导数与复数测试

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高三数学第2、3章《极限》《导数》测试及答案

高三数学第2、3章《极限》《导数》测试及答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确 1．（理）若复数z 满足方程022=+z ，则=3z（）A ．22±B ． 22-C ．i 22-D ． i 22±(文)曲线y=4x －x 3在点(－1,－3)处的切线方程是（）A ． y=7x+4B ． y=7x+2C ． y=x －4D ． y=x －22．函数y=x 2(－21≤x ≤21)图像上一点P,以点P 为切点的切线为直线l,则直线l 的倾斜角的范围是（）A ．［0,4π］∪［43π,π］B ．［0,π］C ．［4π,43π］D ．［0,4π］∪(2π,43π) 3．（理）若2lim →x 434222=--+x ax x ,则a 的值为（）A ．0B ．1C ．－1D ．21（文）在曲线y=x 2+1的图像上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx∆∆为（） A ．Δx+x∆1+2 B ．Δx －x ∆1－2 C ．Δx+2D ．2+Δx －x ∆14．曲线y=51x 5+3x 2+4x 在x =－1处的切线的倾斜角是（）A ．－4πB ．4πC ．43πD ．45π5．函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2在x=1时,有极值10,则a 、b 的值为（）A ．⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==1143,3b a b a 或 B ．⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=1141,4b -a b a 或 C ．⎩⎨⎧=-=51b aD ．以上皆错6．（理）已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（）A ．()f x 在1x =处连续B ．()5f x =C ．()1lim 2x f x -→= D ．()1lim 5x f x +→=（文）设f （x ）=a x 3+3x 2+2,若f ′（－1）=4,则a 的值等于A ．319B ．316 C ．313 D ．3107．函数f(x )=x 3－3x +1,x ∈［－3,0］的最大值、最小值分别是（）A ．1,－1B ．1,－17C ．3, －17D ．9,－198．（理）数列{a n }中，a 1=1,S n 是前n 项和.当n ≥2时，a n =3S n ,则∞→n lim311-++n n S S 的值是（）A ．－31B ．－2C ．1D ．－54（文）曲线y=x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为（）A ．y=3x －4B ．y=－3x+2C ．y=－4x+3D ．y=4x －5 9．（理）2+23i 的平方根是（）A ．3+iB ．3±iC ．±3+iD ．±(3+i)（文）已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是（）A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对10．已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图像中)(x f y =的图像大致是11．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-' ＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（）A ．（－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)12．已知两点O （0,0），Q （a ,b ）,点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，┅，2+n P 是线段n P 1+n P 的中点，则点n P 的极限位置应是（） A ．（2a ,2b） B ．(3,3b a ) C ．(32,32b a ) D ． (43,43ba )二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13．垂直于直线2x －6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2－1相切的直线方程的一般式是__________.14．(理) （2006年安徽卷）设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.(文)(2006福建高考)已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = 15．函数f(x)=2x 3+3x 2－12x －5,则函数f(x)的单调增区间是______. 16．（理）用数学归纳法证)"(212111211214131211"*N n nn n n n ∈+++++=--++-+- 的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为_______________.（文）若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）（理）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-+-<≤<=)3(4)31(24)10()0(0)(2x xx x x x x x x f（1）画出函数的图像；（2）在x=0，x=3处函数)(x f 是否连续；（3）求函数)(x f 的连续区间. （文）已知函数ax ax x f 313)(23-+-=. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）（理）已知复数z 1=cosθ－i ，z 2=sinθ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.（文）(2006福建高考)已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

复数多选题专项训练知识点及练习题及解析(1)

复数多选题专项训练知识点及练习题及解析(1)一、复数多选题1．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.2．以下命题正确的是（）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 答案：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z - 答案：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．4．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.5．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s n n n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =-D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数答案：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+，取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.7．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上答案：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.8．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12-答案：BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.9．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD10．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点答案：BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.11．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 答案：BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.12．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为2答案：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.13．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =答案：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.14．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1- 答案：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.15．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.16．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈；当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-，所以，复数1z 的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.17．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限答案：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.18．若复数351i z i-=-，则（）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限答案：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选：AD.19．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i -答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-；选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.20．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω> 答案：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，2111102222ωω++=---++=，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．21．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（）A ．1B ．4-C ．0D ．5答案：ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.22．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。

