扬州市苏科版八年级数学上 期末测试题(Word版 含答案)

扬州市苏科版八年级数学上
期末测试题（Word版含答案）
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA 向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）
A．4s B．3s C．2s D．1s
2．下列四个实数：22
3,0.101001
7
π
，3,，其中无理数的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．若分式1
2
x
x
-
+
的值为0，则x的值为（）
A．1 B．2-C．1-D．2
4．如图，点P在长方形OABC的边OA上，连接BP，过点P作BP的垂线，交射线OC于点Q，在点P从点A出发沿AO方向运动到点O的过程中，设AP=x，OQ=y，则下列说法正确的是（）
A．y随x的增大而增大B．y随x的增大而减小
C．随x的增大，y先增大后减小D．随x的增大，y先减小后增大
5．若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（）
A．B．C．D．
6．下列各式从左到右变形正确的是（）
A．0.22
0.22
a b a b a b a b
++
=
++
B．
2
3184
3
2143 32
x y x y
x y x y
++
=
-
-
C ．n n a m m a -=-
D ．
221
a b a b a b
+=++
7．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．64的立方根是（ ） A ．4
B ．±4
C ．8
D ．±8
9．到ABC ∆的三顶点距离相等的点是ABC ∆的是( )
A ．三条中线的交点
B ．三条角平分线的交点
C ．三条高线的交点
D ．三条边的垂直平分线的交点
10．9的平方根是( ) A ．3
B ．81
C ．3±
D ．81±
二、填空题
11．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 中点，若4AB =，则
CD =_______________.
12．如图，点C 坐标为(0,1)-，直线3
34
y x =+交x 轴，y 轴于点A 、点B ，点D 为直线上一动点，则CD 的最小值为_________.
13．已知
113-=a b ，则分式232a ab b a ab b
+-=--__________． 14．若关于x 的方程
233
x m
x +=-的解不小于1,则m 的取值范围是_______．
15．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
16．如图，在ABC
∆和EDB
∆中，90
C EBD
∠=∠=︒，点E在AB上.若
ABC EDB
∆∆
≌，4
AC=，3
BC=，则DE=______.
17．已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1000m气温下降6℃，则气温t（℃）与高度
h（m）的函数关系式为_____．
18．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+
b2的图象如图所示，则关于x，y
的方程组11
22
y k x b
y k x b
-=
⎧
⎨
-=
⎩
的解是________．
19．如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x与y=kx+b的图象交于点P（m，2），则不等式kx+b＞﹣2x的解集为_____．
20．函数y
1
=x+1与y2=ax+b的图象如图所示,那么,使y1、y2的值都大于0的x的取值范围是______.
三、解答题
21．已知一次函数y ＝3x +m 的图象经过点A （1，4）． （1）求m 的值；
（2）若点B （﹣2，a ）在这个函数的图象上，求点B 的坐标． 22．已知△ABC ．
（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接
OD OE 、求证：OD OE =；
（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．
23．已知坐标平面内的三个点(1,3)A ，(3,1)B ，(0,0)O ，把ABO ∆向下平移3个单位再向右平移2个单位后得DEF ∆. （1）画出DEF ∆； （2）DEF ∆的面积为 .
24．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件
…
25
20
15
…
已知日销售量y 是销售价x 的一次函数．
（1）求日销售量y （件）与每件产品的销售价x （元）之间的函数表达式；
（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ 25．（阅读·领会）
0)a ≥的式子叫做二次根式，其中a 叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二次根式前的系数相加，作为结果的系数，即
(0).m n x =+≥利用这个式子可以化简一些含根式的代数式．
0,0)a b =
≥≥
我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地，当0,0a b ≥≥时，
根据积的乘方运算法则，可得222ab =⨯=，
∵
2(0)a a =≥，∴2ab =ab 的算术平方根，
∴
0,0)a b =≥≥利用这个式子，可以进行一些二次根式的乘法运算．
0,0)a b =
≥≥它可以用来化简一些二次根式．
材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式： （I ）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （II ）被开方数中不含分母；
（III ）分母中不含有根号．这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式． （积累·运用）
（1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样，试推导二次根式的除法公式．
（20,0,0)a b c ≥≥≥=______．
（3）当0a b <<并求当7,9
a b =⎧⎨=⎩时它的值． 四、压轴题
26．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． （初步思考）
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （深入探究）
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．
（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作简要说明．
27．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．
类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．
28．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .
