巧用算术平方根的非负性解题

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走进中考-----巧用“非负性解题”

走进中考--------巧用“非负性解题”非负性的含义是指大于或等于零。

在初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性；平方的非负性；二次根式的双重非负性，即它的被开方数和它的值都是非负的；一元二次方程有实根的条件，即根的判别式为非负；以及方差的非负性。

下面从六个方面举例说明它们的运用：一、利用绝对值的非负性解题【例1】的值。

求已知32,012y x y x -=+++解析由绝对值的非负性知，.01,02≥+≥+y x 要这两个非负数之和为0，只有每一个非负数都为0，即，.01,02=+=+y x 从而01,02=+=+y x ，所以1,2-=-=y x ，所以()().514123232=+=---=-y x 练习1： ()的值。

求已知2017,0201712017ab b a =+++ 二、利用平方的非负性解题【例2】若()0542=-++-y x x ，计算：=++4322y xy y x ________________。

解析根据绝对值和平方的非负性质，得⎩⎨⎧=-+=-0504y x x ，解得⎩⎨⎧==14y x ，所以294114144322322=+⨯+⨯=++y xy y x 。

练习2：已知(),012,2=++-y x y x 满足则=-y x三、利用二次方根的被开方数的非负性解题【例3】已知2133+-+-x x y ，化简144122+---y y y 。

解析因为2133+-+-x x y ，由二次根式的被开方数为非负性知：0-303≥≥-x x 且，从而x=3，所以21 y 。

故有()()021211212144122=---=---=+---y y y y y y y 。

练习3：若a,b 为实数，且()2015,011ab b a 求=-++的值。

四、利用算术平方根的非负性解题【例4】设x 、y 为实数，且0742=++-y x ，求y x -的值。

解析根据算术平方根的非负性知，07,042≥+≥-y x ，又因为它们的和为0。

利用算术平方根的双重非负数性巧解题

双重非负数性利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[)a 0≥有a 00≥]巧解题例1.x y 、6y =-，求1x y -的值？分析：根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决. 略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩解得：1x 3=；把1x 3=6y -有：6y -，解得：y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知：2a 12a =，求20151ab 2⎛⎫ ⎪⎝⎭的值？分析：2a 2a 10-+=()2a 10-=，利用非负数的性质可求得a b 、的值.略解：2a 2a 10-+= ，进一步可得()2a 10-=0，()2a 10-≥ ∴ ()2a 100⎧-=⎪= ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩ ∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓23a 0-≥，可求得a 0=.略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0=∴原式32106=+++=.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决.追踪练习：1.已知y= 2.已知a 40-=,化简并求22222a ab a ab b a b +-+-的值？ 3.若2m 6m 9-+xy 的值？4.5.已知2014a a -=，试求2a 2014-的值？郑宗平 2015/3/16。

算术平方根的非负性运用

初中数学七年级下册
算术平方根的非负性运用
旧知链接 a 被1. 开a可方以数取a是任非何负数数吗,？即 a 0 .
2a. 是a非是负什数，么即数a？ 0 .
也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数.
负数不存在算术平方根，即当 a 0 时，a 无意义.
如： 6 无意义； 8是64的算术平方根或 64 8 .
所以 3 m 0 m n 1 0
所以 m 3 n 4 所以 1 m 1 n 7
9 23
强调：几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
巩固练习 1.若 5-x 有意义，则x的取值范围是_x____5___.
2.若 m 2 化简 m 22 =_m_____2.
追问：若m<-2呢？结果(-m-2).
3. 是算术平方根的运算符号.
运用新知
例1 2-x 有意义，则实数x应满足条件为________.
解：要使 2-x有意义，需有2 x 0，即x 2.
变式：若m>0,则 m2 __m__ . 变式：若m<0,则 m2 __-_m_ .
强调： a2 a
当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 0
3.已知 y x 3 3 x 2，则 y x =___8___.
4.已知 3 m (1 n)2 0 ，则 m+n=_4_____.
a
总结反思
运用算术平方根的双重非负性解决问题：
1.求算术平方根被开方数的取值范围.
2.化简简单的二次根式.
3.解决几个非负数和为2m 1 1 2m 1 ,求 y 2m .
4
解：由题意知： 2m10 12m0
所以
把m
所以

利用算术平方根的非负性进行计算

利用算术平方根的非负性进行计算算术平方根的非负性是指一个非负实数的算术平方根也是非负的。

在数学中，利用算术平方根的非负性可以进行各种计算，包括求解方程、简化公式、推导关系等。

本文将对如何利用算术平方根的非负性进行计算进行详细的阐述。

首先，让我们来了解一下算术平方根的定义。

给定一个非负实数x，我们称一个非负实数y满足y²=x为x的算术平方根。

符号上，我们用√x表示x的算术平方根。

根据定义，我们有√x≥0，即算术平方根是非负数。

基于算术平方根的非负性，我们可以进行几种常见的计算。

首先，我们可以利用算术平方根的非负性求解方程。

考虑一个方程x²=a，其中a是已知的非负实数。

根据算术平方根的非负性，我们知道方程的解必然是非负实数。

因此，我们可以得出x=√a。

例如，对于方程x²=4，根据算术平方根的非负性，我们得出x=±√4=±2，即x可以是2或者-2、取非负解，我们得到x=2其次，我们可以利用算术平方根的非负性简化公式。

