整式乘除经典讲义

整式的乘除讲义三. 同底数幂的乘法同底数幕的乘法法则：a m a n a m n（m,n都是正数）是幕的运算中最基本的法则，在应用法则运算时, 要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幕的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1 时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幕的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幕相乘时，法则可推广为 a m a n a P a m n p（其中m n、p均为正数）；⑤公式还可以逆用：a mn a m a n（m n均为正整数）四．幕的乘方与积的乘方1.幕的乘方法则：（a m）n a mn（m,n都是正数）是幕的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆.2.（a m）n（a n）m a mn（m, n 都为正数）.3.底数有负号时，运算时要注意，底数是a与（-a）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底,如将（-a）3化成-a34.底数有时形式不同，但可以化成相同。

5.要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=a n+b n（a、b均不为零）。

6.积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，即（ab）n a n b n（n 为正整数）。

7.幕的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

五•同底数幕的除法1.同底数幕的除法法则：同底数幕相除,底数不变,指数相减,即a m a n a mn（a工0,m、n都是正数，且m>n）.2.在应用时需要注意以下几点：①法则使用的前提条件是“同底数幕相除”而且0不能做除数，所以法则中a^ 0.②任何不等于0的数的0次幕等于1,即a0 1（a 0）,如100 1 ,（-2.5 °=1）,则0°无意义•③任何不等于0的数的-p次幕（p是正整数），等于这个数的p的次幕的倒数，即（a^ 0,p是正整数）, 而0-1,0-3都是无意义的；当a>0时,a-p的值一定是正的；a p④ 运算要注意运算顺序六.整式的乘法1.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项 式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：① 积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。

这时容易出现的错误的 是，将系数相乘与指数相加混淆；② 相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③ 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④ 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤ 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

2 •单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：① 单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同;当a<0时,a 卩的值可能是正也可能是负的 ,如(-2)-21 3;,(2)②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序。

3．多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1 的两个一次二项式相乘(x a)(x b) x2 (a b)x ab，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。

对于一次项系数不为1 的两个一次二项式(mx+a 和(nx+b)相乘可以得到(mx a)(nx b) mnx2 (mb ma)x ab七．平方差公式1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即 (a b)( a b) a2 b2。

其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数;②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

八．完全平方公式1．完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍，即 (a b)2 a 2 2ab b2 ;口决：首平方，尾平方，2 倍乘积在中央;2．结构特征：①公式左边是二项式的完全平方;②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 (a b)2 a2 b2 这样的错误。

九．整式的除法1．单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式;2．多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

(一)填空题(每小题2分，共计20分)1. ____________________ x10 11=(—x3) 2•= x12十x ()【答案】x4；2.2.4 (m—n) 3*( n —m) 2= ___________ .【答案】4 (m—n).3. _______________________________ —x2•(—x) 3•(—x) 2= .【答案】x7.4.(2a—b) ()= b2—4a2.【答案】—2a—b.5.(a—b) 2=( a+ b) 2+ ________________ .【答案】—4ab.6. ( -) —2+ ?°= ; 4101x 0.25 99= .【答案】10;16.37.202 x 191=( )•()= .【答案】20+ -，20— -，399-.3 3 3 3 98.用科学记数法表示—0.0000308 = ____________ .【答案】—3.08 x 10—5.2 2 29.(x —2y+ 1) (x —2y —1) =( ) —( ) = _________________ .2【答案】x - 2y，1x - 4xy + 4y .、 2 5 z 4 3 7 z x2n— 3 3— n 3n — 6 z _ x n 2 2n z x / 3(A) a • a = a (B) (a ) = a (C) x • x • x = x (D) a 十a = a10 .若(x+ 5) (x —7)= x + m>+ n，则m i= _________ ，n = ________ .【答案】—2, 35 .（二）选择题（每小题2分，共计16分）11 .下列计算中正确的是【答案】D.12. ........................................................................................................................ x21*1可写作...................................................................... ( )(A) (x2)时1(B) (X。

