认识三角形(基础)知识讲解
认识三角形(基础)知识讲解
认识三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义>由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段．②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.'（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.、（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形．【②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形．②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角． ③等边三角形：三边都相等的三角形. [要点四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线 文字语言/从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言·作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形(符号1．AD 是△ABC 的高． 1．AD 是△ABC 的角平分语言2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)!1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言·因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．^1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—…与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．要点五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.！要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．（2015秋•平凉校级期中）如图，图中共有三角形（））A．4个B．5个C．6个D．8个【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考．【答案】D．【解析】解：图中三角形有：△ABC，△ABE，△ACD，△BCF，△BCD，△BCE，△BFD，△CFE，共8个三角形．，【总结升华】本题考查了三角形，注意找的时候要有顺序，也可从小到大找．举一反三：【变式】如图，以A为顶点的三角形有几个用符号表示这些三角形．/【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )；【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形． 举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.|(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b. 举一反三：[【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对． 类型三、三角形中重要线段4. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高． 】【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三： 【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．.【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。
初中数学知识点——与三角形有关的线段(知识讲解与巩固练习)
一、与三角形有关的线段（基础篇）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点1、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形.要点2、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边.⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系.要点3、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD＝BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.21注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD ＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点4、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．21【典型例题】类型1、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E 再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型2、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b. 举一反三：【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ， 在△ODC 中有OD+OC ＞CD ， 在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA 即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ， 即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．59c <<类型3、三角形中重要线段4. （2016春•江阴市月考）如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF ⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是（）A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△GBC中，CF是BG边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案与解析】解：A、△ABC中，AD是BC边上的高正确，故本选项错误；B、△GBC中，CF是BG边上的高正确，故本选项错误；C、△ABC中，GC是BC边上的高错误，故本选项正确；D、△GBC中，GC是BC边上的高正确，故本选项错误．故选C．【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3． 【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且，4ABC S △则为________．【答案】1.类型4、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB 、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】 解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．S阴影与三角形有关的线段（基础篇）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用他们摆成三角形的是( ).A．3cm ，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm ，6cm，11cm D．13cm ，12cm，20cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( ).A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2015春•常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A．6B．7 C．8D．94．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( ).A．5m B．15m C．20m D．28m5．三角形的角平分线、中线和高都是( ).A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对6．下列说法不正确的是( ).A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部7．