完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j Λ=≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ΛΛ2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s ρ和n ρ为平面向量，将s ρ按逆时针方向旋转2π即得n ρ.如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s vn u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ρ,n ρ的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()(Λ=≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f yz f xz f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1(Λ=++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nni （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数Λ+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+=ΛΛ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=)()(n nn z z cz f 成立，其中=n c ． 5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f rn n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+-13．00)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3-（B ）2-（C ）1-（D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi i z 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z i z三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z±≠，试证21z z +是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性： 1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xy z f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是() （A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是()（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析4．下列函数中，为解析函数的是()（A ）xyi y x 222--（B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+-（D ）33iy x + 5．函数)Im()(2z z z f =在0=z 处的导数() （A ）等于0（B ）等于1（C ）等于1-（D ）不存在 6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ()（A ）0（B ）1（C ）2（D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ()（A ）0（B ）1（C ）1-（D ）任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ()（A ）2（B ）i 2（C ）i +1（D ）i 22+10．i i 的主值为()（A ）0（B ）1（C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上()（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --=（D ）)(z f 是无界的 13．设α为任意实数，则α1()（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1（D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是()（A ）3)1(i -（B ）i cos （C ）i ln （D ）i e23π- 15．设α是复数，则()（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz （C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim 0 2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导 7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--z e的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(iz z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx ++-= 五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw . 六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s 按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A ）i 6561-（B ）i 6561+-（C ）i 6561--（D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z z c ⎰+-2)1)(1(为() （A ）2iπ（B ）2iπ-（C ）0（D ）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z z c c c 212sin () （A ） i π2-（B ）0（C ）i π2 （D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z z c 2)1(cos () （A ）1sin -（B ）1sin （C ）1sin 2i π-（D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c 23)1(21cos () （A ）)1sin 1cos 3(2-i π（B ）0（C ）1cos 6i π（D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(() （A ）i π2-（B ）1-（C ）i π2（D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c ⎰+'+'')()()(2)(() （A ）于i π2（B ）等于i π2-（C ）等于0（D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （）（A ）21eπ-(B)21eπ--(C)i e21π+(D)i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c 1)4sin(2π() （A ）i π22（B ）i π2（C ）0（D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a z z 2)(cos () （A ）ie π2（B ）ei π2（C ）0（D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ()（A ）等于0（B ）等于1（C ）等于2（D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是()（A ）积分⎰=--r a z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰c dz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是()(A)c iz +2（B ）ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是()（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu ∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是()（A ）),(),(y x iu y x v +（B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u -（D ）x v i x u ∂∂-∂∂ 二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(23 3．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰c dz zz z 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z )2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz ．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰c dz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f r a z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f n n . 六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）. 八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂. 十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n ni a n n ，则n n a ∞→lim () （A ）等于0（B ）等于1（C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为()（A ）∑∞=+1)231(n n i （B ）∑∞=+1!)43(n n n i （C ）∑∞=1n nn i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i 3．下列级数中，绝对收敛的级数为()（B ） ∑∞=+1)1(1n n i n （B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n n n n i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为()（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是()（A ）321R R R <<（B ）321R R R >> （C ）321R R R <=（D ）321R R R ==6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ()（A ）q （B ）q1（C ）0（D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R () （A ）1（B ）2（C ）2（D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z +（B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D)z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ()（A ）∞+（B ）1（C ）2π（D ）π10．级数+++++22111z z z z的收敛域是() （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1（D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为() （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为()（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H<-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(()(A)12-ic π（B ）12ic π（C ）22ic π（D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为() （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41（D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ()（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为．2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是．3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当dz z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为．6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为．9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez e e zz z2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e ze z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

(完整版)数学选修2-2练习题及答案

目录：数学选修2-2第一章导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章推理与证明 [基础训练A 组] 第二章推理与证明 [综合训练B 组]第二章推理与证明 [提高训练C 组] 第三章复数 [基础训练A 组] 第三章复数 [综合训练B 组]第三章复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

精选高中数学复数多选题专项训练专题复习含答案(5)

一、复数多选题1．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限答案：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.2．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限答案：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.3．以下命题正确的是（）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 答案：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z = 答案：AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．5．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．3||5z = B ．12i 5z +=- C ．复数z 的实部为1- D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限答案：BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.6．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 答案：ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.8．已知复数1z =-(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w答案：ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：ADA 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈，则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--，所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．下列说法正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件答案：AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.11．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 答案：BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.12．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 答案：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++，因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.13．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.14．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 答案：AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩，所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．15．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈；当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-，所以，复数1z 的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称答案：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．18．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-；选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.20．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误；对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．21．下列命题中，正确的是（）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．22．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>，所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。

导数及推理证明复数

同心中学高二数学期末联考试题一(理)一、选择题： 1、设a 是实数，且11aiR i+∈+，则实数=a （）A ．1-B ．1C ．2D ．2-2．i 为虚数单位，复数1+i i在复平面内对应的点到原点的距离为（） A ．21 B.22 C. 1D. 23．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（）A ．25B ．5C ．215D ．104．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ． 3C ．5D ．7 5．下列命题为真命题的是( )A ．若ac bc >，则a b >B ．若22a b >，则a b >C ．若11a b>，则a b < D <a b < 6．条件甲：“00>>b a 且”,条件乙：“方程122=-by a x 表示双曲线”，那么甲是乙的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.曲线2sin y x =在点（0,0）处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为（）A ．2B ．2-C ．12 D ． 12- 8.4名同学分别报名参加数、理、化竞赛，每人限报其中的1科，不同的报名方法种数（） A ．24 B ．4 C ．34 D ．43 9. 下列说法：（1）命题“R x ∈∃，使得32>x ”的否定是“R x ∈∀，使得32≤x ”（2）命题“函数()x f 在0x x =处有极值，则()00='x f ”的否命题是真命题（3）()x f 是（∞-，0）∪（0，∞+）上的奇函数，0>x 时的解析式是()xx f 2=，则0<x的解析式为()x x f --=2其中正确的说法的个数是（）A ．0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为A ．1-B ．eC ．ln 2D ．111．设)(3cos )(R x x x f ∈=，则曲线()y f x =在4π=x 处的切线的斜率为A.B. 223-D.223 12.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（）20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A二、填空题：13．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是________．14.已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =______ .15、复数z=3412ii++，则z = ； 16．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61，则=a _________ 。

