流体力学涡旋动力学基础
第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
流体力学中的涡涡动力学
流体力学中的涡旋动力学引言涡旋动力学是流体力学中的一个重要分支，研究流体中旋转性质和涡旋的生成、演化以及相互作用。
涡旋在自然界和工程领域中都具有广泛的应用，如天气系统中的龙卷风、海洋中的涡旋和航空航天领域中的涡轮机等。
本文将介绍涡旋的定义、形成机制以及其在流体力学中的重要性。
涡旋的定义和特性涡旋是一种流体中的局部旋转流动，其特点是流体的速度场在空间上出现剧烈的变化，流动的速度向心性很强。
涡旋通常以旋涡线和旋涡面来描述，旋涡线是指流体中流线的曲线，旋涡面是垂直于旋涡线的一面。
涡旋的旋转方向决定了旋涡线的旋转方向，由外向内的旋转称为正的旋涡，由内向外的旋转称为负的旋涡。
涡旋的核心区域速度较大，称为涡心区；核心区域外围速度逐渐减小，称为边界区；涡旋的周围速度较小、流动相对稳定，称为环境区。
涡旋的大小可以通过核心区域的半径来描述，常用的指标有涡旋半径和涡旋面积。
涡旋的形成机制涡旋的形成和演化是由于流体力学中的各种复杂效应相互作用的结果。
涡旋可以通过以下几种机制形成。
1. 惯性悬浮颗粒聚集机制当流体中含有一定浓度的颗粒时，颗粒的惯性作用会使其在流动中产生集聚现象，形成颗粒聚集区域。
这种集聚区域的速度差异会产生旋转流动，形成涡旋。
2. 旋转物体产生涡旋机制当流体中有旋转物体存在时，旋转物体表面的摩擦力会使流体发生旋转流动，形成涡旋。
例如风车叶片旋转时，周围的气流会产生涡旋。
3. 流体相互作用产生涡旋机制当两个流体相互作用时，由于速度和压力的差异，会形成涡旋。
例如两个不同速度的流体相互接触时，产生的剪切力会形成旋涡。
4. 受力不平衡产生涡旋机制当流体受到的外力不平衡时，会形成旋转流动，形成涡旋。
例如风吹过山峰、建筑物等不规则物体时，流体与障碍物之间的相互作用会产生涡旋。
涡旋的运动方程涡旋的运动可以通过涡量的运动方程来描述。
涡量是流体力学中描述涡旋的重要物理量，表示单位质量流体所围绕某点旋转的程度。
涡量的运动方程可以表示为：$$ \\frac{D\\omega}{Dt} = (\\omega \\cdot \ abla) \\cdot \\mathbf{V} + \ u \ abla^2 \\omega $$其中，$\\omega$是涡量，$\\mathbf{V}$是速度场，u是扩散系数，abla是向量的梯度算子，$\\frac{D\\omega}{Dt}$表示涡量的时间导数。
漩涡的原理及应用
漩涡的原理及应用1. 漩涡的定义漩涡是指在流体中形成的旋转的涡流结构。
它是流体力学中的一种重要现象，广泛存在于自然界和工程实践中。
漩涡由于其独特的运动规律和形态，具有广泛的应用价值。
2. 漩涡的形成原理漩涡的形成和维持是由流体动力学原理决定的。
当流体运动中存在不均匀性时，比如流体速度、密度、温度等的分布不均匀，就会形成涡旋结构，即漩涡。
漩涡的形成可以归因于两种主要机制：黏性与非黏性。
在完全黏性流体中，漩涡的形成归结于黏性效应。
黏性流体中粘滞系数较高的流体层被较低粘滞系数的流体层所替代，形成类似于旋转的涡流结构。
而在非黏性流体中，流体的非线性机制起着决定性作用。
流体运动中的非线性性质使得流体颗粒在运动过程中相互作用，产生局部的涡旋。
这些涡旋之间的相互影响和扩散最终形成了漩涡。
3. 漩涡的应用领域漩涡作为流体力学中重要的现象，在许多领域都有着广泛的应用。
以下是几个常见的领域：3.1 流体力学研究漩涡是流体力学研究中的基础概念之一，深入研究漩涡的形成、演化和行为规律，可以为流体力学领域的发展做出重要的贡献。
3.2 湍流模拟与预测湍流是一种高度复杂的流动状态，在自然界和工程实践中广泛存在。
漩涡作为湍流的基本单元，对湍流的模拟和预测具有重要意义。
通过研究漩涡的形成和演化规律，可以更好地理解和预测流体中的湍流现象。
3.3 漩涡发电技术漩涡在涡动能的转换和利用方面具有巨大的潜力。
漩涡发电技术是一种利用漩涡运动产生能量的新兴技术。
通过合适的装置和系统设计，可以将流体中的涡动能有效转换为电能，实现可持续能源的利用。
3.4 漩涡在水利工程中的应用在水利工程中，漩涡现象往往会对工程设施产生负面影响。
合理利用漩涡现象，可以在水利工程中进行能量调控、流量控制、河道疏浚等工作，提高水域的可持续利用和环境保护。
3.5 漩涡在气象学中的应用漩涡现象在大气环流中也具有重要作用。
气旋和飓风等大尺度的气象现象都源于漩涡形态。
对漩涡的深入研究可以为气象学提供重要的理论基础，并为天气预测和气候变化研究提供有力支持。
流体力学第五章(涡旋动力学基础)
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
运动的趋势，是标量，但具有
5
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
如取定曲线方向： Γ>0，流体有顺 对应气旋环流）； 运动的趋势，（逆时针为正方向，
l
应反气旋环流）。
