竞赛数学解题研究之不等式
不等式的基本性质与基本不等式
目
CONTENCT
录
• 不等式的基本性质 • 基本不等式的概念 • 基本不等式的应用 • 不等式的解法 • 不等式的扩展知识
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，即如果两个数之间存在一个大于关系，并且它们 之间还有另一个数存在大于关系，那么这两个数之间也存在大于关系。
在解决实际问题中的应用
80%
优化问题
基本不等式可以用于解决各种优 化问题，例如在资源分配、生产 计划、运输问题等方面。
100%
最大最小值问题
基本不等式可以用于求函数的最 大值和最小值，例如在求函数的 极值、最值等方面。
80%
经济问题
基本不等式在经济问题中也有广 泛应用，例如在分析市场供需、 投资组合等方面。
在数学竞赛中的应用
代数竞赛
在代数竞赛中，基本不等式是 重要的解题工具之一，例如在 解决代数不等式、代数方程等 问题时。
几何竞赛
在几何竞赛中，基本不等式也 是重要的解题工具之一，例如 在解决几何不等式、几何证明 等问题时。
组合数学竞赛
在组合数学竞赛中，基本不等 式也有着广泛的应用，例如在 解决组合不等式、组合计数等 问题时。
不等式的代数意义
代数解释
不等式是数学中一种重要的代数结构， 它反映了变量之间的相对大小关系。
代数意义应用
通过代数运算可以解决各种不等式问 题，例如求解不等式、证明不等式、 比较大小等。不等式的应用领域 Nhomakorabea数学领域
不等式在数学中有着广泛的应用，如数 学分析、线性代数、概率论等领域。
柯西不等式常见题型
柯西不等式常见题型摘要：一、柯西不等式的概述二、柯西不等式的应用范围三、柯西不等式的常见题型四、柯西不等式的解题技巧五、柯西不等式的意义和价值正文：一、柯西不等式的概述柯西不等式，是由法国数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的流数问题时得到的。
然而，从历史的角度来看，该不等式应当称为柯西- 布尼亚科夫斯基- 施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，它的应用范围广泛，可以解决许多复杂的数学问题。
二、柯西不等式的应用范围柯西不等式在数学中有着广泛的应用，包括证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题。
此外，柯西不等式在物理学、工程学、经济学等领域也有着广泛的应用。
三、柯西不等式的常见题型柯西不等式在数学竞赛和考试中经常出现，常见的题型包括：1.证明两个向量的数量积大于等于它们的模长之积。
2.已知两个实数a 和b，证明(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) >= (ac -bd)^2。
3.求解一个三角形的最大面积，已知三角形的三个顶点坐标。
4.求解一个函数的最小值，已知函数的表达式和约束条件。
5.解方程组，已知方程组中的系数矩阵是正定矩阵。
四、柯西不等式的解题技巧解决柯西不等式的问题，通常需要灵活运用不等式的性质和一些数学方法。
以下是一些常用的解题技巧：1.利用柯西不等式的定义，将问题转化为求解一个不等式。
2.利用向量的数量积和模长的关系，将问题转化为求解一个向量问题。
3.利用三角函数的性质，将问题转化为求解一个三角函数问题。
4.利用线性规划的方法，将问题转化为求解一个线性规划问题。
5.利用二次型的性质，将问题转化为求解一个二次型问题。
五、柯西不等式的意义和价值柯西不等式在数学中有着重要的意义和价值，它为我们解决许多实际问题提供了一个强大的工具。
竞赛讲座之 12-1不等式的证明方法 (比较法)
证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。
不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。
对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。
不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。
在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。
不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
【知识概要】证明不等式的常用方法有：⒈比较法：依据实数的运算性质及大小顺序之间的关系，通过两个实数的差或商的符号（范围）确定两个数的大小关系的方法。
基本解题步骤是：作差（商）—变形—判号（范围）—定论。
证题时常用到配方、因式分解、换元、乘方、恒等式、重要不等式、优化假设、放缩等变形技巧。
⒉分析综合法：所谓“综合”指由“因”导“果”，从已知条件出发，依据不等式的性质、函数的性质、重要不等式等逐步推进，证得所要证的不等式。
所谓“分析”指的是执“果”索“因”，从欲证不等式出发，层层推求使之成立的充分条件，直至已知事实为止。
一般先用分析法分析证题思路，再用综合法书写证明过程。
⒊重要不等式法：主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
⒋换元法：适当引入新变量，通过代换简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机。
具体地讲，就是化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式，化高次式为低次式等等。
重要不等式汇总(例题答案)
其他不等式综合问题例1：（第26届美国数学奥题之一）设a 、b 、c ∈R +，求证：.1111333333abcabc a c abc c b abc b a ≤++++++++（1）分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。
思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成.实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式：x 3+y 3≥x 2y+xy 2=xy(x+y) (x 、y ∈R +)（*）知 （1）的左端.1)(1)(1)(1abcabc a c ca abc c b bc abc b a ab =++++++++≤这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。