（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；
（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；
（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，
NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系. 29．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．
（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点
E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；
（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接
BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，
当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．
30．如图，直线l 1的表达式为：y=-3x+3，且直线l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线l 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；
（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，求点P 的坐标．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
解：设运动时间为t 秒，则CP=12-3t ，BQ=t ， 根据题意得到12-3t=t ， 解得：t=3， 故选B ． 【点睛】
本题考查一元一次方程及平行四边形的判定，难度不大．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据无理数的定义解答即可. 【详解】
22
7
，0.101001是有理数；
3. 故选B. 【点睛】
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：
①π类，如2π，
3
π
等；②③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】
根据题意得，1-x=0且x+2≠0， 解得x=1且x≠-2， 所以x=1． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
连接BQ ，由矩形的性质，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，利用勾股定理得到
222PQ PB BQ +=，然后得到y 与x 的关系式，判断关系式，即可得到答案.
【详解】
解，如图，连接BQ ，
由题意可知，△OPQ ，△QPB ，△ABP 是直角三角形， 在矩形ABCO 中，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，则 OP=a x -，CQ b y =-， 由勾股定理，得：
222()PQ y a x =+-，222PB x b =+，222()BQ a b y =+-，
∵2
2
2
PQ PB BQ +=，
∴2
2
2
2
2
2
()()y a x x b a b y +-++=+-， 整理得：2
by x ax =-+，
∴2
21()24a a y x b b
=--+，
∵1
0b
-
<， ∴当2a x =时，y 有最大值2
4a
b
；
∴随x 的增大，y 先增大后减小； 故选择：C. 【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理找到y 与x 的关系式，从而得到答案.
5．C
解析：C 【解析】
分析：根据一次函数的k 、b 的符号确定其经过的象限即可确定答案． 详解：∵一次函数y x b =+中100k b =-，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选C ．
点睛：主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；
②当k ＞0，b ＜0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y =kx +b 的图象经过第
二、三、四象限．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【详解】
A ．分式的分子和分母同时乘以10，应得210102a b a b
++，即A 不正确， B . 26(3)184321436()32x y x y x y x y ⨯+
+=-⨯-，故选项B 正确， C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，
D .
22
a b a b ++不能化简，故选项D 不正确． 故选：B ．
【点睛】 此题考察分式的基本性质，分式的分子和分母需同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.不能在分子和分母中加减同一个整式，这是错误的.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：A 、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B 、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C 、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D 、不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，折叠后两边会重合．
8．A
解析：A
【解析】
试题分析：∵43=64，∴64的立方根是4，
故选A
考点：立方根．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质进行判断即可；
【详解】
∵到△ABC的三个顶点的距离相等，
∴这个点在这个三角形三条边的垂直平分线上，
即这点是三条垂直平分线的交点．
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，准确理解性质是解题的关键．10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平方根的定义进行求解即可.
【详解】
.
解：9的平方根是3
故选C.
【点睛】
本题考查平方根，一个正数有两个实平方根，它们互为相反数.二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．【详解】
∵D是AB的中点，
∴CDAB=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜
解析：2
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．
【详解】
∵D 是AB 的中点，
∴CD 12
=AB =2． 故答案为：2．
【点睛】
本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．【解析】
【分析】
过点C 作直线AB 的垂线段CD ，利用三角形的面积即可求出CD 的长.
【详解】
连接AC ，过点C 作CD⊥AB，则CD 的长最短，如图，
对于直线令y=0，则，解得x=-4，令x=0
解析：165
【解析】
【分析】
过点C 作直线AB 的垂线段CD ，利用三角形的面积即可求出CD 的长.
【详解】
连接AC ，过点C 作CD ⊥AB ，则CD 的长最短，如图，
对于直线334y x =+令y=0，则3304x +=，解得x=-4，令x=0，则y=3，
∴A(-4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt △OAB 中，222AB OA OB =+
∴22
435 ∵C （0，-1），
∴OC=1，
∴BC=3+1=4，
∴1122ABC S BC AO AB CD ==,即1144=522
CD ⨯⨯⨯⨯，
解得，165CD =
. 故答案为：
165
. 【点睛】 此题主要考查了一次函数的应用以及三角形面积公式的运用，解答此题的关键是利用三角形面积相等求出CD 的长.
