微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案

一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长)

第一章

1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos =

3

6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0

4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2

1

131--=

-=+z y x 5.计算2

3

2

lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k .

6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t

t t e =++g i j ,求0

lim(()())t t t →⋅=f g 0 .

7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2

t u =,t v sin =,则d d t

=r

(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =ϕ,2

t =θ,则

d (,)

d t

ϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9.已知4

2

()d (1,2,3)t t =-⎰r ,6

4

()d (2,1,2)t t =-⎰

r ,求

4

6

2

2

()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b

10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r

2

12

t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4

d

()d d t t ⋅=⎰f g 4cos 62-. 第二章

13.曲线3

()(2,,)t

t t t e =r 在任意点的切向量为2

(2,3,)t

t e

14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

16.设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===,当1t =时的切线方程为

2111

-=--

=-z e

e y e e x 17.设有曲线t

t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,当0t =时的切线方程为11-==-z y x 第三章

18.设(,)u v =r r 为曲面的参数表示,如果u v ⨯≠r r 0,则称参数曲面就是正则的;如果:()G G →r r 就是 一一的 ,

则称参数曲面就是简单的.

19.如果u -曲线族与v -曲线族处处不相切,则称相应的坐标网为 正规坐标网 .(坐标网;易;3分钟) 20.平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +,面积元为d d u v

21.悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 的第一类基本量就是2cosh E u =,0F =,2cosh G u = 22.曲面z axy =上坐标曲线0x x =,0y y =

223.正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式就是2

2

2

2

d ()d u u b v ++. 24.

双

曲

抛

物

面

(,)((),(),2)

u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式就是

2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++

25.正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为 0 .(正螺面、第一基本量、第二基本量;中;3分钟) 26.方向(d)d :d u v =就是渐近方向的充要条件就是(d)0n κ=或22d 2d d d 0L u M u v N v ++= 27.两个方向

(d)d :d u v

=与

(δ)δ:δu v

=共轭的充要条件就是(d ,δ)0=II r r 或

d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++=

28.函数λ就是主曲率的充要条件就是

0E L F M

F M

G N

λλλλ--=--

29.方向(d)d :d u v =就是主方向的充要条件就是

d d d d 0d d d d E u F v

L u M v

F u

G v M u N v

++=++

30.根据罗德里格定理,如果方向(d)(d :d )u v =就是主方向,则d d n κ=-n r ,其中n κ就是沿(d)方向的法曲率 31.旋转极小曲面就是平面 或悬链面 第四章

32.高斯方程就是k ij ij k

ij k

L =

Γ+∑r r

n ,,1,2i j =,魏因加尔吞方程为,kj i ik i j k

L g =-∑n r ,,1,2i j =