（1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？以下为行文方便，记 （1）的左端为 ∑++abcb a 331，表示对a 、b 、c 轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述,为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手,推广1：设a 、b 、c 、d ∈R +，求证：abcdabcd c b a 11333≤∑+++ 。
（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x 4+y 4+z 4≥xyz(x+y+z) （**）（**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。
a+b+c的三次方不等式
a+b+c的三次方不等式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：a+b+c的三次方不等式在数学中是一种常见的问题，通过研究这种不等式，我们可以深入理解数学中的一些基本概念和方法，也可以锻炼我们的逻辑思维能力。
在本文中，我们将探讨a+b+c的三次方不等式的性质和应用，希望能为广大读者提供一些启发和帮助。
我们来简单地介绍一下a+b+c的三次方不等式的定义。
所谓a+b+c的三次方不等式，就是指对于任意给定的实数a、b、c，都有如下不等式成立：(a+b+c)^3 >= a^3 + b^3 + c^3。
这个不等式的意思是，a、b、c三个数的和的三次方，大于等于a、b、c各自的三次方之和。
这个不等式的表述可能会有些抽象，但通过具体的例子和实际应用，我们可以更好地理解其含义。
那么，我们应该如何证明这个不等式呢？我们可以将(a+b+c)^3展开成多项式，然后化简得到关于a、b、c的表达式。
接着，我们可以对a、b、c各自的三次方进行展开，通过逐项比较可以得出结论。
这个过程可能会比较复杂，需要一定的数学功底和逻辑推理能力，但只要按照步骤逐步进行，是可以得出正确结论的。
除了证明这个不等式之外，我们还可以通过这个不等式来解决一些实际的问题。
在某些数学建模或优化问题中，我们可能需要最大化或最小化某些数值表达式，这时可以通过a+b+c的三次方不等式来简化问题的求解过程，提高效率。
在某些数学推导或证明过程中，我们也可以利用这个不等式来简化或加速推理过程，从而更快地得到结论。
第二篇示例：在数学中，不等式是一种比较大小关系的数学表达式。
而关于a+b+c的三次方不等式是指形式为(a+b+c)^3的不等式表达式。
当涉及到三个变量之间的不等式关系时，可以使用这种形式的不等式来研究它们之间的大小关系。
让我们来看一下(a+b+c)^3的展开式：(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 3a^2c + 3ac^2 + 6abc通过这个展开式，我们可以看出(a+b+c)^3实际上是由a^3、b^3、c^3和所有可能的交叉乘积项组成的。
例谈题根在数学解题中的应用——以对数均值不等式为例
3_¥)故学敉学2021年第3期例谈题根在数学解题中的应用----以对数均值不等式为例张国治(新疆生产建设兵团第二中学，新疆乌鲁木齐83_2)笔者通过对近几年高考、竞赛试题的研究，有一个很有趣的发现——许多试题来源于 同一个问题.我们可以把这类不断生长的问题 称为“题根题根是一个题族、一个题系中的 源头，也是一个题群中的典例.把握住了一个 题根，叩源推委，便能寻觅到解决问题的“金钥 匙”，进而辐射到一个题族、题群.以题根方式 展开教学，旨在寻找解题思维入口，通过题根 的变式拓展探求不同的解法，帮助学生理解问 题内涵，总结归纳.那么如何寻找“题根”呢? 将源于课本、高考、竞赛的题目进行提炼与升 华形成结论，然后再将其广泛应用于解题实践 中，这便是寻找题源的不二法门.这一过程意 义非凡，因为茫茫题海中很多题目表象不同，但实质一样（可归结于同一个题根或题源）.一 个题源加工而成的结论，其功效不亚于教材中 的一个定理，寻找“题根”需要八方联系，浑然一 体.笔者以一道竞赛题为例，探源溯流，给出一类 高考题、竞赛题命题的题根，多题归一，提供一种 高效学习数学的方法，敬请同行指正.[1]题根（2017年全国高中数学联赛湖南省 预赛第15题）[2]已知a、6 e 11且〇 > 0, i > Q，a #b.(i)求证：#(2)如果 a、6 是函数/(a:) = lnx -的两个零点，求证> e2.证法 1:如图 1，设/(*) = e*，x e [m，n]，其中双m，0)，B(n，0)，过点分别作x轴的垂线，交曲线于c、Z)两点.点)处的切线/分别交BC、于点£、f，则f c pJ f=6〒，所以/:7 1梯形从一(j£+J f)=(n-m*n^l)e ，•^曲边梯形A sa) =| g dx =e一 e , *S梯形^ m数感是《义务教育数学课程标准（2011 版)》中的十大核心概念之一，对运算结果的估 计是数感的一种重要体现.估计（估算）在三个 学段都有明确具体的目标要求，其中在第三学 段(7-9年级）的知识技能目标对运算（包括估 算）技能的要求是达到掌握层级.固然，计算的 准确性是数学学科的基本要求之一，运算能力 是典型的数学能力，但其内涵已发生了变化.运 算能力不仅指能够“正确地从事运算”，还包括 借助工具计算和手算，也包括精确计算和估算[2].作为一线的数学教师，应该充分理解课标 的价值理念,在日常的教学中应该给“估算”留一席之地.准确、标准的答案是我们数学人的追求，但“估算”是数学运算中不可或缺的组成部分估算”过程中所体现出的发散式调适与思考，正是学生创新意识形成、创新能力培养的一个有效载体.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数 学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.[2]马复，凌晓枚.新版课程标准解析与 教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2021年第3期故学敉学3-41n - m . 