计算机图形学二维变换.
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计算机图形学_ 二维图形变换_55 窗口视区变换_
为了全部、如实地在视区中显示出窗口内的图形对象，就 必须求出图形在窗口和视区间的映射关系
需要根据用户所定义的参数，找到窗口和视区之间的坐标 对应关系
y
世界坐标系
y
屏幕坐标系
wyt
vyt
窗口
视区
P(x,y)
wyb
P’(sx,sy)
vyb
0
wxl
wxr
x0
vxl
vxr x
窗口到视区的映射是基于一个等式，即对每一个在世界坐标 下的点（x,y），产生屏幕坐标系中的一个点（sx,sy）
sx vl vr vl
x wl wr wl
sx A* x C sy B * y D
sx x wl (vr vl) vl wr wl
sx vr vl x (vl vr vl wl)
wr wl
wr wl
A看做放大x的部分，而C看做常数
A vr vl wr wl
窗口、视区及变换
一、窗口和视区
世界坐标系中要显示的区射到显示器(设备)上的区域称为视区
窗口定义显示什么；视区定义在何处显示
y
wyt
wyb 0
窗口
wxl
wxr
世界坐标系
y
vyt 视区
vyb
x
0 vxl
vxr x
设备坐标系
世界坐标系中的一个窗口可以对应于多个视区
C vl A*wl
同理，y方向上保持比例性质满足：
sy vb y wb
vt vb
wt wb
sx A* x C sy B * y D
B vt vb wt wb
D vb B*wb
这个映射可用于任意点（x,y），不管它是否 在窗口之中。在窗口中的点映射到视口中的 点，在窗口外的点映射到视口外的点
需要根据用户所定义的参数，找到窗口和视区之间的坐标 对应关系
y
世界坐标系
y
屏幕坐标系
wyt
vyt
窗口
视区
P(x,y)
wyb
P’(sx,sy)
vyb
0
wxl
wxr
x0
vxl
vxr x
窗口到视区的映射是基于一个等式，即对每一个在世界坐标 下的点（x,y），产生屏幕坐标系中的一个点（sx,sy）
sx vl vr vl
x wl wr wl
sx A* x C sy B * y D
sx x wl (vr vl) vl wr wl
sx vr vl x (vl vr vl wl)
wr wl
wr wl
A看做放大x的部分，而C看做常数
A vr vl wr wl
窗口、视区及变换
一、窗口和视区
世界坐标系中要显示的区射到显示器(设备)上的区域称为视区
窗口定义显示什么；视区定义在何处显示
y
wyt
wyb 0
窗口
wxl
wxr
世界坐标系
y
vyt 视区
vyb
x
0 vxl
vxr x
设备坐标系
世界坐标系中的一个窗口可以对应于多个视区
C vl A*wl
同理，y方向上保持比例性质满足：
sy vb y wb
vt vb
wt wb
sx A* x C sy B * y D
B vt vb wt wb
D vb B*wb
这个映射可用于任意点（x,y），不管它是否 在窗口之中。在窗口中的点映射到视口中的 点，在窗口外的点映射到视口外的点
二维形的旋转与翻转
二维形的旋转与翻转二维形的旋转与翻转是在数学和几何学中经常出现的操作，通过旋转和翻转可以改变图形的方向和位置，从而使得图形在空间中呈现不同的样貌和特性。
本文将深入探讨二维形的旋转和翻转，介绍其定义、方法和应用。
一、旋转操作旋转是指将一个图形围绕某一点旋转一定角度而不改变其形状和大小。
在二维平面坐标系中，旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
1. 顺时针旋转顺时针旋转是指将一个图形按顺时针方向旋转一定角度。
假设有一个图形A，其坐标点为（x，y），要将A图形顺时针旋转θ角度后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，x'和y'为旋转后图形A'的新坐标点，x和y为旋转前图形A的坐标点，θ为旋转角度。
2. 逆时针旋转逆时针旋转与顺时针旋转相反，是指将一个图形按逆时针方向旋转一定角度。
同样假设有一个图形A，要将A图形逆时针旋转θ角度后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = x * cosθ + y * sinθy' = -x * sinθ + y * cosθ二、翻转操作翻转是指将一个图形按照某一轴进行镜像反转，可以分为水平翻转和垂直翻转两种方式。
1. 水平翻转水平翻转是指将一个图形以水平轴为对称轴进行镜像反转。
假设有一个图形A，其坐标点为（x，y），要将A图形水平翻转后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = xy' = -y2. 垂直翻转垂直翻转是指将一个图形以垂直轴为对称轴进行镜像反转。