2025年高考一轮复习第二次月考卷01(原卷版)

2025年高考一轮复习第二次月考卷01（满分150分，考试用时120分钟）测试范围：集合+不等式+函数+三角函数与解三角形+导数+复数一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合4|02x A x x -ìü=£íý+îþ，23{|log (9)}B x y x ==-，则R ()A B =I ð（）A ．[2,3]-B ．(2,3]-C ．(2,4]-D ．[3,4]2．若复数z 满足23i z z +=+（i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设 a r ，b r 是向量，则“()()·0a b a b +-=r r r r ”是“a b =-r r 或a b =r r ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知ππ1cos cos 23264q q æöæö+-=ç÷ç÷èøèø，则πcos 23q æö+=ç÷è（）A ．12-B ．12C ．D5．设,1x y ³，1a >，1b >.若3x y a b ==，a b +=11x y+最大值为（）A ．2B ．32C ．1D ．126．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t w j w j =+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A ．1s 3B ．2s 3C ．1sD ．4s 37．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x ¢，若()f x 满足：()()()10x f x f x ¢-->éùëû，()()222e x f x f x --=，则下列判断正确的是（）A ．()()1e 0f f >B ．()()22e 0f f >C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <8．函数()f x 满足：当0x >时，()3212,23x x f x x -<£ï=í+>ïî，()12y f x =+是奇函数．记关于x 的方程()()10R 2f x kx k -+=Î的根为12,,,m x x x ×××，若()172m i i f x ==-å，则k 的值可以为（）A ．1118B ．1712C ．54D ．1二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．π02a b <<<，tan a 和tan b 是方程220x mx -+=的两个根，则下列结论正确的是（）A ．tan tan ma b +=B ．()tan 0a b +>C．m ³D ．tan 4m a +³10．已知,,,O A B C 是同一平面内的四点，且1,5,3,4,OA OB OC OA OC OB OC t ===×=×=ÎR uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则（）A ．当点,AB 在直线OC 的两侧时，0OA OB ×=uuu r uuu r B ．当点,A B 在直线OC 的同侧时，2125OA OB ×=uuu r uuu r C ．当点,A B 在直线OC 的两侧时，OC tOA OB --uuu r uuu r uuu r 的最小值为3D ．当点,A B 在直线OC 的同侧时，100757OB OA OC=+uuu r uuu r uuu r 11．已知)eln ()el (n k x x f x k x x x=-+Î+R 有三个不相等的零点123,,x x x 且123x x x <<，则下列命题正确的是（）A ．存在实数k ，使得11x =B ．3ex >C ．31,2k æöÎç÷èøD ．2312123ln ln ln 111e e e x x x x x x æöæöæö+++ç÷ç÷ç÷èøèøèø为定值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若函数()()()2ln e R x f x a x x =--Î为偶函数，则=a .13．已知ABC V 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22223b c a +=，则cos A 的最小值为 .14．已知函数()()ln 1R x f x mx m x +=-Î有四个零点a ，b ，c ，d ，且a b c d <<<，且在区间(),a b 和(),c d 上各存在唯一一个整数，则实数m 的取值范围为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC V 的面积()2221sin 2S a c b B =+-.(1)求角B ；(2)若ABC Ð的平分线交AC 于点D ，3a =，4c =，求BD 的长.16．已知函数()()1ln 2f x x x ax =+-+.(1)当1a =时，求()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在()1,¥+上单调递增，求实数a 的取值范围.17．已知向量πcos ,cos 3m x x w w æöæö=+ç÷ç÷èøèør ，()πsin ,cos ,02n x x w w w æöæö=->ç÷ç÷èøèør ，()14f x m n =×-r r ，()y f x =图.(1)求w 的值及()f x 在π0,3éùêúëû上的单调递增区间；(2)设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2,3b c A +==，求()f a 的值域.18．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y （单位：毫米/立方米）随着时间x （单位：小时）变化的关系如下：当04x ££时，1618y x =--；当410x <£时，152y x =-．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒()14a a ££个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值（精确到0.1取1.4）19．若函数()f x 在区间I 上有定义，且x I "Î，()f x I Î，则称I 是()f x 的一个“封闭区间”．(1)已知函数()sin f x x x =+，区间[]()0,0I r r =>且()f x 的一个“封闭区间”，求r 的取值集合；(2)已知函数()()33ln 14g x x x =++，设集合(){}P x g x x ==|．（i ）求集合P 中元素的个数；（ii ）用b a -表示区间[](),a b a b <的长度，设m 为集合P 中的最大元素．证明：存在唯一长度为m 的闭区间D ，使得D 是()g x 的一个“封闭区间”．。