Γ<0，流体有逆 l
运动的趋势，（顺时针为负方向，对
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式
流体涡度
(∇ × V ) • n = lim Γ / σ
环流的加速度 = 加速度的环流
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下， 理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理 凯尔文定理。 时间变化，这就是凯尔文定理
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
dΓ 下面来考虑特定条件下的 dt
（1）理想流体
dV 1 = F − ∇p 运动方程（欧拉方程）： dt ρ
（仅受质量力和压力梯度力）； （2）质量力仅为有势力
F = −∇Φ
11
1 dV = F − ∇p dt ρ
环流变化方程： d Γ
F = −∇Φ
dV = ∫l ( ⋅ dl ) dt dt 1
= − ∫l ∇Φ ⋅ dl − ∫l ∇p ⋅ dl ρ 1 = − ∫∫ ∇ × (∇Φ )d σ − ∫l ∇p ⋅ dl σ ρ
dΓ = dt
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
第三章 涡旋运动
dx
+
u y2
y1 y
|x =x2
dy
+
u x1
x2 x
|y =y2
dx
+
u y1
y2 y
|x =x1
dy
u1
0
u2
0
10
2．斯托克斯定理：
A 若某有限封闭周线所包围的区域为单
连通区域，则沿该封闭周线的速度环 z 量等于通过该单连通区域的涡通量。
∫Lur • dLr = ∫AΩr • nrdA
y
x
nr
29
3.4 凯尔文(Kelvin)定理
沿某物质线L的速度环量 通过某物质面S的涡通量
Γ = ∫ ur •dLr
I
=
L
∫
Ωr
•
dSr
S
根据物质线积分随体导数公式和运动方程有
dΓ dt
=
d dt
∫ ur •dLr
L
=
∫
L
dur dt
• dLr
=
∫
L
fr
•
dLr
−
∫
L
1 ρ
∇p
•
dLr
+
∫
L
ν⎜⎛ ⎝
Δur
一点的Ωn = 0保持不变，故恒为涡面。
涡管保持定理 理想、正压流体，质量力有势，则在某一时刻组 成涡管的流体质点在以前或以后的任一时刻也永远组成涡管。
（涡面的特例）
30
涡线保持定理（亥姆霍兹第一定理） 理想、正压流体，质量 力有势，则在某一时刻组成涡线的流体质点在以前或以后的任 一时刻也永远组成涡线。
∂Ω ∂t
+ ux
chap5-涡旋动力学基础
第五章
→
涡旋动力学基础
dV
步骤（1） 对 N—S 变形
dt (1)
=
F − ρ ∇p + 3 ∇(∇ •V ) + ν∇ V
2
→
1
ν
→
→
（ 2.51 ）
(2) (3)
(4)
(5)
（5.17） 下面要对（4） （5）项变形，需要用到下面矢量公式：
∇
2
V
→
= ∇(∇ • V) − ∇ ∧ ∇ ∧ V = ∇D − ∇ ∧ ζ
是重力作用下的涡度方程。 若正压：则（5.28）中的（1）为零。 若理想流体：则（5.28）中的（4）为零。 若还有非有势力，则（5.28）中还要加一项。
→
→
→
→
（A） (B)
∇ ∧ (ϕ
f ) = ∇ϕ ∧ f
→
→
+ ϕ∇ ∧
→
f
利用公式（A） （B） ， （5.17）中的第（4） （5）项就变成：
ν
3 ∇(∇ •V ) + ν∇
→ 2
V
→ 4 = ν∇D − ν∇ ∧ ζ 3
（5.15）变成：
dV
→
步骤（2） 对 N—S 变形
dt
=
F
→
−
→ 4 ∇p + ν ( ∇D − ∇ ∧ ζ ) ρ 3
→
→
→
V = Vr + Vϕ
并且有：
→
→
→
（5.3）
→
ζ
→
= ∇ ∧V = ∇ ∧V r
→
→
（5.5）
∇ ∧ Vϕ = 0
所以流体流动状态的变化（从旋转特征的角度讲）可以包括流动中 涡旋特征的变化和无旋流动的变化两部分。 那么涡旋动力学就是研 究流动状态变化中涡旋特征变化的那一部分内容。 所以凡是能引起
流体力学5-漩涡理论
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB
r V
dsr
AB
V
r cos(V
,
dsr
x
y
dp 2d ( x2 y2 )
2
p
2 (
x2
2
y2
)
c
1 2
V2
c
p
p0
1 2
V2
VR2
r R, V VR,
p
pR
p0
1 2
VR2
43
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V 2
旋涡内部压力分布：
p
p0
1 2
V2
或 c ÑcVsds 2nd
n
r
漩涡理论
d
C 16
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
பைடு நூலகம்
d
vx
