2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案
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（12）曲线 的拐点坐标为______________.
【答案】（－1，－6）
【考点】函数图形的拐点
【难易度】★★
【详解】
解析： 处处连续，又
由于在 两侧 异号，故 是曲线的拐点．而x＝0时 不是曲线的拐点．
因此，拐点的坐标为 ．
（13）设 ，则 .
【答案】
【考点】多元复合函数的求导法
【难易度】★★
．
（Ⅱ）由克莱姆法则， 时方程组有唯一解，故 时方程组有唯一解.
由克莱姆法则，将 得第一列换成 ，得行列式为
所以， ．
（Ⅲ）当 时，方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ，其中 为任意常数．
（23）（本题满分11分）
设 为3阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ，
【考点】一阶线性微分方程
【难易度】★★
【详解】
解析：将原方程改写成 ，这是一阶线性方程．
由 ，两边乘 得 .
积分得
通解为 ，其中C为 常数．
（11）曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】
【考点】隐函数求导，导数的几何意义，平面曲线的切线
【难易度】★★★
【详解】
解析：设 ，斜率 ，
在 处， ，所以切线方程为 ，即
【难易度】★★
【详解】
解析：
则 。记 ，则
则 ，正、负惯性指数相同，故选
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数 连续，且 ，则
【答案】2
【考点】等价无穷小
【难易度】★★
【详解】
解析：利用等价无穷小因子替换有
.
（10）微分方程 的通解是 .
【答案】y＝Cx－xe－x，其中C为任意常数
故 线性无关．
（Ⅱ）记 则 可逆，
即 .
（Ⅱ）若函数 具有二阶导数，且满足 ， ，则至少存在一点 ，使得 ＜0．
【考点】定积分中值定理，介值定理，拉格朗日中值定理
【难易度】★★★★
【详解】
证明：（Ⅰ）设 及 分别是函数 在区间 上的最大值及最小值，则
.
这表明，确定的数 介于函数 的最小值 及最大值 之间.
根据闭区间上连续函数的介值定理，在 上至少存在一点 ，使得函数 在点 处的值与这个确定的数值相等，即应有
(15)（本题满分10分）
求极限 .
【考点】等价无穷小，洛必达法则，佩亚诺余项泰勒公式展开
【难易度】★★★
【详解】
解析：方法一：洛必达法则
方法二：泰勒公式
(16)（本题满分10分）
设函数 由参数方程 确定，其中 是初值问题 的解．求
【考点】变量可分离的微分方程，积分上限的函数及其导数，由参数方程所确定的函数的导数
两端各乘以 ，即得所要证的等式.
（Ⅱ）存在 ，使得 ．
由 ，知 ．
由 ，利用拉格朗日中值定理，存在 ，使得
.
由 ，利用拉格朗日中值定理，存在 ，使得
．
存在 ，使得
．
(21)（本题满分11分）
求函数 在在约束条件 和 下的最大值和最小值.
【考点】拉格朗日乘数法，多元函数的最大值、最小值
【难易度】★★★
【考点】旋转体的侧面积，旋转体的体积，y"=f(y,y′)型的可降阶高阶微分方程
【难易度】★★★
【详解】
解析：旋转体体积
旋转体的侧面积
由
两边求导，得
从而 ，得 .
所以特征方程为 ，特征根为 .
则通解为 .
由 ，得 .
所以 .
故该曲线方程为
(20)（本题满分11分）
（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 在闭区间 上连续，则至少存在一点 ，使得 ；
【难易度】★★★
【详解】
解析：由 得
，积分得 ．
由条件 ，得 ，即 ，
故 ．
方程组 两端同时对 求导得
．
所以 ，
从而
．
(17)（本题满分10分）
计算
【考点】定积分的换元积分法，定积分的分部积分法
【难易度】★★★
【详解】
解析：令 ，则
(18)（本题满分10分）
计算 ，其中 ．
【考点】二重积分的性质、二重积分的计算
，
．选（A）．
（7）设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵.若 ，则（ ）
不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.
可逆， 可逆. 可逆， 不可逆.
【答案】
【考点】逆矩阵的概念
【难易度】★★
【详解】
解析： ，
故 均可逆.
（8）设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为（ ）
. .
. .
【答案】
【考点】矩阵合同的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：方法一：画出积分区域即可求解.
方法二：积分区域如右图.
将第一个积分作如下分解
(19)（本题满分10分）
设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 ．对任意的 ，直线 ， ，曲线 以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数 的表达式．
【答案】
【考点】单调有界准则
【难易度】★★
【详解】
解析：若 单调，则由 在 内单调有界知， 单调有界，
因此 收敛,应选 .