同样假设有一个图形A，要将A图形垂直翻转后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = -xy' = y三、应用场景二维形的旋转和翻转在现实生活和工程应用中有广泛的应用，下面将介绍其中几个常见的应用场景。
计算机图形学-变换
1
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
计算机图形学6(陈永强)
Y
Y
X (e)关于x=-y对称
X (d)关于x=y对称
11
基本几何变换——对称变换
(1)关于x轴对称
Y
1a 0 b 0 1 c d m 0l 0
0 p 0 q s 1
P(x,y) X P'(x,-y)
图6-5 关于x轴对称
12
基本几何变换——对称变换
24
复合变换——二维复合旋转
cos1 sin 1 0 cos 2 Tr Tr1 Tr 2 sin 1 cos1 0 sin 2 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1 sin 2 cos 2 0 0 0 1
1 b 0 c 1 0 0 0 1
(3)两个方向错切
18
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式。 1. 点的变换
x'
y ' 1 x
a b y 1 c d l m
p q r
19
二维图形几何变换的计算
2. 直线的变换
0 cos 0 0 0 1
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
26
6.3.5相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变 换过程为： (1) 平移； (2) 针对原点进行二维几何变换； (3) 反平移。
27
相对任一参考点的二维几何变换
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
Y
X (e)关于x=-y对称
X (d)关于x=y对称
11
基本几何变换——对称变换
(1)关于x轴对称
Y
1a 0 b 0 1 c d m 0l 0
0 p 0 q s 1
P(x,y) X P'(x,-y)
图6-5 关于x轴对称
12
基本几何变换——对称变换
24
复合变换——二维复合旋转
cos1 sin 1 0 cos 2 Tr Tr1 Tr 2 sin 1 cos1 0 sin 2 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1 sin 2 cos 2 0 0 0 1
1 b 0 c 1 0 0 0 1
(3)两个方向错切
18
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式。 1. 点的变换
x'
y ' 1 x
a b y 1 c d l m
p q r
19
二维图形几何变换的计算
2. 直线的变换
0 cos 0 0 0 1
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
26
6.3.5相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变 换过程为： (1) 平移； (2) 针对原点进行二维几何变换； (3) 反平移。
27
相对任一参考点的二维几何变换
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
二维空间里的简单矩形变换（平移、按比例缩放、旋转、对称、错切）
int a[3]; }point;
point change(point p, int a[3][3]) {
int b[3] = { 0, 0, 0 }; for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) b[i] += p.a[j] * a[j][i];
return; }
void Rotation(point p1, point p2, point p3, point p4) {
double d; printf("Please enter the angel of rotation:(格式:60度就输入60):"); scanf("%lf", &d); getchar(); d = d / 180 * 1.0 * PI; double a[3][3] = { cos(d), -sin(d), 0, sin(d), cos(d), 0, 0, 0, 1 }; DrawChange2(p1, p2, p3, p4, a);
(4)对称:
以X轴对称：
，有
*
=