流体的涡旋
流体的涡旋引言流体是一种特殊的物质，在自然界中广泛存在并发挥着重要的作用。
当流体受到外力作用时，它会产生各种有趣的运动形式，其中之一就是涡旋。
涡旋是指流体中形成的旋涡结构，可以是稳定的、动态的或者是一种局部的湍流现象。
本文将介绍流体的涡旋的基本理论，以及一些常见的涡旋现象。
涡旋的定义涡旋是流体力学中的重要概念，指的是流体中局部的旋转运动。
涡旋通常由涡核和涡旋带组成，其中涡核是其中心最旋转最快的区域，而涡旋带则是围绕涡核形成的旋转流动。
涡旋表现出从小到大的尺度层次性，从微观到宏观都能观察到涡旋结构，如涡旋街、旋涡云等。
涡旋的产生涡旋的产生通常与外界的力场作用有关。
当流体受到垂直于其流动方向的扰动力时，会形成涡旋。
常见的涡旋产生方式有以下几种：1. 涡卷产生涡卷是一种比较常见的涡旋产生方式，它通常发生在流体中的边界层或者是两个不同速度的流体相互接触的界面上。
当两个流体速度差异较大时，较快的流体会向较慢的流体发生卷转，形成涡旋现象。
2. 旋涡引力旋涡引力是一种由流体自身的旋转运动形成的涡旋。
当流体受到外界激励后，会出现局部的旋转运动，这种旋转运动会产生一种引力，吸引周围的流体参与旋涡运动。
随着越来越多的流体被卷入旋涡，旋涡的尺寸也会逐渐增大。
3. 湍流衰减湍流是一种非常复杂的流体运动形式，通常伴随着涡旋的产生。
当流体中的湍流运动逐渐衰减时，湍流中的涡旋也会逐渐减小，最终形成稳定的涡旋。
涡旋的性质涡旋表现出许多有趣的性质，下面列举了一些常见的涡旋性质：1. 自旋性涡旋具有自旋性，即涡旋中的流体呈旋转运动。
涡旋核心的流体速度最快，随着距离核心越远，流体速度逐渐减小。
这种旋转运动使得涡旋呈现出螺旋状的形状。
2. 辐散性涡旋除了具有旋转运动外，还具有向外辐散的特点。
这是由于涡旋中的流体在旋转的同时，也会向外扩散。
这种辐散现象使得涡旋逐渐增大，包围更多的流体。
3. 稳定性涡旋具有一定的稳定性，对外界扰动具有一定的抵抗能力。
流体力学第4章(涡旋动力学基础)PPT文档
u ,v yx
引用流函数，并考虑：
BBB
QVndlVdyidxjdldlVdyidxj
dl nkdyidxjdl
dl
()/
AAA
BBB
AAA udyvdyxxdydxd)
表明:经过以为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两 点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。
用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。
23
习题
习题4-2-2是否存在既满足无幅散条件又满足无旋条 件的流动？如果存在，举例说明。
20
u=x+y v=x-y
15
10
5
5
10
15
20
无旋：流点自传
24
三、二维流动
一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐 散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均 不为零，即满足：
vu
0
xy
D D xy
2VVVVD()()()
dV
1
FpDV ()
dt
3
39
dV
1
FpDV ()
dt
3
dV
1
FpDD ()
dt
3
dV
14 FpD
dt
3
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
d dV l
dt
dt
14
FlpllDl
3
40
ddV dtdt
3 （1）
（2）
lFlpllDl14 （3）
（4）
化为全微分=0
对于粘性流体运动，纳维——斯托可斯方程为：
dVV 12 dtt 3
VVpgVV
方程的平流项变换： VVVV
流体力学第4章-流体的旋涡运动(zhou)
u z 0, 0 z
ez 1 ru ur ( ) ez z r r uz z
4.1 引言
例:沿同心圆运动的平面流
z
1 ru ur 1 ru ( ) r r r r
1 u ~ , z 0 r
1 ( , , ) V ( dl ) l 4 r
4.9 涡旋场和散度场所感生的速度场
涡丝
1 ( , , ) V ( dl) L 4 r
V 4 1 L ( r ) d l 4 r dl L r 3
如果 如果
u r, z 2
涡量方向是质点旋转方向按右手法则确定
4.2
涡旋的运动学性质
与不可压连续方程 V 0 相似
(V ) 0
涡管强度守恒原理: 涡管中任一横截面上的涡通量保持 同一常值 通过封闭曲面的涡通量
J
A
流体力学
第四章 流体的涡旋运动
4.1 引言
涡量
i V x u
V
j
y
V 2 0
v
k z w
流动有旋
内容:
涡旋运动方程, 基本理论, 已知涡量场求速度场
4.1 引言
4.1 引言
只考虑涡旋场
r ( x )2 ( y )2 ( z )2
1 ( , , ) V ( d ) 4 r
1 ( , , ) V ( d s) s 4 r
涡面 涡丝
d ds