例如，我们考虑计算下列表达式：√(a²+b²)根据算术平方根的非负性，我们知道√(a²+b²)≥0。

因此，无需进行进一步计算，可以直接得出结果为非负实数0。

此外，我们也可以利用算术平方根的非负性推导关系。

例如，考虑两个非负实数a和b，满足a>b。

我们可以利用算术平方根的非负性证明以下关系：√a>√b首先，我们可以用反证法来证明上述关系。

假设√a≤√b，根据算术平方根的非负性，我们可以得到a≤b。

然而，这与假设a>b矛盾，因此原假设不成立。

所以我们可以得到√a>√b。

这个结论表明，对于两个非负实数，如果一个大于另一个，则它们的算术平方根之间的大小关系也是相同的。

综上所述，利用算术平方根的非负性进行计算可以大大简化问题。

我们可以利用算术平方根的非负性求解方程、简化公式以及推导关系。

初中数学巧用算术平方根的“非负性”

巧用算术平方根的“非负性”
众所周知，算术平方根具有双重非负性：1．被开方数具有非负性，即≥0；2．具有非负性，即≥0．这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，如果能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，挖掘出题目中隐含的算术平方根的这两个非负性，并在解题过程中做到有机地配合，则可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
【例1】实数满足，化简．
【分析】由算术平方根被开方数的非负性知，因此，只有
，所以．有了的取值范围，便可以化简了．
【解】由题可知，
∴，∴，
∴，
∴= ．
【例2 】如果成立，求的值．
【分析】由算术平方根被开方数的非负性知，因此，只有，即；又，即，所以，于是得解．
【解】由题可知，
∴，即．
又∵，即，
∴，∴，
∴．
【例3】若与互为相反数，求的值．
【分析】由题可知＋=0．因为一个数的绝对值、算术平方根是两种非负数，利用非负数的性质“若干个非负数的和为零，则其中每个非负数均为零”即可求解．
【解】由题可得＋=0．
∵，
∴由非负数的性质，得
解这个方程组，得
∴。

利用平方根的定义及性质解题的几个技巧

平方根概念解题的几个技巧平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.一、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根.分析认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6.解 ∵⎩⎨⎧≥-≥-0202x x , ∴⎩⎨⎧≥≤22x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336.二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根.分析由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了.解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1.a 的平方的相反数的立方根是.113-=-三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0时，y 最小.由2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.所以b a 的非算术平方根是.11-=-四、巧用平方根定义解方程.我们已经定义:如果x 2=a （a ≥0）那么x 就叫a 的平方根.若从方程的角度观察,这里的x 实际是方程x 2=a （a ≥0）的根.例4、解方程（x +1）2=36.分析把x +1看着是36的平方根即可.解 ∵（x +1）2=36 ∴x +1看着是36的平方根. x +1=±6.∴x 1=5 , x 2=－7.例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x +1)3=64这个方程呢?不妨试一试.利用平方根的定义及性质解题如果一个数的平方等于a （a ≥0），那么这个数是a 的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．解：由2a －1+a －11=0，得a =4，所以2a －1=2×4－1=7．所以这个数为72=49．例2 已知2a －1和a －11是一个数的平方根，求这个数．分析：根据平方根的定义，可知2a －1和a －11相等或互为相反数．当2a －1=a －11时，a =－10，所以2a －1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;当2a －1+a －11=0时,a =4,所以2a －1=7,这时所求得数为72=49.综上可知所求的数为49或441.例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,求2x－3y+11的平方根.分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11,所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81,因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9.例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）－1分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．所以选（C）．练一练:1.已知x的平方根是2a－13和3a－2,求x的值.2.已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根..答案:1.49;2. 49或1225; 3.5估计方根的取值，你会吗在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜．解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手．例１）（A ）3.15 3.16 （B ）3.16 3.17（C ）3.17 3.18 （D ）3.18 3.19.10 3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间.解：计算知，2223.15= 9.9225 , 3.16= 9.9856 , 3.17= 10.0489.所以23.16＜10＜23.17.所以3.16 3.17，应选B .例2 估计68的立方根的大小在( )（A ） 2与3之间（B ）3与4之间（C ） 4与5之间（D ）5与6之间.分析：要估计68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间．解：计算知，33332= 8 , 3=27 , 4= 64 , 5= 125．所以34＜68＜35．所以45，应选B ．例3 最接近的是（）（A ）2.5 （B ）2.6 （C ）2.7 （D ）2.8.分析：要比较2.5、2.6、2.7、2.8更接近，只需看看这四个数中哪个数的平方更接近7.解：计算知，22222.5 = 6.25 , 2.6 = 6.76 , 2.7 = 7.29 , 2.8 =7.84.因为22227 2.5 = 0.75 , 7 2.6 = 0.24 , 2.77 = 0.29 , 2.87 = 0.84----，所以22.6比22.5、22.7、22.8更接近7，所以2.6比2.5、2.7、2.8.应选B .《平方根》典例分析平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.一、基本题型例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.点评：弄清与平方根有关的三种符号±a 、a 、－a 的意义是解决这类问题的关键.±a 表示非负数a 的平方根.a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根.注意a ≠±a .在具体解题时，符与“”的前面是什么符号，其计算结果也就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.例3 若数m 的平方根是32+a 和12-a ，求m 的值.分析：因负数没有平方根，故m 必为非负数，故本题应分两种情况来解.解：因为负数没有平方根，故m 必为非负数.（1）当m 为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a ）+（12-a ）=0，解得3=a ，故32+a =9332=+⨯，912312-=-=-a ，从而8192==a .（2）当m 为0时，其平方根仍是0，故032=+a 且0433=-a ，此时两方程联立无解.综上所述，m 的值是81.想一想：如果把例3变为：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.你会解吗？请试一试.二、创新题型例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若1-x 与x -1同时成立，则x 的值应是多少？有下面的解题过程：1-x 和x -1都是算术平方根，故两者的被开方数x x --1,1都是非负数,而1-x 和x -1是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即1-x =0，x -1=0，故1=x . 问题：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.解：由阅读材料提供的信息，可得,012=-x 故21=x . 进而可得2=y .故y x =41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子. ①44141411611622=⨯=⨯=⨯=⨯=； ②244242421623222=⨯=⨯=⨯=⨯=； ③344343431634822=⨯=⨯=⨯=⨯=.分析：要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.解：④84244441646422=⨯=⨯=⨯=⨯=； ⑤544545454516580222=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！。