13．【解析】
【分析】
首先把两边同时乘以，可得 ，进而可得，然后再利用代入法求值即可．
【详解】
解：∵，
∴ ，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时， 解析：34
【解析】
【分析】 首先把113-=a b
两边同时乘以ab ，可得3b a ab -= ，进而可得3a b ab -=-，然后再利用代入法求值即可．
【详解】 解：∵113-=a b
， ∴3b a ab -= ，
∴3a b ab -=-， ∴2323263334a b ab a ab b
ab ab a ab b a b ab ab ab 故答案为：
34
【点睛】 此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．
14．m≥-8 且m≠-6
【解析】
【分析】
首先求出关于x的方程的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出. 【详解】
解：解关于x的方程
得x=m+9
因为的方程的解不小于，且x≠3
所以m+
解析：m≥-8 且m≠-6
【解析】
【分析】
首先求出关于x的方程2
3
3
x m
x
+
=
-
的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出.
【详解】
解：解关于x的方程2
3
3
x m
x
+
=
-
得x=m+9
因为x的方程2
3
3
x m
x
+
=
-
的解不小于1，且x≠3
所以m+9≥1 且m+9≠3
解得m≥-8 且m≠-6 .
故答案为：m≥-8 且m≠-6
【点睛】
此题主要考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，重点注意分式方程存在的意义分母不为零.
15．5或
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的
解析：5
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4=
②长为3、45；
∴或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．
16．5
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求得AB的长度，再由全等三角形的性质可得DE的长度. 【详解】
解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=5，
∵△ABC≌
解析：5
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求得AB的长度，再由全等三角形的性质可得DE的长度.
【详解】
解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=5，
∵△ABC≌△EDB，
∴DE=AB=5.
【点睛】
本题考查勾股定理，全等三角形的性质.熟记全等三角形对应边相等是解决此题的关键. 17．t=﹣0.006h+20
【解析】
【分析】
根据题意得到每升高1m气温下降0.006℃，由此写出关系式即可．
【详解】
∵每升高1000m气温下降6℃，
∴每升高1m气温下降0.006℃，
∴气温
解析：t=﹣0.006h+20
【解析】
【分析】
根据题意得到每升高1m气温下降0.006℃，由此写出关系式即可．
【详解】
∵每升高1000m气温下降6℃，
∴每升高1m气温下降0.006℃，
∴气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为t=﹣0.006h+20，
故答案为：t=﹣0.006h+20．
【点睛】
本题考查了函数关系式，正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键．
18．．
【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y ＝k1x+b1与y ＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组的解是．
解析：21x y =⎧⎨=⎩
． 【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩的解是21
x y =⎧⎨=⎩． 故答案为21x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
19．x ＞﹣1
【解析】
【分析】
先利用正比例函数解析式确定P 点坐标，然后观察函数图象得到，当x ＞﹣1时，直线y=﹣2x 都在直线y=kx+b 的下方，于是可得到不等式kx+b ＞﹣2x 的解集．
【详解】
当
解析：x ＞﹣1
【解析】
【分析】
先利用正比例函数解析式确定P 点坐标，然后观察函数图象得到，当x ＞﹣1时，直线
y=﹣2x都在直线y=kx+b的下方，于是可得到不等式kx+b＞﹣2x的解集．
【详解】
当y=2时，﹣2x=2，
x=﹣1，
由图象得：不等式kx+b＞﹣2x的解集为：x＞﹣1，
故答案为x＞﹣1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=kx+b的值大于（或小于）﹣2x的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在﹣2x上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
20．−1<x<2.
【解析】
【分析】
根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答．
【详解】
如图所示,x>−1时,y>0，
当x<2时,y>0，
∴使y、y的值都大于0的x的取值范围是：−1<x<2.
解析：−1<x<2.
【解析】
【分析】
根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答．
【详解】
>0，
如图所示,x>−1时,y
1
当x<2时,y2>0，
∴使y
、y2的值都大于0的x的取值范围是：−1<x<2.
1
故答案为：−1<x<2.
【点睛】
此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于x轴上方的图象的y值大于0
三、解答题
21．（1）1；（2）（﹣2，﹣5）．
【解析】
【分析】
（1）把点A（1，4）的坐标代入一次函数y＝3x+m可求出m的值，
（2）确定函数的关系式，再把B的坐标代入，求出a的值，进而确定点B的坐标．
【详解】
解：（1）把点A（1，4）的坐标代入一次函数y＝3x+m得：
3×1+m ＝4，
解得：m ＝1，
（2）由（1）得：一次函数的关系式为y ＝3x+1．
把B （﹣2，a ）代入得：a ＝3×（﹣2）+1＝﹣5，
∴B 的坐标为（﹣2，﹣5）
【点睛】
考查一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是
2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；
（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，
OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ∆≅∆,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.