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM 的面积，则S1和S2的大小关系是( ).A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．以上三种情况都有可能8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ).A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短二、填空题9、如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．10．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________．11. 已知等腰三角形的两边分别为4cm 和7cm ，则这个三角形的周长为________．12. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，则∠______＝∠______＝∠_______；BE 是△ABC 的中线，则_____＝_____＝____ ；CF 是△ABC 的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB ．13. 如图，AD 、AE 分别是△ABC 的高和中线，已知AD ＝5cm ，CE ＝6cm ，则△ABE 和△ABC 的面积分别为________________．14. （2015春•焦作校级期中）AD 是△ABC 的边BC 上的中线，AB=3，AC=4，则中线AD 的取值范围是_____________. 三、解答题15．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形? (1)5cm ，5cm ，a cm(0＜a ＜10)； (2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．16．如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠CAD ，AE ＝CE ，AG ⊥BC ，AD 与BE 相交于点F ，试指出AD 、AF 分别是哪两个三角形的角平分线，BE 、DE 分别是哪两1212个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?17. （2014春•苏州期末）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD.3. 【答案】B；【解析】解：由题意，令第三边为x，则5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边长为奇数，∴第三边长是3或5或7．∴三角形的第三边长可以为7．故选B．4. 【答案】D；【解析】因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故|6-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．5. 【答案】B.6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线不一定都在三角形内部.7. 【答案】C；【解析】中线把三角形分成面积相等的两个三角形.8. 【答案】A.二、填空题9. 【答案】稳定.10.【答案】5 cm或7 cm；【解析】三角形三边关系的应用.11.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰为4 cm或7 cm分类讨论.12．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥.13.【答案】15cm2，30cm2；【解析】S△ABE＝S△A CE＝15 cm2，S△AB C＝2 S△ABE＝30 cm2.14.【答案】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即1＜2AD＜7，＜AD＜．故答案为：＜AD＜．三、解答题15.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．16.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．17.【解析】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．18.【解析】解：如图二、与三角形有关的线段(提高篇)巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其中可构成三角形的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为( )A．2个B．4个C．6个D．8个3．（2016春•成安县期末）下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A．①②③B．①②C．②③D．①③4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是( ) A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高5．（2015春•南长区期中）有4根小木棒，长度分别为3cm、5cm、7cm、9cm 任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）A．2个B．3个C．4个 D．5个6．给出下列图形：其中具有稳定性的是( )A ．①B ．③C ．②③D ．②③④7．如图所示为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分? ( )A ．11B ．12C ．13D ．148.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?( )A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根二、填空题9．（2014春•渝北区期末）对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B=2AB ，B 1C=2BC ，C 1A=2CA，顺次214连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1（如图所示），记其面积为S 1．现再分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2，则S 2= ．10．三角形的两边长分别为5 cm 和12 cm ，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．11．（2016春•丹阳市校级期中）如图，AD ⊥BC 于D ，那么图中以AD 为高的三角形有 个．12.在数学活动中，小明为了求…的值(结果用n 表示)，设计了如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求…＝________．13．请你观察下图的变化过程，说明四边形的四条边一定时，其面积________确定．(填“能”或“不能”)23411112222++++12n +23411112222++++12n+14．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝_____时，ABCD的面积最大，最大值是________．三、解答题15．草原上有4口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，如图所示，如果现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HA+HB+HC+HD为最小，说明理由．16．取一张正方形纸片，把它裁成两个等腰直角三角形，取出其中一张如图①，再沿着直角边上的中线AD按图②所示折叠，则AB与DC相交于点G．试问：△AGC和△BGD的面积哪个大?为什么?17. 已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数．（2）△ABC是什么三角形．18. （2014春•西城区期末）阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高．P 是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：BD=PM+PN．他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即AC•BD=AB•PM+AC•PN．由AB=AC，可得BD=PM+PN．他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN﹣PM．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵S△ABC=S△APC﹣，∴AC•BD=AC•﹣AB•．∵AB=AC，∴BD=PN﹣PM．