如何列二元一次方程组解应用题

如何列二元一次方程组解应用题
众所周知，列方程解应用题既是学习方程的一个重点，又是学习方程的一个难点，而列方程组解应用题更是分析问题和解决问题的能力的具体体现，又中考中的常见题型，那么如何才能正确地列出方程组呢？具体地说，列方程组与列一元一次方程基本相似，即基本步骤是：审、设、列、解、答.常见题型有以下几种情形：①和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数；②行程类问题，即路程=速度×时间；③工程问题，即工作量=工作效率×工作时间；④浓度问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度；⑤分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系；⑥等积问题，即变形前后的质量（或体积）不变；⑦数字问题，即有若个位上数字为a ，十位上的数字为b ，百位上的数字为c ，则这三位数可表示为100c +10b +a ，等等；⑧经济问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝
商品进价
商品的利润
×100％.等等.
下面以列二元一次方程组解中考应用题为例说明如下： 一、古代数学问题 例1（河北省）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
3219423.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）A A.2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
B.2114322x y x y +=⎧⎨
+=⎩， C.3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
D.264327x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
分析 抓住由图1所列出来的方程是3219423.x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
仔细分析系数3、2、19对应的图1
中的第一行和系数1、4、23对应的图2中的第二行的意义即可解答问题.
解 由图1所列出方程的意义，可知在图2中第一行表示的数分别为2、1、11，第二行表示的数分别为4、3、27.于是可以列出方程组2114327.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
故应选A .
说明 求解本题一定要在图1的基础上弄清楚每一个图案所表示的具体数，才能准确地解答问题.
二、学校学生就餐问题
例2（济南市）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生图1 图2
就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个大餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
分析（1）仔细分析题意，题目中提供了两个等量关系，即一是开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；二是开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.这样若设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，就可以列出二元一次方程组求解了.（2）有了第（1）小问，只要算一下5个大餐厅和2个小餐厅共容纳的人数，再与5300比较即可.
解（1）设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得2168022280.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
解这个方程组，得960360.x y =⎧⎨=⎩
，
答 1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.
（2）因为960×5+360×2＝5520＞5300，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐.
说明 本题中的两个等量关系是比较明显的，只是在处理第（2）小问时要借助于第（1）小问的结果，通过适当的计算，才能加以判断.
三、情景对话问题
例3、小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包．你能根据他们的对话内容（如图3），求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？
分析 根据对话知道两个等量关系，一是随身听和书包的单价之和是452元，二是随身听的单价比书包的单价的4倍少8元，这样若设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元，就可以根据题意列出一元一次方程组求解.
解 设他们看中的书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元.则根据题意，得
452,48.x y y x +=⎧⎨=-⎩解得92,
360.x y =⎧⎨
=⎩
答 他们看中的随身听和书包单价各是360元和92元. 四、奥运“福娃”和徽章 例4】、某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据如图4提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？ 我知道随身听的单价
比书包的单价的4倍
少8元.
我知道随身听和书包的单价之和是452元. 图3
分析通过观察分析图2所提供的信息可以知道两个等量关系：一是1盒“福娃”和2枚徽章共计价格是145元，二是2盒“福娃”和3枚徽章共计价格是280元，这样根据题意即可列出二元一次方程组求解.
解设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元.
则根据题意，得
2145,
23280.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解这个方程组，得
125
10.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元.
说明本来情景对话型的应用题已经让同学们感兴趣了，加之又赋予时代气息的奥运“福娃”和徽章，这样可以大大激发和提高同学们的解题能力.
五、表格信息
例5（乐山市）经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容：
蔬菜品种红辣椒黄瓜西红柿茄子
批发价(元/公斤) 4 1.2 1.6 1.1
零售价(元/公斤) 5 1.4 2.0 1.3
.请你计算出小熊能赚多少钱？
分析要求小熊用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖能赚多少钱，就得先求出红辣椒和西红柿各批多少公斤，由表中提供的信息红辣椒和西红柿的价格分别是4元/公斤和1.6元/公斤，而红辣椒和西红柿共44公斤，这样即可根据题意即可列出二元一次方程组求解.
解设小熊在市场上批发了红辣椒x公斤，西红柿y公斤.
则根据题意，得
44
4 1.6116
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解这个方程组，得x＝19，y＝25.
25×2+19×5－116＝29（元）.
答他卖完这些西红柿和红辣椒能赚29元.
说明当一个问题直接求解有困难时，不妨换一种思维，间接求解.本题中通过先分别求出红辣椒和西红柿的重量即可使问题获解.
六、开放型问题
例6、如图5，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.
（1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值；
共计145元共计280元
图4
（2）把满足（1）的其它6个数填入图（2）中的方格内.
分析 依题意可知图（1）中有两个等式：2x +3+2＝2+(－3)+y ，2x +3+2＝2x +y +4y .由此可以列出二元一次方程组求解.
解（1）由已知条件可得：234345x y y y +=-⎧⎨
+=⎩，．解得1
1x y =-⎧⎨=⎩
，．
（2）由（1）可得如图6所示的表.
说明 本题列方程组时有不同的列法，具有一定开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果仍然是一的.
练习题：
1，八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
2，在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益．今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4200亩．问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩？
参考答案：1，设该村去年种植烟叶和蔬菜面积各为x 亩，y 亩，根据题意有：
420080020%30%800x y x y +=-⎧⎨
+=⎩解得2200
1200x y =⎧⎨=⎩
答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是2200亩，1200亩.
2，设钢笔每支为x 元，笔记本每本y 元，据题意得⎩⎨⎧-=++=510015102y x y x 解方程组得⎩⎨
⎧==3
5
y x 答：钢笔每支5元，笔记本每本3元.
2 －
3 4y
2
－3 （1） （2） 图5
3 2x y 3 2
－3 3 －2 5 1 0
－1 4
图6。