《近世代数》模拟试题1及答案

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近世代数期末考试题库——2022年整理

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。

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近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。

A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪−⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解：e 是R 的单位元。

近世代数期末考试题库

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（c ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1 ，元a 的逆元是1-a 。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

近世代数期末模拟考试与答案

近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ f ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ f ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ t ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（t ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ f ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ t ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ t ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ t ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ f ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ f ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ 2 ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

近世代数期末考试卷与答案

近世代数期末考试卷与答案近世代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x =ο，则称a 为---------。

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近世代数期末考试题库世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

设A = B = R （实数集），如果 A 到B 的映射：x^x + 2, x € R, 满射而非单射B 单射而非满射一一映射 D 既非单射也非满射设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么， 2 1、 AC 2、 A 、则是从A 到B 的（c ） A 与B 的积集合A^B 中含有（d D 、10 ）个元素。

3、在群G 中方程A 、不是唯一4、当G 为有限群， A 、不相等 B 、5 ax=b , ya=b , a,b € G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的（两方程解一样）子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） 0 C 、相等 D 、不一定相等。

） 5、 n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共设集合；，则有。

若有元素e € R 使每a € A 都有 ae=ea=a , 环的乘法一般不交换。

如果环偶数环是整数环的子环。

30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 9、则e 称为环R 的单位元。

R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。

一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全。

每一个有限群都有与一个置换群同构。

全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么 --------- 。

一个除环的中心是一个 -域-----。

三、解答题（本大题共 3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。

近世代数试题及答案

近世代数试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 群的元素a的阶是指最小的正整数n，使得a^n=e，其中e是群的（）。

A. 单位元B. 零元C. 负元D. 逆元答案：A2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R 是（）。

A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A3. 向量空间V中，如果存在非零向量α，使得对于V中任意向量β，都有α⊥β，则称α是V的一个（）。

A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：C4. 有限域F中，如果存在元素a∈F，使得a^p=a对于所有a∈F 成立，则称F是（）。

A. 素域B. 特征域C. 完全域答案：B5. 群G的一个子群H，如果对于任意的h∈H，g∈G，都有ghg^-1∈H，则称H是G的一个（）。

A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群D. 群答案：A6. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R是（）。

A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A7. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。

A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A8. 群G的一个子群H，如果H=G，则称H是G的一个（）。

A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群答案：C9. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a-b=b-a，则称R 是（）。

A. 交换环B. 非交换环C. 整环D. 除环答案：A10. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得这些向量线性无关，并且V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。

A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A二、填空题（每题4分，共40分）1. 群G中，如果对于任意的a，b∈G，都有ab=ba，则称G是________。

答案：交换群2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=0，则称R是________。

近世代数期末考试题库1

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是——-------—。
三、解答题（本大题共3小题,每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H=｛I,(1 2)}，写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E,）是一个代数系统，问（E,）是不是群，为什么？
3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环.
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a—1。
8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么-—--—---—。
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群,证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想,那么a，由理想的定义，因而R的任意元
这就是说=R，证毕。
2、证必要性：将b代入即可得.
充分性:利用结合律作以下运算:
ab=ab(ab2a)=（aba）b2a=ab2a=e，
二填空题本大题共10小题每空3分共30三解答题本大题共3小题每小题10分共30是对称矩阵而c是反对称矩阵且四证明题本大题共2小题第1题10小题15分共251对于g中任意元xy由于所以yxxyxyab有意义作f的子集近世代数模拟试题二参考答案一单项选择题本大题共5小题每小题3分共15二填空题本大题共10小题每空3分共30等于零的元
b=3×102+85
102=1×85+17

近世代数模拟试题--附详细答案

近世代数模拟试题一一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R<实数集>,如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的〔〕A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,则,A 与B 的积集合A ×B 中含有〔〕个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是〔〕乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的<两方程解一样> 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数〔〕A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的〔〕A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最##想,则---------。

近世代数期末考试题库完整

世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A=B=R（实数集），如果A至UB的映射中：x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有（d）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合A“T0」＞；B=42},则有BMA=。

