竞赛数学解题研究之不等式

《竞赛数学解题研究》之不等式证明

一、公式法

1、柯西不等式：设n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 为任意两数组，则

≤+++22211)(n n b a b a b a )(22221n a a a +++ )(2

2221n b b b +++ 等号当且仅当n

n b a b a b a === 22

11时成立。

例1、设16,822222=++++=++++e d c b a e d c b a ，求e 的最大值。（第7届美国数学竞赛）

例2、设P 是锐角ABC ∆内一点，P 到三边BC 、CA 、AB 的垂足分别是D 、E 、F 求出（并加以证明）使2

2

2

PF PE PD ++达到最小值的点P 。（1990年，浙江省高中数学夏令营）

例3、设P 是ABC ∆内一点，P 到三边BC 、CA 、AB 的垂足分别是D 、E 、F 求出（并加以证明）使PF

AB

PE CA PD BC ++达到最小值的点P 。（IMO22，1981）

例4、设n a a a ,,,21 为两两互不相等的正整数，求证：∑∑==≤n i i

n

i i

a i 1211 （IMO20）

例5、求出所有的实数a ，使得存在非负实数521,,,x x x ，满足下列关系：

a kx

k k

=∑=5

1

，

2

5

1

3

a x k

k k =∑=，

35

1

5

a x k

k k =∑=

例6、设y x b a ,,,都是实数，并且,122=+b a ,122=+y x 试证：1||≤+by ax （1963年成都市数学竞赛试题）

2、均值不等式

设n a a a ,,,21 为n 个正数，则

n

n n a a a n

a a a 2121≥+++等号当且仅当

n a a a === 21时成立。

例1、已知ABC ∆的面积S 及角A 均为定值，记A 的两夹边为b,c 则当2

2

32c b +取最小值时，c

b

的值为多少。（1985年长沙市数学竞赛）

例2、设n x x x ,,,21 都是正数，证明：n n x x x x x x x

x x +++≥++ 211

2

322221（1984年全

国高中数学联赛）

3、排序不等式：

设n a a a ≤≤≤ 21与n b b b ≤≤≤ 21为两数组，

则112122112211b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n jn n j j n n +++≥+++≥+++- ，其中

n j j j ,,21是n 2,1的一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时

成立。（同序最大，倒序最小，乱序居中）

例1、设n b b b ，，， 21是正数n a a a ，，， 21的一个排列，证明：n b a b a b a n

n ≥++ 22

11 （匈牙利数学竞赛试题）

例2设n a a a ,,,21 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，下列不等式

222

21211211n

a a a n n +++≤+++

成立。（IMO20）

例3、设n x x x ≤≤≤ 21，n y y y ≤≤≤ 21，又设n z z z ,,,21 是n y y y 21,的一个排列，求证：∑

∑

==-≤

-n

i i i

n

i i i z x y x 1

21

2

))（（。(IMO17)

二、代换法（代数代换法、三角代换法）

1、代数代换法

在几何问题中，寻求含有不等式所涉及的元素的关系式，可用代数法证之。 设ABC ∆的三边长分别为a,b,c ，通过代换。

)(2

1

),(21),(21c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=

，易得a=y+z,b=z+x,c=x+y 则：半周长z y x c b a P ++=++=)(2

1

；

面积xyz z y x c P b P a P P S )())()((++=---=

；

外接圆半径xyz

z y x x z z y y x S abc R )(4))()((4+++++=

=

；内切圆半径z

y x xyz

P S

r ++==

例1、已知ABC ∆，它的内心为I ，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交对边于

C B A '''，，，求证：

27

841≤'⋅'⋅'⋅⋅

例2、已知三角形的三边长为c b a ,,，其面积为S ，求证：S c b a 342

22≥++， 并说明取等号的条件是什么。（IMO3）

例3、已知三角形的三边长为c b a ,,，证明：0)()()(2

2

2

≥-+-+-a c a c c b c b b a b a 并说明取等号的条件是什么。（IMO24，1983）

例4、已知三角形的三边长为c b a ,,，

证明：abc c b a c b a c b a c b a 3)()()2

2

2

≤-++-++-+（（IMO6）