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B ；【解析】根据两边之和大于第三边：⑤⑥满足. 2. 【答案】B ；【解析】5+9＝14，所以第三边长应为偶数，大于4而小于14的偶数有4个，所以 3. 【答案】B ；【解析】①、②正确；而对于三角形三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上；钝角三角形有两条高在外部，故③错误． 4. 【答案】C ；【解析】三角形高的定义. 5. 【答案】B ；【解析】解：可搭出不同的三角形为：3cm 、5cm 、7cm ；3cm 、5cm 、9cm ；3cm 、7cm 、9cm ；5cm 、7cm 、9cm 共4个，其中3cm 、5cm 、9cm 不能组成三角形，故选B ． 6. 【答案】C ；【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性. 7. 【答案】B ；【解析】设每个小正方形的边长为a ，则有16a 2－4 a ×2 a ÷2－3 a ×2 a ÷2－4 a ×a ÷2＝，解得a 2＝，而整个方格纸的面积为16a 2＝12（平方公分）. 8. 【答案】B ； 二、填空题 9. 【答案】361；21434【解析】解：连接A 1C ，根据A 1B=2AB ，得到：AB ：A 1A=1：3，因而若过点B ，A 1作△ABC 与△AA 1C 的AC 边上的高，则高线的比是1：3， 因而面积的比是1：3，则△A 1BC 的面积是△ABC 的面积的2倍， 设△ABC 的面积是a ，则△A 1BC 的面积是2a ，同理可以得到△A 1B 1C 的面积是△A 1BC 面积的2倍，是4a ， 则△A 1B 1B 的面积是6a ，同理△B 1C 1C 和△A 1C 1A 的面积都是6a ， △A 1B 1C 1的面积是19a ，即△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的19倍， 同理△A 2B 2C 2的面积是△A 1B 1C 1的面积的19倍， ∴S 2=19×19×1=361． 故答案为：361．10.【答案】29cm ； 11.【答案】6； 12．【答案】； 【答案】解：如图所示，设大三角形的面积为1，然后不断地按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，…表示组成面积为1的大三角形的n个小三角形的面积之112n -23411112222++++12n +和，因此…＝．13.【答案】不能；【解析】因为四边形的高不能确定． 14.【答案】90°， 48 cm 2； 三、解答题 15.【解析】解：维修站应建在四边形两对角线AC 、BD 的交点H 处，理由如下：取不同于H 的F 点，根据三角形两边之和大于第三边可得；FD+FB ＞HD+HB ，FC+FA ＞HC+HA ．所以：FD+FB+FC+FA ＞HD+HB+HC+HA ， 即HD+HB+HC+HA 为最小． 16.【解析】解：∵ BD ＝CD ，∴ ． ∴ ． ∴ ． 17.【解析】解：（1）当高AD 在△ABC 的内部时(如图(1))．因为∠BAD ＝70°，∠CAD ＝20°，所以∠BAC ＝∠BAD+∠CAD ＝70°+20°＝90°．当高AD 在△ABC 的外部时(如图(2))．23411112222++++12n +112n -ABD ACD S S =△△ABD ADG ACD ADG S S S S -=-△△△△ADG BGD S S =△△因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．综上可知∠BAC的度数为90°或50°．（2）如图(1)，当AD在△ABC的内部时，因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，所以△ABC是直角三角形．如图(2)，当AD在△ABC的外部时，因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．所以△ABC为钝角三角形．综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形．18.【解析】解：（1）证明：连接AP．∵S△ABC=S△APC﹣S△APB，∴AC•BD=AC•PN﹣AB•PM．∵AB=AC，∴BD=PN﹣PM．（2）①BD=PM+PN+PQ；如图3，连接AP、BP、CP，∵S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC∴AC•BD=AC•PN+AB•PM+BC•PQ，∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PN+PQ；②BD=PM+PQ﹣PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S△ABC=S△APB+S△BPC﹣S△APC．∵AC•BD=AB•PM+BC•PQ﹣AC•PN，∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PQ﹣PN．。
三角形及其性质(基础)知识讲解
三角形及其性质(基础)知识讲解三角形及其性质知识讲解三角形是几何学中最基本的图形之一，广泛应用于各个领域。
本文将对三角形及其性质进行详细的讲解。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段相互连接，构成一个封闭的图形。
三角形的名称通常是由连接它们的顶点表示，如ABC表示由线段AB、BC和CA所形成的三角形。
二、三角形的分类根据三角形的边长关系和角度关系，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1)等边三角形：三条边的长度都相等。
每个内角都为60度。
(2)等腰三角形：两条边的长度相等。
顶角所对的两边相等。
(3)普通三角形：三条边的长度各不相等。
2. 根据角度分类(1)锐角三角形：三个内角都小于90度。
(2)直角三角形：一个内角为90度。
较长的边称为斜边，与直角所对的边称为直角边。
(3)钝角三角形：一个内角大于90度。
三、三角形的性质三角形具有以下一些重要的性质：1. 三角形的内角和定理三角形的所有内角之和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角等于与之相对的内角之和。
即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠B + ∠C或∠D = ∠C + ∠A。
3. 三角形的角平分线三角形的角平分线是指从一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分为两个相等的角。
三角形的角平分线相交于三角形的内心。
4. 三角形的中线三角形的中线是指连接一个顶点和对边中点的线段，三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。
5. 三角形的高线三角形的高线是指从一个顶点引垂线到对边上的垂足所形成的线段。
三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。
6. 三角形的外心三角形的外心是指过三角形三个顶点的圆的圆心。
在任何非等边三角形中，外心都存在且唯一。
四、三角形的应用三角形的性质在实际应用中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 三角形的距离计算通过已知的边长和角度，可以使用三角函数来计算三角形之间的距离。
《三角形》知识讲解与练习
《三角形》复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（）A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm，∴第三边长的取值范围是：4＜x＜16，∴它的第三边长不可能为：17cm．故选：D．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD是BC边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°．∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
()七年级数学下册第四章三角形1认识三角形三角形认识讲义(无答案)(新版)北师大版
三角形的认识段【根底知识】从三角形的一个顶知识点1三角形的定义点向它的对边所在1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形的高线的直线作垂线,顶点表示：三角形可用符号“△〞表示，如右图和垂足之间的线段三角形记作：△ABC b CAc a三角形中,连结一个B 顶点和它对边中点2.一个三角形有三条边，三个角、三个顶点三角形的中线的线段如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示为c 三角形一个内角的知识点2三角形的性质平分线与它的对边1.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于三角形的角平分相交,这个角顶点与第三边。
