自动控制原理第五章-频率响应法

南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
第5章 频率响应法
本章研究内容： 频率特性及表示法、典型环节的频率特性、系统开环频率
特性的绘制、 Nyquist稳定判据、稳定裕量及计算。 频率特性的特点：
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法 来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具 有重要的实际意义。
I ( )
T 1 2T
2
联立消去ω可以得到实部和虚部 的关系式：
[R( ) 0.5]2 [I( )]2 0.52
故，惯性环节的乃氏图是圆心为点（0.5，j0）上，半径为 0.5的半园（ω=0~∞）。
（2）Bode图
L() 20lg 1 20log 1 (T )2 1 jT
() arctanT
频率特性的几何图示法
▪ 幅相频率特性曲线（奈奎斯特Nyquist曲线,又称奈氏图）
G( j ) A( )e j ( )
A(ω) ω φ(ω)
定义：当输入信号的频率 0 ~ 变化时，向量G( j)
的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移 动的轨迹称为乃氏图。也称为极坐标图。
特点： 是一种复平面中的极坐标图。 一般为绕坐标原点顺时针转动的一条曲线。 曲线上面必须表明ω↑的方向。
l 1
n
响应到达稳态时其暂态分量为：ct
(t
)
lim(
t
l 1
Cl
e
pl t
)
0
3
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其稳态分量为：
cs
(t)
lim c(t )
t ∞
Be jt
De j t
其中：B G(s)
Ar
G( j ) Ar
(s j )( s j ) j
2j
C G(s)
输出响应到达稳态 时有：
t→∞
系统模型间的关系
s=σ+jω→ jω
G(jω)=G(s)|s= jω
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频率特性的表示形式
虚频特性
▪ 代数形式： G(jω)=P(ω)+jQ(ω)
▪ 幅相 (极坐标)式：
实频特性
G(jω)=| G(jω) |∠ G(jω)
▪ 指数式 ： G(jω)=A(ω)e jφ(ω) ▪ 正弦式 ：G(jω)=A(ω)[cosφ(ω)+j sin φ(ω)]
转折点：令-20lgωT =0dB或令-arctan ωT =- 45 ° 可得转折频率ω=1/T
转折点的实际幅频值： L(1/T)=-20lg 2≈- 3dB 转折点的相位： Φ(1/T) ≈- 45°
Magnitude (dB)
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Asymptote 低频渐近线
（2）Bode图 L(ω)= - 20lgω 是一条斜率为-20dB/dec，
L() dB
L1 ( )
-20dB/dec 20
-20dB/dec
0 0.1
1
10
L2 ()
20dB/dec
并过（1，0）点的直线。 -20
φ (ω)=-90°， 是一条与ω无关的
- 90°直线。
( )
90 0
90
积分环节
20
0 0.1
1
-20
2L02d(B/d) ec
10
微分环节
( )
90 0
90
积分环节
2 ( )
1 ( )
图5.8 积分、微分环节Bode图
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4. 惯性环节
G(s) 1 Ts 1
G( j ) 1
1
e j ( arctanT )
1 jT
1 2T 2
- 40dB/dec
ΔL(ω)
α
- 20dB/dec
ω1
ω2
0.1
1
10
102
( -1
0
1
2
(3) 根据直线斜率的定义有: -40=-tanα=-ΔL(ω) / lg(ω2 / ω1 ) 则: ΔL(ω)= 40 lg(ω2 / ω1 )
103
10-4 ω/s-1
3
4 lgω)
-40dB/dec
图5.3 对数坐标系的表示
是一条与正虚轴重合，由坐标原点指向∞的直线。
（2）Bode图
L(ω)= 20lgω，是一条斜率为20dB/dec，并过 （1，0）点的直线。
φ (ω)=90°，是一条与ω无关的+90°直线。
注意： Bode图与积分环节以ω轴为镜像对称。
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L( ) dB -L210(dB)/dec
对于相频特性 就是对称点
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二、典型环节(8个)的频率特性
1. 比例环节 G(s) K
G( j) Ke j0o
（1）乃氏图
A() K
( ) 0o
与ω无关，是正实轴上的一个点（K，0°） 。
（2）Bode图
L(ω)=20lgK φ (ω)=0°
是与ω无关的两条水平线 。
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➢ Bode图的绘制—— “两段一点法”
G(jω)= A(ω)ejφ(ω) →
L(ω)=20lgA(ω) φ(ω)
低频段渐近线：ω→0， L(0)； φ(0) 高频段渐近线： ω→∞， L(∞)； φ(∞) 转折点：高低频段渐近线的交点。
令L(0)= L(∞) → ω0 →交点[ω0， L(ω0)]
➢ 乃氏图的绘制—— “三点法”
G(jω)= A(ω)ejφ(ω) →
A(ω)：起止位置 φ(ω) ：起止方向
起点：ω→0，[A(0),φ(0)] 终点： ω→∞，[A(∞),φ(∞)] 与负实轴的交点：令φ(ω) =-180°→ ωx
相位截止频 率或相位剪
切频率
则交点为[A(ωg)，-180°]
注意：由φ(0) → φ(∞)的变化范围可判断乃氏图所在 的 象限。
相频Bode图：( )
arctan
I( ) R( )
对称曲线
特点：两条曲线绘在同一坐标系中。 L(ω)/dB：0，±20，±40，±60等。
纵坐标按线性分度 φ(ω)： 0° ，±90° ，±180°等。
横坐标ω/ s-1：按10倍频程（dec）即lg ω分度。
作用：用实验法求系统传函，进行系统的性能校正。
Φc(ω)
R(jω)
C(jω)
G(jω)
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设：r(t) Ar sin(t r ) 则有：c(t ) Ac ()sin[t c ()]
用复数形式表示为：R(j) Arejr , C(j) AC ()ejc ()
G(j)
Ac ()e jc () Ar e jr
作用：主要用于判断系统的稳定性—乃氏稳定判据
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Im
0
2型系统ω
0
Re
0
1型系统
0型系统 0
图5.2 乃氏图的特点