复变函数的可导与解析练习题.ppt

课件
（3） f (z) x 2 iy
解 u( x, y) x 2 , v( x, y) y，而
ux 2x, uy 0, v x 0, v y 1 ux ,uy ,vx ,vy在复平面上处处连续，但仅在直线x 1 上满足C R条件
复变函数的导数与函数解析
一. 复数域与复数的表示法
复数集：C z x iy x, y R
x Re z, y Im z, i 1
复数集C中的四则运算满足：加法与乘法的交换律，分配律，且复数集中有零元(0)，单位元(1)及逆元(z 1 ),于是复数集C构成一个数域复数域C
v v x x v y y o( (x)2 (y)2 ) w u iv
z x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx v yy o( (x)2 (y)2 )] x iy
课件
C
R条件
u
x
x
v
x
y
i（v
x
x
u
x
y)
o(
(x)2 (y)2 )
x iy
x y x y
x y x y
处处不可导。
以上得出函数在一点解析的必要条件是它满足 C-R方程，反过来？
例 3 证明：f (z) Re z Im z 在 z 0满足C R
条件，但不可导。
证：f (z) Re z Im z xy ,
u( x, y) xy , v( x, y) 0
课件
f z f 0
lim
不存在
z 0
z
f (z) 在 z 0 不可课件导。

2013-2014学年高二文科数学3月考试原创试题(导数与复数)

