高中数学复习 函数的基础知识

函数的基础知识要求层次重难点函数的概念与表示 C⑴函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数．③了解简单的分段函数，并能简单应用．⑵指数函数①了解指数函数模型的实际背景．②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．④知道指数函数是一类重要的函数模型．⑶对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数xy a=与对数函数logay x=互为反函数（01a a>≠，）．⑷幂函数①了解幂函数的概念．②结合函数12321y x y x y x y y xx=====，，，，的图像，了解它们的变化情况．映射 A有理指数幂 B实数指数幂 A幂的运算 C指数函数的概念、指数函数的图象及其性质B对数的概念及其运算性质 B换底公式 A对数函数的概念、对数函数的图象及其性质B指数函数xy a=与对数函数logay x=互为反函数（0a>且1a≠）A幂函数的概念 A幂函数y x=，2y x=，3y x=，1yx=，12y x=的图象及其性质B高考要求第一讲函数的基础知识板块一：函数的三要素 （一）主要方法：1．求函数解析式的题型有：⑴已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；⑵已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； ⑶已知函数图象，求函数解析式；⑷()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； ⑸应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．2．函数的定义域包含三种形式：⑴自然型：指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；⑵限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ⑶实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义． 函数定义域的求法分两种基本类型：一是抽象函数的定义域，关键是深刻理解定义域的意义，通俗地讲定义域就是”x 的取值范围”； 二是具体函数的定义域的求法，转化为解不等式组．3．求函数值域的各种方法⑴直接法：利用常见函数的值域来求一次函数(0)y ax b a =+≠的定义域为R ，值域为R ；反比例函数(0)ky k x =≠的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|0}y y ≠；二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的定义域为R ，当0a >时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭≥；当0a <时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤．⑵配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：2()()f x ax bx c x m n =++∈，，的形式； ⑶分式转化法（也称“分离常数法”）⑷换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑸三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；知识精讲⑹基本不等式法：转化成型如：(0)ky x k x =+>，利用平均值不等式公式来求值域；⑺单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域． ⑻数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．⑼导函数法：利用原函数的导函数值的正负，判断出函数的单调性，求得值域．（二）典例分析：【例1】 若函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-，则f =________．【例2】 定义在正整数上的函数()f x 满足(1)1f =，且1()(1)2()f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩为偶数为奇数，则(22)f =_______．【例3】 已知x *∈N ，235(3)()(2)(3)x x f x f x x ⎧-=⎨+<⎩≥，其值域设为D ，给出下列数值：2619142765--，，，，，，则其中属于集合D 的元素是_______．（写出所有可能的数值）【例4】 （2014湖北理）已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式可取为（ ） A ．21x x + B ．221x x -+ C ．221x x + D ．21x x -+【例5】 求一次函数()f x ，使[()]91f f x x =+．【例6】 已知2()1f x x =-，10()20x x g x x x ->⎧=⎨-<⎩，求[()]f g x 和[()]g f x 的表达式．【例7】 设函数20()20x bx c x f x x ⎧++=⎨>⎩　≤ ，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【例8】 已知11022()12(1)12x x f x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤，定义1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，2n ≥， ⑴求2009215f ⎛⎫⎪⎝⎭；⑵设15{|()[01]}B x f x x x ==∈，，，求证：B 中至少有9个元素．【例9】已知函数()f x =A，()g x =B ，若A B =∅，求实数m 的取值范围是_________．【例10】 已知函数(1)f x +的定义域为[23]-，，求函数2(2)(1)f x f x -+-的定义域．【例11】 若函数y =R ，求实数a 的取值范围．【例12】 求函数211x y x -=+的值域，若[35]x ∈，，再求函数211x y x -=+的值域．【例13】 求函数2y x =的值域．【例14】 求225851x x y x ++=+的值域．【例15】 已知函数2()(0)f x x bx c b c b =++∈<R ，，， ⑴当()f x 的定义域为[01]，时，值域也是[01]，，求b c ，的值． ⑵当2b =-时，函数()()f x g x x=对于任意的[3)x ∈+∞，，()0g x >恒成立，试求实数c 的取值范围．【例16】 （2016重庆）已知定义域为R 的函数()f x 满足()22()().f f x x x f x x x -+=-+⑴若(2)3f =，求(1)f ；又若(0)f a =，求()f a ；⑵设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式．