巧用平方根的概念解决相关题目(解析版)--七年级数学下册

第05讲巧用平方根的概念解决相关题目类型一：巧用非负性求值类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值类型三：巧用算术平方根的最小值求值类型四：巧用平方根的定义解方程【类型一：巧用非负性求值】1．（2023秋•余姚市期中）已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据非负数的性质求出m、n的值，进而可得出结论．【解答】解：∵，∴m﹣4＝0，n+9＝0，解得m＝4，n＝﹣9，∴＝＝﹣．故选：B．2．（2023春•祥云县期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为（）A．﹣1B．1C．32023D．﹣32023【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性，求出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵+|b﹣1|＝0．∴a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，故选：A．3．（2023春•五华区校级期中）已知x，y满足+（y+1）2＝0，那么x﹣y的平方根是（）A．B．C．1D．±1【分析】利用算术平方根的定义以及偶次方的性质得出x，y的值，再利用平方根的定义求出答案．【解答】解：∵x，y满足+（y+1）2＝0，∴x＝2，y＝﹣1，∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝3，∴x﹣y的平方根是：±．故选：A．4．（2023秋•大东区期中）+|b+2|＝0，则的值是（）A．0B．2018C．﹣1D．1【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出a，b的值，代入计算得出答案．【解答】解：根据题意得a﹣1＝0，b+2＝0，解得：a＝1，b＝﹣2，则＝＝1．故选：D．5．（2023春•西岗区月考）已知（4﹣a）2与互为相反数，则a﹣b的平方根是（）A．B．C．D．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定义进行计算即可．【解答】解：由题意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，∴4﹣a＝0，b+1＝0，解得a＝4，b＝﹣1，∴a﹣b＝5，∴a﹣b的平方根是，故选：C．6．（2022秋•九龙坡区期末）已知a、b、c都是实数，若，则的值等于（）A．1B．﹣C．2D．﹣2【分析】先根据平方，绝对值和算术平方根的非负性求出a，b，c的值，再将a，b，c代入中即可求解．【解答】解：∵，，|2b﹣|≥0，（c+2a）2≥0，∴a﹣2＝0，2b﹣＝0，c+2a＝0，∴a＝2，b＝，c＝﹣4，∴＝＝＝2，故选：C．7．（2023春•赛罕区期中）已知，则a2+b2的值为（）A．2B．C．1或﹣1D．1【分析】由已知得，两边平方整理可得（1﹣a2﹣b2）2＝0，从而可选出正确答案．【解答】解：，则两边平方得，整理得，两边平方得4b2（1﹣a2）＝（1+b2﹣a2）2＝（1﹣a2）2+2b2（1﹣a2）+b4，所以（1﹣a2）2﹣2b2（1﹣a2）+b4＝0，即（1﹣a2﹣b2）2＝0，所以1﹣a2﹣b2＝0，即a2+b2＝1，故选：D．8．（2023春•南山区校级月考），则a+b＝（）A．a+b＝﹣1B．a+b＝1C．a+b＝2D．a+b＝3【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，可得a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，从而得到a＝2，b＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵，，∴，∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1．故选：B．【类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值】9．（2023秋•榆阳区校级月考）一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（）A．49B．25C．16D．7【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2a﹣3+5﹣a＝0，求出a的值，即可求出这个数．【解答】解：由题意得，2a﹣3+5﹣a＝0，解得a＝﹣2，∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴（±7）2＝49，即这个数是49，故选：A．10．（2023春•台江区校级期末）若一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，则m的值是（）A．﹣7B．﹣4C．1D．16【分析】根据平方根的定义得出3m+1+2m﹣6＝0，再进行求解即可得出答案．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，∴3m+1+2m﹣6＝0，∴m＝1；故选：C．11．（2023秋•玄武区校级期中）若一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3，则a＝﹣1，这个正数是16．【分析】根据平方根的性质即可求得a的值，然后根据平方根的定义即可求得这个正数的值．【解答】解：∵一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3，∴2a﹣2﹣a+3＝0，解得：a＝﹣1，则﹣a+3＝1+3＝4，那么这个正数是16，故答案为：﹣1；16．12．（2023春•南通期末）已知正实数x的两个平方根是a和a+b，若2a2x+（a+b）2x＝27，则x＝3．【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得x＝a2＝（a+b）2，然后将其代入2a2x+（a+b）2x ＝27中，利用平方根的定义计算后根据题意确定x的值即可．【解答】解：∵正实数x的两个平方根是a和a+b，∴x＝a2＝（a+b）2，∵2a2x+（a+b）2x＝27，∴2x•x+x•x＝27，即3x2＝27，则x2＝9，∵x为正实数，∴x＝3，故答案为：3．13．（2023秋•太和区期中）若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2c﹣1和﹣c+2＝0．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求2a+b+c平方根．【解答】解：∵正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，∴2c﹣1﹣c+2＝0，解得c＝﹣1，∴b＝（﹣2﹣1）2＝9，∵＝2，解得a＝5，∴2a+b+c＝10+9﹣1＝18，∴18的平方根是±3．14．（2023春•普兰店区期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．【分析】正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣11，所以﹣a+2与2a﹣1互为相反数；即﹣a+2+2a ﹣1＝0解答可求出a；根据x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．15．（2023秋•临汾月考）若实数b的两个不同平方根是2a﹣3和3a﹣7，求5a﹣b的平方根．