插值与数据拟合建模
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通过图形小华看到，R与T大致呈直线关系，于 是用手画了一条靠近5个点的直线，又想起中学 物理学过，金属材料的电阻率与温度成正比，从 而确定R与T的关系应该是
R=at+b 其中a，b为待定常数。
正是由于测量误差的存在，由R= at+b表 示的直线不可能通过全部5个点，所以，与插 值曲线要通过全部节点不同，小华打算作一条 尽量靠近所有的点的直线，求出a，b待定常 数，由此计算t= 600C 的R就十分简单了。
++ +
+ f=a1exp(a2x) + + ++
用MATLAB作最小二乘拟合
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1函数拟合,可 利用已有程序polyfit,其调用格式为:
a=polyfit(x,y,m)
系数
数据点
拟合多项式次数
2. 作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序 curvefit,其调用格式为：
几天后，小华在物理实验里又碰到 一个看起来非常类似的问题：有一只 对温度敏感的电阻，已经测得了一组 温度T和电阻R数据。
现在想知道600C时的电阻多大。
温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7
电阻R() 765 826 873 942 1032
小华征求老师的意见，老师给了他两点提示： 一是在直角坐标系中把5个点（T，R）画一下， 看看电阻R和温度T之间大致有什么关系；二是测 量数据总有相当大的误差，这与用函数表作插值 计算应该有不同之处吧（虽然函数表也存在舍入 误差，但很小，可以认为表中数值是精确的）
1. 拟合的基本原理； 2. 最小二乘拟合； 3. 用Matlab作最小二乘拟合； 4.如何用拟合解决实际问题。
引例1：血药浓度的变化规律
对某人用快速静脉注射方式一次性注射某种药物 300mg后，经过时间t采集血样，测得血药浓度c如下表：
t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
插值最初来源于天体计算——由若干观测 值（即节点）计算任意时刻星球的位置（即 插值点和插值）——的需要。现在，虽然人 们已很少需要用它从函数表计算函数值了， 但是插值仍然在诸如机械加工等工程技术和 数据处理等科学研究中有着许多直接的应用， 另一方面，插值又是数值微分、数值积分、 常微分方程数值等数值计算的基础。
最小二乘拟合函数 f(x，a1， …am)的选取
1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f：
f=a1+a2x +
++
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +
+ +
f=a1exp(a2x)+ +
聪明的小华用的这个办法是一种插值方 法——分段线性插值。实际上，插值可以 理解为，要根据一个用表格表示的函数， 计算表中没有的函数值。 表中有的，如（sin 3501，0 0.5760） (sin 3502,00 .5783)称为节点；要计算的， 如sin 3501，6 称为插值点，结果（0.5774） 即为插值。小华作的线性函数为插值函数， 插值函数所表示的直线当然要通过节点。
数据拟合与插值建模
插值与数据拟合就是通过一些已知数据去确 定某类函数的参数或寻找某个近似函数，使所 得的函数与已知数据具有较高的精度，并且能 够使用数学分析的工具分析数据所反映的对象 的性质．
几种常用的方法： 1、一般插值法 2、样条插值法 3、最小二乘曲线 4、曲面的拟合
上大学二年级的小华正在做作业，“爸爸，计算
曲线 y=f(x ，a1，a2， …，am) 的距离i 的平方和最小 。
记ห้องสมุดไป่ตู้
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。 这样的拟合称为最小二乘拟合。
思考
除了最小二乘准则（即各点误差的平方和最 小），你认为还可以用怎样的拟合准则？ 比较 起来，最小二乘准则有什么优点？
y
+
+
+
+
+ i
+
(xi,yi) +
+
y=f(x)
+
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
最小二乘拟合
第一步：先选定一类函数f(x，a1，a2， …，am) 其中 a1,a2, …am 为待定常数。
f可以为一些简单的“基函数” （如幂函数，三角函数等等）的线性组合：
第二步：确定参数a1,a2, …am， 其准则为（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi) 与
这道题要用到sin 3，501可6 是我的计算器坏了，怎么
办。”当工程师的老张从厚厚的一摞旧书底下抽出
一本数学用表来，“给你，这是我念大学时用的，
那时候啊，计算器听都没听说过。”
小华拿着表翻了一会儿，无奈的说：“表上每10 才
有一个函数值，这里只sin 3和50s1i0n “3“50表20中 没
有的，都可以用插值方法计算”“插值！我们的数学
实验课就要学了，不过，今天我要先自己想个办法，
用这个算出sin
”35016
这本四位数学用表给出sin 35010＝ 0.576，
sin 3502=00.5783。小华认为在sin 3501到0 sin
这样35小02的0 范围内，正弦可以近似为线性函数，于是
很容易地得到
Sin35016= 0.576+(0.5783-0.5760)×0.6=0.5774
1100
1000
900
800
700
20
40
60
80
100
根据一组（二组）数据，即平面上的 若干点，确定一个一元函数，即曲线， 使这些节点与曲线总体来说尽量接近， 这就是曲线拟合。
函数值与曲线拟合都是要根据一组 数据构造一个函 数作为近似，由于近似
的要求不同，二者的数学方法是完全不 同的。
数据拟合
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
2
10
1
10
Log10c(t)=a t + b
0
10
0
2
4
6
8
半对数坐标系(semilogy)下的图形
