简谈晶胞 教案

晶胞结构浅析

一、晶胞

晶体是由完全等同的晶胞并置无隙地堆积而成的，晶胞是晶体的基本重复单位，常说的晶胞类型就是指晶体的点阵类型。

晶胞有两个要素：

（1）晶胞的大小和形状。晶胞平行六面体的大小和形状由其三边长a、b、c及其夹角α=b∧c，β= c∧a，γ= a∧b确定，这六个数称为晶胞参数。

（2）晶胞的内容，即晶胞中原子的种类、数目及位置。

二、晶胞的特点

(1) 晶胞具有平移性

整块晶体是由完全等同的晶胞并置无隙地堆积而成的。所谓“并置”，是指从一个晶胞到另一个晶胞，无须转动，是简单平移，晶体中不存在取向不同的晶胞。所谓“无隙”，指晶胞与晶胞总是共面共顶角共棱地比邻，晶胞间不留任何空隙。其实，“并置无隙”是晶胞本质特征——“平移性”的另一描述而已，不具有平移性就不是晶胞。

(2) 晶胞具有相同的顶角、相同的平行面和相同的平行棱。

观察一个晶胞，绝对不能把它当作游离孤立的几何体，而需“想象”它的上下左右前后都有共面共顶点共棱的完全等同的晶胞与之比邻。晶胞的平移性决定了晶胞具有相同的顶角、相同的平行面和相同的平行棱，否则就不具有平移性。

如图1中每个小立方体（图示大小的八分之一）不是NaCl晶胞，它们的顶角不等同，而其八倍体积的大立方体（图示大小）才是氯化钠晶胞；而图2中，CsCl晶胞不是左侧大立方体而是右侧小立方体。

qqqeee

图5

图1 图2

另外，可以选为晶胞的多面体较多，只要它们可以无隙并置地充满整个微观空间，即具有平移性，都可以选用，但现在通常谈论的三维晶胞，即“习用晶胞”，指的是平行六面体。也就是说，晶胞在三维空间为平行六面体，于是在二维空间是平行四边形。如图3是层型石墨原子分布图，六个碳原子组成的六边形并不是石墨的二维晶胞，而图中所示的三个平行四边形都是它的二维晶胞，因为它们都可以通过平移并置无隙地构成石墨层。石墨的三维晶胞则是相邻三个石墨层组成的平行六面体，上下层为该平行四边形，如图4 所示，而由相邻三个石墨层组成的六方柱体（上下层为六边形）是不符合约定俗成的习用晶胞定义的。

图3 图4

三、晶胞中原子坐标与原子的计数

1.原子坐标

为了给出原子的位置参数以描述原子在晶胞中的位置，必须建立坐标系，晶体的坐标系称为晶轴系。晶体的六个晶胞参数给出了晶体的“天然”坐标系。晶轴系以晶胞参数a 、

b 、

c 分别为x, y, z 三个坐标轴的单位向量a 、b 、c 的长度，三个轴之间的夹

角则分别相应于α、β、γ，因此常称晶胞参数a 、b 、c 为晶轴。晶轴系常采

用如图5所示的右手系。

晶胞中一个原子的位置P 由其位置向量 确定： =x a +y b +z c

OP OP

平移一个晶胞

（x, y, z ）称为该原子的原子坐标（或位置参数），由于 1＞|x （y ，z ）|≥0，又习惯称之为原子分数坐标。例如，位于晶胞原点（顶点）原子的坐标为（0，0，0）；位于晶胞体心原子的坐标为（21，21，21）；位于ab 面心的原子坐标为（21，21，0）；位于ac 面心的原子坐标为（21，0，2

1）。 若x 、 y 、z 取值为1，则相当于平移到另一个晶胞，与取值为0毫无差别，因而，位于晶胞顶点的8个原子的坐标都是（0，0，0），只要一个顶点上有原子，其他7个顶点上也一定有相同的原子，否则就失去了平移性。同样道理，坐标为（

21，2

1，0）的原子是指两个平行的ab 面的面心原子。

反之，坐标不同的原子即使是同种元素原子，由于在几何位置上不同，不能视为等同原子。例如，同种元素原子在坐标 (21，21，0)和(0，21，21)上，不能视为等同原子。 当原点位置改变或选取的晶轴改变，原子坐标也会改变。如图2的CsCl 晶胞中，若将晶胞原点取在Cs +上，则Cs +和Cl −位置参数分别为Cs +：（0，0，0），Cl −：（

21，21，21）。若将原点由Cs +平移到Cl −，则：

Cl-：（

21，21，21）－（21，21，21）=（0，0，0） Cs+：（0，0，0）－（21，21，21）=（21-，21-，21-） （21，21，2

1） 2.晶胞中原子的计数

平行六面体晶胞中原子的计数如下：

（1）处于晶胞顶点的原子同时为8个晶胞所共有，每个原子有8

1属于该晶胞。 （2）处于晶胞棱上的原子同时为4个晶胞所共有，每个原子有

41属于该晶胞。 （3）处于晶胞面上的原子同时为2个晶胞所共有，每个原子有2

1属于该晶胞。

图6 （4）处于晶胞内部的原子，它全属于该晶胞。

[例题]最简单的二元硼氮化合物BN 与石墨结构相类似，但上、下层平行，B 、N 原子相互交替（见图6）。请回答下列问题：

（1）试画出层状六方氮化硼的晶胞。

（2）每个晶胞中含有多少个B 原子和N 原子？

（3）写出晶胞中各原子的原子坐标。

[解析]和石墨的三维晶胞一样，取三个硼氮层，上下层为平行四边形，如图7所示构成的平行六面体就是它的晶胞。若取三个硼氮层组成的六方柱体（上下层为六边形）是不符合约定俗成

“习用晶胞”定义的。在该晶胞中，N 原子位于晶胞顶点和体内，含8×8

1＋1 = 2个；B 原子位于晶胞棱上和面上，含4×41＋2×2

1 = 2个。若将晶胞原点取在顶点N 原子上，上表面的硼原子位于标记为X 、Y 、Z 三个N 原子构成的正三角形中心，于是ab 面上B 原子的坐标都是(31,3

1,0)，图7

位于棱上的B 原子的坐标都是(0,0,2

1) ；位于晶胞顶点的N 原子的坐标都是(0,0,0)，位于体内的N 原子的坐标是(31,31,2

1)。当然，如果选择的晶胞不一样，原点位置或选取的晶轴改变，原子坐标也会改变，但它们的几何位置关系不变。