d dl
4.3
亥姆霍兹方程
1 d V V F p v dt
流体力学漩涡理论(课堂PPT)
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
即 d 0
dt .
漩涡理论
22
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 2) 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远
无旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强
度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
.
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
ABABVxdxVydyVzdzABxdxydryzdzA BdBAVFra bibliotekVsB
对于有旋场:
A B V rd s rV x d x V y d y V zd z
A B
A B
A
d sr
.
漩涡理论
14
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Ñ c cVxdx Vydy Vzdz
流管
涡丝vortex filament 元流
截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束
称为涡索（涡丝）。
称为元流
.
9
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ωndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
r
流量
QdQud
d
流体力学-第七讲,流体的旋涡运动
涡量的物 质导数
涡量与流体微团的变形 的相互作用从而导致涡量 的变化。在三维涡量方程
中特有的一项。
d
(
)u
f 2
dt
其中：
(
)u
j
ui x j
j
1 2
(
ui x j
u j ) xi
1 ( ui 2 x j
u
j
)
xi
j Sij
j Aij
Sij
1 ( ui 2 x j
u j xi
位势涡和兰金涡 Taylor涡 希尔球涡
一、位势涡和兰金涡
位势涡：可看成是直线涡丝，若投影到平面上
就是点涡，速度场： u
2r
这一公式在理想流体中成立，叫位势涡。
兰金涡：具有一涡核的无粘流体的旋涡，其速度
场满足
v
r 2 a2
2 r
ra ra
，
a2
特点：r=0，v=0，Γ=0
涡核区 , v(r) 随 r 线性增长
2) 有旋质量力场 f
当质量力场有旋时，如哥氏力场，它能使流体微 团发生旋转，即产生涡量。若质量力有势，则不 然。
3) 分子粘性扩散的涡量2
第二节 涡量沿壁面的产生和粘性扩散
对于正压不可压流体，若体力有势，则物体表 面是涡量的唯一来源，这个重要的事实直接和粘性 流体壁面上的无滑移边界条件相联系，即和壁面附 近流体的粘性剪应力有关。
时，它们都是不现实的。因为在粘性流体中要维持
定常涡，就必须不断的向旋涡输送能量。
实际旋涡运动都是非定常的。Taylor涡模型考虑到了
这一点。Taylor给出
叫泰勒涡
v
H
4
r 2t 2
20122013学年第1学期大气科学专业流体力学第4节(流体涡旋动力学基础)
V ) 2V
（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7）
方程各项取旋度（ ）：
（2）、（5）、（6）=0（任意物理量的梯度取旋度为零）
（3） V
V V V V V
45
V t
V2
2
V
1 p g ( V ) 2V
3
（1）（2） （3）（4）（5） （6） （7）
V V V
26
例1-6-1 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数 和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2） 等势函数线和等流函数线正交。
27
第三节 环流定理
环流随时间的变化（环流的加速度）
d dt
d dt
( lV
dl
)
l
( dV dt
dl
)
l [V
d (dl dt
)]
加速度环流
•V
dt
3
对粘性扩散项进行变换（矢量运算法则），将其表示为：
2V ( V ) ( V ) D
将其代入运动方程，整理后可得到：
dV dt
F
1
p
4 D
3
36
dV dt
F
1
p
4 3
D
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
d dt
dV dt
dl
F
dl
1
p dl
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是开尔文定理。
30
开尔文(Kelvin)环流定理
（1）理想流体 运动方程（欧拉方程）：
dV