【分析】根据平方根的性质进行解题即可．【解答】解：由题意得（2a﹣3）+（3a﹣7）＝0，解得a＝2，∴b＝（2a﹣3）2＝1，∴5a﹣b＝9．∴5a﹣b的平方根为±3．16．（2023春•惠阳区期末）已知正实数x的两个平方根分别为a和a+b．（1）若a＝﹣2，求b和x的值；（2）若b＝6时，求a和x的值；（3）若a2x+（a+b）2x＝8，求x的值．【分析】（1）根据平方根的定义及性质即可求得b的值和x的值；（2）根据平方根的定义及性质即可求得a的值和x的值；（3）根据平方根的定义将原式进行变形后解方程，然后结合已知条件确定x的值即可．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根分别为a和a+b，∴a+a+b＝0，即2a+b＝0，∵a＝﹣2，∴b＝4，x＝（﹣2）2＝4；（2）∵2a+b＝0，b＝6，∴2a+6＝0，解得：a＝﹣3，∴x＝（﹣3）2＝9；（3）∵正实数x的平方根分别为a和a+b，∴x＝a2＝（a+b）2，∵a2x+（a+b）2x＝8，∴x2+x2＝8，即2x2＝8，解得：x＝±2，∵x为正实数，∴x＝2．【类型三：巧用算术平方根的最小值求值】17．（2023•墨玉县一模）当x＝4时，式子3+有最小值，且最小值是3．【分析】先根据二次根式非负的性质求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵，∴当x﹣4＝0时，会有最小值，∴当x＝4时，会有最小值，且最小值是3．故答案为：4，3．18．（2023春•东湖区校级期中）已知y＝﹣9+，当x＝13时，y的最小值＝﹣9．【分析】由算术平方根的非负性求解即可．【解答】解：∵，∴当x＝13时，有最小值是0，∴当x＝13时，y有最小值，最小值为﹣9+0＝﹣9，故答案为：13；﹣9．19．（2023春•潮阳区期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（）A．2B．3C．8D．11【分析】根据算术平方根的定义可得被开方数是9，进而求出答案．【解答】解：若是整数，则自然数m的最小值是3，故选：B．20．（2023春•海淀区校级期中）关于式子m2+1（m为实数），下列结论中错误的是（）A．式子m2+1定有平方根B．当m＝0时，式子m2+1有最小值C．无论m为何值，式子m2+1的值一定是有理数D．式子m2+1的算术平方根一定大于等于1【分析】分别根据平方根有意义的条件，最小值，无理数的意义及算术平方根的意义判断求解．【解答】解：∵m2+1（m为实数）≥1，∴A：m2+1定有平方根，B：当m＝0时，m2+1有最小值1，D：m2+1的算术平方根大于等于1，C：当m＝π时，m2+1是无理数，故选：C．21．（2023春•淮北月考）当a取什么值时，的值最小？请求出这个最小值．【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．【解答】解：∵≥0，∴当a＝﹣时，有最小值，是0．则的最小值是1．【类型四：巧用平方根的定义解方程】22．（2023秋•永修县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与2a﹣11．（1）求a及m的值；（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）根据平方根的定义解方程即可．【解答】解：（1）由题意得：a+5+2a﹣11＝0，解得：a＝2，∴m＝（a+5）2＝49；（2）原方程为：2x2﹣16＝0，∴x2＝8，解得：．23．（2023春•牧野区校级期中）解方程：（1）16x2＝49；（2）（x﹣2）2＝64．【分析】（1）（2）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解．【解答】解：（1）16x2＝49，∴x2＝，∴x＝±；（2）（x﹣2）2＝64，∴x﹣2＝±8，∴x＝10或x＝﹣6．24．（2023春•西和县期中）解方程：（1）25x2﹣49＝0；（2）2（x+1）2﹣49＝1．【分析】（1）利用一元二次方程的解法求解即可；（2）把（x+1）看作一个整体，求解即可．【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，化为：，∴x＝±，∴；（2）2（x+1）2﹣49＝1，化为：（x+1）2＝25，∴x+1＝±5，∴x1＝4，x2＝﹣6．25．（2023春•澄海区期末）已知|2a+b﹣4|与互为相反数．（1）求5a﹣4b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+5b﹣5＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得5a﹣4b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意，得，∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，解得：a＝4，b＝﹣4，∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，∴5a﹣4b的平方根为±6；（2）将a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，得4x2﹣25＝0，解得：．26．（2023春•鄱阳县期末）已知a、b满足，解关于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式得到关于x的一元一次方程，求解即可．【解答】解：根据题意得，2a+10＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣5，b＝，所以，方程为（﹣5+4）x+5＝﹣5﹣1，即﹣x+5＝﹣6，解得x＝11．27．（2023春•天河区期中）已知一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，（1）求a的值；（2）求关于x的方程ax3﹣64＝0的解．【分析】（1）根据平方根的定义可求出a的值；（2）将a的值代入后，再由立方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，∴a+6+2a﹣9＝0，解得a＝1，答：a＝1；（2）当a＝1时，原方程可变为x3﹣64＝0，由立方根的定义可知，x＝4，即方程x3﹣64＝0的解为x＝4．28．（2023春•昭平县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a的值；（2）求这个正数m；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）将a＝1代入m＝（a+6）2中，可得m的值；（3）根据平方根的定义解方程即可．【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，解得，a＝1；（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，∴m＝72＝49；（3）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4．29．（2023春•东港区校级月考）已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得b＝﹣4，a＝2．（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，∴2a﹣3b的平方根为±4．（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，解得x＝±3．。