2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。

8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想，那么。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）［写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇1、解：把仃和工写成不相杂轮换的乘积：二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换，七为偶置换。

近世代数基础模拟试题01

《近世代数基础》模拟试题一1．设M 是西昌学院全体学生的集合，以下关系中哪个是M 上的等价关系？（）A ．同姓关系B ．朋友关系C ．师生关系D ．不同乡关系 2．以下映射哪个是代数结构),(⋅R 的自同态？（）A ． x x 2→B ． x x -→C ． ||x x →D ． 32x x →3．在有理数集Q 上定义代数运算2b)(a b a += ，则这个代数运算（）。

A ．既适合结合律又适合交换律B ．适合结合律但不适合交换律C ．不适合结合律但适合交换律D ．既不适合结合律又不适合交换律4．12U 对输的乘法构成一个群，它的子群共有（）个。

A ．6B ．8C ．10D ．125．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Z b a b a R ,00，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是（）。

A ．有单位元的可换环B ．无单位元的可换环C ．无单位元的非可换环D ．有单位元的非可换环6．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )。

A ．(1)，(132)B ．(12)，(13)，(23)C ．(1)，(123)，(132)D ．3S 中的所有元素一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

7． =]:)3Q 2,[Q( ( )A ．2B ．3C ．4D ．68．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )。

A ．B ．C ．D ．9．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )A ．B ．C ．(1)，(123)，(132)D ．10．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )A ．B ．C ．D ．11．设},,{c b a A =，则A 的一一变换共有______个。

12．由实数集合R 上的等价关系: 1~≥+⇔∈∀22b a b a R,b a,所决定的集合R 上的元素的分类共有个。

近世代数习题与答案

近世代数习题与答案一、选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。

(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（）。

(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。

(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ）（a ）。

2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）（请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===o o ,则()14ab =o 。

( )3、商环6Z Z 是一个域。

（）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -<，则H G <。

（）5、任意群都同构于一个变换群。

近世代数模拟试题及答案

近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。

以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。

答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。

答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。

答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。

例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。

2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。

例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。

四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。

答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。

- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。

- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。

- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。

例如，a的逆元是a^3。

G的子群有：- {1}：平凡子群。

- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。

- G本身：{1, a, a^2, a^3}。

2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。

答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。

近世代数参考答案

《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案一、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ √ ）2、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ × ）3、两个子群的交一定还是子群。

（ × ）4、若环R 满足左消定律，那么R 必定没有右零因子。

（ √ ）5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。

（ √ ）6、F （x)中满足条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极小多项式。

（ × ）7、已知H 是群G 的子群，则H 是群G 的正规子群当且仅当g G ∀∈，都有1gHg H -= （ √ ）8、唯一分解环必是主理想环。

( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。

（ √ ）10、欧氏环必是主理想环。

（ √ ）11、整环中，不可约元一定是素元。

（ √ ）12、子群的并集必是子群。

（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。

( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。

( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B n n →+ 是从A 到B 的映射。

（ ×）二、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最小多项式。

解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-⋅-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平方，得到3222(152)(35)5+-=-⋅u u u .这是u 上满足的Q 上6次方程，故[():]6≤Q u Q .又3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .=u (()=Q u Q u .又[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因而[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---⋅=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最小多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有子群，这些子群是否都是不变子群。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分,共25分）1、在整数加群（Z,＋）中,下列那个是单位元（）。

A. 0 B。

1 C。

－1 D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）。

A 。

G只包含一个元g，乘法是gg＝g.G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群;C 。

G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群。

3。

如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是（).A . 反身性B。

对称性C。

传递性D。

封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）。

A。

Z没有生成元。

B。

1是其生成元.C. －1是其生成元。

D. Z是无限循环群.5。

下列叙述正确的是（）.A。

群G是指一个集合。

B。

环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D。

环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律,并且单位元,逆元存在.二. 计算题(每题10分,共30分） 1。

设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶。

2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群。

3. 若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明。

三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分)。

1. 证明：在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=。

3．设S是环R的一个子环。

证明：如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子。

近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题（每题5分，共25分）1. A2. D3. D 4 . A 5 。

近世代数练习题(附答案)