、 n — m / m …、 _ ...2 (yA + J b ) = 2 (e + e )•显然有S 梯形y l B E F < $曲边梯形/I B C D < S 梯形A f i C Z )，艮Pm +nr j一)(n - m ) e 2 < en - em < —-—(em + e n)，1_•设％> 1，则欲证不等式成立等价于证明21n % < i ---(x > 1).构造函数则e 宁<^<n - m a2，令 en = a ，可得< , , , - ^In a - lno 2证法2:(1)由对称性，不妨设a > 6 > 0,^ a - b a + b a - b a + l 先证^-----TT < —•因为^----— <In a - Ini 2 〇 In a - Ini >2(a - b )^ a ^In a - \nb 2a + ba—+设％ = T > 1，则欲证不等式成立等价于〇证明lnx > ^l l (x > 1}.X + l构造函数/(尤）=lnx - ^~~> 1)，则作)=(n因为* > 1,所以尸（*) >x(x + 1)0,/(X )在（1，+ =C )上为单调递增函数，由 f i x ) >/〇) = 0,即得lm > 1)，即<In a - In 62再证#< , a ~ f -,-.因为# <In a - Ini In a - Inia<=> In a - In 6 <y 〇b<=> In — <g 〇) = 21m -卜 一(% > 1)，则g '(x ) =- (% -J )<〇，因此g U )在（1, + 〇〇)上为单调递减函数.办）<g (l ) = 0,即得21n % < (a :---1 (x > 1),即y 〇b <a综上可知，#<In a - Inia -b In a - Ini2以上结论反映了对数平均与算术平均、几何平均的大小关系，我们知道两个正数a 、6的 对数平均定义：L (a , b ) = jlna - ln 6 () ’la(a = b ).则当 a >〇，i >〇,有<In a - Ini—^一，^^<[(16)<-^—（当且仅当〇=6时，等号成立).若令 lna =文！，Ini =%2,贝l j d = e*1，6 = e*2, < —z —等价于^^?J~a b <In a — Ini 2?V 2__*2 丄 ^2‘1—，利用该不等式，可x X pL e - e " e •十 ee 2 < ------- < —-xx - x 2 2以轻松获解该题的第（2)小题：证明:定义域为（〇, +〇〇 )，尸(％) 1 2017 -x2017 2黯•若p2〇17，则/，（,）= 0;若* e (0,2017),则尸〇) >0,函数/(；〇单调递 增;若;c e (2017, + 〇〇 )，则尸(无）< 0,函数3-42故学敉学2021年第3期/(幻单调递减.由对称性，不妨设 a >6> 〇,则可得〇< 6<2017 <a.由条件知，ln a= 且ln6=故 lna- ln6(a-6)，即2017由对数均值不等式得2017即a + 6 > 2 x 2017.-bIn a - Inia -bIn a - In6= 2017,<2 ，1iia;,a：2= \nxl+ \nx2= m(x l+ x2)> 2m•— = 2,所以a:丨a:2> e*12.m评注:不难发现，例1第（2)小题是题根第(2)小题的一般情况，事实上，由对数均值不等,______ 1 X] ~X22J x x x2<—=---------------，艮p<m lnxj -m x2-7,可见必有〇< m < i.m e因为lnafc= In a+ In6 =----(a+ 6) >2017 》^x 2x 2017 = 2,所以d> e2.下面举例说明此题根在高考、竞赛、模考中的应用，也进一步洞悉此类问题的编拟奥秘.类型1直接用对数均值不等式例1(2016年全国高中数学联赛湖南省预赛第15题）[3]已知函数/(幻=i l n x-(1)若m =」2时，求函数/(幻的所有零点；(2)若/(4有两个极值点心、巧,且x, < 尤2•求证:丨内> e2.解析:（1)当m =-2时，/(幻=;*111»:+；*:2-x = x( \nx + x -l) (x> 0). i^,p(x)=ln% + x -1(«：> 0)，则p'(A〇=丄+ 1> 0,于是p(a〇在X(〇, + «>)上为增函数.又P(1) = 0,所以，当m =-2时，函数/(幻有唯一的零点a; = 1.(2)若/(x)有两个极值点x,、*2,则导函数/'(*)有两个零点h h•由/'U)= In* -m*，可知例2(2018年全国高中数学联赛福建省预赛第14题）[4]已知/U)= e* -似.(1)当x > 0时，不等式Q-2)/(幻+ m*2+ 2> 0恒成立,求实数m的取值范围；(2)若力、*2是/(幻的两个零点，证明：A C, + A；2> 2.解析：（1)略.(2)证明：由题可得/U)= /U2) = 〇,即I e*' = m x., t _x x,x得。
巧构权方和不等式,妙解数学竞赛题
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１ 一１
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ｂ麦 最 值 （［中 例ｌ ＋的 小 ． １ 的 ｏ 文］ ）
解 ／ ＲＡＡ ＢＣ 的 面积 为 Ｓ， ａ １ ２ ３ 则 ｄ＋ ＋
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题 已 ； （号 ’ ＋ ）知 ３ ｏ ） Ｅ， 且
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＋ 詈． 文Ｉ］ （ － 中的例 １ １ ）
证明 注意到 ｓ ２ ＋ＣＳ ＝１ｓ ２ ＋ＣＳ ＝ ｉ 口 Ｏ ａ ，ｎｆ Ｏ ￣ ｎ ２ ｉｌ ２
证明
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［ ］ ３ ３例 ）
证 明
例６ （ ２ 第 ２届 Ｉ 试 题 ）设 Ｐ 为 三 角 形 ＭＯ
Ａ Ｃ内任一点 ， Ｂ Ｐ Ｎ￣Ｎ Ｂ Ｃ Ａ 的距离依次 Ｃ， Ａ， Ｂ
十
１ 一１
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／ ｑ－ ＋ １＋ ｖ４ｂ ＋ ＋ ａ １衄