；
以Y轴对称：
，有
*
=
；
以原点O对称：
，有
*
=
；
以Y=X对称：
，有
*
=
；
以Y=-X对称：
，有
*
=
；
(5)错切：
，有
*
=
；
-------------------------------------------------------------下课啦---------------------------------------------------------------
point change(point p, int a[3][3]) {
int b[3] = { 0, 0, 0 }; for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) b[i] += p.a[j] * a[j][i];
return; }
void Rotation(point p1, point p2, point p3, point p4) {
double d; printf("Please enter the angel of rotation:(格式:60度就输入60):"); scanf("%lf", &d); getchar(); d = d / 180 * 1.0 * PI; double a[3][3] = { cos(d), -sin(d), 0, sin(d), cos(d), 0, 0, 0, 1 }; DrawChange2(p1, p2, p3, p4, a);
(4)对称:
以X轴对称：
，有
*
=
；
以Y轴对称：
，有
*
=
；
以原点O对称：
，有
*
=
；
以Y=X对称：
，有
*
=
；
以Y=-X对称：
，有
*
=
；
(5)错切：
，有
*
=
；
-------------------------------------------------------------下课啦---------------------------------------------------------------
计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_
普通坐标×h→齐次坐标 齐次坐标÷h→普通坐标 当h = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个 坐标就是普通坐标系下的n维坐标
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
计算机图形学 5.1二维变换
a11b13 a12b23 a13b33 a 21b13 a 22b23 a 23b33 （5-1） a n1b13 a n 2 b23 a n3b33
由线性代数知道，矩阵乘法不满足交换律，只有左矩 阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。 特别地，对于二维变换的两个3×3的方阵A和B，矩阵 相乘公式为：
5.1.1 规范化齐次坐标
为了使图形几何变换表达为图形顶点集合矩阵与 某一变换矩阵相乘的问题，引入了规范化齐次坐标。 所谓齐次坐标就是用n＋1维矢量表示n维矢量。 例如，在二维平面中，点P(x，y)的齐次坐标表示为 （wx，wy，w）。类似地，在三维空间中，点P(x，y，z) 的齐次坐标表示为（wx，wy，wz，w）。这里，w为任一 不为0的比例系数，如果w＝1就是规范化的齐次坐标。 二维点P(x，y)的规范化齐次坐标为〔x，y，1〕，三维 点P(x，y，z)的规范化齐次坐标为〔x，y，z，1〕。不 能写成下标形式，w和x，w和y，w和z是乘法的关系。 定义了规范化齐次坐标以后，图形几何变换可以 表示为图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换 矩阵相乘的形式。
x1 x P 2 xn y1 y2 yn 1 1 1
变换后图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x'1 x' ' P 2 x' n y '1 y' 2 y'n 1 1 1
a b 二维变换矩阵为： T c d l m
a11b11 a12b21 a13b31 a11b12 a12b22 a13b32 a b a b a b a 21b12 a 22b22 a 23b32 21 11 22 21 23 31 a n1b11 a n 2 b21 a n3b31 a n1b12 a n 2 b22 a n3b32
第4章二维变换
• 性质
U •V = V •U U •V = 0 ⇔ U ⊥ V U •U = 0 ⇔ U = 0
变换的数学基础(3/4) 变换的数学基础
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 U = U • U = u x + u y + u z2 2