板块二：指数函数、对数函数、幂函数 （一） 知识内容1．指数与指数函数 ⑴幂的运算性质（0a b >，，r s ∈R ，）：①r s r s a a a +⋅=；②()r s r s a a ⋅=；③()r r r a b a b ⋅=⋅． ⑵指数函数：①定义：函数(0x y a a =>，且1)a ≠称指数函数，2．对数与对数函数 ⑴对数的概念①定义：如果b a N =(0a >，且1)a ≠，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 称对数的底，N 称真数．1）以10为底的对数称常用对数，10log N 记作lg N ；2）以无理数e(e 2.71828)=为底的对数称自然对数，e log N ，记作ln N ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）log 10a =；3）log 1a a =；4）对数恒等式：log a N a N =． ③运算性质：如果0100a a M N >≠>>，，，，则1）log ()log log a a a MN M N =+；2）log log log a a a MM N N=-；3）log log ()n a a M n M n =∈R ．④换底公式：log log (01)log m a m NN m m a =>≠，．⑵对数函数：①定义：函数log (0a y x a =>，且1)a ≠称对数函数，③对数函数log a y x =与指数函数(0x y a a =>，且1)a ≠互为反函数． 3．幂函数⑴定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．⑵图象：幂函数αy x =，1112,1,,,,1,2,3232α=---的图象．⑶性质：①它们都过点(1,1)；除原点外，任何幂函数图象与坐标轴无其他交点，任何幂函数图象都不过第四象限． ②当0a >时，图象都过(0,0),(1,1)，且在第一象限内为增函数．③当0a <时，图象都过(1,1)，在第一象限内为减函数，并以坐标轴为渐近线． 任何两个幂函数图象最多有三个公共点．（二）典例分析：【例17】 计算3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+的值．【例18】 （2018重庆）已知2349a =(0)a > ，则23log a = ．【例19】 （2017全国Ⅱ）以下四个数中的最大者是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2) C． D ．ln2【例20】 （2017天津）设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【例21】 已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值等于 ．【例22】 （2017山东）设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为_______．【例23】 （第12届希望杯）已知函数2(22)()ln[33]x aa xf x --=-的定义域为{|0}x x >，则a 的取值范围是_______．【例24】 对于212()log (23)f x x ax =-+，⑴函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；⑵结合“实数a 取何值时，()f x 在[1)-+∞，上有意义”与“实数a 取何值时，函数的定义域为(1)(3)-∞+∞，，”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别． ⑶结合⑴⑵两问，说明实数a 的取何值时()f x 的值域为(1]-∞-，． ⑷实数a 取何值时，()f x 在(1]-∞，内是增函数．⑸是否存在实数a ，使得()f x 的单调递增区间是(1]-∞，，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【例25】 （2018江苏）已知函数11()3x p f x -=，22()23x pf x -=⋅（x ∈R ，1p ，2p 为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212()()()()()()()f x f x f x f x f x f x f x ⎧=⎨>⎩若若≤⑴求1()()f x f x =对所有实数x 成立的等价条件（用12p p ，表示）； ⑵设a b ，是两个实数，满足a b <，且12()p p a b ∈，，，若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[]a b ，上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[]m n ，的长度定义为n m -）习题1. （2015江苏）已知a b ，为常数，若2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++，则5a b -=_____．习题2. （2017北京14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出：则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．习题3. 已知函数()f x 的定义域为[01]，，值域为[12]，，则函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ） A ． [01]，，[12]， B ．[23]，，[34]， C ． [21]--，，[12]， D ． [12]-，，[34]，习题4. （2017湖南）下面不等式成立的是（ ）A ．322log 2log 3log 5<<B ．322log 2log 5log 3<<C ．232log 3log 2log 5<<D ．223log 3log 5log 2<<习题5. 已知()21(11)x f x x =+-≤≤，2()(1)[()]g x f x f x =++，求函数()g x 的值域．习题6. 已知函数2()(0)f x x bx c b c b =++∈<R ，，，当()f x 的定义域为[01]，时，值域也是[01]，，求()f x 的解析式．x1 2 3()f x131x1 2 3()g x321家庭作业习题1. （2018四川卷9）函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =（ ）A ．13B ．2C ．132 D ．213习题2. （2017浙江模拟）已知3()2log f x x =+，[19]x ∈，，求函数22[()]()y f x f x =+的值域．习题3. （2017天津）设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<月测备选。