线交点之间的线段3.4.三角形的内角关系：三角形内角和为1805.三角形的分类：三角形按内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角结论总结：三角形。
其中直角三角形的两个锐角互余知识点3三角形的中线、角平分线和高线三角形的重要线概念图形表示法AE是△ABC的AB上的高线.CE⊥AB∠AEC=∠BEC=90°.AD是△ABC的BC上的中线.BD=CD=?BC.AE是△ABC的∠ABC的平分线1∴∠1=∠2=2ABC-1-/12【典例剖析】例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？如果取一根长度为13cm的木棒呢？聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗？(4)要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？例2.假设△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a.bc,如果b=4,问这样的三角形有几个?例3.一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3︰2，求这个三角形各边的长。
锐角三角形直角三角形钝角三角形角平分线〔有几中线条，是否相交，交高线点在那〕例4.判断满足以下条件的VABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形；〔1〕A80o,B25o〔2〕A B30o,BC36oA11CB6〔3〕2例5.三角形ABC的一个内角度数为40o，且A B，求C的外角的度数。
小学数学三角形的知识点
小学数学三角形的知识点小学数学三角形的知识点11.由三条线段(每两条相邻线段的端点相连)围成的图形称为三角形。
2.从三角形的顶点到它的对边画一条垂直线。
从顶点到垂足的线段称为三角形的高，这条边称为三角形的底。
这个三角形只有三层高。
3、三角形具有稳定性。
4.三角形的任意两条边之和大于第三条边。
5、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
6、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
7.有一个钝角的三角形叫做钝角三角形。
8、每个三角形都至少有两个锐角;每个三角形都至多有1个直角;每个三角形都至多有1个钝角。
9、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
10.小学四年级数学四则运算与三角形知识点:三条边相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。
11、等边三角形是特殊的等腰三角形12、三角形的内角和是180°。
13、四边形的内角和是360°14、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
15、用2个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形。
16.两个相同的等腰直角三角形可以组合成一个平行四边形和一个正方形。
大等腰直角三角形。
小学数学三角形的知识点21、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法。
3.三角形的特点:1。
物理特性:稳定。
如:自行车的三脚架，电线杆上的三脚架。
4、边的特性：任意两边之和大于第三边。
5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
6、三角形的分类：按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形 7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
小学二年级下册数学《三角形的初步认识》知识点、教案及教学反思
【导语】三⾓形是由同⼀平⾯内不在同⼀直线上的三条线段⾸尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应⽤。
常见的三⾓形按边分有普通三⾓形（三条边都不相等），等腰三⾓（腰与底不等的等腰三⾓形、腰与底相等的等腰三⾓形即等边三⾓形）。
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【篇⼀】⼩学⼆年级下册数学《三⾓形的初步认识》知识点、 ⼀、认识⾓ 1、⾓的特征：⼀个顶点，两条边（直的） 2、⾓的⼤⼩：与两条边叉开的⼤⼩有关，与两条边的长短⽆关。
3、⾓的画法： （1）定顶点。
（2）由这⼀点引⼀条直线。
（3）画另⼀条边（直⾓时，⽤直⾓边对准画好的⼀条边后，沿着另⼀条直⾓边，画线） ⼆、⾓的分类： 1、认识直⾓：直⾓的特点， 2、认识锐⾓和钝⾓：锐⾓⽐直⾓⼩，钝⾓⽐直⾓⼤。
3、会⽤三⾓尺来判断直⾓、锐⾓和钝⾓：吧三⾓尺上直⾓的顶点与被⽐较⾓的顶点重叠在⼀起，再将三⾓尺上直⾓的⼀条边与被⽐⾓的⼀条边重合，最后⽐较三⾓尺上直⾓的另⼀条边与被⽐⾓的另⼀条边，线上为直⾓，内为锐⾓，外为钝⾓。
4、画直⾓、锐⾓和钝⾓。
【篇⼆】⼩学⼆年级下册数学《三⾓形的初步认识》教案 教学⽬标： 1、让学⽣在观察、操作和交流等活动中，经历认识三⾓形的过程。
2、认识三⾓形各部分名称，会画三⾓形的⾼，了解三⾓形具有稳定性特征。
3、体验三⾓形的稳定性在⽣活中的⼴泛应⽤，感受⼏何图形与现实⽣活的密切联系。
教学重点： 理解三⾓形的特性；在三⾓形内画⾼。
教学难点： 理解三⾓形⾼和底的含义，会在三⾓形内画⾼。
教学准备： 多媒体课件、长⽅形、正⽅形、三⾓形学具、⼩棒、钉⼦板、直尺、三⾓板。
教学过程： ⼀、联系实际，引出课题感知三⾓形 1、谈话导⼊。
2、学⽣汇报交流⾃⼰收集到的有关三⾓形信息。
3、教师展⽰三⾓形在⽣活中应⽤的图⽚。
谈话引出课题：“你想学习有关三⾓形的什么知识呢？（板书课题：三⾓形的认识。
三角形及其性质基础知识讲解修订版
三角形及其性质基础知识讲解修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类1.按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2x x+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°，，∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系4. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.【答案】59<<c【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│<c<2+7,即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型四、三角形中重要线段6. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C；【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1一、选择题1．一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是( )2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．任何一个三角形至少有（ ）个锐角A ．1B ．2C ．3D ． 不能确定4．已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm5．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( )A．5m B．15m C．20m D．28m第八题6．三角形的角平分线、中线和高都是 ( )A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对7．下列说法不正确的是 ( )A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部8．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( )A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．以上三种情况都有可能9．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为( )A．40° B．80° C．60° D．120°二、填空题10．三角形的三边关系是________，由这个定理我们可以得到三角形的两边之差________第三边，所以，三角形的一边小于________并且大于________．11．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm．12. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．13. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则________＝_______＝12________；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．14. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC 的面积分别为________________．15.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形；(2) 若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形．三、解答题16．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．17．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线AG是哪些三角形的高?18题18.如图所示，已知AD，AE分别是ΔABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则ΔABD与ΔACD的周长之差为多少，ΔABD与ΔACD的面积有什么关系.19.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?。