F
1
p
dt
（仅受质量力和压力梯度力）；
第四章 涡旋运动动力学
第四章 涡旋运动动力学一、环流变化定理区分无旋运动和有旋运动是研究无粘流动必须遵循的基本原则，Kelven 速度环量守恒定理和Helmoholtz 关于涡量守恒的几个定理，为研究这两类流动提供了重要的理论基础。
沿任一封闭的物质线C 的环流：⎰⋅=Cr Vδτ（反映涡量场的强弱Ω=⊥s cδτ） ⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅=dtr d V r dt V d d r V d dt d δδδτ)( 其中，V V V dt r r d dt r d P P δδ=-=-=12)(12故有：⎰⎰⋅+⋅=V V r dtV d dt dδδτ ⎰⎰+⋅=221V r dt V d δδ 因2V 是单值函数，故第二项积分为零，⎰⋅=r d dt V d dt dτ ie 论是纯粹运动学性质的结速度环量速度环量的变化率＝加 将N —S 方程代入，2()3d pF dr dr V dr V dr dtτγγρ∇=⋅-⋅+∇⋅+∇∇⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 其中，()03V dr γ∇∇⋅⋅=⎰ （V⋅∇是单值函数）若体力有势（如仅为重力）则0=⋅⎰r Fδ此时有：2d p dr V dr dt τγρ∇=-⋅+∇⋅⎰⎰ ——环流变化定理分析：1）⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇⨯∇=⋅∇⨯∇-=⋅∇-AAA d p A d p r d p2)(ρρρρ ①若密度仅是压力的函数)(p ρρ=则等密度而与等压面重合，此时有0=∇⨯∇p ρ此项对dtd τ的贡献为零。
正压流体：)(p ρρ=引入压力函数：⎰=pp p dp p P 0)()(ρ，有P p∇=∇ρ故可将P 看成： =P 单位质量流体所具有的一种势能，称为压能。
②斜压流体：等ρ与等p 面不重合，此时此项对dtd τ有贡献，ie.流体的斜压状态能引起τ的改变。
eg.考虑图中所描述的简单而具代表性的情形。
图中ρ∇和p ∇被描绘为位于曲面A 内的常矢量。
位于右边较轻的流体和位于左边较重的流体一样感觉到相同的向上的压强梯度力：单位体积受力p ∇-。
流体流动中的旋涡动力学
流体流动中的旋涡动力学引言流体力学是研究流体运动规律的一门学科，旋涡动力学则是流体流动中的一个重要研究方向。
旋涡是指流体中速度和压力等物理量在一定区域内发生快速旋转的现象。
旋涡动力学的研究可以帮助我们了解流体的运动机制，并在工程应用中有着重要的意义。
本文将对流体流动中的旋涡动力学进行详细介绍。
旋涡的形成与分类旋涡的形成是由于流体中的速度和压力在时间和空间上的非均匀分布。
当流体通过某个几何形状或物体时，会形成一系列流动的旋涡结构。
根据旋涡的性质和产生机制，可以将旋涡分为多种类型，例如涡旋、涡管、涡截、涡模等。
旋涡动力学基础旋涡动力学的研究基于流体流动的守恒方程和运动方程。
流体流动的守恒方程包括质量守恒、动量守恒和能量守恒方程，而运动方程描述了流体流动的运动规律。
在旋涡动力学中，通过对这些方程进行推导和求解，可以得到旋涡的运动方程和特性。
旋涡运动的数学描述在旋涡动力学中，通过数学方法可以对旋涡进行描述和分析。
常用的数学描述方法包括流函数和涡量。
流函数是描述流体流动中速度场的函数，通过求解流函数方程可以得到流体流动的速度分布。
涡量是描述旋涡强度和旋转方向的物理量，通过定义涡量可以得到涡量方程和旋涡运动的数学模型。
旋涡动力学的应用旋涡动力学在工程和科学研究中有着广泛的应用。
在建筑工程中，通过研究涡旋的分布和运动规律，可以对建筑物的风荷载进行准确评估，为建筑物的设计和结构调整提供依据。
在飞行器设计中，通过分析涡管的能量传输和流动阻力特性，可以优化飞行器的空气动力性能，提高飞行速度和燃油效率。
在天气预报和气候研究中，通过研究大气中的涡旋结构，可以对气象现象的演变进行预测和分析。
旋涡动力学的挑战与发展趋势虽然旋涡动力学在工程应用中取得了很多成果，但仍然存在一些挑战。
首先，由于旋涡运动具有复杂性和多尺度性，其数学模型的求解和数值模拟仍然存在困难。
其次，涡旋的相互作用和动力学行为尚未完全理解，对于复杂流体中旋涡的运动规律仍需进一步研究。
流体力学第6章理想流体的旋涡运动 ppt课件
v 线上取一微元线段 d，l 速度 在 的d切l 线上的分
量沿闭曲线的线积分，即为沿该闭曲线的速度环
量。
l
v
dl
v
dl
v
cosdl
vxdx vydy vzdz
6
ppt课件
第八节 理想流体旋涡运动 的基本定理
一、斯托克斯定理 该定理将速度场和旋涡场之间联系起来。 斯托克斯（Stokes）定理: 沿封闭曲线的速度环量 等于该封闭曲线内所有涡通量的和。
dt
15
ppt课件
证明：
v ds (vxdx vydy vzdz)
流线体
d d (vxdx vydy vzdz)
dt
dt
d
d
d