【详解】
解：（1）如图，就是所要求作的图形；
（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥AB ，OG 垂直平分BC ，
∴OH=OG ，CG=BG ，
∵OB=OB,
∴OBH OBG
∆≅∆,
∴BH=BG，
∵BE=CD，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，
在OEH
∆和ODG
∆中,
90
OH OG
OHE OGD
EH DG
=
⎧
⎪
∠=∠=
⎨
⎪=
⎩
,
∴OEH ODG
∆≅∆,
∴OE=OD．
（3）ABC
∠与EOF
∠的数量关系是2180
ABC EOF
∠+∠=，理由如下；
如图 ，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，
由(2)可知，因为 CD=BE，所以OEH ODG
∆≅∆且OE=OD，
∴EOH DOG
∠=∠,180
ABC HOG
∠+∠=,
∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG
∠=∠+∠=∠+∠=∠,
∴180
ABC EOD
∠+∠=,
∵△BEF的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC
∴DF=EF,
在△OEF和△OGF中,
OE OD
EF FD
OF OF
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,
∴OEF OGF
∆≅∆,
∴EOF DOF
∠=∠,
∴2
EOD EOF
∠=∠,
∴2180
ABC EOF
∠+∠=.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.
23．（1）见详解；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）根据点的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可以直接算出A 、B 、O 三个对应点D 、E 、F 的坐标，然后画出图形即可；
（2）把△DEF 放在一个矩形中，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．
【详解】
解：（1）∵点A （1，3），B （3，1），O （0，0），
∴把△ABO 向下平移3个单位再向右平移2个单位后A 、B 、O 三个对应点D （1+2，3-3）、
E （3+2，1-3）、
F （0+2，0-3），
即D （3，0）、E （5，-2）、F （2，-3）；如图：
（2）△DEF 的面积：11133131322=9 1.5 1.52=4222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯---. 【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键是掌握平移后点的变化规律．
24．（1）40y x =-+；（2）此时每天利润为125元．
【解析】
试题分析：（1） 根据题意用待定系数法即可得解；
（2）把x=35代入（1）中的解析式，得到销量，然后再乘以每件的利润即可得. 试题解析：（1）设y kx b =+，将15x =，25y =和20x =，20y =代入，得：25152020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：140
k b =-⎧⎨=⎩， ∴40y x =-+；
（2）将35x =代入（1）中函数表达式得：
35405y =-+=，
∴利润()35105125=-⨯=（元），
答：此时每天利润为125元．
25．（1）见解析；（2）2abc ；（3）ab
-，463- 【解析】
【分析】 （1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式的方法，推导二次根式的除法公式
（2）根据二次根式乘法公式进行计算即可
（3）先根据二次根式除法公式进行化简，再把a 和b 的值代入即可
【详解】
解：（10,0)a b =≥> 证明如下：一般地，当0,0a b ≥>时，
根据商的乘方运算法则，可得22
a b ==
∵
2(0)a a =≥，∴2a b =a b 的算术平方根，
∴0,0)a b
=≥>利用这个式子，可以进行一些二次根式的除法运算．
0,0)a b
=≥>它可以用来化简一些二次根式．
（20,0,0)2a b c abc ≥≥≥=
=
故答案为：2abc （3）当0a b <<时，
1a b b a a b ab a ab
+-===--+
当79
a b =⎧⎨=⎩时，原式=463=- 【点睛】
本题考查二次根式的乘法和除法法则，，解题的关键是熟练运用公式以及二次根式的性质，本题属于中等题型．
四、压轴题
26．（1）HL ；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形全等的方法“HL ”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
【详解】
（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．
（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角
∴G、H分别在AB、DE的延长线上．
∵CG⊥AG，FH⊥DH，
∴∠CGA＝∠FHD＝90°．
∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，
∴∠CBG＝∠FEH．
在△BCG和△EFH中，
∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，
∴△BCG≌△EFH．
∴CG＝FH．
又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．
∴∠A＝∠D．
在△ABC和△DEF中，
∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF．
（3）如图②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．
27．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.
【详解】
（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .
证明：∵ABC ∆是等边三角形
∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝
∵DF ∥AC
∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA
∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝
∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝
∴DF ＝BD
∵点D 是BC 的中点
∴BD ＝CD
∴DF ＝CD
∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线
∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝
∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点
∴AD ⊥BC
∴90
ADC
∠︒
＝
∵60
BDF ADE
∠∠︒
＝＝
∴30
ADF EDC
∠∠︒
＝＝
在ADF
∆与EDC
∆中
AFD ECD
DF CD
ADF EDC
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
∴()
ADF EDC ASA
∆∆
≌
∴AD＝DE；
（2）结论：AD＝DE.
证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F ∵ABC
∆是等边三角形
∴AB＝BC，60
B BA
C BCA
∠∠∠︒
＝＝＝
∵DF∥AC
∴BFD BAC BDF BCA
∠∠∠∠
＝，＝
∴60
B BFD BDF
∠∠∠︒
＝＝＝
∴BDF
∆是等边三角形，120
AFD
∠︒
＝
∴BF＝BD
∴AF＝DC
∵CE是等边ABC
∆的外角平分线
∴120
DCE AFD
∠︒∠
＝＝
∵∠ADC是ABD
∆的外角
∴60
ADC B FAD FAD
∠∠∠︒∠
＝＋＝＋
∵60
ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠
＝＋＝＋
∴∠FAD＝∠CDE
在AFD
∆与DCE
∆中
AFD DCE
AF CD
FAD EDC
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
∴()
AFD DCE ASA
∆∆
≌
∴AD＝DE；
（3）如下图，ADE
∆是等边三角形.
证明：∵BC CD =
∴AC CD =
∵CE 平分ACD ∠
∴CE 垂直平分AD
∴AE =DE
∵60ADE ∠=︒
∴ADE ∆是等边三角形.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得
CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；
（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．
【详解】
（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒
9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒
BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥
CD ED ∴=
在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩
()BCD BED HL ∴∆≅∆
BC BE ∴=
EBC
∴∆是等边三角形；
（2）如图，延长ED使得DF MD
=，连接MF
3
,0
90A
ACB
∠=︒∠=︒，BD是ABC
∠的角平分线，DE AB
⊥
60,
ADE BDE AD BD
∴∠=∠=︒=
60,18060 MDF ADE MDB ADE BDE
∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF
∴∆是等边三角形
,60
MF DM F DMF
∴=∠=∠=︒
60
BMG
∠=︒
DMF DM B M
G
G D
M G
∴∠+∠=+∠
∠，即FMG DMB
∠=∠
在FMG
∆和DMB
∆中，
60
F MDB
MF MD
FMG DMB
∠=∠=︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
FMG DMB ASA
∴∆≅∆
GF BD
∴=，即DF DG BD
+=
AD DF DG MD DG
∴=+=+
即AD DG MD
=+；
（3）结论：AD DG ND
=-，证明过程如下：
如图，延长BD使得DH ND
=，连接NH
由（2）可知，60,18060,
ADE HDN ADE BDE AD BD
∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN
∴∆是等边三角形
,60
NH ND H HND
∴=∠=∠=︒
60
BNG
∠=︒
HND BND BND
BNG
∠+∠=+∠
∴∠，即N
HNB D G
∠=∠
在HNB
∆和DNG
∆中，
60
H NDG
NH ND
HNB DNG
∠=∠=︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
HNB DNG ASA
∴∆≅∆
HB DG
∴=，即DH BD DG
+=
ND AD DG
∴+=
即AD DG ND
=-．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．
29．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；
（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
【详解】
解：（1）△ACD 与△CBE 全等．
理由如下：∵AD ⊥直线l ，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB ，
在△ACD 和△CBE 中，
ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；
（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，
则CM=8-t ，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t ，
点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，
当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，
解得，t=5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运
用分情况讨论思想是解题的关键．
30．（1）（1，0）；（2）362y x -＝；（3）
92；（4）（6，3）． 【解析】
【分析】
（1）由题意已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可；
（2）根据题意设l 2的解析式为y=kx+b ，并由题意联立方程组求出k ，b 的值；
（3）由题意联立方程组，求出交点C 的坐标，继而即可求出S △ADC ；
（4）由题意根据△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到AD 的距离进行分析计算．
【详解】
解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D （1，0）；
（2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ，
由图象知：x=4，y=0；x=3，y ＝32
-，代入表达式y=kx+b ， ∴40332
k b k b +⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝， ∴326
k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线l 2的解析表达式为3
62
y x -＝； （3）由33362
y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），
∵AD=3， ∴331922
ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，
则P 到AD 距离=3，
∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，
∴点P 纵坐标是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3，解得x=6，。