 2、矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（ ） A 、6

B 、5.8

C 、2（1+ 3 ）

D 、5.2

3、如图，菱形ABCD 的周长为8,两邻角的比为2∶1，则对角线的长分别为（ ）

A

B

C

D

O