《基本不等式及其应用》.ppt

不等式的基本性质
1、基本事实:
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为
A,B那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的
右边时,a>b
A
B
a
b
x
a<b
B
A
b
a
x
a>b
abab0 a b ab 0 abab0
2、不等式的基本性质:
(1)如果a b, 那么b a;如果b a, 那么a b.即
证明 : 若a,b,c R ,则a3 b3 c3 3abc, 当且仅当a b c时,等号成立.
和的立方公式：
( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
立方和公式：
x3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
4.n个正数的算术—几何平均不等式：
若a1 , a2 , a3 , , an R ,则
5. 不等式的应用2：
一 般 地,从基本 不等式可以 得到下面结 论: 对两个 正实数x, y,如果它 们的和S 是 定 值, 则当且 仅当x y时,它们的 积P取得最 大值; 如 果 它 们 的 积P是 定 值,则 当 且 仅 当x y时, 它 们 的 和S取 得 最 小 值.
利用基本不等式可以解决一些最大 小 值
abba
(对称性)
(2)如果a b,b c,那么a c.即a b,b c a c
(传递性)
(3)如果a b,那么a c b c.
(加法法则)
(i)如果a b c,那么a c b. (ii )如果a b, c d , 那么a c b d .(同向不等式相加)
(4)如果a b,c 0,那么ac bc;如果a b,c 0, 那么ac bc. (乘法法则)
问题 .
5. 不等式的应用2
例3.求下列函数的最大最小值： (1)求函数y=2x+ 3x(x>0)的最小值； (2)求函数y=2x+ x3-1(x>1)的最小值； (3)求函数y=x2(2-x2)(0<x< 2)的最大值； (4)求函数y=12x2+ 3x(x>0)的最小值；
练习：
1、函数y
3x2
a d
b c
证明:Q ( a )2 ( b )2 a b ac bd
d
c d c cd
Q a b 0, c d 0
ac bd 0, cd 0,
ac bd 0即( a )2 ( b )2 a b
cd
d
c
dc
例3.已知a>0,b>0,且a b，求证:aabb abba.
aa b时等号 ab成. 当立且,所仅以当,当a且仅b时当,a等号b时成,等立号. 成立.
2
证如明果:Qa,ba都
是b 正
数,a我2们就
称ba
2 b 2
为2 aa,b
b 2
ab ,
的 算术又平Q均a,abrith0meti2c meaabn, 0ab 为a a,bb ab 的 几何平均geometric mean ,于 是 ,基2 本
基本不等式的实际应用
复习：
1、定理1 如果a,b R, 那么a2 b2 2ab,当
a1
a2
a3 n
an
n
a1a2a3
an ,
当且仅当a1 a2 a3 an时, 等号成立.
5. 不等式的应用1：证明不等式
例1.设a,b,c是不全相等的正数 求证：(1)(a+b)(b+c)(c+a)>8abc
(2)a+b+c> ab bc ca 例2.设x,y,zR+,求证：(x+y+z)3 27xyz
不 等 式当可且以仅表当述 为a: b ,即 a b 时, 等号成立.
两个正数的算术平均不小于 ( 即大于或等于 ) 它们的几何平均 .
探究：3个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，
可能有 a,b，,c那么R
等号成立．
a ，b当 且c 仅3当abac＝b＝c时， 3
a-b的范围是_（__-_9_,_6_）__
3.已知a>0,b>0,且a b，求证:a3 b3 a2b ab2 证明：Q a3 b3 -(a2b ab2 ) =(a3 -a2b) (ab2 b3 ) =a2 (a b) b2 (a b)
= a b2(a+b)
Q a>0,b>0,且a b a b2 0, a b 0
yy=3x32x+
1122 x2 x21
=3(x2
+1)+
12 x2
1
-3
=232x3(x322+x1)x121x222 1-33
3=93x 2
3x 12 2 x2
9
7、作业：P10第5,12 题
补充题1、求函数y
4x2
16 的最小值 x2 1
2、已知0 x 2,求函数y x2(2-x)的最大值
a3 b3-(a2b ab2 ) 0 从而a3 b3 >(a2b ab2 )
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作业: 课本练习第2，3，9题
1、定理1 如果a,b R, 那么a2 b2 2ab,当
且仅当a b时,等号成立.
2、定证理 明 2因为基a本 2 不b2等 2式ab如a果 ba,2b00,当, 那且么 仅
练习:
1.在"(1)若a b,则 1 1 , (2)若ac2 bc2,则a b, ab
(3)若a b 0, c d 0,则ac bd, (4)若a b,则对
任意x>0有 b b x "这四个命题中,正确的个数是 C
a ax
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
2.已知 6 a 8, 2 b 3则2a+b的范围是（_-_1_0__,9_）
如果a b 0,c d 0,那么ac bd .
(5)如果a b 0,那么an bn(n N,n 2).
(乘方法则)
(6)如果a b 0,那么n a n b(n N,n 2).
(开方法则)
例1 比较( x 3)( x 7)和( x 4)( x 6)的大小.
例2
已知a b 0,c d 0,求证
12 的最小值是 x2 1
（ C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
2、函数y
3x
12 x2
(x
0)的最小值是（
C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
3、函数y
4x2
(
16 x2 1)2
的最小值是
__8____
4、若x, y R , xy2 4则x 2 y的最小值是_____
12.、 QQx2x>10 0