《近世代数》练习题（附答案）一.选择题1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)4．在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C )(A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3b 的阶(C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶5．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D )(A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 2413．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 914.在一个环R 里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是( B )(A) 另一个消去律也成立 (B) R 中非零元都有逆元(C) R 是无零因子环 (D) R 中非零元对加法的阶都一样15．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( A )(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定16．设12,εε为唯一分解环I 中单位, a 是I 中任意元，则下列正确的是 ( B )(A) 12εε+ 也是单位 (B) 12,εε互为相伴元(C) 12,εε 都是a 的真因子 (D) a 有唯一分解17．一个30个元的域的特征可能是( A )(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 1518．假定域R 与R 同态, 则R 是（ C ）(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环19．若I 是一个唯一分解环,I a ∈且a 21p p =和a 21q q =(其中2121,,,q q p p 都为素元),则下列说法正确的是 ( D )(A) 1p 与1q 互为相伴元 (B) 1p 与1q 互为相伴元和2p 与2q 互为相伴元(C) 2p 与2q 互为相伴元 (D) 1p 与1q 互为相伴元或1p 与2q 互为相伴元20．假定)(a 和)(b 是整环I 的两个主理想, 若)()(b a =, 则 ( A )(A) b 是a 的相伴元 (B) b 与a 互素 (C) b 是a 的真因子 (D) |b a 21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;21+→a a ,当a 是奇数.则τ为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限(C) 元21012,,,,,---n a a a a a 中没有相同元 (D) G 与整数加群同构23．若R 是一个特征为有限整数n 的无零因子环，且R b a ∈,，则（ D ）(A) 0,00≠≠⇒=b a b a (B) 21n n n =，其中21,n n 为素数(C) 存在R 中元c 的阶为无限整数 (D) R 对乘法成立两个消去律24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)22a b b a b =+ (B)b a b a= (C) 22a b a ab b =-+ (D) 10a b a b += 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---26．在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 627．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个28．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( B )(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定29．若Q 是一个域, 不正确的是 ( B )(A) Q 是交换除环 (B) Q 对乘法作成群(C) Q 无零因子 (D) Q 中不等于零的元都有逆元30．若I 是主理想环, p 是I 中素元, 且I b a ∈, 则 ( C )(A) 主理想)(p 不是I 的最大理想 (B) a 没有唯一分解(C) 若p |ab ,有p |a 或p |b (D) I /()p 不是域31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )(A) 2a b a b =+ (B)b a b a= (C) a b b a = (D) 10a a b = 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -34．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 535．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个36．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 838．一个有8个元的域的特征是( A )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 839．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 441. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律42. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)a b b a = (B)b a b a= (C) 2a b a b =+ (D) 10a a b = 43. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( C )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 1a - (D) 11ba b --44．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 545．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个46．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定47. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 848．一个有8个元的域的特征是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 849．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子50．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二．填空题1.设是集合A 的元间的一个等价关系,那么满足反射律、对称律、推移律 .2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b .3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 .4. 群G 的中心N 是G 的一个不变子群.5.n 次对称群n S 的阶为 !n .6.假定B A ⊂,那么B A A , B A B .7. 假定A 和A 同态, A 和A 同态, 则A 和A 也同态 .8. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ya =有唯一解为 1ba .9.设集合A 的元数为3 ，那么A 共有子集 8 个，A 的元间的关系共有 512 个.10.若G 为群, 方程1x ax bx -=的唯一解为 1ba .11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .12.设~是集合A 的元间的一个等价关系,那么~满足自反律、对称律、推移律 .13.若G 为群,,,a b c G ∈,则211()bc a --- 21ac b .14.5次对称群5S 的阶为 120 .15.若φ是环R 与R 的同态满射, 则同态核中元都是R 中单位元 e 的逆象，且同态核是R 的一个理想 .16.设A 是有单位元的交换环R 的一个最大理想，那么剩余类环R A 是一个域 .17.