U •V cos θ = U •V
– 矢量的叉积
i U ×V = ux vx
– 在世界坐标系（ 在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， ） 用来指定要显示的图形 。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸） 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
图形变换的特点（ 4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
旋转变换 P＇＝P×Tr
变换后的 顶点坐标
P
变换前的 顶点坐标
•
T2D
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义， 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系） 模型坐标系
计算机图形学图形变换
(X0,y0)
绕任意点的旋转
1 0 0
• 用矩阵表示各个过程
T1
0
1 0
x 1y 11 xy1 T 1
x0 y0 1
x 2y 21 x 1y 11 T 2
cos T2 sin
sin cos
0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
0
0 1
1 0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
cos
sin
0
TT1T2T3 sin
cos
0
x0(1co)sx0siny0co sy0 1
复合矩阵可以减少计算量
• 不进行矩阵合并 往往在屏幕上划定一个平行于设备坐标轴的矩形区域作为图形显示区。
点P(x,y)在X’轴上的投影可用点乘得到， 常用的方法是在图形坐标系中取一个与x轴、y轴平行的矩形窗口，只显示窗口内的图形内容。
计算机图形学图形 变换
二维图形平移
• 二维图形平移是将图形上任 意一点P(x,y)在x轴方向y轴方 向分别平移距离tx,ty，则变 换后的新坐标
x’=x+tx
ty
y’=y+ty
• 用矩阵表示
1 [x',y'][x,y]0
1 0tx,ty
P’ p
tx
二维图形旋转
• 二维图形旋转是将图形绕圆
点旋转。图形上任意一点
2. 3次变换需要3×9=27次乘法。 这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。
Y’轴的单位方向矢量为（a21,a22) 这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。 复合矩阵可以减少计算量 我们希望将一种变换用一个矩阵来表示，这样就可以用矩阵合并的方法将一系列的简单变换用一个复杂变换来表示。 有时采用活动坐标系模式，是为了更好地理解变换前后两个对应物体之间的坐标关系。 表示变换前的模型上任意一点 仿射变换的特点是变换前的平行线在变换后依然平行。 变换图形、变换关系式和变换矩阵 合并矩阵与一个点向量相乘得到一个点向量，需要9次乘法。 固定坐标系模式：坐标系不变、图形变动。
二维图形几何变换
矩阵表示法的定义和意义
矩阵表示法的具体形式和计算方法
矩阵表示法在二维图形几何变换中的应用和实现
定义：矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
性质：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
பைடு நூலகம்
运算规则：两个矩阵相加时，必须保证它们的维度相同，即行数和列数分别相等。
添加标题
添加标题
添加标题
矩阵变换的基本概念：介绍矩阵和几何变换的基本概念，以及它们之间的关系。
添加标题
矩阵变换的种类：列举常见的二维图形几何变换，如平移、旋转、缩放、错切等，并解释如何通过矩阵运算实现这些变换。
添加标题
矩阵变换的步骤：详细介绍如何通过矩阵运算实现二维图形的平移、旋转、缩放和错切等几何变换的步骤，包括变换前后的矩阵表示和计算过程。
汇报人：
,a click to unlimited possibilities
01
02
03
04
05
二维图形几何变换是指对二维图形进行旋转、平移、缩放等操作，使其在几何上发生变化的过程。
通过二维图形几何变换，可以实现图形的重新排列、调整和优化，从而满足不同的设计需求。
二维图形几何变换的基本要素包括原点、方向、角度和比例等，这些要素决定了变换的具体效果。
性质：逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵
应用：在二维图形几何变换中，矩阵的逆运算可用于还原图形的原始位置和形状
图像处理：平移变换常用于图像处理中的缩放、旋转等操作，以提高图像质量和分辨率。
动画制作：在动画制作中，平移变换可以用来实现角色或物体的移动、缩放等效果，增强视觉效果和表现力。
矩阵表示法的具体形式和计算方法
矩阵表示法在二维图形几何变换中的应用和实现
定义：矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
性质：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
பைடு நூலகம்
运算规则：两个矩阵相加时，必须保证它们的维度相同，即行数和列数分别相等。
添加标题
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添加标题
矩阵变换的基本概念：介绍矩阵和几何变换的基本概念，以及它们之间的关系。
添加标题
矩阵变换的种类：列举常见的二维图形几何变换，如平移、旋转、缩放、错切等，并解释如何通过矩阵运算实现这些变换。
添加标题
矩阵变换的步骤：详细介绍如何通过矩阵运算实现二维图形的平移、旋转、缩放和错切等几何变换的步骤，包括变换前后的矩阵表示和计算过程。
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04
05
二维图形几何变换是指对二维图形进行旋转、平移、缩放等操作，使其在几何上发生变化的过程。
通过二维图形几何变换，可以实现图形的重新排列、调整和优化，从而满足不同的设计需求。
二维图形几何变换的基本要素包括原点、方向、角度和比例等，这些要素决定了变换的具体效果。
性质：逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵
应用：在二维图形几何变换中，矩阵的逆运算可用于还原图形的原始位置和形状
图像处理：平移变换常用于图像处理中的缩放、旋转等操作，以提高图像质量和分辨率。
动画制作：在动画制作中，平移变换可以用来实现角色或物体的移动、缩放等效果，增强视觉效果和表现力。
计算机图形学-第三章-变换及裁剪
xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
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三维变换流程图
计算机图形学-二维图形变换与裁剪ppt课件
计算机图形学二维图形变换与 裁剪
图形变换
2
观察与思考
零件三视图
3
观察与思考
三视图投影示意图
4
图形变换
从不同角度观察物体，会看到不同的形状 形状的变化可以通过图形变换来实现 图形变换是计算机图形学的基础内容之一 通过图形变换 可由简单图形生成复杂图形 可用二维图形表示三维形体 可对静态图形经过快速变换而获得图形的动 态显示效果
13
数学基础(4)
矩阵的乘法
a b 11 a 12 a 13 11 b 12 b 13 A B a a a b b b 21 22 23 21 22 23 a b 31 a 32 a 33 31 b 32 b 33
矩阵的数乘
a ka 11 a 12 a 13 11 ka 12 ka 13 k a a a ka ka ka 21 22 23 21 22 23 a ka 31 a 32 a 33 31 ka 32 ka 33
y1 y2 yn
z1 z2 zn
10
数学基础 1
设有两个矢量
u x U u y u z
vx V v y vz
矢量和
u x vx U V u v y y u z vz
a b a b a b a b a b a b a b a b a b 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 11 13 12 23 13 33 a b a b a b a b a b a b a b a b a b 21 1122 2123 3121 1222 2223 3221 1322 2323 33 a b a b a b a b a b a b a b a b a b 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33
图形变换
2
观察与思考
零件三视图
3
观察与思考
三视图投影示意图
4
图形变换
从不同角度观察物体，会看到不同的形状 形状的变化可以通过图形变换来实现 图形变换是计算机图形学的基础内容之一 通过图形变换 可由简单图形生成复杂图形 可用二维图形表示三维形体 可对静态图形经过快速变换而获得图形的动 态显示效果
13
数学基础(4)
矩阵的乘法
a b 11 a 12 a 13 11 b 12 b 13 A B a a a b b b 21 22 23 21 22 23 a b 31 a 32 a 33 31 b 32 b 33