初中数学知识点精讲精析 认识三角形
1 认识三角形学习目标1. 认识三角形的概念及其基本要素。
2. 掌握三角形三条边之间的关系。
3. 认识等腰三角形和等边三角形。
知识详解1. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示。
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。
2. 三角形的角与角之间的关系：（1）三角形三个内角的和等于180°；（三角形的内角和定理）。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
3.三角形的分类4.通常，我们用符号“Rt△ABC”表示直角三角形ABC。
把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边。
5.有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。
三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边。
6.三角形的主要线段（1）连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。
简称三角形的中线。
三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
（2）三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线。
简称三角形的角平分线。
一个三角形共有三条角平分线，它们都在三角形内部，而且相交于一点。
（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
专题4.3 认识三角形-三角形的内角和(知识讲解)-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专
1专题4.3 认识三角形-三角形的内角和（知识讲解）【知识回顾】1、平角的定义：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。
1平角=180度 平角不是一条直线，而是在一条直线上的两条射线。
2、平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等。
2.两直线平行，内错角相等。
3.两直线平行，同旁内角互补。
【学习目标】1．通过平行线性质和平角定义理解三角形内角和；2．掌握三角形内角和及三角形的外角与内角的关系；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关角的计算及相关证明问题.【知识点梳理】要点一、三角形的内角和定理1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．0++=180.A BC A B C ∆∠∠∠几何语言：如上图，在中，特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.200=90+=90.A BC C A B ∆∠⇔∠∠几何语言：如上图，在中，特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角和1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.特别说明：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．=+.A BC ACD A BC ACD AB ACD A ACD B∆∠∆⇒∠∠∠∠>∠∠>∠几何语言：如上图，在中，为一个外角，3特别说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.0++=360.DAB EBC FCA DAB EBC FCA ∠∠∠∆∠∠∠如上图：、、为ABC 三个外角，则特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．可以理解为一周为360°，所以外角和为360°【典型例题】类型一、三角形的内角和1．（2021·山西八年级期末）阅读感悟：如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的任务．三角形内角和定理的证明今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理，主要分为两大类：一、动手实践操作类①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得的角度相加，得到结论；①折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；①剪拼法：如图2，将方法①用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．4二、证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来证明三角形内角和）：①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；①如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性质来证明；……任务：（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；A ．方程B ．类比C ．转化D ．分类（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三角形内角和定理．【答案】（1）平角为180︒；（2）C ；（3）见解析【分析】（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；（2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；5（3）过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，由角度的关系，得到A EDF ∠=∠，然后根据平角的定义，即可得到结论成立．解：（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；故答案为：平角为180︒；（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立；故选：C ；（3）证明：如图，过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，,,180,180FDC B EDB C A AED EDF AED ∴∠=∠∠=∠∠+∠=︒∠+∠=︒．A EDF ∴∠=∠，180A B C EDF FDC EDB CDB ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=︒．∴三角形的内角和为180︒．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于180°的方法．举一反三：【变式】（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容：6下列选项正确的是（ ）A ．①处填ECD ∠B ．①处填ECD ∠C ．①处填A ∠D ．①处填B【答案】B【分析】延长BC 到点D ，过点C 作CE∴AB ．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到∴A ＋∴B ＋∴ACB ＝180°．【详解】延长BC 到点D ，过点C 作CE∴AB， ∴CE∴AB ．∴∴A ＝∴ACE （两直线平行，内错角相等）．