在整数环Z 中，理想(3,7)等于主理想（1） .18.设9Z 为模9的剩余类环，那么[5]的负元为 [4] ，逆元为【2】 .19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.20.除环的最大理想是零理想 .21.设R 是模7的剩余类环，在多项式环[]R x 中2([6][4])([2][5])x x x +-+=32[6][6]x x x -++22.设10Z 为模10的剩余类环，那么[3]的负元为 [7] ，逆元为[7] .23.在整数环I 中，主理想()()a b =当且仅当b 是a 的相伴元 .24.设{,,}A a b c =,{,,,}R aRa aRc cRa cRc =.那么由R 决定的A 的分类为 {,},{}a c b .25.设I 是一个唯一分解环，那么多项式环[]I x 是唯一分解环.26.设9Z 为模9的剩余类环，那么[7]的负元为 [2] ，逆元为[4] .27.设I 是一个唯一分解环，那么I 的元12,,,n a a a 的两个最大公因子d 和d '相差一个相伴元 .28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .29.在一个特征为p 的无零因子的交换环R 中,有p 为素数,且()p a b += p p a b + .30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .31. 若φ是环R 与R 的同态满射,则对,,a b c R ∈，它们的象分别为,,a b c ,则元()a b c +的象为 ()a b c + .32.设A 是环R 的一个最大理想，那么包含A 的R 的理想仅有 A 和R .33.在整数环Z 中，理想(42,35)等于主理想（7） .34.在唯一分解环I 中，若素元p 能整除ab ，则p 必能整除 ,a b 中一个元 .35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个变换群.36.若R 是有单位元的交换环,则R 的主理想)(a 中的元有形式为 ,ra r R . 37.0R 是有单位元的交换环, x 是0R 的子环R 上的未定元, 则仅当 010n a a a时,才有010=+++n n x a x a a 成立.38. R 是一个有单位元的环, 且}0{≠R ，则在R 中必有一个元没有逆元, 它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .39．唯一分解环I 中的元a 和b 的两个最大公因子d 和d '只能差一个相伴元 .40.设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A { （1，3），（1，4），（2，3），（2，4） } .41.若群G 和集合G 同态,则G 是群 ,并且有G 中元e 和1-a 的象为G 中元e 和1a .42.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab , 那么必有 0a 或0b .43.群的元a 的阶是n ，若d 是整数r 和n 的最大公因子，则r a 的阶是 n d. 44.在一个域Q 中,若有0,0,,≠≠∈d b Q d c b a ,则=+d c b a ad bc bd. 45.设φ是环R 与R 的同态满射, 则φ的核是环R 的一个理想 . 46.在整环中必有一个元没有逆元,它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .47.整环I 的元a 是][x I 的多项式)(x f 的根, 当且仅当)(x f 能被 xa 整除.三．判断题1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )2．无限群中的元的阶都无限. ( × )3．除环的最大理想是单位理想. ( × )4．整环中的素元只能有有限个数的因子. （ × ）5．任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环. ( √ )6．A 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( × )7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )8．假定域R 与R 同态, 则R 也是域. ( × )9．整环中的单位ε同素元p 的乘积p ε还是一个素元. ( √ )10．除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( × )四．解答题1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由)1()1)(1(=,)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分) N 的全体左陪集为(6分):)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,)}123(),13{()123()13(==N N .2. 求模6的剩余类环F 的所有子环.解：因为剩余类环F 是循环加群，所有子环为主理想：([1]),([2]),([3]),([6]).3. 设A 是整数集,规定A 中元间的关系R 如下:)6(b a aRb ≡⇔说明R 是A 中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解：因为对任意的整数 c b a ,,有（1）反射律： a 与a 模6同余;(2分)（2）对称律：若a 与b 模6同余，那么必有b 与a 模6同余;(2分)（3）推移律：若a 与b 模6同余，b 与c 模6同余，那么必有a 与c 模6同余, 所以R 是A 中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):},12,6,0,6,12,{]0[ --=, },13,7,1,5,11,{]1[ --=,},14,8,2,4,10,{]2[ --=, },15,9,3,3,9,{]3[ --=,},16,10,4,2,8,{]4[ --=, },17,11,5,1,7,{]5[ --=.4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. (2分) 所以循环群()a 的所有子群为循环子群：()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==. (8分)并且这些子群都是不变子群. (10分)5.设Z 是整数环，请把Z 的理想(3)(4)和(3,4)的元列出来.解: Z 是整数环，理想(3)(4)和(3,4)如下：(3)(4){,9,6,3,0,3,6,9,}{,12,8,4,0,4,8,12,}=------ (2分){,24,12,0,12,24,}=-- (4分)(12)= (6分) (3,4)(1){,3,2,1,0,1,2,3,}Z ===--- (10分)6.设R 是模8的剩余类环，在一元多项式环[]R x 中把32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+计算出来，并求432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数. 解: R 是模8的剩余类环(1) 32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+543322[2][5][2][2][2][7][5][7][7][2][3][5][3][3][2]x x x x x x x x =-++-+-+- (1分)543322[2][2][4][3][7][6][7][3][6]x x x x x x x x =-++-+-+- (3分) 5432[2][2][7][6][6]x x x x x =-+-+- (5分)(2) 多项式432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数为32()4[1]3[4]2[5][2]f x x x x '=-+- (2分)32[4][4][2][2]x x x =-+-.7.找出对称群3S 的所有子群.解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.所以它的所有子群为：1阶子群1{(1)}H =； (1分) 2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =； (4分) 3阶子群3{(1),(123),(132)}H =； (5分) 6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。