[vx dt (dx) vy dt (dy ) vz dt (dz)]
Ⅰ
(dv x dx dv y dy dv z dz )
dt
dt
dt
Ⅱ
3
ppt课件
3. 涡 束
涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管 里的涡束称为微元涡束。
表征速度场和旋涡场的常用概念
速 速度
度 场v
流 流线的微分方程 流管 流束 过流
线
dx dy dz
vx vy vz
断面
旋 旋转角 涡 涡线的微分方程 涡管 涡束 涡管
涡 场
速度
线
dx dy dz
x y z
第十节 卡门涡街
实际流体绕流一静止圆柱时，流体在圆柱体表 面分离后，将形成旋转方向相反的排列规则的
两列旋涡流向下游，形成卡门涡街。
34
ppt课件
驻点
A
B
a)
S S
流体力学 第五章 涡旋动力学基础
2.开尔文定理
理想（无粘）正压流体在有势的质量力作用下， 速度环流不随时间变化，其证明如下：
d dt
d dt
udx
vdy
得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。
3、拉格朗日（Lagrange）定理
拉格朗日定理是开尔文定理的直接推论，又称 为涡旋不生不灭定理。
拉格朗日定理可陈述如下：在质量力有势的条 件下，理想、正压流体的流动中，若在某一时 刻某一部分流体内没有涡旋，则在该时刻以前 及以后的时间内，该部分流体内也不会有涡旋 。反之，若某一时刻该部分流体内有涡旋，则 在此时刻以前及以后的时间内这部分流体皆为 有旋。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：
d dt
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
dp
上式中引入比容：
1
p=常数的面称为等压面，α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p p() ，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。
本节先从速度环流变化的角度来刻画涡旋运动 的变化。先引入速度环流变化的基本关系式， 从而推出有关速度环流变化的两个守恒定律— —开尔文定理和皮耶克尼斯定理。
流体力学第四章 涡旋动力学基础
流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的 一个重要物理量。
涡度为零时，流体运动为无旋的；
涡度不等于零时，则对应流体的涡旋运动。
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一般情况：流体运 动可以表示为： V Vr V 无旋运动
涡旋运动
重点讨论涡旋部分 Vr 的变化特征及其产生的原因。
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
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第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质
环线 l （形状大小可变，由
流点组成的闭合曲线）。
l
速度环流的定义 V • dl l
它反映了流体沿曲线 l 运动的趋势，是标量，但具有
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第四章 涡旋动力学基础
流体的涡旋运动大 量存在于自然界中，如大 气中的气旋、反气旋、龙 卷、台风等，大气中的涡 旋运动对天气系统的形成 和发展有密切的关系。
台风 龙卷
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大尺度海洋环流
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1
p
dt
l
dV dt
.l
l
F .l
l
1
p.l
环流变化方程：
d dt
l
dV dt
l
l l
l
1
p l
l
l
1
p
右端项的处理主要涉及到 P 与 的关系
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正压流体：
流体力学教案第5章流体漩涡运动基础
第五章 流体旋涡运动基础§5-1 旋涡运动的几个基本概念一、涡量场对有旋流动，0≠ω ，而),,,(t z y x f ＝ω，所以对有旋流动的流场中同时存在一个旋涡场，或称涡量场或角速度场。
k Ωj Ωi ΩΩz y x++= (1)zy w Ωx ∂∂-∂∂=υ xwz u Ωy ∂∂-∂∂=(2) yu x Ωz ∂∂-∂∂=υ 满足涡量连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x (3) 二、涡线同速度场中引进流线、流管和流量的定义一样。
下面我们定义涡线、涡管、涡束以及旋涡强度(涡通量)。
