讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布(2020年10月整理).pdf

第七讲连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤−−<=b x b x a a b a x a x x F（2）指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=−其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>−=−其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有第二章 随机变量及其分布§4 连续型随机变量 及其概率密度Ox f (x )123123=1/3=1=2P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上}.{e ee)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===−+−=>+>=>>⋂+>=>+>−−+−θθθ性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<−∞=−−x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞−x x f令t x =−σμ/)(, 得到dx edx et x 22)(2222121−∞+∞−−−∞+∞−⎰⎰=πσπσμ.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,d e22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞−−∞∞−−−∞−+∞∞−+∞∞−+−∞∞−−x ex e r r I u t eI t I t x r u t t πσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:f (x )的图形:Oxf (x )=5=50.2660.3990.798x Of (x )1.510.5（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}. （2）.当x=μ时取到最大值.π21)(σμ=fx 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。

在x=μσ±处曲线有拐点。

曲线以Ox 轴为渐近线。

X 的分布函数为)12.4(,d eπ21)(222)(⎰∞−−−=xt t x F σμσ特别:当μ=0, σ= 1时称X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用ϕ(x)和Φ(x)表示, 即有)14.4(.d e π21)()13.4(,21)(2/2/22⎰∞−−−=Φ=x t x t x e x πϕ易知 Φ(-x)=1-Φ(x) (4.15)人们已经编制了Φ(x)的函数表, 可供查用(见附表2).引理 若X~N(μ,2σ), 则)1,0(~N X Z σμ−=1F (x )0.5x O证明：的分布函数为σμ−=X Z得令,,d eπ21}{}{222)(u t t x X P x X P x Z P xt =−=+≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−=≤⎰+∞−−−σμσσμσμσμσμ),(d eπ21}{2/2x u x Z P xu Φ==≤⎰∞−−由此知Z~N(0,1).若X~N(μ,2σ), 则它的分布函数F(x)可写成:)()16.4(}{}{)(σμσμσμ−Φ=−≤−=≤=x x X P x X P x F则对于任意区间(x1,x2], 有)17.4(.}{122121⎪⎭⎫ ⎝⎛−Φ−⎪⎭⎫ ⎝⎛−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤−<−=≤<σμσμσμσμσμx x x X x P x X x P例如, 设X~N(1,4), 查表得.3094.06915.016179.0)]5.0(1[6179.0)5.0()3.0(210216.1}6.10{=+−=Φ−−=−Φ−Φ=⎪⎭⎫⎝⎛−Φ−⎪⎭⎫ ⎝⎛−Φ=≤<X P设X~N(μ,2σ), 由Φ(x)的函数表还能得到: P{σμ−<X<σμ+}=Φ(1)-Φ(-1)322368.26%95.44%99.74%=2Φ(1)-1=68.26% P{σμ2−<X<σμ2+}=Φ(2)-Φ(-2)=95.44%P{σμ3−<X<σμ3+}=Φ(3)-Φ(-3)=99.74%我们看到, 尽管正态变量的取值范围是(∞∞−,), 但它的值落在(σμ3−,σμ3+)内几乎是肯定的事. 这就是人们所谈的"3σ"法则.例１ 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在d °C, 液体的温度X(以°C 计)是一个随机变量, 且X~N(d, 0.52). (1) 若d=90, 求X 小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d 至少为多少? 解 (1)所求概率为.0228.09772.01)2(1)2(5.090895.090}89{=−=Φ−=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−<−=<X P X P (2) 按题意需求d 满足.1635.81.327.25.080),327.2()327.2(199.015.0805.08015.0805.015.0805.0}80{99.0>−≤−−Φ=Φ−=−≤⎪⎭⎫⎝⎛−Φ⎪⎭⎫⎝⎛−Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−<−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≥−=≥≤d dd d d d X P d d X P X P 故需亦即设X~N(0,1), 若z a 满足条件P{X>z a }=a, 0<a<1, (4.18)则称点z a 为标准正态分布的上a 分位点.由ϕ(x)的对称性知z 1-a =-z az常用的几个z a 值：1.2821.6451.9602.3272.5763.090z0.100.050.0250.010.0050.001（课间休息）随机变量的函数的分布例１ 设随机变量X 具有以下的分布律, 试求Y=(X-1)2的分布律.0.40.10.30.2p k2101X解 Y 所有可能值为0,1,4, 由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,0.20.70.1p k410Y例２ 设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,40,8)(其它x x x f X求变量Y=2X+8的概率密度.解：分别记X,Y 的分布函数为F X (x),F Y (y). 下面先来求F Y (y)..2828}82{}{)(⎪⎭⎫⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y§5 随机变量的函数的分布在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣.例如, 在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量圆轴的直径d, 而关系的却是截面积A=pd2/4. 这里, 随机变量A 是随机变量d 的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X 的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g(•)是已知的连续函数)的概率分布.将F Y (y)关于y 求导数, 得Y=2X+8的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=⎪⎩⎪⎨⎧<−<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛−='⎪⎭⎫⎝⎛−⎪⎭⎫ ⎝⎛−=.,0,168,328,0,4280,2128812828)(其它其它y y y y y y f y f X Y 例３ 设随机变量X 具有概率密度f X (x),∞<<∞−x , 求Y=X 2的概率密度.解 分别记X,Y 的分布函数为F X (x), F Y (y). 由于Y=X 2≥0, 故当y ≤0时F Y (y)=0. 当y>0时有).()(}{}{}{)(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y −−=≤≤−=≤=≤= 将F Y (y)关于y 求导数, 即得Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−+=.0,0,0)],()([21)(y y y f y f yy f X X Y例３结论的应用： 设X~N(0,1), 其概率密度为∞<<−∞=−x x x ,e π21)(2/2ϕ 则Y=X 2的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−−.0,0,0,e π21)(2/2/1y y y y f y Y （5.1）(特注：y=0时概率为零，但并非不可能事件。

)此时称Y 服从自由度为1的2χ分布. 定理 设随机变量X 具有概率密度f X (x),∞<<∞−x , 又设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0 (或恒有g'(x)<0), 则Y=g(X)是连续型随机变量, 其概率密度为）（其它2.5,0,)()]([)(⎩⎨⎧<<'=βαy y h y h f y f X Y 其中α=min(g(∞-),g(∞)),β=max(g(∞-),g(∞)), h(y)是g(x)的反函数.证 先设g'(x)>0. 此时g(x)在(∞-，∞)严格单调增加, 它的反函数h(y)存在, 且在(βα,)严格单调增加, 可导. 分别记X,Y 的分布函数为F X (x),F Y (y). 因Y 在(βα,)取值, 故 当α≤y 时, F Y (y)=P{Y ≤y}=0; 当y ≥β时, F Y (y)=P{Y ≥y}=1. 当βα<<y 时,F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=P{X ≤h(y)}=F X [h(y)].将F Y (y)关于y 求导数, 即得Y 的概率密度)3.5(.,0,),()]([)(⎩⎨⎧<<'=其它βαy y h y h f y f X Y 对于g'(x)<0的情况同样可以证明, 有)4.5(.,0,)],()][([)(⎩⎨⎧<<'−=其它βαy y h y h f y f X Y合并(5.3),(5.4)式，命题得证。