2013-2014学年度第二学期明德衡民中学3月份考试试题高二数学（文）时量：120分钟满分：150分命题人：尹伟云注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置.2．答题时，用签字笔把答案写在答题卡对应位置，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答卷交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）函数xy 1=的导数是（A ）'e xy = （B ）x y ln '= （C ）21'xy = （D ）2'--=x y （2）函数x x x f ln )(=在点1=x 处的导数为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）函数x x x x f 331)(23++-=的单调递增区间为（A ）)13(，- （B ）)31(，- （C ）)1(--∞，和)3(∞+，（D ）)3(--∞，和)1(∞+，（4）在复平面内，复数2i)2(+对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（5）下列命题中正确的是（A ）函数348x x y -=有两个极值点（B ）函数x x x y +-=23有两个极值点（C ）函数3x y =有且只有1个极值点（D ）函数e xy x =-无极值点（6）若复数i 1-=z ，则(1)z z +=（A ）i 3- （B ）i 3+ （C ）i 31+ （D ）3 （7）已知函数)(x f y =的图象如图1所示，则下列说法中错误．．的是（A ）)(x f 在区间)1(，-∞上单调递减（B ）)(x f 在区间)41(，上单调递增（C ）当74<<x 时，0)('>x f （D ）当1=x 时，0)('=x f （8）设函数x xx f ln 2)(+=，则（A ）21=x 为)(x f 的极大值点（B ）21=x 为)(x f 的极小值点（C ）2=x 为)(x f 的极大值点（D ）2=x 为)(x f 的极小值点（9）若复数z 满足i 1i +=z ，则z 等于（A ）i 1- （B ）i 1-- （C ）i 1+- （D ）i 1+ （10）已知复数i1i2+=z ，则=z （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）4（11）设R ∈b a ，，且i i)i(-=+b a ，则=-b a（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）2-（12）已知函数1)(2-=x x x f ，则（A ）)(x f 有极大值4 （B ）)(x f 有极小值0 （C ）)(x f 有极小值4- （D ）)(x f 有极大值0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.（13）已知函数283)(x x x f +-=，且4)('0-=x f ，则=0x .（14）计算：=2014i 1 .（15）曲线124++=ax x y 在点)21(+-a ，处的切线与y 轴垂直，则=a ________．（16）设2=x 和4-=x 是函数qx px x x f ++=23)(的两个极值点，则=+q p ________．xyO 1471图三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）设i 是虚数单位，复数i2i1-+=k z . （I ）若21=z ，求实数k 的值；（II ）若z 为纯虚数，求复数z ．（18）（本小题满分12分）求曲线3)(3+-=x x x f 在点))1(1(f ，处的切线方程．（19）（本小题满分12分）已知函数c bx x x f ++=23)(.若2-=x 时，)(x f 有极大值0，求实数c b ，的值．（20）（本小题满分12分）求函数)0(ln )(>=x xxx f 的单调区间．（21）（本小题满分12分）设函数)0(3)(3>+-=m n mx x x f 的极大值为6，极小值为2，求：（I ）实数n m ，的值；（II ）)(x f 在区间]30[，上的最大值和最小值.请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）求函数2()ex x f x =的极小值和极大值．（23）（本小题满分10分）若直线t y =与函数x x y 33-=的图象有三个公共点，求实数t 的取值范围．（24）（本小题满分10分）已知函数2()e ()4x f x ax b x x =+--，曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为44+=x y ，求b a ，的值.2013-2014学年度第二学期明德衡民中学3月份考试答卷高二数学（文）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.（13）（14）（15）（16）三、解答题：本大题共8小题，其中第17～21题各12分，第22～24题各10 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）( 本小题满分12分)得分评卷人题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案得分评卷人得分评卷人年级班级姓名考号密封线内请不要答题（19）（本小题满分12分）得分评卷人（21）（本小题满分12分）得分评卷人请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.（本小题满分10分）得分评卷人2013-2014学年度第二学期明德衡民中学3月份考试答案高二数学（文）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.（13）2 （14）1- （15） 2- （16）21-三、解答题：本大题共8小题，其中第17～21题各12分，第22～24题各10 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）( 本小题满分12分)解：（I ）由21=z 得21i 2i 1=-+k ， ………………………………………2分从而2i1i)2(21i 1-=-=+k ， …………………………………………4分根据复数相等可知21-=k ． ……………………………………………6分（II ）i 51252i)2i)(2(i)2i)(1(i 2i 1++-=+-++=-+=k k k k z ， ……………………………8分若z 为纯虚数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+=-，，0512052k k……………………………………………10分解得2=k ，从而i =z . ……………………………………………12分（18）（本小题满分12分）解：由)(x f 得13)('2-=x x f ， ……………………………2分设所求切线的斜率为k ，则2113)1('2=-⨯==f k ， ……………………6分又3311)1(3=+-=f ，所以切点坐标为)31(，， ………………………8分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DCBAABCDABCD由点斜式得切线的方程为)1(23-=-x y ，即012=+-y x ． …………12分（19）（本小题满分12分）解：由)(x f 得bx x x f 23)('2+=， ……………………………………2分由题意可知(2)0'(2)0f f -=⎧⎨-=⎩，，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-⨯=+-⨯+-，，0)2(2)2(30)2()2(223b c b ………………8分解得⎩⎨⎧-==.43c b ，…………………………………………………12分（20）（本小题满分12分）解：由)(x f 得2221ln (ln )''ln 1ln '()x xx x x x xx f x x x x---===， …………4分令'()0f x =，即21ln 0xx -=，得1ln 0x -=，从而e x =，令'()0f x >，即21ln 0xx ->，得e x <，此时)(x f 为增函数，又0>x ，得增区间为(0e)，， …………………………8分令'()0f x <，即21ln 0xx-<，得e x >，此时)(x f 为减函数，减区间为(e )+∞，. …………………………12分（21）（本小题满分12分）解： (I) 由)(x f 得m x x f 33)('2-=， …………………………………2分令'()0f x =，即0332=-m x ，得m x ±=，当'()0f x >，即m x >，或m x -<时，)(x f 为增函数，当'()0f x <，即m x m -<<时，)(x f 为减函数，所以)(x f 有极大值)(m f -，有极小值)(m f ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-，，2)(6)(m f m f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-，，2363n m m m m n m m m m …………4分解得⎩⎨⎧==.41n m ，………………………………………………………6分(II)由(I)知43)(3+-=x x x f ，从而44030)0(3=+⨯-=f ，224333)3(3=+⨯-=f ，24131)1(3=+⨯-=f ， ……………………………………10分高二数学（文）第 11 页（共 11 页）所以)(x f 有最小值2，有最大值22. ……………………………12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）解： (2)'()e xx x f x --=， ……………………………4分当)0(，-∞∈x 或)2(∞+∈，x 时，)(x f 为减函数；当)20(，∈x 时，)(x f 为增函数. ……………………………………7分故)(x f 有极小值0)0(=f ，有极大值24(2)e f =. ……………………10分（23）（本小题满分10分）解： )1)(1(333'2-+=-=x x x y ， ……………………………………2分当)1(--∞∈，x 或)1(∞+∈，x 时，函数x x y 33-=为增函数；当)11(，-∈x 时，x x y 33-=为减函数. ……………………………………4分故当1=x 时，x x y 33-=有极小值21313-=⨯-；当1-=x 时，x x y 33-=有极大值2)1(3)1(3=-⨯--. …………………………………6分由题意可得22<<-t . …………………………10分（24）（本小题满分10分）解： '()e ()24x f x ax a b x =++--， …………………………4分由切线方程知4)0('=f ，即44=-+b a ， …………………………6分且0=x 时4=y ，得4)0(==b f ， …………………………8分从而4=a . ………………………………………10分。