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为 ｌｄ ， ３记 Ｂ ， ２ ， Ｃ＝口 Ｃ ， Ａ＝ｂ Ａ ， Ｂ＝ｃ求 “：导 ，
上述两个不等式 中的等号均 当且仅 当旦 ＝ｘ ２
ｌ
￣－
２
事半功倍 的效果． 权方和不等式 设 Ｘ ， ２ ・ ， ＥＲ ， ｌＹ ， １ｚ ， 一 Ｙ ，２
…
＝
…
＝
／ 时取 得 ． ￣ ／ ／
其 中每个分式中 ， 分子、 分母均为正数且始终保
两道经典不等式的多种解法
两道经典代数不等式的多种解法长沙市明德中学 邓朝发 2019年3月6日 有两道道经典的代数不等式，在很多奥数资料上面都出现过，但是用到的解法过于单一，甚至于太繁琐。
笔者在竞赛教学中，集学生的智慧偶得灵感，经过研究发现，此两道不等式有多种解法，而且这些解法的过程相当精妙、相当优雅、相当有韵味。
高兴之余，情不自禁，特以此文分享，作初等数学学习、鼓励学生交流之用。
题目：已知12123,,..,0,..1n n x x x x x x x >=，证明：11(1)nii ix n x=≥-+∑方法一： 反证法解1： 不妨假设11(1)ni i ix n x =<-+∑，进一步211(1)11ni i i x n n n x n x =->≥--+-+∑； 把1x 用23,,...,n x x x 替换，可得：1(1)1,2,3..,)11ni i k k i x n n k n n x n x ≠->≥-=-+-+∑；取他们乘积：11(1)1nnk k n n n x =->--+∏进一步：12...1n x x x <与条件矛盾！，进而原不等式成立！ 解2：不妨假设=(1)ii ix y n x -+，进一步：(1)(1,2,..)1i i i n y x i n y -==- 从而1(1)11ni i i n y y =-=-∏，不妨假设1111(1)n nii i i ix y n x ==<⇔<-+∑∑， 此时：1111(1)nn iii i i x y n x ==<⇔<-+∑∑，从而121n i i y y =<-∑； 把1y 用23,,...,n y y y替换，可得：(1)1,2,3..,)ni ii ky yn k n ≠>≥-=∑；对n个式子做乘积：1(1)nnik yn =>-∏从而：1(1)11nii in y y =-<-∏，矛盾！进而原不等式成立！以上两种都是反证法，只是对结构处理不同，所以这里归结为一类方法。
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究1. 引言1.1 背景介绍不等式是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题中起着至关重要的作用。
从初中阶段开始，我们就开始接触不等式知识，但随着学习的深入，难度也不断提升。
正确的掌握不等式知识并运用到实际问题中，对培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力有着重要意义。
随着近年来数学竞赛在各个层次的普及，不等式题目也成为了竞赛中的常见考点。
深入研究不等式知识及解题策略对于提高学生在数学竞赛中的表现具有重要意义。
通过系统学习不等式的基础知识，掌握不同类型的不等式解题策略，并通过实例分析各类不等式题目，可以帮助学生更好地掌握不等式知识，提高解题效率。
本文旨在从不等式的基础概念入手，系统梳理不等式的解题策略和常见类型，进而探讨不等式知识在数学竞赛中的应用。
通过深入研究不等式知识，帮助读者更好地理解不等式的重要性及解题技巧，从而在解决实际问题和参加数学竞赛中取得更好的成绩。
1.2 研究意义研究不等式知识解题的策略具有重要的意义。
不等式是数学中的基础知识之一，掌握不等式解题策略可以帮助学生建立扎实的数学基础，提高数学学习的效率。
不等式在数学竞赛中占据着重要的地位，许多数学竞赛中的题目都涉及到不等式的应用，掌握不等式解题策略可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。
不等式知识的研究也有助于拓展数学思维，培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力。
深入研究不等式知识解题的策略对于提升学生数学素养、促进数学教育的发展具有重要的意义。
通过对不等式知识的研究，可以更好地指导教学实践，为学生提供更加全面和系统的数学教育，推动数学教育教学的不断改进和完善。
1.3 研究方法在不等式知识解题的研究中，研究方法起着至关重要的作用。
研究方法的选择直接影响着研究成果的质量和效果。
一般来说，不等式知识解题的研究方法包括理论研究、实证研究和应用研究。
理论研究是不等式知识解题研究的基础。
通过对不等式的基本概念和性质进行深入剖析，揭示不等式解题的规律和方法。
巧用贝努利不等式求解高考或竞赛试题
— ■—Ｔ ＿ ： ＋
一
＿ ＞ ） Hale Waihona Puke … Ｊ ０ １ ‘ ３
推论 ２ ： 设口 ， ＞０ ， ｎ∈ Ｎ ， ｎ＞１ ， 贝 ０ ０ ≥ｎ ２ ５ ｌ ， 一（ ｎ一１ ） ， 当且仅当 口＝ 时
取 等号 ．
。 ２… …・ ・０ ＜２・ 凡！ 局 立．
【 （ 一 ） ］ ＜ （ ） ， ｍ ＝ ・ ， ２ ， … ， ．
（ ３ ）由（ ２ ） 知， 当 ｎ≥ ６时 ，
∈ Ｎ ） ， 即 证 明 不 等 式 吉 ・ ３ … … ｝＜
志 ￣ ／ ２ ｎ ＋ １ （ ｎ ∈ Ｎ） ， 即 证 明 不 等 式 午‘
告
恒成立， 求实数 ｃ 的取值范
＋ ａ２ ａ４ ＋ … … ＋
√ ａｎ ＋ ２
解： （ １ ） 其 实 就 是 用 数 学 归 纳 法 证 明 贝 努 利不 等式 （ 证 明略 ） ．
围； ② 求 证：
—
ａ２ ａ４ …
ａ２
—
… ａ ２ｎ
＜ ＜ √Ｚ ａ ＋ ｌ 一 １．
２ ０ １ ３年 第 ５期
河北理科 教 学研 究
问题 讨论
巧 用 贝 努 利 不等 式 求解 高 考 或 竞赛 试 题
湖北省 大 冶市 第一 中学 黄俊 峰 袁方程 ４ ３ ５ １ ０ ０
《 湖北省普通高中数学教学实施指导意 见》 将《 新课 程标准》 中选修系列 ４— ５ “ 不等 式选讲” 作为指定学生选修习 Ｉ 的专题 ， 而贝 努利不等式就是其 中一个重要不等式 ． 本文 主要探讨贝努利不等式及其推论在高考或竞
（ － 一 ） ＋ （ 一 ） “ …・ ＋ 争… （ 一 ） ＜ ＋ （ ） ＋ ． ． ・ ＋ （ ） ＝