涡线――涡线是旋涡场中的一条曲线，在某一瞬时，曲线上各点的切线方向与该点流体微团的角速度ω方向重合。
(Ω 方向的判别，根据右手螺旋法则)对非定常流动涡线的形状随时间而变，对定常流动，涡线形状不随时间而变。
与流线一样，涡线本身也不会相交。
取k z j y i x sd d d d ++=为涡线上一微元线段。
类似于流线微分方程，或由0d d d d ==⨯zyx ΩΩΩk j is Ωz y x可得到涡线微分方程为：),,,(d ),,,(d ),,,(d t z y x Ωzt z y x Ωy t z y x Ωx z y x == (4)三、涡管和涡束涡管－在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每点的涡线，这些涡线形成一管状表面，称为涡管。
涡束－涡管中充满作旋转运动的流体，称为涡束。
四、涡通量涡通量－通过任一开口曲面的涡量的总和。
通过开口曲面A 涡通量为：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=n为d A 的外法线单位向量 对于封闭曲面：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=由于：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x 所以：0d =⋅=⎰⎰A n ΩJ A五、速度环量定义如下：在流场中任取一通曲线AB 。
AB 曲线上任一点的速度为V，在该点B 附近的曲线上任取一微元线段s d ，V 与sd 的夹角为α。
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V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7）
方程各项取旋度（ ）：
（2）、（5）、（6）=0（任意物理量的梯度取旋度为零）
（3） V
V V V V V
t
2
整理合并后，有：
d d t 1 2 p • V • V 2
就是涡度方程，或者称之为弗里德曼—亥姆霍兹方程 。
25
涡度方程讨论：
d d t 1 2 p • V • V 2
（1）力管项或斜压项 它表明了压力—密度变化可以引起流体涡度矢的变化，其 物理实质是流体的斜压性。 （2）散度项 它表明了流体在运动过程中体积的收缩或膨胀，将会引起 流体涡度矢的变化。 （3）扭曲项 流场的非均匀性，引起涡度的重新分布。 （4）粘性扩散项 涡度分布的非均匀性引起的。
dt
3
对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将其表示为： 2 V ( V ) ( V ) D
将其代入运动方程，整理后可得到：
d d V t F 1 p 3 4 D
18
d d V t F 1 p 3 4 D
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
白天（夜间）
海洋
陆地
海风（陆风）
山谷风
22
第二节 涡度方程
对于粘性流体运动，纳维——斯托可斯方程为：
d V V ( V • ) V 1 P g 2 V ( • V )
d t t
3
方程的平流项变换：
方程变为 ：V•V V 22 V V
V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
整个流体区域内涡度都为零时，流体运动为无旋的 ；
流体区域内有一点涡度不等于零时，则对应流体运 动为有旋的。
3
一般情况：流体运动可以表示为：
VV V 无旋运动
涡旋运动 ★重点讨论涡旋部分的变化特征及其产生的原因
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
4
第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质
26
涡度方程讨论：
d d t 1 2 p • V • V 2
（1）力管项或斜压项 当流体是斜压时，等密度面与等压面不平行，是斜交的。 在三维图中构成了管状分布，称之为力管（当流体的等密 度面与等压面斜交时，以相邻等密度面与相邻等压面为周 界，可以构成一条管道，称之为力管） 当流体正压时，等密度面与等压面平行，力管项为零
dd t ddV t dl Fdl1pdldl43Ddl
F d l 1 pd l d l4 3 ( D )d
F d l 1 p d l d l
19
d d t d d V t d l F d l 1 p d l d l
（1） （2）
（3）
速度环流的变化，主要由于以下3项所引起： （1）非有势力的作用，例如：柯氏力； （2）压力-密度项（流体的斜压性所引起的）； （3）粘性涡度扩散（与涡度的空间不均匀分布有关）
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式 流体涡度
( V )• n l i 0 m /