∴B ＝∴ECD （两直线平行，同位角相等）．∴∴ACB ＋∴ACE ＋∴ECD ＝180°（平角定义）．∴∴A ＋∴B ＋∴ACB ＝180°（等量代换）．故选：B ．【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．2.（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在①ABC 中，①A①①ABC①①ACB=3①4①5，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的高，BD，CE 相交于H ，求7①BHC 的度数．【答案】135°【分析】先设∴A=3x ，∴ABC=4x ，∴ACB=5x ，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x 的一元一次方程，求出x ，从而可分别求出∴A ，∴ABC ，∴ACB ，在∴ABD 中，利用三角形内角和定理，可求∴ABD ，再利用三角形外角性质，可求出∴BHC ．解：∴在∴ABC 中，∴A ：∴ABC ：∴ACB=3：4：5，故设∴A=3x ，∴ABC=4x ，∴ACB=5x ．∴在∴ABC 中，∴A+∴ABC+∴ACB=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∴A=3x=45°．∴BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的高，∴∴ADB=90°，∴BEC=90°，∴在∴ABD 中，∴ABD=180°-∴ADB -∴A=180°-90°-45°=45°，∴∴BHC=∴ABD+∴BEC=45°+90°=135°．【点拨】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．举一反三：【变式】 如图，在△ABC 中，∠A=50°，E 是△ABC 内一点，∠BEC=150°，∠ABE 的平分线与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠BDC 的度数为多少？8【答案】100°.解：∵△ABC 中∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵△BCE 中∠E=150°，∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，∵∠ABE 的平分线与∠ACE 的平分线相交于点D ，∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠ECB）=50°+30°=80°，∴∠BDC=180°﹣80°=100°．类型二、三角形的外角3.（2020·安徽省桐城市白马初级中学八年级期中）如图，已知①A ＝60°，①B ＝20°，①C ＝30°，求①BDC 的度数．【答案】110°【分析】延长BD 交AC 于H ，根据三角形的外角的性质计算即可．解：延长BD 交AC于H ，9∴BDC=∴DHC+∴C ，∴DHC=∴A+∴B∴∴BDC=∴A+∴B+∴C=60°+20°+30°=110°．【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·河南南阳市·七年级月考）如图，123∠=∠=∠，且60BFE ︒∠=，70BAC ︒∠=，求ABC ∠的度数．【答案】50°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用∴2和∴BCF 表示出∴BFE ，再根据∴2=∴3整理可得∴ACB=∴BFE ，然后利用三角形的内角和等于180°求解即可．解：在∴BCF 中，∴BFE=∴2+∴BCF ，∴∴2=∴3，∴∴BFE=∴3+∴BCF ，即∴BFE=∴ACB ，∴∴BAC=70°，∴BFE=60°，∴在∴ABC 中，∴ABC=180°-∴BAC -∴ACB=180°-70°-60°=50°．【点拨】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记10 性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键．【变式2】 （2019·内蒙古八年级期末）如图，在ABC ∆中，45B C ==∠∠，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且ADE AED ∠=∠，连接DE ，当60BAD ∠=时，求CDE ∠的度数．【答案】30°【分析】根据三角形的外角的性质求出∴ADC ，由三角形内角和定理求出∴BAC=90°，得出∴DAE 的度数，求出∴ADE=∴AED=75°，即可得出答案．解：∴ADC ∠是ABD ∆的外角，∴6045105ADC BAD B ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴45B C ∠=∠=︒，∴90BAC ∠=︒，∴30DAE BAC BAD ∠=∠-∠=︒，∴75ADE AED ∠=∠=︒，∴1057530CDE ∠=︒-︒=︒．【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．类型三、三角形的内角外角综合训练4.．如图（1）所示，①ABC 中，①ABC ，①ACB 的平分线交于点O ，求证：①BOC=90+12①A ． 变式1：如图（2）所示，①ABC ，①ACD 的平分线交于点O ，求证：①BOC=12①A ． 变式2：如图（3）所示，①CBD ，①BCE 的平分线交于点O ，求证：①BOC=90-12①A ．11【答案】见解析【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到∴BOC=180°-∴OBC -∴OCB ，则2∴BOC=360°-2∴OBC -2∴OCB ，再根据角平分线的定义得∴ABC=2∴OBC ，∴ACB=2∴OCB ，则2∴BOC=360°-∴ABC -∴ACB ，易得∴BOC=90°+12∴A ； 变式1：根据BD 为∴ABC 的角平分线，CD 为∴ABC 外角∴ACE 的平分线，由三角形外角性质可得；∴2=∴1+∴O ，∴ACO=∴2=12∴ACD=12(∴A+∴ABC)=12(∴A+2∴1) =12∴A+∴1，两式联立可得 ∴1+∴O = 12∴A+∴1，即∴BOC=12∴A ． 变式2：根据三角形外角平分线的性质可得∴BCO= 12（∴A+∴ABC ）、∴OBC= 12（∴A+∴ACB ）；根据三角形内角和定理可得∴BOC=90-12∴A.. 解：（1）证明：在∴BOC 中，∴∴BOC=180°-∴OBC -∴OCB ，∴2∴BOC=360°-2∴OBC -2∴OCB ，∴BO 平分∴ABC ，CO 平分∴ACB ，∴∴ABC=2∴OBC ，∴ACB=2∴OCB ，∴2∴BOC=360°-（∴ABC+∴ACB ），∴∴ABC+∴ACB=180°-∴A ，∴2∴BOC=180°+∴A ，∴∴BOC=90°+12∴A ； 变式1：∴BD 为∴ABC 的角平分线，CD 为∴ABC 外角∴ACE 的平分线，12∴ ∴1= 12∴ABC ∴ACO=∴2=12∴ACD ∴∴2、∴ACO 分别是∴BCO 、∴ABC 的外角 ∴∴2=∴1+∴O ，∴ACO=∴2=12∴ACD=12(∴A+∴ABC)=12(∴A+2∴1) =12∴A+∴1，∴ ∴1+∴O =12∴A+∴1， ∴∴BOC=12∴A ． 变式2：∴BO 、CO 为∴ABC 中∴ABC 、∴ACB 的外角平分线. ∴∴BCO=12（∴A+∴ABC ）、∴OBC= 12（∴A+∴ACB ）， 由三角形内角和定理得，∴BOC=180°-∴BCO -∴OBC ，=180°-12[∴A+（∴A+∴ABC+∴ACB ）]， =180°- 12（∴A+180°）， =90°- 12∴A ； 【点拨】本题考查三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．举一反三：【变式】 ．如图，①CBF ，①ACG 是①ABC 的外角，①ACG 的平分线所在的直线分别与①ABC ，①CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若①A=70°，求①D 的度数；（2）若①A=a ，求①E ；（3）连接AD ，若①ACB= ，则①ADB=．13【答案】（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β 【分析】 （1）由角平分线的定义得到∴DCG=12∴ACG ，∴DBC=12∴ABC ，然后根据三角形外角的性质即可得到结论； （2））根据角平分线的定义得到∴DBC=12∴ABC ，∴CBE=12∴CBF ，于是得到∴DBE=90°，由（1）知∴D=12∴A ，根据三角形的内角和得到∴E=90°-12α； （3）根据角平分线的定义可得，∴ABD=12∴ABC ，∴DAM=12∴MAC ，再利用三角形外角的性质可求解．解：（1）∴CD 平分∴ACG ，BD 平分∴ABC ，∴∴DCG=12∴ACG ，∴DBC=12∴ABC ， ∴∴ACG=∴A+∴ABC ，∴2∴DCG=∴ACG=∴A+∴ABC=∴A+2∴DBC ，∴∴DCG=∴D+∴DBC ，∴2∴DCG=2∴D+2∴DBC ， ∴∴A+2∴DBC=2∴D+2∴DBC ，∴∴D=12∴A=35°； （2）∴BD 平分∴ABC ，BE 平分∴CBF ，∴∴DBC=12∴ABC ，∴CBE=12∴CBF ， ∴∴DBC+∴CBE=12（∴ABC+∴CBF ）=90°， ∴∴DBE=90°，∴∴D=12∴A ，∴A=α， ∴∴D=12α， ∴∴DBE=90°，∴∴E=90°-12α； （3）如图，14∴BD 平分∴ABC ，CD 平分∴ACG ，∴AD 平分∴MAC ，∴ABD=12∴ABC， ∴∴DAM=12∴MAC ， ∴∴DAM=∴ABD+∴ADB ，∴MAC=∴ABC+∴ACB ，∴ACB=β，∴∴ADB=12∴ACB=12β． 故答案为：12β． 【点拨】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．。
