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第04讲基本不等式及其应用(十八大题型)(课件)-高考数学一轮复习(新教材新高考)

题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2

⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4

B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2

2019-2020学年新人教B版必修一基本不等式及其应用课件(65张)

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2 题型分类深度剖析
PART TWO
多维探究
题型一利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法 2
例1 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为_3__. 解析 x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)
≤13·3x＋24－3x2＝43，当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝23时，取等号.
2x＋y2＋x－2y2
解析由已知可得
15
＝1，
∴2x＋1 y2＋x－42y2＝2x＋y21＋5x－2y2×2x＋1 y2＋x－42y2
＝1155＋2x－x＋2yy22＋4x2－x＋2yy22≥115(5＋4)＝53，当且仅当|x－2y|＝ 2|2x＋y|时取等号.
定积最大)
【概念方法微思考】
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数 y＝x＋1x的最小值是 2 吗？提示不是.因为函数 y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0，所以函数 y＝x＋1x无最小值.
例 6 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为_4__.
解析已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于 9， ∵1＋a＋yx＋ayx≥a＋2 a＋1，当且仅当 y＝ ax 时，等号成立， ∴a＋2 a＋1≥9， ∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.
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5.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝_3__.

2.4 基本不等式及其应用.ppt

若 a、b∈R＋，且 ab＝P，P 为定值，则 a b 2 P ，
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2）若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ；（2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理来证明存在某个点使得函数值满足给定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质，来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

不等式讲基本不等式及其应用课件pptx

柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式，它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组，利用数学归纳法和排序不等式的性质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式

高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件

(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD，即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二利用基本不等式求最值考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，

当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤

基本不等式ppt课件

对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的位置关系，以及求解圆中弦长等几何问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面积和体积的问题，例如在给定周长的条件下，求矩形或立方体的最大面积或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明

基本不等式(共43张)ppt课件

15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式，并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。

基本不等式及其应用ppt课件

【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题提升能力
考点一利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】解法一(换元消元法)：由已知得 x＋3y＝9－xy，因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy，所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0，得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.

高中数学沪教版上海高一第一学期第二章基本不等式及其应用ppt课件

本的1. （1）写出明年该产品的利润y万元与促销费用m万元之间的关系式；
固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，（1）写出明年该产品的利润y万元与促销费用m万元之间的关系式；
某新建小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，如
例3：若x 0, y 0, 2x 3y 1, 求xy的最大值.
答案：当且仅当x 1 , y 1 时, xy有最大值 1积为100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
练习2：
1、已知 : x, y R ,且x y 1, 求 1 1 的最小值. xy
，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。
要2、说两明正出等数号的明成积立为年的定条值该件时。，产它们品的和的有最利小值润。y万元与促销费用m万元之间的关系式；
例4：用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）该厂家明年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最有最大值。
2、若0 x 1 ，求 x(1 2x)的最大值. 2
3、一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
课堂小结：
1、两正数的和为定值时，它们的积有最大值。 2、两正数的积为定值时，它们的和有最小值。
3、要注意“一正、二定、三等号”，并说明等号成立的条件。
最小？（结果精确到0.1米）
解：设矩形绿地长为x米，则宽为 700 米,
人行道的占地面积
S
(x
8)(
700
6)

基本不等式的应用(课件)

1.本题可转化为求二次函数 S x2a x 的最大值.
2.本题还可以用二元函数来解决，设长为 x, 宽为y, 则x y 2a, 求Ｓ＝xy的最大值
例 2 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池 , 其容积为4800 m 2 , 深度为 3m .如果池底每 1m 2 的造价为150 2 元, 池壁每1 m 的造价为120 元 , 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元 ? 解设总造价为 y元, 池底的一边长为 xm, 则另一边长
例 3 过点 1,2 的直线 l与 x的正半径、 y轴的正半轴分别交于 A, B两点,当AOB 的面积最小时, 求直线 l的方程.
y B
a
b
a b
(1,2)
a 2, b 4 时, 取" "号.
O 1
A x
因此, AOB的面积最小时 , 直线 l 的方程为
x y 1 , 即2 x y 4 0 . 2 4
证明：∵ x, y R

x y ①当 xy p (定值)时， p 2
x y ∴ 2 xy
∴ x y 2 p ∵上式当且仅当 x y 时取“=” ∴当 x y时有 ( x y) min 2 p
s xy ② 当x y s（定值）时， 2
∵上式当且仅当 x y 时取“=” ∴当 x y时有 ( xy ) max
y 2 k ( x 1)(k 0)
例 4 如图, 一份印刷品的排版面积矩形为A, 它的两边都留有宽为 a 的空白, 顶部和底部都留有宽为b 的空白.如何选择纸张的尺寸, 才能 x 使纸的用量最小 ? b
Q`
P`
解设纸张的长和宽分别是x, y, 则

《基本不等式》PPT课件

一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法，培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱，认识到数学在解决实际问题中的重要作用。同时，通过基本不等式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要利用一元一次不等式进行求解。