阶梯式程序设计-数的计算

#include <stdio.h> #include <time.h> long s; int n; int change(long n) { int i; s++; for(i=1;i<=n/2;i++) change(i); }
/* 每出现一个数，累加器加1 */
/*左边添加不超过原数一半的自然数，作为新原数*/
【进阶】
#include <stdio.h> #include <time.h> long long f[10001]; int n,i,j; int main() { double start,end; scanf("%d",&n); start=clock(); f[1]=1; for(i=2;i<=n/2;i++) { f[i] =1; for(j=1;j<=i/2;j++) /* 先计算f[1]~f[n/2] */ f[i] = f[i] + f[j]; } f[n]=1; for(j=1;j<=n/2;j++) f[n]= f[n] + f[j]; /* 再计算 f[n] */ printf("%I64d ", f[n]); end=clock(); printf("the time was:%lf \n",(end-start)/CLK_TCK); getchar(); getchar(); return 0; }
阶梯式程序设计-数的计算
数的计算(count)
[题目要求] 我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n): 先输入一个自然数n(n<=1000),然后对此自然数按照如下方法进行处 理: ①. 不作任何处理; ②. 在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半; ③. 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止.
③原数=n左边已添加的数据(如16中的1，26中的2，36中的3) 因为要求左边可添加的自然数不能超过原数的一半，数据16无法 产生新数；数据26可产生新数126(左边添加1)；数据36可产生 新数136(左边添加1)。S=[6,16,26,36,126,136)。 126，136能否继续扩展?根据猜想，数据126是在6的左边添加了 12，则可继续扩展出1126，2126，3126，4126，5126，6126 ，与样例不符，猜想同样失败。
[思辩]
换一个角度看问题，通过前面的分析，我们可以发现这样一个事实，对 于任意自然数n，它能扩展出的数据个数受限于1～[n/2]所能扩展出的数据 个数。用f(n)表示自然数n所能扩展的数据总个数，则f(n)的值与 f(1),f(2),…,f([n/2])的取值有关。 由前面的分析已知f(1)=1，f(2)=2，f(10)=14，假定n=50，则当在50的 左边添加自然数10时，可扩展出的数据总数为14，当在50的左边添加自 然数2时，可扩展出的数据总数为2， 当在50的左边添加自然数1时，可扩展出的数据总数为1。能否用 f(1),f(2),…,f([n/2])来表示f(n)? 猜想 : f(n)= f(1),f(2),…,f([n/2]) 验证： 若n=2，则f(2)=f(1),错误。问题在于忽略了处理规则①，f(n)存在初始值 1：因此，修正递推表达式： f(3)=1+f(1)=2 f(4)=1+f(1)+f(2)=4 f(5)= 1+f(1)+f(2)=4 f(10)=1+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+1+2+2+4+4=14 n的最大值为t000，因此，时间和空间都能承受。
(1)猜想
①原数=n 由16可产生新数116，216，316；26可产生新数126，226， 326：36可产生新数136，236，336。但在样例中116，216， 316，226，326，236，336均没有出现，猜想失败。
②原数=新产生的数(如16，26，36) 则由16可产生新数116，216，316，416，516，616，716， 816，同样，和样例比较，并不吻合，猜想也失败。
分析到这步，很多同学感觉程序没有问题了。观察数据规模， n<=1000，取n=1000， 则可产生数据1371531621252505001000(1000-500-250-12562-31-15-7-3-1)，怎样表示这些数据? 可以采用高精度数。 再看试题要求：只需输出满足条件的数据个数即可。因此， 能否把问题再简化? 根据变化规则，我们每次关心的只是最近一次添加的自然数 ，因此，可以只记录生成数据的个数，而忽略数据本身。这样， 程序就简单多了。
int main() { double start,end; scanf("%d",&n); start=clock(); s=0; change(n); printf("s=%ld ",s); end=clock(); printf("the time was:%lf \n",(end-start)/CLK_TCK); 0; }
2014-01
for(i=1;i<=n;i++) { h[i]= 1+sum[i/2] ; sum[i] = sum[i-1] + h[i]; } printf("%I64d ", h[n]); end=clock(); printf("the time was:%lf \n",(end-start)/CLK_TCK); getchar(); getchar(); return 0; }
算法1 (1)数据结构 s：longint； {记录满足条件的数据个数} n：mteger； {表示原数} (2)算法描述：(用j记录数据个数) ①输入数据n，s=0 ②s=s+1，n左边可添加的自然数为1～[n/2] ③ 依次设置原数为1～[n/2]，执行语句② 程序模拟： 假定n=2，符合要求的数为②，12。 n=2,s=1→n左边可添加的自然数为1，s=s+1=2 →程序结束。 假定n=10，符合要求的数为10,110,210,1210,310,1310,410， 1410,2410,12410,510,1510,2510,12510，共14个。
[思辩] 我们还可以进一步思考，从循环结构中发现可以将部 分和逐一求出，用sum(i)代表从h(1)到h(i)的累加和，这样 可以省出重复求每一个f(n-1)的时间。 由前面的分析, 可以得到: h(i)=1+sum( i /2 ) sum(i)=sum(i-1)+h(i);
【提高】
#include <stdio.h> #include <time.h> long long h[10001],sum[10001]; int n,i,j; int main() { double start,end; scanf("%d",&n); start=clock();
④原数=n左边最近一次添加的数据 类似前面的分析，我们从S=[6,16,26,36,126,136]开始。 因为126中最近一次添加的是1，因此无法产生新数：同理136也 无法产生新数。 集合S扩展结束，与样例完全吻合。
(2)理论验证
根据问题描述中的处理方法③ ，要使程序能够终止，原数应 该在n的基础上不断变小，否则自然数的添加会无法终止，而只 有猜想④符合这一要求。如n=100，可扩展出: 50100，2550100，122550100，6122550100，36122550100 ，136122550100。 在这里，原数依次为100，50，25，12，6，3，l，是逐渐变 小的。当原数为1的时候终止扩展。 很多同学喜欢一拿到题目，就凭主观臆想急着编程。俗话说 “磨刀不误砍柴工”，前面的分析虽然花费了一定的时间，但它 能使程序目标明确、意图清晰，何乐而不为?
样例: 输入: 6 满足条件的数为 6 (此部分不必输出) 16 26 126 36 136 输出: 6
[思辩]
根据问题描述中的处理方法②，对自然数n，可在它的左边加上 一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半：由题意描述③，n 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加自然数为止。很 多同学不理解题意，不妨先看样例。我们把依次产生的数据放到集 合S中。 ① n=6 s=[6] ② 在n的左边可添加1，2，3，因此可产生新数16，26，36， S=[6，16，26，36 ] 对于这个结果大家都很容易得到了，接下来对数据16，26，36 怎么扩展，是本题的重点，也是本题的难点。 在处理方法描述②中，并没有对“原数”做出明确定义，怎么 办? 先猜想，再通过样例验证。