算术平方根的双重非负性专题练习(解析版)

算术平方根的双重非负性专题练习知识讲解：（10（a≥0）（2）常见的非负数：绝对值、偶次方、算术平方根①|a|≥0；②a2≥00．题型一：“0”+“0”=01，则x-y的值为（）．A. 3B. -3C. 1D. -1答案：D，∴x-1=0，2-y=0∴x=1，y=2，∴x-y=1-2=-1．2、若|x，则x-y的值是（）．A. -7B. -5C. 3D. 7答案：D解答：∵|x-5|≥00，|x，∴x-5=0，y+2=0，∴x=5，y=-2，∴x-y=5-（-2）=5+2=7．3、若m，n满足（m-1）2的平方根是（）．A. ±4B. ±2C. 4D. 2答案：B解答：由题意可得，m=1，n=15，m+n=16，=4，4的平方根为±2，选B.4、若|x +y +1|+（x -y -2）23x -2y -z 的值为（）．A. -1B. 1.5C. 3D. -4.5答案：B解答：∵绝对值加上平方要为非负数 ∴z =3．∴|x +y +1|+（x -y -2）2=012x y x y +=-⎧⎨-=⎩，1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 3x -2y -z=32-（-3）-3 =32． 5、已知（2a +1）2，则a 2+b 2004=______．答案：54解答：∵（2a +1）2=0，∴21010a b +=⎧⎨-=⎩，解得121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴a 2+b 2004=（-12）2+12004=14+1=54． 6+|y -17|=0，则x +y 的平方根为______．答案：±5+|y -17|=0，≥0，|y -17|≥0，∴80170 xy-=⎧⎨-=⎩即817 xy=⎧⎨=⎩，∴x+y=25的平方根为±5．7、若x，y为实数，且满足|2x+3|+=0，则xy的立方根为______．答案：-3 2解答：∵|2x，|2x+3|≥0≥0，∴2x+3=0，9-4y=0，∴x=-32，y=94，xy=-27832=-．8+2的最小值是______，此时a的取值是______．答案：2；-1解答：a=-1，原式+2有最小值为2．9、若|x-1|+（y-2）2，则x+y+z=______．答案：6解答：|x-1|+（y-2）2，∵|x-1|≥0,（y-2）2≥0，∴x-1=0，y-2=0，z-3=0，则x=1，y=2，z=3，∴x+y+z=6．10（3x+y-1）2=0，求5x+y2的平方根．答案：±3．（3x+y-1）2=0，∴x-1=0，3x+y-1=0，∴解得x=1，y=-2．∴5x+y2=9,∴5x+y2的平方根是±3．11、已知a、b b|=0，解关于x的方程（a+2）x+b2=a-1．答案：x=4．解答：根据题意得，2a+8=0，b，解得a=-4，b∴（-4+2）x+3=-4-1，即-2x=-8，解得x=4．12（y-2）2，求x-y的值．答案：x-y=-1（y-2）2，所以x-1=0，x=1；y-2=0，y=2；x-y=-1．题型二：y c，则a=b．13、已知实数x、y满足y-2，则y x值是（）．A. -2B. 4C. -4D. 无法确定答案：B解答：∵实数x、y满足y-2，∴x=2，y=-2，∴y x=（-2）2=4．选B.14、y x，则y-x的平方根为（）．A. ±23B.23C. -23D. 无法确定解答：由题意得：920 290 xx-≥⎧⎨-≥⎩∴2929xx⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴x=29，∴y=23，∴原式=49，±23，故答案为：±23．15y+4，则y x的平方根为______．A. ±4B. 4C. -4D. 2答案：A解答：∵负数不能开平方，∴20 20 xx-≥⎧⎨-≥⎩，∴x=2，y=4，∴y x=42=16，∴=±4．16、已知y+3，则xy的立方根为______．解答：∵y+3，∴30 30 xx-≥⎧⎨-≥⎩，y=3，∴xy17、已知y，则x=______，y=______．答案：0；3得：-x2≥0，而x2≥0，故x=0，y．故答案为：0；3．18（x+y）2，则x-y的值为______．答案：2解答：10 10 xx-≥⎧⎨-≥⎩，x-1=0，x=1，x+y=0，y=-1，x-y=2．故答案为：2．19、若y+4，则yx=______．答案：41-x≥0，∴x≤1，根据定义有2x-2≥0，∴x≥1，∴x=1，y=4，∴yx=4．20=x，则代数式x-20152的值为______．答案：2016解答：∵x-2016≥0，∴x≥2016，∴2015-x＜0x，x=x，，x-2016=20152，∴x-20152=2016．故答案为2016．21、若y，求x2+y的立方根．答案：4解答：y；，x=6，y=28，x2+y=64．故答案为：4．22、已知实数a，b，c满足：b，c的平方根等于它本身．求a的值．答案：5．解答：∵-（a-3）2≥0，∴a=3，b=4，∵c的平方根等于它本身，∴c=0，∴a．故答案为：5．23、已知|2016-x x，求x-20162的值．答案：x-20162=2017．解答：由题意得，x-2017≥0，所以，x≥2017，所以，x x，，两边平方得，x-2017=20162，所以，x-20162=2017．。

算术平方根非负性的应用教学设计

课题算术平方根非负性的
应用
课时 1 主备
授课时间授课类型复习【学习目标】应用算术平方根的非负性求字母的取值
【重点】理解非负性并灵活运用
【难点】各种题型中正确运用非负性
【学习过程】一复习归纳：
什么是算术平方根？怎样表示？任何数都有算术平
方根吗？
答：如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x
叫做a的算术平方根.
a的算术平方根表示为:
()
a a≥
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
二、热身练习
三、例题讲解
（1）若.
_________
2
3=
+
=
-
+
+b
a
b
a，则
（2）.
________
1
2015
)
1(2=
-
=
-
+
+y
x
y
x，则
四、巩固练习
（1）.
_________
)
(
4
52=
+
=
+
+
-y
x
y
x，则
若
（2）.
________
3
4
)1
(2=
-
=
-
+
+b
a
b
a，则
引领学生复习知
识点，为本节内
容做好铺垫
归纳概括，引导
学生完成解题方
法的探索。