小学数学三角形的知识点
小学数学三角形的知识点小学数学三角形的知识点篇一一、认识角1、角的特征：一个顶点，两条边(直的)2、角的大小：与两条边叉开的大小有关，与两条边的长短无关。
3、角的画法：(1)、定顶点。
(2)、由这一点引一条直线。
(3)、画另一条边(直角时，用直角边对准画好的一条边后，沿着另一条直角边，画线)二、角的分类：1、认识直角：直角的特点，2、认识锐角和钝角：锐角比直角小，钝角比直角大。
3、会用三角尺来判断直角、锐角和钝角：吧三角尺上直角的顶点与被比较角的顶点重叠在一起，再将三角尺上直角的一条边与被比角的一条边重合，最后比较三角尺上直角的另一条边与被比角的另一条边，线上为直角，内为锐角，外为钝角。
4、画直角、锐角和钝角。
小学数学三角形的知识点篇二全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关，这是大家要注意的。
全等三角形的判定边边边：三边对应相等的`两个三角形全等(可简写成“SSS”)边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)斜边直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”)我们可以把一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一… …般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
认识三角形(基础)知识讲解
认识三角形(基础)知识讲解高、中线、角平分线要点诠释：1）高：从三角形顶点所在的顶角向对边所在的边引一条垂线，垂足到对边的线段就是三角形的高；2）中线：连接三角形的两个顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线；3）角平分线：从三角形顶点所在的顶角向对边所在的边引一条线段，使得这条线段把顶角分成两个相等的角，这条线段就是三角形的角平分线；4）应用：高可以用来求三角形面积，中线可以用来求三角形重心，角平分线可以用来求三角形内心．三角形的高是连接一个顶点和它对边中点的线段，角平分线是一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段。
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段称为高。
作图过点A作AD⊥BC于点D，其中AD是△ABC的高，也是△ABC中BC边上的高，同时AD⊥BC于点D，且∠ADC＝90°，∠ADB＝90°。
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC。
三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段，且三角形的三条中线交于三角形内角度相等的点。
三角形的角平分线是一个内角的平分线，交于对边上的一点。
证明三角形的内角和为180°的两种方法：一是通过平行线和内错角、同位角的性质，二是通过在三角形内部任取一点，连接直线并利用平行线和内错角、同位角的性质。
答案与解析】选D。
解：三角形成立的条件是任意两边之和大于第三边，即a+b>c，b+c>a，a+c>b。
A。
2cm。
4cm。
7cm 不成立，因为2+4<7不满足条件。
B。
3cm。
5cm。
9cm 不成立，因为3+5<9不满足条件。
C。
4cm。
6cm。
10cm 不成立，因为4+6<10不满足条件。
D。
5cm。
7cm。
9cm 成立，因为5+7>9，7+9>5，5+9>7都满足条件。
总结升华】判断三角形是否成立，可以利用三角形成立的条件：任意两边之和大于第三边.运用三角形中线的定义，我们可以得到线段AD＝BD，这是解答本题的关键。
认识三角形(教案)-四年级下册数学西师大版
认识三角形(教案)四年级下册数学西师大版教案：认识三角形一、教学内容今天我们要学习的是四年级下册数学的西师大版教材中关于图形的认识单元。
本节课我们将重点学习三角形的特征和分类。
通过学习，学生们将能够理解三角形是由三条边和三个角组成的图形，并能够识别等腰三角形、等边三角形等不同类型的三角形。
二、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解三角形的定义和特征，学会用三角形的符号表示三角形，能够正确地画出三角形。
2. 过程与方法：学生通过观察、操作、交流等活动，培养观察能力、动手能力和表达能力。
三、教学难点与重点1. 难点：学生理解三角形的角度特征，能够区分不同类型的三角形。
2. 重点：学生掌握三角形的定义和特征，能够正确地画出三角形。
四、教具与学具准备1. 教具：课件、黑板、粉笔、直尺、三角板。
2. 学具：练习本、彩色笔、剪刀、胶水。
五、教学过程1. 导入：我会在黑板上画出一个图形，让学生们猜测它是什么图形。
通过提问和讨论，引出三角形的概念。
2. 新课导入：我会通过课件展示各种三角形的图片，让学生们观察并说出三角形的特征。
然后，我会用粉笔在黑板上画出一个三角形，并讲解三角形的定义和特征。
3. 实例讲解：我会给出一些实例，让学生们判断哪些是三角形，哪些不是三角形。
同时，我会讲解三角形的角度特征，如内角和为180度。
4. 练习与交流：学生们分组进行练习，互相交流自己的答案和思路。
我会巡回指导，并给予鼓励和指导。
六、板书设计板书设计如下：三角形三条边三个角内角和为180度等腰三角形：两边相等等边三角形：三边都相等七、作业设计1. 请学生们用自己的语言描述三角形的特征，并将描述写在练习本上。
2. 画出三个不同类型的三角形，并标明它们的特征。
八、课后反思及拓展延伸课后，我会反思这节课的教学效果，思考如何改进教学方法，以更好地帮助学生们理解和掌握三角形的知识。
同时，我会鼓励学生们在课后进行拓展延伸，例如观察身边的三角形，尝试解决一些与三角形相关的问题。
4.1.1认识三角形(三角形内角和定理).docx
第三章三角形3.1.1 •认识三角形（三角形内角和定理）教学目标1 •知识目标1）能在三角形内角的基础上了解三角形的外角，掌握三角形内角和，掌握三角形外角与其邻角的关系。
2）通过学习可以发展学生的思维品质，提高动手能力，培养学生自住学习能力，合作探究，推理论证，学以致用的能力。
2.技能目标1）通过观察操作，推理等活动，利用拼图让学生猜想，启发学生添加辅助线验证三角形内角和定理，进而再验证外角性质。
2）通过老师耐心指点，学生猜想，然后合作探索，添加辅助线，运用转化思想进而验证定理。
3）学习到了人胆猜想，动手操作，积极探索，一步步推理论证的能力，同时也学会了转化思想。
3.情感态度与价值观1）通过教材知识和实际生活相联系，感受数学的实用性，体验数学的魅力, 还可以与各科知识相联系，有效激发学牛学习兴趣。
2）通过老师提出问题，学生自主思考，互动研讨，经历观察，分析，猜想,论证的过程，推导结论，同时借助多媒体的直观演示，加深学习对知识的理解，再通过习题练习，巩I古I重点内容，最后进行变式训练，从而熟练应用并突破难点。
3）在本节学习中，让学生体验到数学的逻辑，严密，科学美，对学生培养严谨认真的态度有积极意义；同时通过解决牛活中的实际问题，增强数学的牛活味，促使学生在生活中用数学眼光看待世界，用数学大脑去认识世界，学会用数学思考问题，并大胆提问，善于发现问题，并从屮发现的乐趣，同时培养了学生的创新能力。
教学重点、难点教学重点：验证三角形内角和定理，能运用三角形内角和定理进行推理和计算；动手操作，探索发现，验证三角形外角性质。
教学难点：添加辅助线证明三角形内角和定理和外角性质，运用三角形外角性质进行计算时能准确表达推理过程和方法，并运用到实际中去。
教学过程一、知识回顾1.师：展示课件图片，地板可以用正方形密铺而成，蜂巢可以用正六边形密铺而成，那么形状、大小完全相同的任意三角形能否镶嵌成平面图形呢？生：能师：通过课件展示形状、大小完全相同的任意三角形镶嵌成平面图形的过程, 其依据是什么？生：三角形三个内角的和等于180°师：小学和初一阶段又是如何验证三角形三个内角的和等于180度的呢？生：通过度量和撕角验证三角形三个内角的和等于180°师：展示课件，演示三角形撕角（即搬角）形成平角的过程，师：利用几何画板演示任意三角形的三个内角和等于180°师：用几何画板验证很多个三角形的内角和为180度，能不能作为三角形内角和定理的证明依据？生：不能。
北师大版七年级初一上册 第四单元 4.1《认识三角形》课件(重要知识点)
4.1 认识三角形
知识点 1 三角形的内角和
知1－导
三角形三个内角的和等于180°.