近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题一一、单项选择题1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x→x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的(C)A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ，a,b ∈G 都有解，这个解乘法来说是(B) A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数(C) A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的(D)A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A 的若干个变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换群。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是1a。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么-----S R S I ==或者----。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

(1653)(247)(123)(48)(57)στ==σ为奇置换，τ为偶置换)27)(24)(16)(15)(13(=σ)57)(48)(12)(13(=τ3、设集合{0,1,2,,1,}(1)m M m m m =⋯>⋯-，定义m M 中运算“m +”为a+b=(a+b)(modm ),则(m M ，m +)是不是群，为什么？答：(m M ，m +)不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m 。

近世代数模拟试题

近世代数模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 群的定义中，下列哪一项不是必要的？A. 封闭性B. 单位元存在性C. 逆元存在性D. 交换律2. 对于一个环，以下哪项是正确的？A. 必须有加法单位元B. 必须有乘法单位元C. 必须满足交换律D. 必须满足分配律3. 以下哪个选项正确描述了域的特征？A. 域中的每个元素都有逆元素B. 域中的每个元素都有加法逆元素C. 域中的乘法是交换的D. 域中的乘法是结合的4. 如果一个群G的所有元素的阶都是有限的，那么G被称为：A. 阿贝尔群B. 循环群C. 有限群D. 正规子群5. 以下哪个选项是群的同态映射？A. 恒等映射B. 逆映射C. 任意映射D. 单位元映射二、填空题（每空1分，共10分）1. 一个群G的拉格朗日定理指出，如果H是G的一个子群，那么|H|整除______。

2. 环R中的元素a被称为______，如果对于R中的每个元素b，都有ab=ba。

3. 一个环R被称为______，如果它的乘法满足交换律。

4. 一个环R的雅可比恒等式是a^2(b+c)=ab^2+ac^2，这表明R是一个______。

5. 一个群G的正规子群N，如果它满足G/N是一个阿贝尔群，那么N 被称为G的______。

三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是群的同构，并给出一个例子。

2. 描述环的整环和域的区别。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果一个群G的阶是素数p，那么G是循环群。

2. 证明：如果一个环R有单位元且每个非零元素都是可逆的，那么R是一个域。

五、应用题（每题15分，共30分）1. 已知群G={1, a, b, c}，其中a^2=b^2=c^2=1，且ab=c，ba=c。

确定G是否为阿贝尔群，并找出所有可能的群结构。

2. 考虑环Z_6，其中Z_6是由模6的整数组成的环。

证明Z_6不是域，并找出它的所有单位元素。

注意：请根据所学知识，认真审题，仔细作答。

近世代数期末考试试卷及答案1

抽代试题 2一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（c ）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。

2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于----25--。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为----双射-------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---右单位元------。