矩阵的数乘
a ka 11 a 12 a 13 11 ka 12 ka 13 k a a a ka ka ka 21 22 23 21 22 23 a ka 31 a 32 a 33 31 ka 32 ka 33
y1 y2 yn
z1 z2 zn
10
数学基础 1
设有两个矢量
u x U u y u z
vx V v y vz
矢量和
u x vx U V u v y y u z vz
a b a b a b a b a b a b a b a b a b 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 11 13 12 23 13 33 a b a b a b a b a b a b a b a b a b 21 1122 2123 3121 1222 2223 3221 1322 2323 33 a b a b a b a b a b a b a b a b a b 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33
计算机图形学基础教程(Visual C++版)第05章 二维图形变换与裁剪(清华大学出版社 孔令德)
x O
y
5-19 设备坐标系
图形学中常用的坐标系
规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate,NDC) 将设备坐标系规格化到（0.0,0.0）到（1.0，1.0）的 范围内而定义的坐标系。 规格化设备坐标系独立于具体输出设备。 一旦图形变换到规格化设备坐标系中，只要作一个简 单的乘法运算即可映射到具体的设备坐标系中。
wyt (xw,yw) 0000 wyb
vyt (xv,yv) 0000 vyb
wxl
wxr
vxl
已知窗口内的一点P的坐标(xw，yw)，求视区中 对应点P’的坐标(xv，yv) 这属于相对于任一参考点的二维几何变换
vxr
变换步骤为：
1.将窗口左下角点（wxl，wyb）平移到观察坐标系 原点
写成方程为：
xv S x xw vxl wxl S x yv S y yw vyb wyb S y
则窗视变换的展开式为：
令
xv a x w b yv c y w d
裁剪
图形变换到观察坐标系下，需要按照窗口进行 裁剪，即只保留窗口内的那部分图形，去掉窗 口外的图形 假设窗口是标准矩形，即边与坐标轴平行的矩 形，由 上（y=wyt）、 下（y=wyb）、 左（x=wxl）、 右（x=wxr） 四条边描述
30
裁剪——点的裁剪
点是构成图形的基本元素 点的裁剪：
wxl x wxr, 且wyb y wyt
把图形全部打散成点进行裁剪？
31
二维直线段的裁剪
直线的裁剪是二维图形裁剪的基础 裁剪的实质是判断直线是否与窗口相交，如相 交则进一步确定位于窗口内的部分
y
5-19 设备坐标系
图形学中常用的坐标系
规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate,NDC) 将设备坐标系规格化到（0.0,0.0）到（1.0，1.0）的 范围内而定义的坐标系。 规格化设备坐标系独立于具体输出设备。 一旦图形变换到规格化设备坐标系中，只要作一个简 单的乘法运算即可映射到具体的设备坐标系中。
wyt (xw,yw) 0000 wyb
vyt (xv,yv) 0000 vyb
wxl
wxr
vxl
已知窗口内的一点P的坐标(xw，yw)，求视区中 对应点P’的坐标(xv，yv) 这属于相对于任一参考点的二维几何变换
vxr
变换步骤为：
1.将窗口左下角点（wxl，wyb）平移到观察坐标系 原点
写成方程为：
xv S x xw vxl wxl S x yv S y yw vyb wyb S y
则窗视变换的展开式为：
令
xv a x w b yv c y w d
裁剪
图形变换到观察坐标系下，需要按照窗口进行 裁剪，即只保留窗口内的那部分图形，去掉窗 口外的图形 假设窗口是标准矩形，即边与坐标轴平行的矩 形，由 上（y=wyt）、 下（y=wyb）、 左（x=wxl）、 右（x=wxr） 四条边描述
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裁剪——点的裁剪
点是构成图形的基本元素 点的裁剪：
wxl x wxr, 且wyb y wyt
把图形全部打散成点进行裁剪？
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二维直线段的裁剪
直线的裁剪是二维图形裁剪的基础 裁剪的实质是判断直线是否与窗口相交，如相 交则进一步确定位于窗口内的部分
计算机图形学习题参考答案(完整版)