知1C＝54°， AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点 E，则∠ADE的大小是( C ) A．45° B．54° C．40° D．50°
（来自《教材》）
总结
知4－讲
通过多个条件确定三角形第三边的方法：
已知两边
第三边的范围
第三边小于已知两边的 和而大于已知两边的差
附加条件
确定第 三边
知4－练
1 【2017·淮安】若一个三角形的两边长分别为5和
8，则第三边长可能是( B )
A．14
B．10
C．3
D．2
知4－练
4 【2016·岳阳】下列长度的三根小木棒能构成三角 形的是( D ) A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cm C．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4cm
知4－练
9 【2017·白银】已知a，b，c是△ABC的三条边
长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( D )
A．2a＋2b－2c
B．2a＋2b
C．2c
D．0
1 知识小结
判断三条线段组成三角形的方法： “三角形的任意两边之和大于第三边”是判断三
条线段能否组成三角形的依据，利用该性质时，通常 我们只比较较短的两边的和与最长边的大小关系，若 前者大于后者，说明可以组成三角形，否则不能组成 三角形．
知3－练
3 △ABC的三边长a，b，c满足关系式(a－b)(b－ c)(c－a)＝0，则这个三角形一定是( A ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定
第01讲 认识三角形(7个知识点+17大题型+18道强化训练)(学生) 24-25学年八年级数学上册
第01讲认识三角形（7个知识点+17大题型+18道强化训练）知识点01 三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；记作：△ABC，如图：其中：线段AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B，∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．【即学即练1】1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（ ）A．B．C．D．知识点2 三角形的分类：等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
【即学即练2】2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形知识点3 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】①判断三条线段能否组成三角形；②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
【即学即练3】3．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图1是一根细铁丝围成的正方形，其边长为2，现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（）A．3.5B．4C．4.5D．5知识点4 三角形的稳定性①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等【即学即练4】4．（23-24七年级下·山西运城·期末）2024年年初，山西省最长的跨黄河大桥——临猗黄河大桥完成合拢任务，如图是桥身的一部分，桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（）A．三线合一B．三角形的稳定性C．垂线段最短D．三角形两边之和大于第三边知识点5 三角形的重要线段【即学即练5】5．（22-23七年级下·湖北恩施·期中）如图，三角形ABC 中，AC BC ^，D 为BC 边上的任意一点，连接AD ，E 为线段AD 上的一个动点，过点E 作EF AB ^点F ．6108BC AB AC ===，，，则CE EF +的最小值为（ ）A ．6B ．4.8C ．2.4D ．5【即学即练6】6．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图所示，在ABC V 中，8AB =，6AC =，AD 是ABC V 的中线，则ABD △与ADC △的周长之差为（ ）A ．14B ．1C ．2D ．7知识点6 三角形的内角①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
1.1认识三角形(知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接)
A.至少有一个直角
B. 至少有一个钝角 C. 至多有两个锐角
D.至少有两个锐角
3.如图，在△ABE 中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点 D，有如下结论：①图中只有两个直角三角形；②∠1=∠2；③
∠1=∠B；④∠A 与∠B 互余.其中正确的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.能将一个三角形分成面积相等两部分的线是（ ）
三角形.
8.现有长度分别为 3cm，5cm，7cm，9cm 的木棒，从中任取三根，制成三角形支架的个数为
.
9.若三角形的三条高所在的直线的交点不在外部，则这样的三角形是
三角形.
10.将一副三角板的直角顶点 A 如图叠放在一起，则∠DAC+∠BAE=
°.
11.如图，在△ABC 中，作出 BC 边上的高线 AD（要求：标出垂足符号，写出垂足字母）；作出∠B 的平分线 BE；作
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点
9.(2018 浙江萧山)若线段 AM、AN 分别是△ABC 的 BC 边上的高线和中线，则（ ）
A. AM＞AN B.AM≥AN
C.AM＜AN
D.AM≤AN
参考答案： 例 1 12 例 2 C 例 3 △ABE 的周长比△ACE 的周长大 4cm. △ABE 的面积等于△ACE 的面积. 例 4 ∠BOC=128°. ∠BOC=128°. BOC = 90 + 1 BAC 2
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=14°.
（2）∵CE 是∠BCA 的平分线， ∴ ACE = 1 ACB = 38 . 2 ∴ AEC =180 − BAC − ACE
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认识三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并能够证明三角形内角和定理；3. 掌握并会把三角形按角分类；4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系；5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法；并能正确应用概念解题． 【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．（3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一一点．点．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．【总结升华】理解并掌握三角形内角和的证明方法，有助于帮助我们更深刻的去记忆三角形的内角和是180°.2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.一个三角形的三个内角分别是95°、30°、45°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形【答案与解析】解：因为这个三角形的其中一个内角是95°，95°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形，故选：B.【总结升华】主要考察了三角形的分类方法.举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系4.（2015春•滕州市期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）①7cm，5cm，11cm ②4cm，3cm，7cm ③5cm，10cm，4cm ④2cm，3cm，1cm．A.①B.②C.③D.④【思路点拨】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【答案】A.【解析】解：①∵7+5＞11，∴能围成三角形，②∵3+4=7，∴不能围成三角形，③∵4+5＜10，∴不能围成三角形，④∵1+2=3，∴不能围成三角形．能围成三角形的是①，故选A．【总结升华】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.类型四、三角形中重要线段5.（2016春•普宁市期末）下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC 的高．【答案】D；【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．6.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵ BC＝8，∴ AC＝5．答：AC的长为5cm．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】（2014秋•西昌市期末）下列说法中错误的是（）A.三角形三条角平分线都在三角形的内部B.三角形三条中线都在三角形的内部C.三角形三条高都在三角形的内部D.三角形三条高至少有一条在三角形的内部【答案】C.。