本环
节根据实际情况
可组织学生采取
互问互答的方式
进行巩固深化。

算术平方根的双重非负性专题练习(学生版)

算术平方根的双重非负性专题练习知识讲解：（10（a≥0）（2）常见的非负数：绝对值、偶次方、算术平方根①|a|≥0；②a2≥00．题型一：“0”+“0”=01，则x-y的值为（）．A. 3B. -3C. 1D. -12、若|x，则x-y的值是（）．A. -7B. -5C. 3D. 73、若m，n满足（m-1）2的平方根是（）．A. ±4B. ±2C. 4D. 24、若|x+y+1|+（x-y-2）23x-2y-z的值为（）．A. -1B. 1.5C. 3D. -4.55、已知（2a+1）2，则a2+b2004=______．6+|y-17|=0，则x+y的平方根为______．7、若x，y为实数，且满足|2x+3|+=0，则xy的立方根为______．8+2的最小值是______，此时a的取值是______．9、若|x-1|+（y-2）2，则x+y+z=______．10（3x+y-1）2=0，求5x+y2的平方根．11、已知a、b b|=0，解关于x的方程（a+2）x+b2=a-1．12（y-2）2，求x-y的值．题型二：y c，则a=b．13、已知实数x、y满足y-2，则y x值是（）．A. -2B. 4C. -4D. 无法确定14、y x，则y-x的平方根为（）．A. ±23B.23C. -23D. 无法确定15y+4，则y x的平方根为______．A. ±4B. 4C. -4D. 216、已知y+3，则xy的立方根为______．17、已知y，则x=______，y=______．18（x+y）2，则x-y的值为______．19、若y+4，则yx=______．20=x，则代数式x-20152的值为______．21、若y，求x2+y的立方根．22、已知实数a，b，c满足：b，c的平方根等于它本身．求a的值．23、已知|2016-x x，求x-20162的值．。

专题02 平方根重难点题型专训(9大题型+15道拓展培优)(解析版)七年级数学下册-

专题02平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一平方根与算术平方根概念理解题型二求一个数的算术平方根题型三利用算术平方根的非负性解题题型四求算术平方根的整数部分与小数部分题型五与算术平方根有关的规律探索题题型六求一个数的平方根题型七已知一个数的平方根，求这个数题型八利用平方根解方程题型九平方根的应用【知识梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.特别说明：有意义时，aa ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.=.=0.25=25=， 2.5250【经典例题一平方根与算术平方根概念理解】【变式训练】平方差公式和完全平方公式，下，【经典例题二求一个数的算术平方根】【变式训练】A．3B．3±C．3【答案】A【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，理解算术平方根是解题的关键．【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为【经典例题三利用算术平方根的非负性解题】【变式训练】【经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】【变式训练】8．（2022下·广东珠海·七年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【经典例题五与算术平方根有关的规律探索题】【答案】B【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，故选B．【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．【变式训练】【经典例题六求一个数的平方根】n 【变式训练】∴x y+的平方根是2±，±．故答案为：2【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．【经典例题七已知一个数的平方根，求这个数】【变式训练】的值，再找出关系即可．【详解】（1）解：由题意得，6290a a ++-=，解得1a =，21649m +∴==（）；（2）当1a =时，2160x -=，216x ∴=，4x ∴=±．【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．【经典例题八利用平方根解方程】【变式训练】1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为2400cm 的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为2300cm ，且长宽之比为3：2的长方形纸片(不拼接)，能裁出吗？对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话：嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为【经典例题九平方根的应用】【变式训练】1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足2=，其中Q为产生的热量Q I Rt为通电时间（单位：，则乙的面积为【拓展培优】A．2B．【答案】C【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案．①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则±【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平方根，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．则3757.69的算术平方根为．【答案】61.3【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题目所给的方法进行解答即可．；，由于10．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）如图角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠）折后得到图2所示的大正方形．（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为【答案】7123或8【分析】（1）根据图1求出四个直角三角形的面积，根据翻折的性质，从而得到图可；（2）设小正方形的面积为x，从而得到图2大正方形的面积，再根据大正方形的边长为正整数，即可得到x的值．【详解】解：（1）∵一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为1，②∵3,2a b ==-，∴a b >，∴()()33228a b ⊕=⊕-=-=-，∵83-<，∴()()()8328313a b a ⊕⊕=-⊕=⨯-+=-．13．（2023上·湖北黄冈·七年级武穴市实验中学校考期中）如图，A 、B 、C 、D 四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A B C D →→→顺序的运算，可列式为：2[(52)3]4⨯-+，8经过运算顺序B D A C →→→运算，可列式为2{[(83)4]2}-+⨯(1)请计算2[(52)3]4⨯-+；(2)列式计算2-经过C D A B →→→顺序的运算结果；(3)若数x 经过B C A D →→→顺序的运算，结果是12．则求初始数字x 是多少？【答案】(1)53(2)13(3)初始数字x 是5或1【分析】（1）根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可；（2）根据题意可以列出算式2[(2)4]23-+⨯-，计算即可；（3）根据题意可以得到()223412x -+=，即可求解．【详解】（1）解：2[(52)3]4⨯-+()21034=-+274=+53=；（2）解：由题意得：2[(2)4]23-+⨯-(44)23=+⨯-2。