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▪ 对数频率特性曲线——对数坐标图---Bode图
幅频Bode图：L( ) 20 lg G( j ) / dB 折线段组成
Ac () e j[c ()r ] Ar
A()e j
定义：
A() Ac () — 为幅频特性，即系统输出与输入的幅值之比。 Ar
() c () r 为相频特性，即系统输出与输入的相位之差。
意义：频率特性反映了系统对于正弦信号幅值和相位的改变 情况。
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三种数学模型之间的关系
Ar
G( j ) Ar
(s j )( s j ) j
2j
由于:
G( j ) G( j ) e jG( j ) G( j ) G( j ) e jG( j )
所 以:
cs (t )
Ar
G(
j )
e j[t G ( j )]
e j[t G ( j )] 2j
Ar A( ) sin[t G( j )]
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L(ω)/dB Φ(ω)
270° 60
注意(1) 横坐标每10倍频程段刻度是相同的，每10倍 频程内刻度由稀到密。
(2) 斜率- 20dB/dec 表示ω每增加10倍频程，幅 值L(ω)下降20分贝。
180° 40 90° 20 0° 0 - 90° -20 -180° -40 -270° -60
R(s) Ar s2 2
则，C(s) G(s)R(s)
n
U(s) (s pl )
Ar s2 2
n
U(s) (s pl )
(s
Ar j )(s
j )
l 1
l 1
n
Cl
B
D
l1 s pl s j s j
其中，Ci、B、D均为待定系数。
n
c(t ) Cle plt (Be jt De jt ) ct (t ) cs (t )
Im
（K，0°）
0
Re
图5.5 比例环节乃氏图
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L( )
0
( )
dB K>1
K=1 K<1
lg
0
lg
图5.6 比例环节的Bode图
作用：比例环节只改变原系统的幅值（K＜1，降低；K ＞ 1， 抬高），不改变原系统的相位。
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Corner frequency：ωn=1/T =10
0
-5 0 dB dec
-10
-15
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw T+1) T=0.1
A( ) 1
（1）乃氏图
1 2T 2
() arctanT
Re
起点：（1, 0°） 终点： （0, -90°）
（1, 0°）
0
Im
ω
特点：惯性环节的乃氏图是位 于第四象限的半圆。
图5.10 惯性环节的乃氏图
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证明：实频特性和虚频特性为
R(
)
1
1
2T
2
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L(ω)/dB Φ(ω)
1
2
3
4 5 6 7 8 9 10ω/s-
0
0.30
0.48
0.70 0.85 0.95
0.60
0.78 0.90 1 lgω
图5.4 十倍频程的表示
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§5.2 典型环节的频率特性
一、 频率特性的概略绘制
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四种表达式之间的关系
A() G( j) R2() I2()
() G( j) arctan I() R( )
R() A() cos()
I () A()sin()
Im
I ( )
G( j)
A( )
()
o
Re R( )
图5.1 复数的表示
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2. 积分环节
G(s) 1 s
G( j ) 1 1 e j(90o ) j
（1）乃氏图
A( ) 1
( ) 90
起点：[∞, -90°]；
终点： [0, -90°]
特点：是一条与负虚轴重合并指 向坐标原点的直线。
Im
0
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ω↑
图5.7 积分环节乃氏图
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e jx e jx sin x
2j
Ac ( ) sin[t ( )]
（欧拉公式）
式中：Ac ( ) Ar A( )为稳态响应的幅值
( ) G( j )为稳态响应的相位
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用图形表示为
R(s)
C(s)
G(s)
r(t) Ar
Ac(ω)
c(t)
G(s)
（2）主要利用开环频率特性图的特点对闭环系统性能进行 分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于 传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。
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5.1 频率特性的基本概念
定义：频率特性又称频率响应，它是线性定常系统（环节或元 件），在不同频率的正弦信号作用下，响应到达稳态时， 输出与输入的复数比。
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L(ω)≈0dB，幅频特性是一条0dB的直线。 低频段：ω→0 Φ(ω) ≈0°，相频特性是一条0°的直线。
高频段：ω→∞
L(ω)≈-20lgωT = -20lgω -20lgT 幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的直线
Φ(ω) ≈-90°
相频特性是一条-90°的直线
定义表达式为 G(j) C(j) R(j)
理解：因为线性定常系统满足叠加性和齐次性，因此当其输入 端施加一正弦信号，系统响应到达稳态时必为一与输入 信号同频率的正弦信号，且输出响应的幅值和相位均为 输入信号频率的函数。
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证明：
设系统输入信号为 r(t) Ar sint
2 ( )
1 ( )
图5.8 积分、微分环节Bode图
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3. 纯微分环节
G(s) s
G( j) j e j90
传递函数与积分 环节互为倒数
Im
A()
（1）乃氏图 ( ) 90
起点：[0, 90°]；终点： [∞, 90°]
0
Re
图5.9 微分环节乃氏图