因式分解最全方法归纳

3
) 2 = ( x 3 +8 y
2
3
)( x 3 – 8 y
3
)
2
= ( x +2 y ) ( x 2 – 2 x y +4 y 解二：x 6 -6 4 y 6 = ( x
2
) ( x – 2 y ) ( x 2 +2 x y +4 y
2
)
2
)3 –( 4 y
2
) 3 = ( x 2 –4 y
) ( x 4 +8 x 2 y 2 +16 y 4 –4 x 2 y
解：原式= 3 a b ( 2 a -3 c+1 ) 例 2、分解因式：–12 x 3 y 2 +4 x 2 y
2 3
解：原式= –4 x 2 y
( 3 x –y ) 式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变
总 结（口诀）：找准公因 形看奇偶。
1
2、公式法 分解因式与整式乘法是互 逆的恒等变换，如 果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某 些多项式分解成因式。 平 方 差 完 全 平方 立 立 方 差 方 和 a – b = ( a + b)( a – b) ( a ± b ) = a + b ± 2a b a – b = ( a – b)( a + b + a b) a + b = ( a + b)( a + b – a b)
因 式分解最全方法归纳
乐 水散人整理于 2015.09 一 、因式分解的概念与原则 1、 定义：把一 个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分 解，也叫作分解因式。 2、原则： （1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）； （2）结果最后只留下小括号； （3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号； （4 ）结果个因式的多项式为最简整式，还 可以化简的要化简； （5 ）如 有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前； （6 ）相同 因式的乘积写成幂的形式； （7 ）如 无 特殊要求，一 般在有理数范围内分解。如 另有要求，在要求的范围内分解。 3、因式分解的一 般步骤 （1）如 果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如 果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； （3）如 果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解； （4）检查各因式是否进行到每一 个因式的多项式都不能再分解。 也可以用一 句话来概括：“先 看有无公因 式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组 分解要相对合适。” 二、因式分解的方法 1、提取公因式 公因式：一 个多项式的多项都含有的相同 的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以 是单项式，也可以是多项式。 确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一 项为负的， 要提出负号；字母取各项的相同 字母，而且各字母的指数取次数最低的。 提取公因式：公因式作为一 个因式，原式除以公因式的商作为另一 个因式。 注 意事项： （1）先确定公因式，一 次把公因式全 部提净； （2 ）提完 公因式后，商的项数与原式相同 ，与公因式相同 的项，其商为 1 不可丢 掉； （3 ）提取的公因式带 负号时，多项式的各项要变号。 例 1、分解因式： 6 a 2 b –9a b c+3 a b
m ( n –1 )
a c )
( a - b ) ³ = a ³ + 3a b²- 3a ²b- b³ +b -b
( n –2 )
+a -a
( n –2 )
b +… … b +… …
a +b a +b
( n –Hale Waihona Puke Baidu )
] ] ( m 为奇 数)
+b
m
= ( a +b ) [ a
( m –1 )
( m –2 )
2 2
( a + b)- b( a - b )= a
2
( a + b)- b( a + b)( a - b)
2
= ( a + b ) [ a - b ( a - b ) ] = ( a + b ) ( a - a b+ b ) a - b = a - a b+ a b- b = a
2 3 3 3 2 2 3 2
( a - b)+ b( a - b )= a
2
2
2
2
( a - b)+ b( a + b)( a - b)
2
= ( a - b ) [ a + b ( a + b ) ] = ( a - b ) ( a + a b+ b ) 例 3 、分解因式：x 6 -6 4 y
3 6
解一 ：原式= ( x
)2 – ( 8 y
)
= ( x +2 y ) ( x –2 y ) [ ( x 2 +4 y 2 ) 2 – ( 2 x y ) 2 ] = ( x +2 y ) ( x –2 y ) ( x 2 +2 x y +4 y 2 ) ( x 2 –2 x y +4 y 2 ) 注 意：分解时既用平方差公式又用立方差公式，一般先 用平方差公式，可简化步骤。 3 、分组分解法 多项式含有多个单项式时，从 整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运 用公式分解，但从 局部看，能够提取公因式或利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能 够提取公因式或利用公式。 例 4 、分解因式： a m +a n – bm – bn 解：原式= ( a m + a n ) – ( bm +bn ) = a ( m + n ) – b ( m + n ) = ( a – b ) ( m + n ) 2
( m –2 )
( m –1 )
部分公式的推 导： a 2 – b 2 = a 2 +a b – a b – b 2 = ( a 2 +a b ) – ( a b +b a + b = a + a b- a b+ b = a
2 3 3 3 2 2 3 2 2
2
) = a ( a +b ) – b ( a +b ) = ( a +b ) ( a – b )
3 3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2
( a +b+c ) = a + b +2a b+2 b c+2 ca
2
2
2
三 项立 方和 a + b + c – 3a bc = ( a + b+ c ) ( a + b + c – a b– bc – 完 全 立 方 高 次方和 高 次方差 ( a + b ) ³ = a ³ + 3a b²+3a ²b+ b³ a n –b n = ( a –b ) [ a a