含参不等式的解法教案
含参不等式的解法教案一、教学目标：1. 让学生掌握含参不等式的基本概念和解法。
2. 培养学生运用含参不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1. 含参不等式的定义及分类。
2. 含参不等式的解法：图像法、代入法、不等式法、参数分离法等。
3. 含参不等式在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：含参不等式的解法及其应用。
2. 教学难点：含参不等式解法在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解含参不等式的基本概念和解法。
2. 利用案例分析法，分析含参不等式在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论法，让学生合作探究含参不等式的解法。
五、教学过程：1. 导入：通过简单的不等式问题，引导学生思考含参不等式的概念。
2. 讲解：讲解含参不等式的定义、分类和解法，结合实际例子进行分析。
3. 练习：布置练习题，让学生巩固含参不等式的解法。
4. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用，引导学生运用所学知识解决实际问题。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享含参不等式的解法心得。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调含参不等式的解法及其应用。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生的掌握情况，针对存在的问题进行调整教学方法，以提高学生对含参不等式的理解和应用能力。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对含参不等式解法的掌握程度。
3. 案例分析评价：评估学生在案例分析中的表现，包括分析问题的能力、运用所学知识解决问题的能力。
七、教学拓展：1. 对比分析：引导学生对比含参不等式与一般不等式的异同，加深对含参不等式的理解。
2. 研究性问题：提出研究性问题，引导学生进行深入探究，如探讨含参不等式在实际应用中的局限性等。
高一奥数基本不等式知识点
高一奥数基本不等式知识点不等式是数学中重要的概念，奥数中常涉及的一个主题就是基本不等式。
在高一阶段，学生们开始接触不等式的概念和相关的基本知识。
本文将介绍高一奥数中的基本不等式知识点，包括基本不等式的概念、常见的基本不等式以及解决基本不等式问题的方法。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在一定条件下，某个数学不等式在所有情况下都成立的不等式。
在高一奥数中，我们会遇到一些常见的基本不等式。
这些基本不等式是根据数学原理和性质得出的，具有普遍性和重要性。
二、常见的基本不等式1. 等差数列的均值不等式等差数列的均值不等式是指，对于一个等差数列，它的任意n个连续项的平均数大于等于这些项的几何平均数。
具体而言，对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，有以下不等式成立：$\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdota_3 \cdot ... \cdot a_n}$2. 平均数-均方差不等式平均数-均方差不等式是指，对于任意一组数的平均数和均方差，平均数的平方大于等于这些数减去平均数的差的平方的平均值。
具体而言，对于一组数$x_1, x_2, x_3, ..., x_n$，平均数记作$\overline{x}$，均方差记作$s$，有以下不等式成立：$(\overline{x})^2 \geq \frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2}{n}$3. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是指，对于两个向量的点积，其绝对值小于等于这两个向量的模的乘积。
具体而言，对于两个向量$a=(a_1, a_2, ..., a_n)$和$b=(b_1, b_2, ..., b_n)$，有以下不等式成立：$|a \cdot b| \leq |a| \cdot |b|$4. 三角形不等式三角形不等式是指，三角形的任意两边之和大于第三边。
不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法
2023《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》contents •一元二次不等式的定义与理解•一元二次不等式的解法•一元二次不等式的应用•一元二次不等式的扩展知识目录01一元二次不等式的定义与理解定义一元二次不等式是指形如`ax^2 + bx + c > 0`或`ax^2 + bx + c < 0`的不等式，其中`a`, `b`, `c`是常数，且`a`不等于0。
它是由一元二次方程的根的判别式和不等式的性质引出的。
一元二次不等式的解集就是使不等式成立的所有x的集合。
ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。
标准形式如`(x-a)(x-b) > 0`或`(x-a)(x-b) < 0`等。
特殊形式一元二次不等式的形式一元二次不等式的解集当判别式`Delta = b^2 - 4ac > 0`时，解集为两个开区间；当判别式`Delta = b^2 - 4ac < 0`时，解集为一个空集和两个开区间的并集。
当判别式`Delta = b^2 - 4ac = 0`时，解集为一个开区间和一个闭区间；注意：在求解一元二次不等式时，还需要考虑二次项系数a的正负情况，以及不等式的符号。
02一元二次不等式的解法总结词通过配方法将一元二次不等式转化为二次函数，利用二次函数的图像和性质求解。
详细描述将一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)化为a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a>0，再利用二次函数的图像和性质求解。