曲线拟合问题的提法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某 种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最 好。
R=at+b 其中a，b为待定常数。
正是由于测量误差的存在，由R= at+b表 示的直线不可能通过全部5个点，所以，与插 值曲线要通过全部节点不同，小华打算作一条 尽量靠近所有的点的直线，求出a，b待定常 数，由此计算t= 600C 的R就十分简单了。
++ +
+ f=a1exp(a2x) + + ++
用MATLAB作最小二乘拟合
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1函数拟合,可 利用已有程序polyfit,其调用格式为:
a=polyfit(x,y,m)
系数
数据点
拟合多项式次数
2. 作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序 curvefit,其调用格式为：
几天后，小华在物理实验里又碰到 一个看起来非常类似的问题：有一只 对温度敏感的电阻，已经测得了一组 温度T和电阻R数据。
现在想知道600C时的电阻多大。
温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7
电阻R() 765 826 873 942 1032
小华征求老师的意见，老师给了他两点提示： 一是在直角坐标系中把5个点（T，R）画一下， 看看电阻R和温度T之间大致有什么关系；二是测 量数据总有相当大的误差，这与用函数表作插值 计算应该有不同之处吧（虽然函数表也存在舍入 误差，但很小，可以认为表中数值是精确的）
1. 拟合的基本原理； 2. 最小二乘拟合； 3. 用Matlab作最小二乘拟合； 4.如何用拟合解决实际问题。
引例1：血药浓度的变化规律
对某人用快速静脉注射方式一次性注射某种药物 300mg后，经过时间t采集血样，测得血药浓度c如下表：
t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
插值最初来源于天体计算——由若干观测 值（即节点）计算任意时刻星球的位置（即 插值点和插值）——的需要。现在，虽然人 们已很少需要用它从函数表计算函数值了， 但是插值仍然在诸如机械加工等工程技术和 数据处理等科学研究中有着许多直接的应用， 另一方面，插值又是数值微分、数值积分、 常微分方程数值等数值计算的基础。
最小二乘拟合函数 f(x，a1， …am)的选取
1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f：
f=a1+a2x +
++
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +
+ +
f=a1exp(a2x)+ +
聪明的小华用的这个办法是一种插值方 法——分段线性插值。实际上，插值可以 理解为，要根据一个用表格表示的函数， 计算表中没有的函数值。 表中有的，如（sin 3501，0 0.5760） (sin 3502,00 .5783)称为节点；要计算的， 如sin 3501，6 称为插值点，结果（0.5774） 即为插值。小华作的线性函数为插值函数， 插值函数所表示的直线当然要通过节点。
数据拟合与插值建模
插值与数据拟合就是通过一些已知数据去确 定某类函数的参数或寻找某个近似函数，使所 得的函数与已知数据具有较高的精度，并且能 够使用数学分析的工具分析数据所反映的对象 的性质．
几种常用的方法： 1、一般插值法 2、样条插值法 3、最小二乘曲线 4、曲面的拟合
上大学二年级的小华正在做作业，“爸爸，计算
曲线 y=f(x ，a1，a2， …，am) 的距离i 的平方和最小 。
记ห้องสมุดไป่ตู้
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。 这样的拟合称为最小二乘拟合。
思考
除了最小二乘准则（即各点误差的平方和最 小），你认为还可以用怎样的拟合准则？ 比较 起来，最小二乘准则有什么优点？
y
+
+
+
+
+ i
+
(xi,yi) +
+
y=f(x)
+
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
最小二乘拟合
第一步：先选定一类函数f(x，a1，a2， …，am) 其中 a1,a2, …am 为待定常数。
f可以为一些简单的“基函数” （如幂函数，三角函数等等）的线性组合：
第二步：确定参数a1,a2, …am， 其准则为（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi) 与
这道题要用到sin 3，501可6 是我的计算器坏了，怎么
办。”当工程师的老张从厚厚的一摞旧书底下抽出
一本数学用表来，“给你，这是我念大学时用的，
那时候啊，计算器听都没听说过。”
小华拿着表翻了一会儿，无奈的说：“表上每10 才
有一个函数值，这里只sin 3和50s1i0n “3“50表20中 没
有的，都可以用插值方法计算”“插值！我们的数学
实验课就要学了，不过，今天我要先自己想个办法，
用这个算出sin
”35016
这本四位数学用表给出sin 35010＝ 0.576，
sin 3502=00.5783。小华认为在sin 3501到0 sin
这样35小02的0 范围内，正弦可以近似为线性函数，于是
很容易地得到
Sin35016= 0.576+(0.5783-0.5760)×0.6=0.5774
1100
1000
900
800
700
20
40
60
80
100
根据一组（二组）数据，即平面上的 若干点，确定一个一元函数，即曲线， 使这些节点与曲线总体来说尽量接近， 这就是曲线拟合。
函数值与曲线拟合都是要根据一组 数据构造一个函 数作为近似，由于近似
的要求不同，二者的数学方法是完全不 同的。
数据拟合
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
2
10
1
10
Log10c(t)=a t + b
0
10
0
2
4
6
8
半对数坐标系(semilogy)下的图形
曲线拟合问题的提法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某 种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最 好。