计算机图形学习题参考答案第1章绪论1、第一届ACM SIGGRAPH会议是哪一年在哪里召开的？解：1974年，在Colorado大学召开了第一届SIGGRAPH年会。
2、计算机图形学之父是谁？解：Sutherland3、列举一些计算机图形学的应用领域（至少5个）。
解：计算机辅助设计、图示图形学、计算机艺术、娱乐、教学与培训、可视化、图像处理、图形用户界面等。
4、简要介绍计算机图形学的研究内容。
解：（1）图形的输入。
如何开发和利用图形输入设备及相关软件把图形输入到计算机中，以便进行各种处理。
（2）图形的处理。
包括对图形进行变换（如几何变换、投影变换）和运算（如图形的并、交、差运算）等处理。
（3）图形的生成和输出。
如何将图形的特定表示形式转换成图形输出系统便于接受的表示形式，并将图形在显示器或打印机等输出设备上输出。
5、简要说明计算机图形学与相关学科的关系。
解：与计算机图形学密切相关的学科主要有图像处理、计算几何、计算机视觉和模式识别等。
计算机图形学着重讨论怎样将数据模型变成数字图像。
图像处理着重研究图像的压缩存储和去除噪音等问题。
模式识别重点讨论如何从图像中提取数据和模型。
计算几何着重研究数据模型的建立、存储和管理。
随着技术的发展和应用的深入，这些学科的界限变得模糊起来，各学科相互渗透、融合。
一个较完善的应用系统通常综合利用了各个学科的技术。
6、简要介绍几种计算机图形学的相关开发技术。
解：（1）OpenGL。
OpenGL是一套三维图形处理库，也是该领域事实上的工业标准。
OpenGL独立于硬件、操作系统和窗口系统，能运行于不同操作系统的各种计算机，并能在网络环境下以客户/服务器模式工作，是专业图形处理、科学计算等高端应用领域的标准图形库。
以OpenGL为基础开发的应用程序可以十分方便地在各种平台间移植；OpenGL与C/C++紧密接合，便于实现图形的相关算法，并可保证算法的正确性和可靠性；OpenGL使用简便，效率高。
计算机图形学第4章图形变换(2)
5、使直线回到原来位置，结果图形即为原图形绕 指定直线旋转变换后的图形。
直线回到原来位置需要进行（3）～（1）的逆变换，其中：
图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是
H = T
4.3.5 三维对称变换
三维对称变换可以是关于给定对称轴的或者 是关于给定对称平面的变换。三维对称矩阵的建 立类似于二维的。关于给定对称轴的对称变换等 价于绕此轴旋转180°，可以直接使用已讨论过 的相对于轴线的旋转变换公式。关于给定对称平 面的对称变换其最简单的是对称于坐标平面的变 换。当对称平面是坐标平面时（x-y,或x-z,y-z）， 可以将此变换看成是左手系和右手系之间的转换。
变换过程为 [x' y' z' 1]=[x y z 1]· S(Sx,Sy,Sz) 其中，Sx,Sy,Sz分别为在x,y,z坐标轴方向上的 比例系数。
4.3.3 三维旋转变换
三维旋转变换：是指将物体绕某个坐标轴旋转 一个角度，所得到的空间位置变化。我们规定旋 转正方向与坐标轴矢量符合右手法则，即从坐标 轴正值向坐标原点观察，逆时针方向转动的角度 为正。如图所示。
设用户选定的窗口范围为(wxl,wyl)和(wxr,wyr)， 视口范围为(vxl,vyl)和(vxr,vyr)。 将窗口中的图形转为视口中图形的过程： 1、先平移窗口使其左下角与坐标原点重合； 2、再比例变换使其大小与视口相等； 3、最后再通过平移使其移到视口位置。
4.3 三维几何变换
三维几何变换是二维几何变换的扩展。三维齐 次变换可用4×4矩阵表示。 平移变换 - 比例变换 - 旋转变换 - 绕空间任意轴 的旋转变换 - 对称变换 - 错切变换
四、二维观察变换将投影平面上矩形窗内的图形 变换到显示器（或规范化）坐标中的视口内。
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窗口到视区（viewport）的转换 —实例推导
（VXR，VYT） （WXR，WYT） （Xv，Yv）
（Xw，Yw）
（WXL，WYB）
（VXL，VYB）
窗口区定义为（WXL，WXR，WYB，WYT），
视区定义为（ VXL，VXR，VYB，VYT ）
根据相似性原理，得出计算公式：
xw WXL xV VXL WXR WXL VXR VXL Yw WYB yV VYB WYT WYB VYT VYB
4.设备坐标系
（左手法则）
显示器以分辨率确定坐标单位， 原点在左下角或左上角。
如屏幕坐标系： 在显示器上指定窗口和视区，必须进行由NDC到物理设备坐标变 换。
5.规格化设备坐标系（NDC）
• 为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟设备 的方法来处理，其结果是按照一种虚拟设备的坐标规定来输出 的。这种设备坐标规定为0≤X≤1，0≤Y≤1，这种坐标系称之 为规格化设备坐标系。 • 在世界坐标系（WC）与设备坐标系（DC）之间定义的一个与设 备无关的规格化设备坐标系（按左手法则）。取值范围： （0.0，0.0，0.0）~（1.0，1.0，1.0）