2+1(C) x • x21(D) (X。

n*1【答案】C.13. ................................................................................................................ 下列运算正确的是................................................................ ( )3 4 4(A)(-2ab) •(- 3ab) = —54a b(B)5x •( 3x ) = 15x2 3 7(C)( —0.16 ) •(—10b) = —b1(D)(2X 10n) ( —X10n)= 1021【答案】D.214•化简(a n b n)n,结果正确的是.............................................. ( )(A) a2n b mn(B) a n2b mn(C) a n2b mn(D) a2n b m"【答案】C.15. ........................................................................................................................ 若a^b,下列各式中不能成立的是 ................................................. ( )(A) (a+ b) =(—a—b) (B) (a+ b) (a—b) = ( b + a) (b—a)(C) (a—b) 2n=(b —a) 2n(D) (a—b) 3=( b —a) 3【答案】B.16.下列各组数中，互为相反数的是( )(A) (-2) —3与23( B) (-2) —2与2-2(C)- 33与(-1) 3( D) (-3) -3与(-)33 3【答案】D.17 .下列各式中正确的是...................................................... ( )2 2(A) (a+ 4) (a-4)= a -4 ( B) (5x —1) (1-5x)= 25x - 1(C) (-3x + 2) 2= 4- 12x + 9x2(D) (x —3) (x-9)= x2-27【答案】C.18.如果x2- kx- ab= (x-a) (x+ b),则k 应为........................... ( )(A) a+ b (B) a —b (C) b —a (D) —a —b【答案】B.(三)计算(每题4分，共24分)19. (1) (-3xy2) 3•(丄x3y) 2; 【答案】一3x9y8.6 422/2433 152 16 4(2)4a x •(----- axy)*( -------- axy )；【答案】一axy.5 2 5(3)(2a-3b) 2(2a + 3b) 2；【答案】16a4-72a2b2+ 81b4.(4) (2x + 5y) (2x-5y) (-4x2-25y2); 【答案】625y4- 16x4.(5)(20a n—2b n- 14a n-1b n+1+ 8a2n b)宁(-2a n—3b)；【答案】一10ab n—1+ 7a2b n-4a n+3.(6) (x — 3) (2x + 1)- 3 (2x - 1)【答案】—10x 2+ 7x - 6.20•用简便方法计算：（每小题3分，共9分）2（1） 98 ;【答案】(100-2) 2= 9604.(2) 899X 901+1;2【答案】(900- 1) (900+ 1)+ 1 = 900 = 810000. ,、 ，10、 2002 , 、 1000 (3) ( - ) •( 0.49)7【答案】-41.a 2b 2 22.已知 a + b = 5, ab = 7,求 -------- ,a 2-ab + b 2的值.2【答案】a 2b 2 1 21 z _ . x2 . 11 一 [(a + b ) 2ab] 一 (a + b ) ab 一2 2 2 22a-2 2ab + b =( a + b ) — 3ab = 4.23.已知(a + b ) 2= 10, (a -b ) 2= 2,求 a 2+ b 2, ab 的值.【答案】(10) •10)2000( 0.7 ) 2000=詈（四）解答题（每题6分，共24分）21 .已知 a + 6a + b — 10b + 34= 0, 求代数式(2a + b ) (3a - 2b ) + 4ab 的值.【提示】配方：（a + 3） 2+（ b -5） 2=0, a =- 3, b = 5,【答案】a2+ b2= 1[ (a+ b) 2+( a—b) ] = 6,2ab= 1[ (a+ b))+(a—b) 2] = 2.424.已知a2+ b2+ c2= ab+ bc+ ac，求证a= b= c.【答案】用配方法，a2+ b2+ c2—ab—bc—ac = 0,二2 (a2+ b2+ c2—ab—ac—bc) = 0,即(a—b) 2+(b —c) 2+(c —a) 2= 0.A a= b= c.(五)解方程组与不等式(25题3分，26题4分，共7分)25 (x 1)(y 5) x(y 2) 0 .(x 4)(y 3) xy 3.7【答案】x 3 y 2.26. (x + 1) (x2—x+ 1)—x (x —1) 2v( 2x —1) (x —3).【答案】x >—1.3。