配方法总结词利用一元二次方程的求根公式，将一元二次不等式转化为两个一次不等式组，求解。
详细描述根据一元二次方程的求根公式，将一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的两个根x1，x2代入，得到两个一次不等式组，求解即可得到解集。
公式法通过图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，根据图像求解。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全【最新版】目录1.竞赛不等式的概念与意义2.高中竞赛不等式的分类3.常用的高中竞赛不等式公式4.竞赛不等式公式的应用案例5.如何灵活运用竞赛不等式公式正文一、竞赛不等式的概念与意义在高中数学竞赛中，不等式问题是一个重要的组成部分，它涉及到解决实际问题和理论研究的方方面面。
竞赛不等式是指在高中数学竞赛中出现的具有一定难度的不等式问题，通常需要运用一些特殊的方法和技巧来解决。
掌握高中竞赛不等式对于提高学生解决实际问题的能力，培养数学思维和技巧具有重要意义。
二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式可以分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式。
2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是 2 的不等式。
3.多元不等式：涉及多个未知数的不等式。
4.含有绝对值的不等式：包含绝对值符号的不等式。
5.其他特殊类型的不等式：如对数不等式、指数不等式等。
三、常用的高中竞赛不等式公式在解决高中竞赛不等式问题时，有一些常用的公式和方法可以帮助我们快速求解。
以下是一些常用的高中竞赛不等式公式：1.一元一次不等式的解法：同号得正，异号得负，移项，分式讨论等。
2.一元二次不等式的解法：判别式法，韦达定理，二次函数图像法等。
3.含有绝对值的不等式的解法：分段讨论，绝对值不等式的性质等。
4.多元不等式的解法：消元法，代入法，行列式法等。
四、竞赛不等式公式的应用案例以下是一些高中竞赛不等式公式在实际问题中的应用案例：1.利用一元一次不等式的解法求解实际问题中的不等式。
2.通过一元二次不等式的解法求解复杂的不等式问题。
3.运用含有绝对值的不等式的解法解决实际问题中的不等式。
4.多元不等式在解决组合优化问题中的应用。
五、如何灵活运用竞赛不等式公式在解决高中竞赛不等式问题时，要注意以下几点：1.仔细审题，分析问题的实际背景和需求。
2.根据问题的特点，选择合适的不等式公式和方法。
初等数学研究系列——不等式——权方和不等式专题研究
( x + 2y + 3z + 4u + 5v ) = 60 x 2 ( 2 y ) ( 3z ) ( 4u ) ( 5v ) ≥ 简解：w = + + + + 1 2 3 4 1+ 2 + 3 + 4 + 5 5
2 2 2 2 2
当且仅当x = y = z = u = v = 2时w取得最小值60.
正是第42届IMO的原题.
a a 2 + 8bc
+
b b 2 + 8ca
+
c c 2 + 8ab
≥1
以上我们是直接（或通过简单变形）使用权方和不等式证不等式，可谓“简 洁明快” ，实际上凑着使用权方和不等式证明不等式也有“小巧玲珑”之美，请 看： 1 1 1 2 2 2 . 例 10. 已知：x, y, z ∈ R + , x + y + z = 1, 求证： + + ≥ + + 1− x 1− y 1− z 1+ x 1+ y 1+ z
n
1
m
⎛ n ⎞ ai ⎟ ∑ n ai m +1 ⎜ i =1 ⎝ ⎠ ( a > 0, b > 0, m > 0.等号在a = λb 时取得 ). 将上式整理为 ∑ m ≥ i i i i m n b i =1 ⎛ ⎞ i ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ 我们称上式（狭义）权方和不等式（m 称为该不等式的权） 。它的特点是分 子的幂指数比分母高 1 次。灵活的选用（狭义）权方和不等式常常可以起到意想 不到的化简效果。以下我们将从求极值和证明不等式两个方面来展示（狭义）权 方和不等式的“化简魅力” 。 Ⅰ.用于求极值 1 1 例 1.已知x, y ∈ R +且 + = 1, 求x + 2 y的最小值. x y
不等式放缩技巧十法
第六章 不等式第二节 不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一 利用重要不等式放缩1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ， )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
例 2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f [简析] 411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++∙ 1(1)()(1)22f f n ⇒++>-⨯211(1)(1)2222n+-++-⨯⨯ 1111111(1).42222n n n n -+=-+++=+- 例3 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- .简析 不等式左边123nn n n n C C C C ++++=12222112-++++=-n nn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> =212-⋅n n ，故原结论成立.【例4】已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2x y xy x y R +≤∈，所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++2222221212111.2222nna a a x x x ++++++=+=+= 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。
imo中的问题、定理与方法