（6）设函数 连续．若 ，其中区域 为图中阴影部分，则 （ ）
（A） ．（B）
（C） ．（D）
【答案】A
【考点】利用极坐标计算二重积分
【难易度】★★★
【详解】
解析：用极坐标变换将二重积分F（u，v）表为定积分． 的极坐标表示为
【详解】
解析：令 ，从而 ，对方程两边取对数得 ，对该方程两边对 求导，所以 ，
（14）设3阶矩阵 的特征值是 .若行列式 ，则 =_______.
【答案】 =-1
【考点】矩阵的特征值的性质
【难易度】★★
【详解】
解析： ，所以
由矩阵特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 ，故 .
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（2）如图，曲线方程为 ，函数 在区间 上有连续导
数，则定积分 等于（ ）
曲边梯形 面积. 梯形 面积.
曲边三角形 面积. 三角形 面积.
【答案】
【考点】定积分的分部积分法，定积分的几何应用—平面图形的面积
【难易度】★★
【详解】
解析： ，其中 是矩形面积， 为曲边梯形的面积，所以 为曲边三角形 的面积.
（Ⅰ）证明 线性无关；（Ⅱ）令 ，求 .
【考点】向量组的线性无关的概念，矩阵的特征值的概念，矩阵的特征向量的概念，矩阵的
特征向量的性质
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）设有一组数 ，使得 ．
用 左乘上式，得 ．
因为 , ， ，
所以 ，
即 ．
由于 是属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，因此
，从而有 ．
【详解】
解析：令
得方程组 即 ，解得 或
得 .
.
（22）（本题满分11分）
设 元线性方程组 ，其中 ， ， .
（Ⅰ）证明行列式 ；
（Ⅱ）当 为何值时，该方程组有唯一解，求 ；
（Ⅲ）当 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解.
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）证明：消元法．记
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设函数 ，求 的零点个数为（）
0 1 2 3
【答案】
【考点】导数的四则运算
【难易度】★★
【详解】
解析：
令 ，则可得 零点的个数为3.
2个无穷间断点
2个跳跃间断点
【答案】
【考点】函数间断点的类型
【难易度】★★
【详解】
解析： 的间断点为 ，而 ，故 是可去间断点；
， ，故 是跳跃间断点
故选 .
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
（3）在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）为通解的是（ ）
. .
. .
【答案】
【考点】线性微分方程解的性质及解的结构定理
ห้องสมุดไป่ตู้【难易度】★★
【详解】
解析：由 可知其特征根为 .
故对应的特征方程为 ，即
所以所求微分方程为 ,选 .
（4）设函数 ，则 有( )
1个可去间断点，1个跳跃间断点
1个跳跃间断点，1个无穷间断点
【答案】（－1，－6）
【考点】函数图形的拐点
【难易度】★★
【详解】
解析： 处处连续，又
由于在 两侧 异号，故 是曲线的拐点．而x＝0时 不是曲线的拐点．
因此，拐点的坐标为 ．
（13）设 ，则 .
【答案】
【考点】多元复合函数的求导法
【难易度】★★
．
（Ⅱ）由克莱姆法则， 时方程组有唯一解，故 时方程组有唯一解.
由克莱姆法则，将 得第一列换成 ，得行列式为
所以， ．
（Ⅲ）当 时，方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ，其中 为任意常数．
（23）（本题满分11分）
设 为3阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ，
【考点】一阶线性微分方程
【难易度】★★
【详解】
解析：将原方程改写成 ，这是一阶线性方程．
由 ，两边乘 得 .
积分得
通解为 ，其中C为 常数．
（11）曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】
【考点】隐函数求导，导数的几何意义，平面曲线的切线
【难易度】★★★
【详解】
解析：设 ，斜率 ，
在 处， ，所以切线方程为 ，即
【难易度】★★
【详解】
解析：
则 。记 ，则
则 ，正、负惯性指数相同，故选
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数 连续，且 ，则
【答案】2
【考点】等价无穷小
【难易度】★★
【详解】
解析：利用等价无穷小因子替换有
.
（10）微分方程 的通解是 .
【答案】y＝Cx－xe－x，其中C为任意常数
故 线性无关．
（Ⅱ）记 则 可逆，
即 .
（Ⅱ）若函数 具有二阶导数，且满足 ， ，则至少存在一点 ，使得 ＜0．
【考点】定积分中值定理，介值定理，拉格朗日中值定理
【难易度】★★★★
【详解】
证明：（Ⅰ）设 及 分别是函数 在区间 上的最大值及最小值，则
.
这表明，确定的数 介于函数 的最小值 及最大值 之间.
根据闭区间上连续函数的介值定理，在 上至少存在一点 ，使得函数 在点 处的值与这个确定的数值相等，即应有
(15)（本题满分10分）
求极限 .
【考点】等价无穷小，洛必达法则，佩亚诺余项泰勒公式展开
【难易度】★★★
【详解】
解析：方法一：洛必达法则
方法二：泰勒公式
(16)（本题满分10分）
设函数 由参数方程 确定，其中 是初值问题 的解．求
【考点】变量可分离的微分方程，积分上限的函数及其导数，由参数方程所确定的函数的导数
两端各乘以 ，即得所要证的等式.