计算机图形学基础
第4章 二维变换
本章主要内容
• 窗口与视区
– 坐标系、窗口与视区
• 图形变换的数学基础 • 二维几何变换
– 基本变换、复合（组合）变换
• 二维图形的生成程序实现
目前为止，掌握的基本技能
• 基本绘图函数的使用：
– pDC->SetPixel – Cpen类（线型与线宽的设置）等
• • • • •
4.2 图形变换的数学基础
• 矢量运算 • 行列式 • 矩阵
特别注意： 矩阵相乘不适合交换律
• 矩阵运算
• 单位矩阵 • 逆矩阵 • 转置矩阵
上机编程：实现矩阵的输入与输出； 实现两个矩阵相乘。
变换的数学基础(1/4)
• 矢量
u x U u y u z
vx V v y vz
• 例5-1：
设窗口区为window(0.0，1.0，0.0，1.0) （已规格化） ， 视图区为viewport（100，400，100，400），有用户 坐标点Xw,Yw为（0.5，0.3），求其对应的屏幕坐标 Xv,Yv。 解题步骤： （1）绘制其坐标示意图； （2）写出（推导）计算公式； （3）算出对应坐标值。
• 性质
U V V U U V 0 U V U U 0 U 0
变换的数学基础(3/4)
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 2 U U U ux u y uz 2
U V cos q U V
– 矢量的叉积
i U V ux vx
j uy vy
k uz vz
变换的数学基础(4/4)
• 矩阵 – m n
– – – – – – – – –
阶矩阵
n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆
4.3 二维基本几何变换
• 点的变换：
– – – – – – 恒等变换 平移变换 比例变换 旋转变换 对称变换 错切变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系）
• 物体的局部坐标系，物体的表示简单。
世界坐标系xoy
模型坐标系x’o’y’
3.用户坐标系(UCS) ：
• 为了方便交互绘图操作，根据用户的观察需要而设定的坐标， 可以变换角度、方向等。
直线、圆生成算法的实现 多边形扫描转换与填充 颜色的改变，线型与线宽的设置 简单平面图形的设计 **简单动画设计
例如
• 奥运五环绘制与填充； • 字符的绘制与填充；
图形变换述
• 图形变换是计算机图形学的基础内 容。 • 作用：
1. 二维图形的生成 2. 复杂的图形的生成（由简单图形变换） 3. 三维物体的二维表示
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
“取景器”=窗 口
视区1 视区2 （viewport）
4.1 坐标系、窗口与视区（续）
4.1.4规格化变换 从窗口到视区的变换，称为规格化变换。 (Normalization Transformation) y wyT wyB o wxL wxR x y W(窗口区) (wx,wy) vyB o vx L vxR vyT (vx,vy) x V(视图区)
– 矢量和
u x vx U V u v y y u z vz
变换的数学基础(2/4)
– 矢量的数乘
kux k U ku y kuz
– 矢量的点积
U V u x vx u y v y u z vz
• 包括：
• •
1. 二维、三维图形的平移、旋转、变比、对称等变换； 2. 级联（复合）变换
——相对于某点的比例变换、旋转变换 ——相对于某直线的对称变换
图形变换概述
包括： --几何变换：改变几何形状和位置 --非几何变换：改变图形的颜色、线型等属性
基本几何变换(二维、三维)
几何变换
投影变换（三维）
坐标变换
用户域
窗口区
4.1.2坐标的转换
用户Y
用户坐标
观察坐标
（X0, Y0）
0
用户X
观察坐标到用户坐标的变换矩阵（写出）：
将观察坐标原点平移；旋转观察坐标与用户坐标重叠
4.1 坐标系、窗口与视区（续） 4.1.3什么是窗口、视区？
1. 窗口
–
在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， 用来指定要显示的图形 。
平行投影 透视投影
二维变换举例
旋转变换
y
(x’, y’) 对称变换
q
( x, y)
f
x
平行投影变换：三视图、轴测图
透视变换：透视图
二维图形的显示流程图
4.1 坐标系、窗口与视区
• 4.1.1坐标系：建立了图形与数之间的对应联系。 1.世界坐标系(World Coordinate System)