《极限、导数、复数》单元自测题

按规律
～
s
( ￡)
口
产+ 1 作直线运动 ( 位移
M
．
单位
A
e rn
时间单位
e r n s
，
：s
)
，
若质点
a
在
￡一
2
时的瞬时
专
3
；
，
一
；
言
3
，
速度为
18
．
8
求常数
M
一
的值
一
C
5
．
一
在 (a
A
B C D
6
．
)内
厂(
z
) > 0 是，( z ) 在 ( 口
6)
内单调递增
19
．
求曲线
，
口
为常数 ) 且
1i r a
若
一
I 2i 是
-
关于
z
的方程
z
。
f (
．
z
)
一
寺则
z
一
a
一
．
—
—
+ p
z
+ q
．
—
O( p
，
q ∈ R )
的
个根则
，
q
的值是 (
)
15
．
设复数
口
+ bi(a
—
Hale Waihona Puke ，b ∈R )—
，
则
z
为纯虚数的
一
个
A C
4
．
26 13

高考数学专题九复数与导数第74练函数的极值与最值

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题九复数与导数第74练函数的极值与最值练习训练目标 (1)函数极值、最值的概念、求法；(2)函数极值、最值的应用. 训练题型 (1)求函数的极值；(2)求函数的最值；(3)恒成立的问题；(4)零点问题.解题策略 (1)f ′(x )＝0是函数f (x )存在极值点的必要条件，f (x )的极值可用列表法求解；(2)利用最值研究恒成立问题，可分离参数后构造函数，转化为函数的最值问题；(3)零点问题可借助于函数的图象解决.一、选择题1．“可导函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A.1e B ．e C ．e 2D.1033．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)4．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．－239 D.335．(2015·宜昌模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( ) A.14 B.13 C.12D ．1 6．(2015·河北保定第一中学模拟)已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥11B ．a ≤11C ．a ≥418D ．a ≤4187．(2015·唐山一模)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324D.328．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)二、填空题9．已知直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________． 10．(2014·温州十校联考)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．11．已知f (x )＝x 2＋a ln x (a ∈R )．若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤(a ＋2)x 成立，则实数a 的取值范围是______．12．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界，已知函数f (x )＝1＋a ·(12)x＋(14)x，若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则实数a 的取值范围是______．答案解析1．B [对于f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．故选B.]2．A [令y ′＝1－ln xx2＝0(x >0)，解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0，所以y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.]3．D [观察图象知，当x <－3时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )<0；当－3<x <0时，y ＝x ·f ′(x )<0，∴f ′(x )>0，∴f (x )的极小值为f (－3)．当0<x <3时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0；当x >3时，y ＝x ·f ′(x )<0， ∴f ′(x )<0.∴f (x )的极大值为f (3)．] 4．C [g (x )＝x 3－x ；g ′(x )＝3x 2－1，令g ′(x )＝0，即3x 2－1＝0，得x ＝33或x ＝－33(舍去)，又g (0)＝0，g (1)＝0，g (33)＝－239. 所以g (x )的最小值为－239.故选C.]5．D [由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.]6．A [f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1. ∵x ∈[1,2]，∴a ≥9x ＋3x 2－1x3.令1x ＝t ，则当t ∈[12，1]时，a ≥9t ＋3t 2－t 3. 令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12.∴h ′(t )在[12，1]上是增函数．∴h ′(x )min ＝h ′(12)＝－34＋12>0.∴h (t )在[12，1]上是增函数．∴a ≥h (1)＝11，故选A.]7．D [令2(x ＋1)＝a ，解得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (x ≥0，t >0)，即t ＋ln t＝a ，则|AB |＝|t －a 2＋1|＝|t －t ＋ln t2＋1|＝|t 2－ln t 2＋1|.设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.]8．B [函数f (x )＝x (ln x －ax )(x >0)，则f ′(x )＝ln x －ax ＋x (1x－a )＝ln x －2ax ＋1.令f ′(x )＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，等价于f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)．当a ＝12时，直线y ＝2ax －1与y ＝ln x 的图象相切，由图可知，当0<a <12时，y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是(0，12)．]9．－2<a <2解析 f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＝0可以得到x ＝1或x ＝－1， ∵f (1)＝－2，f (－1)＝2，∴－2<a <2. 10．(－∞，－1]解析转化为f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，所以g (x )min ＝－1，则b 的取值范围是(－∞，－1]． 11．[－1，＋∞)解析不等式f (x )≤(a ＋2)x ，可化为a (x －ln x )≥x 2－2x .因为x ∈[1，e]，所以ln x ≤1≤x 且等号不能同时取到，所以ln x <x ，即x －ln x >0，因而a ≥x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x(x ∈[1，e])，又g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2，当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)，所以g (x )在[1，e]上为增函数，故g (x )的最小值为g (1)＝－1，所以a 的取值范围是[－1，＋∞)． 12．[－5,1]解析由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，即－3≤f (x )≤3，所以－4·2x －(12)x ≤a ≤2·2x－(12)x 在[0，＋∞)上恒成立，所以[－4·2x －(12)x ]max ≤a ≤[2·2x－(12)x ]min .设2x＝t ，h (t )＝－4t －1t，p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1.因为h ′(t )＝－4＋1t 2，p ′(t )＝2＋1t2.又由1t 2－4<0知t >12，故t ≥1时，h ′(t )<0，所以h (t )在[1，＋∞)上单调递减，又p (t )在[1，＋∞)上单调递增，故h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1]．。