imo中的问题、定理与方法一、问题：imo（国际数学奥林匹克）是一项世界性的数学竞赛，每年吸引着来自全球各地的优秀高中生参与。
在imo中，学生们面临着各种各样的数学问题，这些问题既有经典的数学难题，也有创新的数学思考。
在imo中，问题的类型多种多样，涉及到数论、代数、几何、组合数学等各个领域。
其中，一些经典的问题备受关注，如费马大定理、哥德巴赫猜想等。
这些问题既有挑战性，又具有一定的启发性，对于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
二、定理：在imo的历史上，涌现出了许多重要的数学定理。
这些定理不仅为数学研究提供了重要的参考，也对解决数学问题起到了重要的作用。
1. 费马大定理：费马大定理是一项著名的数论问题，由法国数学家费马提出。
这个问题要求证明当n大于2时，方程x^n + y^n = z^n没有整数解。
费马大定理在数学界引起了广泛的关注，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
2. 哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想是一个关于素数的问题，由德国数学家哥德巴赫提出。
这个猜想认为：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
虽然哥德巴赫猜想一直未能得到证明，但它促进了对素数分布的研究，对于素数的性质有着重要的启示作用。
3. 均值不等式：均值不等式是一类重要的不等式定理，包括算术均值-几何均值不等式、几何均值-调和均值不等式等。
这些不等式在数学研究中起到了重要的作用，被广泛运用于解决各种数学问题。
三、方法：为了解决imo中的问题，学生们需要掌握一系列的解题方法和技巧。
下面介绍几种常用的解题方法：1. 分析法：分析法是解决数学问题的常用方法之一，它要求学生对问题进行细致的分析，找出问题的关键点，从而得出解题思路。
分析法注重逻辑思维和问题拆解能力，对于解决复杂的数学问题具有重要的帮助。
2. 归纳法：归纳法是一种通过具体实例推导出普遍规律的方法。
在imo中，归纳法常常被用于证明数学定理和推导数学公式。
基本不等式及应用
基本不等式的推导和证明过程
Step 1
通过数学推导和运算，将不等式简化，并且保持其等价性。
Step 2
使用数学定律和性质，对不等式进行变形和化简，以达到所需的形式。
Step 3
通过合理的推理和论证，证明不等式的正确性和有效性。
基本不等式的应用举例
数学竞赛
基本不等式是解决数学竞赛问题中常用的工具，它 能够帮助我们证明数学论断，并找到最优解。
基本不等式及应用
在这个演示中，我们将探讨基本不等式的定义、性质、推导和证明过程。还 将展示它在数学竞赛和实际问题中的重要性，以及其发展和拓展。
基本不等式的定义和性质
1 定义
基本不等式是描述两个数或表达式之间相对大小关系的不等式。
2 性质
基本不等式满足数学运算的性质，如传递性、加减法的保持性和乘除法的保持性。
基本不等式在实际问题中的应用
资源分配
通过基本不等式，我们可以合 理分配资源，以满足不同需求。
最优决策
基本不等式可以帮助我们做出 最优决策，以最大化效益。
风险评估
利用基本不等式，我们可以评 估风险和潜在损失，从而做出 明智的决策。
基本不等式的发展和拓展
1
古希腊时期
欧几里得的《几何原本》中首次提出了基本的几何不等式。
实际问题
在实际生活中，我们可以运用基本不等式来解决各 种问题，如优化资源分配、最大化收益等。
基本不等式在数学竞赛中式帮助竞赛选手 在有限时间内快速解决问 题，获得高分。
2 拓展思维能力
通过应用基本不等式，选 手可以培养逻辑思考和问 题解决的能力。
3 提高竞争力
熟练掌握基本不等式的应 用，能够在竞争激烈的数 学竞赛中占据优势。
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《竞赛数学解题研究》之不等式证明一、公式法1、柯西不等式：设n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 为任意两数组，则≤+++22211)(n n b a b a b a )(22221n a a a +++ )(22221n b b b +++ 等号当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立。
例1、设16,822222=++++=++++e d c b a e d c b a ，求e 的最大值。
（第7届美国数学竞赛）例2、设P 是锐角ABC ∆内一点，P 到三边BC 、CA 、AB 的垂足分别是D 、E 、F 求出（并加以证明）使222PF PE PD ++达到最小值的点P 。
（1990年，浙江省高中数学夏令营）例3、设P 是ABC ∆内一点，P 到三边BC 、CA 、AB 的垂足分别是D 、E 、F 求出（并加以证明）使PFABPE CA PD BC ++达到最小值的点P 。
（IMO22，1981）例4、设n a a a ,,,21 为两两互不相等的正整数，求证：∑∑==≤n i ini ia i 1211 （IMO20）例5、求出所有的实数a ，使得存在非负实数521,,,x x x ，满足下列关系：a kxk k=∑=51，2513a x kk k =∑=，3515a x kk k =∑=例6、设y x b a ,,,都是实数，并且,122=+b a ,122=+y x 试证：1||≤+by ax （1963年成都市数学竞赛试题）2、均值不等式设n a a a ,,,21 为n 个正数，则nn n a a a na a a 2121≥+++等号当且仅当n a a a === 21时成立。
例1、已知ABC ∆的面积S 及角A 均为定值，记A 的两夹边为b,c 则当2232c b +取最小值时，cb的值为多少。
（1985年长沙市数学竞赛）例2、设n x x x ,,,21 都是正数，证明：n n x x x x x x xx x +++≥++ 2112322221（1984年全国高中数学联赛）3、排序不等式：设n a a a ≤≤≤ 21与n b b b ≤≤≤ 21为两数组，则112122112211b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n jn n j j n n +++≥+++≥+++- ，其中n j j j ,,21是n 2,1的一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时成立。