中考数学题型之利用绝对值、平方、算术平方根的非负性求值

）.
A. -1
B. 1
C. 22021
D. — 22021
解析：∵ 3a b和 a 2b 7 互为相反数
∴ 3a b a 2b 7 0
3a b 0
a 1
∴
a
2b
7
0
，解之得
b
3
第2页共5页
∴ a b 2021 1 3 2021 2 2021 22021
三、算术平方根非负性的应用
（5）设 a1, a2 ,, an 为实数，若 a1 a2 an 0 ，则 a1 a2 an 0 。（6）设 A1, A2 ,, An 为代数式，若 A1 A2 An 0 ，则 A1 0, A2 0,, An 0 。
例 3. 若 3a b和 a 2b 7 互为相反数，那么 a b 2021 （
例 4. 若 a b 5 2a b 1 0 ，则 b a 2021 （
）.
A. -1
B. 1
C. 52021
D. 52021
解析：根据 a b 5 2a b 1 0 ，可知
a b 5 0
a 2
2a b 1 0 ，∴ b 3
∴ b a 2021 3 2 2021 1
∴ 4x y 4x 2 2 y 5 2 3 11
变式 11. 若
，则的值为（）
A．
B．
C．
D．
变式 12. 如果
+│b-2│=0，求以 a、b 为边长的等腰三角形的周长.
第4页共5页
绝对值、平方值与二次根式非负性综合运用
例 7. 已知： x y 3 、 2z x2 、 x 2 y 两两互为相反数，求 x 2 y z 2020 的平方
即 x 2 y z2020 的平方根为±1

典例精析类题典例_巧用算术平方根的两个“非负性”

【例2－3】如果y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013成立， x2
求x²＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知， x²－4≥0，4－x²≥0，因此，x²－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，所以x＝2，y＝2 013，于是得解．
解：由题可知x²－4≥0，且4－x²≥0， ∴x²－4＝0，即x＝±2．又∵x＋2≠0，即x≠－2， ∴x＝2．
【例2－1】若 x2 ＋y＝6，则x＝____0______， y＝_____6_____．
解析：由 x2有意义得x＝0，故y＝6．【例2－2】若|m－1|＋ n 5 ＝0，则m＝_____1_____， n＝____5______．解析：根据题意，得m－1＝0，n－5＝0，所以m＝1，n＝5．注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.
将x＝2代入y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013， x2
可得y＝2 013． ∴x²＋y－3＝2²＋2 013－3＝2 014．
【小结】由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．
2．巧用算术平方根的两个“非负性” 众所周知，算术平方根 a 具有双重非负性：（1）被开方数具有非负性，即a≥0. （2） a 本身具有非负性，即 a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
此类问题可以分成以下几种形式：（1）算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |时出现这三个内容〔| | ＋ ( ) ²＋＝0〕．（2）题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．

平方根算术平方根经典题型

平方根算术平方根经典题型【实用版】目录1.算术平方根的定义与性质2.平方根算术平方根经典题型及解题方法3.提高平方根算术平方根题型解题技巧正文一、算术平方根的定义与性质算术平方根，简称平方根，是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。

用符号表示为：√a，其中 a 为被开方数，√a 表示 a 的平方根。

根据平方根的定义，我们可以知道一个正数的平方根有两个，分别是正数和负数，它们互为相反数。

而 0 的平方根是 0，负数的平方根是不存在的。

二、平方根算术平方根经典题型及解题方法1.求一个数的平方根解法：根据平方根的定义，求一个数的平方根就是找到一个数，使得这个数的平方等于给定数。

例如，求 25 的平方根，就是找到一个数 x，使得 x=25。

解这个方程，我们可以得到 x=5，因此 25 的平方根是 5。

2.求一个数的算术平方根解法：一个数的算术平方根是指这个数的平方根的绝对值。

例如，求25 的算术平方根，就是求|5|=5。

因此，25 的算术平方根是 5。

3.比较两个数的平方根大小解法：要比较两个数的平方根大小，可以先比较这两个数的大小，然后根据“正数的平方根随着数的增大而增大”的规律进行判断。

例如，比较 25 和 16 的平方根大小，由于 25>16，因此可以判断 25 的平方根大于 16 的平方根，即 5>4。

三、提高平方根算术平方根题型解题技巧1.熟练掌握平方根的性质，如一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数的平方根是不存在的。

2.在比较两个数的平方根大小时，可以先化简根式，再进行比较。

3.注意区分平方根和算术平方根，算术平方根是指平方根的绝对值。

湘教版八上数学-巧用二次根式的非负性解题

巧用二次根式的非负性解题
曹经富二次根式a 表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：（１）a ≥0；（２）a ≥０．这两个“非负性”是二次根式的隐含条件，经常从以下角度来命题考查．
一、求解字母的取值范围
例1 使式子211
x x +-有意义的x 取值范围是（） A. 12x ≥-，且1x ≠ B. 1x ≠ C. 12x ≥- D. 12
x >-，且1x ≠ 解析：由题意知210,10,
x x +≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥-，且1x ≠．故选A ．点评：本题考查了二次根式、分式有意义的理解与运用.一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，进而构建不等式（组）求解.
二、求解相关字母的值例2 已知实数x ，y ，m 满足 2x ++|3x+y+m|=0，且y 为负数，则m 的取值范围是（）
A ．m ＞6
B ．m ＜6
C ．m ＞-6
D ．m ＜-6
解析：根据题意，结合非负数的性质，得2x +=0，|3x+y+m|=0.
所以x 203x y m 0.+=⎧⎨++=⎩，解得26.x y m =-⎧⎨=-⎩
，所以6-m ＜0，解得m ＞6．故选A. 点评：两个或多个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，本质上是解方程（不等式）与代数式求值. 这类题型一般有如下形式：,0||,0=+=+b a b a 0||,022=++=+c b a b a 等.。