高二(下)半期模拟立体几何、导数、复数

2013级数学半期模拟题姓名：一、选择题1．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2．()()i x x x 23122+++-若是纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．1B ．±1C ．－1D ．－23．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED∠的大小为（）A. ︒45B. ︒30C. ︒60D. ︒904．已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC与的夹角为（）A. 030B.045C.060D.0905．正方体A B C D -1111A B C D 中，1B B 与平面1A C D 所成角的余弦值为（）A.3B．3C ．23D．36．在正三棱柱111C B A ABC -中，若2=AB ，11=AA ，则点A 到平面A 1BC 的距离为（） A ．43 B ．23 C ．433 D ．37．下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是（） A ．x y 2sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(8．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是（）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x9．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（）A ．21<<-aB ．63<<-aC ．63>-<a a 或D ．21>-<a a 或10．函数22x y x =-的图像大致是（）11．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正．．确．的是（） A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角12．设函数()()113223+--+=k x k kx x f 在区间()4,0上是减函数，则k 的取值是（） A ．31<k B ．310≤<k C ．310≤≤k D ．31≤k二、填空题13．函数212)(xxx f +-=的导数为__________________.14．设1,2,,a b a b == 且的夹角为0120，则2a b +等于______________.15．已知2a i b ii+=+，则=+b a ______________.16．棱长都为2的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的余弦值为______________.三、解答题17．如右下图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB = 4， AD =3， AA 1= 2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB = FB =1．（1）求二面角C -DE -C 1的正切值；（2）求直线EC 1与FD 1所成的余弦值．18．设5221)(23+--=x x x x f ，当[2,2]x ∈-时，0)(<-m x f 恒成立，求实数m的取值范围．19．如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .20．已知1x =是函数32()3(1)1f x m x m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.。

职高集合复数导数指数函数及对数函数综合习题及部分答案

试卷一、选择题1、设集合}312|{<+=x x A ，}23|{<<-=x x B ，则B A ⋂等于（）。

A 、}13|{<<-x xB 、}21|{<<x xC 、}3|{->x xD 、}1|{<x x2、设集合}21{，=A ，则满足3}2{1，，=⋃B A 的集合B 的个数是（） A 、1 B 、3 Ｃ、4 Ｄ、83、已知函数x x f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则N M ⋂＝（） A 、}1|{>x x B 、}1|{<x x C 、}11|{<<-x x D 、∅4、设1>a ，函数x x f a log )(=在区间[]a a 2,上的最大值与最小值之差为21，则a ＝（）A 、2B 、2C 、22D 、45、已知集合}1,1{-=M ，}4221|{1<<∈=+x Z x N ，则N M ⋂＝（）A 、}1,1{-B 、}1{-C 、}0{D 、}0,1{-6、若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为（） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 7、定义运算bc ad d c ba -=,,，则合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；8、若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（符）A.－4；B.4；C.－1；D.1；9、复数i i ⋅--2123=（）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i10、若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或11、已知复数z 满足2)1()1(i z i +=-，则z ＝（）(A) －1+ i (B) 1+i (C) 1－i (D) －1－i12、.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件13、已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P 处的瞬时变化率为（）A ．2B ．4C ．6D ．2114、设函数()f x ＝x 3﹣x 2，则)1(f '的值为（）A ．－1B ．0C ．1D ．515、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-16、一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215243s t t t =-+，那么速度为零的时刻是（）A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末17、设3<2731<x ）（, 则（）正确–1<x<3; (B) x<-1或x>3; (C) –3<x<-1; (D) 1<x<3.二、填空题（共16分）1、若函数12)(22-=--a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围_________。

高三数学第一轮复习函数复数极限连续导数单元测试题课标试题

高三数学第一轮复习函数复数极限连续导数单元测试题061016一、选择题〔每一小题5分，一共60分，请将答案填在题后的答题卡中〕： 1. i 是虚数单位，32ii += 〔〕 A. 2i -+B. 2i +C. 12i -+D. 12i -y=的定义域是(1,)-+∞，那么实数a 取值集合是〔〕 A. }1|{->a a B. }1|{>a aC. }1|{-≤a aD. }1|{≤a a3.集合{}2|40M x x =->，2|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，那么M ∩N 等于〔〕 A. (2,)+∞ B. (,2)-∞- C. N D. M1(0)()(1)1(0)x f x f x x -≤⎧=⎨-+>⎩，那么(2)(2)f f +-的值是〔〕A. 2B. 1-C. 0D. 25.函数)(x f y =的图象是曲线C ，那么曲线C 与直线)(R a a x ∈=〔〕 A. 一定有一个交点B. 至少有一个交点C. 最多有一个交点D. 有无数个交点。

