浙江大学概率论与数理统计试题连答案

《概率论》试题
一、填空题（每空5%）
1、设为A ，B 为随机变量，(|)0.48,(|)0.4,()0.86P A B P B A P A B ==⋃=。

则
()P A B ⋃=_________，()P AB =________。

2、设某电话交换台等候一个呼叫来到的时间为X ，它的概率密度函数为
0.5()0
{x ke f x θ=0
0x x >≤ 第一次呼叫在5分钟到10分钟之间来到的概率为1
4
，那么它在15分钟以后来的概率为________。

3、已知随机向量(,)X Y 的联合分布律如下表所示
则(02)P X Y <-≤=________，()E XY =________。

4、投一枚硬币直到正反面都出现为止，投掷次数的数学期望是________。

5、设随机变量,X Y ，已知X 服从正态分布，2(,)X
N μσ，Y 服从θ的指数分布，
Z aX bY c =+-，则()E Z =________，()Var Z =________。

二、（15%）妈妈给儿子小明做了4张饼，她想知道这回做得是好极了还是一般般。

以她的手艺1/3的概率是好极了。

此时，小明有点饿或者非常饿的可能性各占一半。

如果饼味道好极了，若小明有点饿，他吃掉1、2、3、4张饼的概率分别为0、0、0.6、0.4；若他非常饿，上述概率为0、0、0、1。

如果味道仅一般般，若小明有点饿时，概率为0、0.2、0.4、0.4；若他非常饿，上述概率为0、0.1、0.3、0.6。

（1）小明吃掉4张饼的概率是多少？
（2）妈妈看见小明吃掉4张饼，则他非常饿而饼仅一般般的概率是多少？ （3）妈妈看见小明吃掉4张饼，则饼味道好极了的概率是多少？ 三、（12%）(,)X Y 的联合密度函数为
John Nash
2(,)0
{x f x y = 01,01
x y else
<<<< 22Z X Y =+，
（1）求()X f x 和()Y f y ；
（2）X 和 Y 是否独立？ （3）Z 的概率分布函数。

四、（15%）一只盒子中有5个小球，其中有3个是红色且标有不同序号，
（1）若无放回的一个一个取，直到全部取出红色小球，用X 表示取的次数，写出X 的分布律，求()E X 和()Var X ；
（2）若有放回的一个一个取，直到3个不同序号的红色小球都出现，用Y 表示取的次数，求()E Y 。

五、（18%）50个同学把写有祝福的卡片都放进一个纸箱中，然后让他们随机取走一张，设事件i A 表示i 同学取走了自己的卡片， （1）求()i P A 和
50
1
1
()i
j
i j P A A ==∑；
（2）已知事件k B ，试用数学归纳法证明：
121250
50501
1
11
1
1
1
1
1
(
)()()(1)
(
)(
)i i n
t n n
t k k k k k k k k k k k i k k P B P B P B B P B P B -=========-+
+-+
-∑∑∑∑
（3）所有同学都没有取到自己卡片的概率是多少？
John Nash
《概率论》试题答案
一、填空题 1、0.76，0.26 2、1/8
3、0.25，13.5
4、3
5、a b c μθ+-，2222
a b σθ+
二、（1）17/30 （2）6/17 （3）7/17
三、（1）
2()0{X x f x = 01x else <<，1()0{Y f y = 01
y else << （2）独立
（3）5/23/2215[(2)(3)]
()0{
Z z z z f x --+=
03z else <<
四、（1）4.5，0.45
（2）55/6
五、（1）1/50，1/2 （2）略
（3）
1
50
2
(1) 1
!
k
k
k
-
=
--∑。