（同序最大，倒序最小，乱序居中）例1、设n b b b ，，， 21是正数n a a a ，，， 21的一个排列，证明：n b a b a b a nn ≥++ 2211 （匈牙利数学竞赛试题）例2设n a a a ,,,21 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，下列不等式22221211211na a a n n +++≤+++成立。
（IMO20）例3、设n x x x ≤≤≤ 21，n y y y ≤≤≤ 21，又设n z z z ,,,21 是n y y y 21,的一个排列，求证：∑∑==-≤-ni i ini i i z x y x 1212))（（。
(IMO17)二、代换法（代数代换法、三角代换法）1、代数代换法在几何问题中，寻求含有不等式所涉及的元素的关系式，可用代数法证之。
设ABC ∆的三边长分别为a,b,c ，通过代换。
)(21),(21),(21c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=，易得a=y+z,b=z+x,c=x+y 则：半周长z y x c b a P ++=++=)(21；面积xyz z y x c P b P a P P S )())()((++=---=；外接圆半径xyzz y x x z z y y x S abc R )(4))()((4+++++==；内切圆半径zy x xyzP Sr ++==例1、已知ABC ∆，它的内心为I ，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交对边于C B A '''，，，求证：27841≤'⋅'⋅'⋅⋅<C C B B A A CI BI AI 。
（IMO32-1）例2、已知三角形的三边长为c b a ,,，其面积为S ，求证：S c b a 34222≥++， 并说明取等号的条件是什么。
（IMO3）例3、已知三角形的三边长为c b a ,,，证明：0)()()(222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a 并说明取等号的条件是什么。
（IMO24，1983）例4、已知三角形的三边长为c b a ,,，证明：abc c b a c b a c b a c b a 3)()()222≤-++-++-+（（IMO6）例5、设c b a ,,为正数，试证：))()((c b a b a c a c b abc -+-+-+≥（83年瑞士数学竞赛）。
2、三角代换法例1、已知,122≤+y x 求证：2|2|22≤-+y xy x例2、设04422=-+y x ，求函数y x y xy x y x f 242),(22++++=的最大值。
例3、设y x b a ,,,都是实数，并且,122=+b a ,122=+y x 试证：1||≤+by ax （1963年成都市数学竞赛试题）3、其他类型的代换法例1、设c b a ,,为正实数，且满足1=abc ，求证：23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a （IMO1995）例2、设c b a ,,为正实数，且满足1=abc ，证明：1)11)11)11≤+-+-+-ac c b b a （（（（IMO41）三、数学归纳法例1、已知b a ,为正实数，且111=+ba ，试证对每个N n ∈,有 1222)(+-≥--+n n n n nb a b a （1988年全国高中数学联赛）四、增量法例1、已知三角形的三边长为c b a ,,，证明：abc c b a c b a c b a c b a 3)()()222≤-++-++-+（（IMO6）例2、设n x x x ,,,21 都是正数且121=+++n x x x ，证明：211232222121≥++++++x x x x x x x x x n n （1984年全国高中数学联赛）例3、设z y x ,,为非负实数，且1=++z y x ，证明：27720≤-++≤xyz xy zx yz （IMO25）五、构造对偶式法例1、设c b a ,,为正实数，求证：3223223223cb a a cac c c bc b b b ab a a ++≥++++++++。
例2、设n a a a ，，， 21；n b b b ，，， 21都是正实数，且∑∑===nk k nk kb a11，证明：∑∑==≥+nk k nk kk k a b a a 11221（1991年亚太地区数学竞赛）例3、设n a a a ，，， 21都是正实数，且11=∑=nk ka，求证：211232222121≥++++++a a a a a a a a a n n （第24届全苏数学竞赛）例4、设n a a a ，，， 21都是正实数，且11=∑=nk ka，证明：4131211234342323223242322212213141≥++++++++++++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n（第6届河南省高中数学竞赛）例5、证明：对任意1.1>>b a ，有不等式81122≥-+-a b b a （第26届独联体数学竞赛）。
例6、已知0>≥≥z y x ，求证：222222x z y yxz x z y z y x ++≥++（第31届IMO 预选题）。
六、构造函数法例1、设z y x ,,为非负实数，且1=++z y x ，证明：27720≤-++≤xyz xy zx yz （IMO25）例2、设c b a ,,为正实数，且满足1=abc ，求证：23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a （IMO36，1995）例3、设c b a ,,为正实数，，求证：23≥+++++b a c a c b c b a （1963年莫斯科数学竞赛）例4、设c b a ,,为三角形的三边，c ++=b a 2S ，求证：S 222≥+++++ba c a cbc b a （1988年第二届友谊杯数学竞赛） 例5、设d c b a ，,,为正实数，且满足1=+++da cd bc ab ，求证：313333≥+++++++++++c b a d b a d c a d c b d c b a （IMO31，预选题）。