,M N ，定义{|,},M N x x M x N -=∈∉且 ()()M N M N N M ⊕=--，设94{|},A y y =≥-{}|0B y y =<，那么A B ⊕= 〔〕A ．9(,0]4-B ．9[,0)4-C ．9(,)[0,)4-∞-+∞D ．9(,)(0,)4-∞-+∞1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3)，那么b 的值是〔〕A. 3B. 3-C. 5D. 5-8. 假设方程330x x m -+=在[0,2]上有解，那么实数m 的取值范围是〔〕 A ．[2,2]- B ．[0,2]C ．[2,0]-D ．(,2)-∞-∪(2,)+∞9. 设函数|1|(1)()3(1)x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩，那么使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是〔〕A.(,2][1,2]-∞-B.(,2)(0,2)-∞-C.(,2][0,2]-∞-D.[2,0][2,)-+∞10．对于10<<a ，给出以下四个不等式：①)11(log )1(log aa a a +>+②)11(log )1(log 11a a aa +>+③aa a a 111++< ④a a a a 111)1()1(++<其中成立的是〔〕 A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④2:|43|1;:(21)(1)0P x q x a x a a -≤-+++≤，假设p 是q 的充分非必要条件，那么实数a 的取值范围是( ) A. 1[0,]2B. 1(0,)2C. ∅D. 1(,][1,)2-∞+∞12．命题p ：函数)24lg(2++=x ax y 的值域为R ，命题q ：函数x a y )2(--=是减函数。

数学选修2-2导数推理证明复数练习

数学选修2-2导数推理证明复数练习(2007.04.13)一、选择题：（）1. 若复数Z 满足 Z 2+2=0 ，则Z 3=A．±B. -C.-D.± （）2. 函数f(x)=ax 3+3x 2+2,若(1)4f '-=,则a 的值是A.319 B. 316 C. 313 D. 310（）3. .函数y =ax 3－x 在(－∞,+∞)上是减函数，则A.a =31B.a =1C.a =2D.a ≤0（）4. 用反证法证明命题：“a，b∈N，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为A. a ，b 都能被5整除B.a ，b 都不能被5整除C.a ，b 不都能被5整除D.a 不能被5整除（）5．函数)(x f y =的定义域为R ，它的导函数)(x f y '=图象如图所示，则下面判断正确的是A. 在（1，2）内)(x f 为增函数 B. 在（1，3）内)(x f 为减函数 C. 在（3，5）内)(x f 为增函数 D. 不能判断)(x f 的单调性（）6．函数y=2)1ln(2+x 的导数是（）。

A. 2ln(1)22ln 212x x x +⨯+B. 2)1ln(2221log 2++⨯x x x e C.2)1ln(2212ln ++x x D.y=f(xy O 2)1ln(2212ln 2++x x（）7.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f (x)可能为（）8．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密密钥为 log (2)a y x =+ ,如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”。

问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为（）。

A. 12B. 13C. 14D. 15二、填空题：9．已知曲线y=x1－1上两点A(2,－21)、B(2+Δx,－21+Δy),当Δx=1时,割线AB 的明文加密密钥码密文发送密文解密密xy O AxyOB xyO CxyO D斜率为 __________.10．过曲线y =ln x 上的点P 的切线平行于直线y =21x +2,则点P 的坐标是__________.11. 曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是________12.函数1y x=的导函数是函数y =x 3+x 3在(0，+∞)上的最小值为_______13． 120(23)x x dx -=⎰_______, dx x ])1(11[12⎰---=_________14. 曲线sin ,cos ,0,2y x y x x x π====所围成的平面图形的面积为15. 设Z ＝i a a a a a )152(54522-++-+-为实数时，实数a 的值是 _________16．实数x 、y 满足(1-i)x+(1+i)y=2,则 xy 的值是 __________17. 计算=+++-22)31()312(i ii _______ 211⎪⎭⎫⎝⎛+i =_______ 18. 已知数列{ a n }的通项公式a n =*)()1(12N n n ∈+,记f(n)=(1-a 1)(1-a 2)……(1-a n ),试计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)=_ ___．19.当1=n 时，有22))((b a b a b a -=+-；当2=n 时，有3322))((b a b ab a b a -=++-；当3=n 时，有443223))((b a b ab b a a b a -=+++-；当4=n 时，有55432234))((b a b ab b a b a a b a -=++++-；当+∈N n 时，你能得到的结论是：20. 平面上有n 条直线，它们任意两条不平行，任意三条不共点，设k 条这样的直线把平面分成)(k f 各区域，则1+k 条直线把平面分成的区域数+=+)()1(k f k f ________三、解答题：21.已知复数)1(216)2(2i imm i z ----+=。

导数与复数测试

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