（Ⅱ）存在 ，使得 ．
由 ，知 ．
由 ，利用拉格朗日中值定理，存在 ，使得
.
由 ，利用拉格朗日中值定理，存在 ，使得
．
存在 ，使得
．
(21)（本题满分11分）
求函数 在在约束条件 和 下的最大值和最小值.
【考点】拉格朗日乘数法，多元函数的最大值、最小值
【难易度】★★★
【考点】旋转体的侧面积，旋转体的体积，y"=f(y,y′)型的可降阶高阶微分方程
【难易度】★★★
【详解】
解析：旋转体体积
旋转体的侧面积
由
两边求导，得
从而 ，得 .
所以特征方程为 ，特征根为 .
则通解为 .
由 ，得 .
所以 .
故该曲线方程为
(20)（本题满分11分）
（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 在闭区间 上连续，则至少存在一点 ，使得 ；
【难易度】★★★
【详解】
解析：由 得
，积分得 ．
由条件 ，得 ，即 ，
故 ．
方程组 两端同时对 求导得
．
所以 ，
从而
．
(17)（本题满分10分）
计算
【考点】定积分的换元积分法，定积分的分部积分法
【难易度】★★★
【详解】
解析：令 ，则
(18)（本题满分10分）
计算 ，其中 ．
【考点】二重积分的性质、二重积分的计算
，
．选（A）．
（7）设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵.若 ，则（ ）
不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.
可逆， 可逆. 可逆， 不可逆.
【答案】
【考点】逆矩阵的概念
【难易度】★★
【详解】
解析： ，
故 均可逆.
（8）设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为（ ）
. .
. .
【答案】
【考点】矩阵合同的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：方法一：画出积分区域即可求解.
方法二：积分区域如右图.
将第一个积分作如下分解
(19)（本题满分10分）
设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 ．对任意的 ，直线 ， ，曲线 以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数 的表达式．
【答案】
【考点】单调有界准则
【难易度】★★
【详解】
解析：若 单调，则由 在 内单调有界知， 单调有界，
因此 收敛,应选 .
（6）设函数 连续．若 ，其中区域 为图中阴影部分，则 （ ）
（A） ．（B）
（C） ．（D）
【答案】A
【考点】利用极坐标计算二重积分
【难易度】★★★
【详解】
解析：用极坐标变换将二重积分F（u，v）表为定积分． 的极坐标表示为
【详解】
解析：令 ，从而 ，对方程两边取对数得 ，对该方程两边对 求导，所以 ，
（14）设3阶矩阵 的特征值是 .若行列式 ，则 =_______.
【答案】 =-1
【考点】矩阵的特征值的性质
【难易度】★★
【详解】
解析： ，所以
由矩阵特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 ，故 .
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（2）如图，曲线方程为 ，函数 在区间 上有连续导
数，则定积分 等于（ ）
曲边梯形 面积. 梯形 面积.
曲边三角形 面积. 三角形 面积.
【答案】
【考点】定积分的分部积分法，定积分的几何应用—平面图形的面积
【难易度】★★
【详解】
解析： ，其中 是矩形面积， 为曲边梯形的面积，所以 为曲边三角形 的面积.
（Ⅰ）证明 线性无关；（Ⅱ）令 ，求 .
【考点】向量组的线性无关的概念，矩阵的特征值的概念，矩阵的特征向量的概念，矩阵的
特征向量的性质
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）设有一组数 ，使得 ．
用 左乘上式，得 ．
因为 , ， ，
所以 ，
即 ．
由于 是属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，因此
，从而有 ．
【详解】
解析：令
得方程组 即 ，解得 或
得 .
.
（22）（本题满分11分）
设 元线性方程组 ，其中 ， ， .
（Ⅰ）证明行列式 ；
（Ⅱ）当 为何值时，该方程组有唯一解，求 ；
（Ⅲ）当 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解.
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）证明：消元法．记
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设函数 ，求 的零点个数为（）
0 1 2 3
【答案】
【考点】导数的四则运算
【难易度】★★
【详解】
解析：
令 ，则可得 零点的个数为3.
2个无穷间断点
2个跳跃间断点
【答案】
【考点】函数间断点的类型
【难易度】★★
【详解】
解析： 的间断点为 ，而 ，故 是可去间断点；
， ，故 是跳跃间断点
故选 .
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
（3）在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）为通解的是（ ）
. .
. .
【答案】
【考点】线性微分方程解的性质及解的结构定理
ห้องสมุดไป่ตู้【难易度】★★
【详解】
解析：由 可知其特征根为 .
故对应的特征方程为 ，即
所以所求微分方程为 ,选 .
（4）设函数 ，则 有( )
1个可去间断点，1个跳跃间断点
1个跳跃间断点，1个无穷间断点