流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于 单位面积速度环流的极限值
反映了流体涡度与速度环流之间的联系。
7
一、凯尔文定理（速度环流的守恒定理）
环流随时间的变化率（环流的加速度）
d d t d d t ( l V d l ) l ( d d V t d l ) l [ V d ( d d t l ) ]
29
d 1
d l t F • d l l P • d l l( ) d l
非有势力
斜压作用
粘性扩散项
d ( 1 ) P ( • V ) ( • ) V 2 dt
斜压作用
பைடு நூலகம்
散度项
扭曲项 粘性扩散项
30
第五章小结
（1）速度环流的基本概念 凯尔文速度环流守恒定理 皮叶克尼斯定理的应用
（2）涡度方程及其讨论、涡度变化的原因
31
环流的加速度 = 加速度的环流
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
下面来考虑特定条件下的 d dt
（1）理想流体
运动方程（欧拉方程）： ddV tF 1p
（仅受质量力和压力梯度力）； （2）质量力仅为有势力
环线 l （形状大小可变，由
流点组成的闭合曲线）。
l
速度环流的定义 V•dl l
它反映了流体沿曲线 l 运动的趋势，是标量，但具有
一定的方向性。
5
lV•dl
l
如取定曲线方向：
>0，流体有顺
对应气旋环流）；
l
运动的趋势，（逆时针为正方向，
<0，流体有逆 l 运动的趋势，（顺时针为负方向，对
应反气旋环流）。
20
环流方程的进一步讨论（主要是斜压项的讨论及应用）
若作理想流体假设，且质量力为有势力，则环流定理变为：
dd t (1)pd
称为皮叶克尼斯定理，反映了压力-密度项（斜 压性）引起环流的变化。
进一步作正压流体假设，则皮叶克尼斯定理退 化为了Kelvin环流定理：
d 0 dt
21
皮叶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简 单解释
环流加速度
加速度环流
8
d d t d d t ( l V d l ) l ( d d V t d l ) l [ V d ( d d t l ) ]
V d ( d l ) V d V d ( V 2 / 2 ) 0
l d t l
l
d d t d d t(lV d l) l(d d V td l)
16
以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约 束关系。而实际上，流体运动中必定出现环流的不 守恒（变化）现象，也即环流的产生和起源，这才 是更普遍条件下的环流变化情况。
17
二、速度环流的起源—涡度的产生
对于粘性可压缩流体，N－S运动方程为：
d V F 1 p 2 V • V
27
涡度方程讨论：
d d t 1 2 p • V • V 2
（2）散度项 考虑流点有散度（有相对体积变化），则辐散使涡度减小 ，辐合使涡度增大
28
进一步讨论：
1.当不考虑流体粘性时，粘性扩散项不出现 2.散度项和扭曲项对个别流点可引起其涡度变化，但对 流体整体而言，这两项不会引起流体整体涡度的变化 （流体中辐合辐散共存，其作用使涡度重新分布，但不 改变整体结果；扭曲项也是使涡度重新分配） 3.真正直接引起流点涡度矢变化的是流体的斜压性
斜压流体：
f(p ,T , )
等压面、等密度面斜交
14
（3）假设流体是正压的 f(p)
d dt
l
dV dt
dl
(
1
)
p
d
0
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
24
V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
（1）（2） （3）（4）（5） （6） （7）
（4） 1 p 1 p 1 2 p
可得到方程：
V • • V • V 1 p 2
F
11
ddV tF 1p
F
环流变化方程：
d dt
l
(
dV dt
dl
)
l
dl
l
1
p
dl
( )d
梯度取旋度为零
l
1
p
dl
l
1pdl
12
将线积分转化为面积分
1pdl
(p)d
(1)p1(p)d
(1)pd
梯度取旋度为零
13
正压流体：
f(p)
等压面、等密度面、 等温面重合（平行）
第五章 涡旋动力学基础
流体的涡旋运动大量存在 于自然界中，如大气中的 气旋、反气旋、龙卷、台 风等，大气中的涡旋运动 对天气系统的形成和发展 有密切的关系。
台风
龙卷
1
大尺度海洋环流
2
因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡 旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律 及其物理原因是十分必要的。
流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的 一个重要物理量。