部编数学七年级下册专题07算术平方根的非负性(解析版)含答案

专题07 算术平方根的非负性【例题讲解】例1.已知a 、b 、c2+=c a b c ++的平方根为_________．例2.2|1|(1)0b c +++=，求a b c +-的平方根．【综合解答】1．设,A B 均为实数，且A B ==,A B 的大小关系是（）A ．A B>B ．A B =C ．A B <D ．A B³【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根的定义得出A 是一个非负数，且m-3≥0，推出3-m≤0，得出B≤0，即可得出答案，【详解】解：∵A =∴A 是一个非负数，且m-3≥0，∴m≥3，∵B =，∵3-m≤0，即B≤0，∴A≥B ，故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，平方根和立方根，实数的大小比较等知识点，题目比较好，但有一定的难度．2()240y -=，则22x y +的平方根是______．【答案】【解析】【分析】根据算术平方根以及完全平方式的非负性得出,x y 的值，然后求出22xy +的值，最后求出平方根即可．【详解】解：()240y +-=，∴50,40x y +=-=，∴5,4x y =-=，∴2222(5)4251641x y =-=+=++，∴22x y +的平方根是故答案为：【点睛】本题考查了算术平方根以及完全平方式的非负性、平方根，解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．3．若()230x +=，则()2021x y +=______________．【答案】－1【解析】【分析】由平方与算术平方根的非负性解得x =-3，y =2，再代入计算即可．【详解】解：由题意得，3020，x y +=-=3,2x y \=-=()()20212021-32=-1x y \+=+故答案为：－1．【点睛】本题考查平方与算术平方根的非负性、有理数的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4．若a __．【答案】2【解析】【分析】利用算术平方根的非负性，计算求值即可；【详解】解：，20a -£，∴a ＝0，∴＝0+2，＝2，故答案为：2；【点睛】此题主要考查了算术平方根：如果一个非负数b 的平方等于a ，那么b 叫做a 的算术平方根；非负数a a 叫做被开方数．5．若3y =，则xy =_________．【答案】18【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x ，y 的值进而得出答案．【详解】解：∴2﹣x ≥0，且x ﹣2≥0，解得：x ＝2，∴y ＝-3，∴31=2=8y x -．故答案为：18．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和负指数幂法则，正确得出x 的值是解题关键．6．已知实数a 在数轴上的位置如图，则化简|1﹣_____．【答案】1-2a【解析】【详解】由图可知：10a -<<，∴10a ->，∴11()12a a a -=-+-=-.故答案为12a -.7．当x =______时，式子2018【答案】2017【解析】【分析】0³，然后求解即可．【详解】解：∵2018∴的值最小时，式子20180³，∴20170x -³，∴2017x ³，∴当2017x =时式子2018有最大值．故答案为：2017．【点睛】此题考查了算术平方根的非负性，当被减数为固定值时，要使差最大，则需使减数的值最小，解题的关键是熟练掌握算术平方根的非负性．8．已知a ，b ，c 满足2|(0a c +=．求a 、b 、c 的值【答案】a =5b ，c 【解析】【分析】利用绝对值非负性，算术平方根非负性，平方非负性可求得结果．【详解】解：∵|0a ³0³，2(0c ³且2|(0a c =，∴|=0a ，2(=0c ，即：a ，5=0b -，c ，解得：a =5b ，c 【点睛】本题主要考查的是非负性求值的应用，此类型题较为固定，同时也是常考点，掌握其解题步骤是解题关键．9．已知3y =，求(x +y )2022的值【答案】1【解析】【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．【详解】∵3y +-∴2020x x -³ìí-³î得22x x ³ìí£î∴2x =∴33y +=-∴202220222022()(23)(1)1x y +=-=-=∴2022()1x y +=．【点睛】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．10．已知实数a 、b 、c |1|a +=(1)求证：b c =；(2)求a b c -++的平方根．【答案】(1)见解析(2)3±【解析】【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0³0，0,0b c c b -³-³，b c \=；(2)解：Q |1|a +=b c =，，1,4a b \=-=，4c b \==，1449a b c \-++=++=，9的平方根是3±．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．115的最小值，并求出此时a 的值.【答案】3a =【解析】【分析】根据非负数的性质即可得到结论．【详解】解：0³55³5的最小值是5.此时30a -=，即3a =.【点睛】12．若a ，b 为实数，且b =【答案】-3【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，得到相应的关系式求出a 、b 的值，然后代入求解.【详解】因为a ，b 为实数，且a 2－1≥0，1－a 2≥0，所以a 2－1＝1－a 2＝0．所以a ＝±1．又因为a ＋1≠0，所以a ＝1．代入原式，得b ＝12．所以3．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和意义，关键是利用被开方数为非负数的性质求出a 、b 的值.13．已知数a 满足2016a =，求22016a -．【答案】2017.【解析】【详解】试题分析：由二次根式的意义可得20170a -³，即2017a ³，由此可得20162016a a -=-，从而原等式化为：2016a a -=，由此可得220172016a -=，即220162017a -=；试题解析：由二次根式的意义可得20170a -³，即2017a ³，∴20162016a a -=-，∴原等式可化为：2016a a -=，2016=，∴220172016a -=，∴220162017a -=.14．已知a,b (0b -=，求a2005-b2006的值.【答案】-2【解析】【详解】试题分析：根据被开方数大于等于0，求出b 的取值范围，再根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．试题解析：解：由题意得：1﹣b ≥0，∴b ≤1，∴(10b +-=，由非负数的性质得：1+a =0，1﹣b =0，解得a =﹣1，b =1，∴a 2005﹣b 2006=（﹣1）2005﹣12006=﹣1﹣1=﹣2．15．已知实数，b ，c 满足a +=(2a b +的值．【答案】4【解析】【分析】根据二次根式的非负性求得b 的值，然后根据非负数的性质求得,a c 的值，最后代入代数式求解即可.【详解】解：∵a +=∴5050b b -³ìí-³î，5b \=，\a +=0，3,2a c \=-=，\(2a b +()23504=-+-=.【点睛】本题考查了二次根式的非负性，非负数的性质，掌握二次根式的非负性是解题的关键．。