如何列二元一次方程组解应用题
人教版七年级数学下册期考经典题型汇总：列二元一次方程组解应用题(附答案与全解全析)
人教版七年级数学下册期考经典题型汇总：列二元一次方程组解应用题知识网络重难突破知识点一列二元一次方程组解应用题列二元一次方程组解应用题的一般步骤：1.审：审题，明确各数量之间的关系。
2.设：设未知数3.找：找题中的等量关系4.列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组5.解：解方程组，求出未知数的值6.答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。
题型一二元一次方程组的应用- 方案问题典例1 （2020·监利县期中）1400元奖金要分给22名获奖员工，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。
试问经理，该怎样分发这1400元奖金？变式1-1（2018·大石桥市期末）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？②请你帮该物流公司设计租车方案．变式1-2（2019·贵港市期末）某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问：（1）春游学生共多少人，原计划租45座客车多少辆？（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算．题型二二元一次方程组的应用–行程问题典例2（2018·广州市期末）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54分钟，从乙地到甲地用42分钟，甲地到乙地的全程是多少．变式2-1（2020·辉县市期中）一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？变式2-2（2019·许昌市期末）为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远.题型三二元一次方程组的应用–工程问题典例3（2020·甘南县期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：(1)甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱?(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少?(3)若装修完后，商店每天可贏利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)变式3-1（2020·成都市期末）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？变式3-2（2019·成都市期末）某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0．6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米?（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0．2米，乙组平均每天能比原来多掘进0．3米．按此旄工进度，能够比原来少用多少天完成任务?题型四二元一次方程组的应用–数字问题典例4（2019·靖远县期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？变式4-1（2020·海淀区期末）小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341。
二元一次方程组在应用题(实际问题)中的应用
二元一次方程组在应用题（实际问题）中的应用二元一次方程组解实际问题的方法步骤：对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解题容易，列方程组解应用题有以下几个步骤： 1． 选取定几个未知数；2． 依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； 3． 解方程组，得到方程组的解；4． 检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解.\例题分析： 例：某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？解：（1）解法一：设书包的单价为x 元，则随身听的单价为()48x -元根据题意，得48452x x -+= 解这个方程，得 x =92484928360x -=⨯-=答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。
解法二：设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元 根据题意，得x y y x +==-⎧⎨⎩45248解这个方程组，得x y ==⎧⎨⎩92360答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。
（2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金： 45280%3616⨯=.（元） 因为3616400.<，所以可以选择超市A 购买。
在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金： 3602362+=（元）因为362400<，所以也可以选择在超市B 购买。
列二元一次方程组解应用题的步骤
列二元一次方程组解应用题的步骤一、和差倍分问题。
1. 已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数。
- 设甲数为x，乙数为y。
- 根据题意可列方程组：x + y=42 3x = 4y- 由x + y=42可得x = 42 - y，将其代入3x = 4y中，得到3(42 - y)=4y。
- 展开式子得126 - 3y = 4y，移项得126=4y + 3y，即7y = 126，解得y = 18。
- 把y = 18代入x = 42 - y，得x = 42-18 = 24。
2. 两个数的差是5，积是84，求这两个数。
- 设较大的数为x，较小的数为y。
- 则方程组为x - y=5 xy = 84- 由x - y=5可得x = y + 5，将其代入xy = 84中，得到(y + 5)y = 84。
- 展开得y^2+5y - 84 = 0，因式分解得(y + 12)(y - 7)=0，解得y=- 12或y = 7。
- 当y=-12时，x=-12 + 5=-7；当y = 7时，x = 7+5 = 12。
二、行程问题。
3. 甲、乙两人相距30千米，甲速度为x千米/小时，乙速度为y千米/小时，若两人同时出发相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲6小时可追上乙，求甲、乙两人的速度。
- 根据路程 = 速度×时间。
- 对于相向而行：3x+3y = 30，化简得x + y = 10。
- 对于同向而行：6x-6y = 30，化简得x - y = 5。
- 所以方程组为x + y = 10 x - y = 5- 两式相加得2x = 15，解得x = 7.5。
- 把x = 7.5代入x + y = 10，得y = 10 - 7.5 = 2.5。
4. 一艘轮船顺流航行速度为每小时20千米，逆流航行速度为每小时16千米，求轮船在静水中的速度和水流速度。
- 设轮船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时。
二元一次方程组的应用——解应用题
二元一次方程组的应用——解应用题【学习目标】弄清列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.【重难点】找出能够表示题意两个相等关系【知识要点】各类应用题中三个量之间的关系。
【方法点拨】由各类应用题中三个量之间的关系列出方程组。
【基础过关】例1、打折前，买60件商品和30件商品用了1080元，买50件商品和10件商品用了840元，打折后，买50件商品和50件商品用了960元，比不打折少花多少钱？例2、甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书？例3、张老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮，到了商店后发现，若给全组每人都买2支铅笔和1块橡皮，则要按零售价计算，共需付款30元；若给全组每人都买3支铅笔和2块橡皮，则可按批发价，共需付款40.5元.已知铅笔每支批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.1元，求这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价是多少？例4、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生.⑴求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？⑵检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.例5、汽车在相距70km的甲、乙两地之间往返行驶，因为行程中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2小时30分钟，而从乙地回到甲地需要2小时48分钟，已知汽车在平地每小时行30km，上坡路每小时行20km，下坡路每小时行40km，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少？【考点突破】1、学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售.一次性购买型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售.（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支型毛笔和2支型毛笔，共支付145元；若每人各买2支型毛笔和1支型毛笔，共支付129元.这家文具店的、两种类型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店对型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的型毛笔的零售价）的出售.现要购买型毛笔支（），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由.2、某市根据信息产业部调整“因特网”的资费要求，规定如下：上“因特网”的费用为电话费0.22元/3分钟。
列二元一次方程组解应用题的技巧
列二元一次方程组解应用题的技巧列方程组解应用题的常见题型．（1）和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×1倍量．例1第一个容器有49L 水，第二个容器有56L 水，如果将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水是这个容器么第二个容器剩下的水是这个容器容量容量的 ；如果将第一个容器的水倒满第二个容器，如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一那么第一个容器剩下的水是这个容器容量的个容器剩下的水是这个容器容量的 ，求这两个容器的容量．，求这两个容器的容量．解 ： 设第一个容器的容量为xL xL，第二个容器的容量为，第二个容器的容量为y L y L，那么第二个容器倒给第一个容器，那么第二个容器倒给第一个容器（x －4949））L ，剩下5656－（－（－（x x －4949））L 水，第一个容器倒给第二个容器（水，第一个容器倒给第二个容器（y y －5656））L ，剩下4949－（－（－（y y －5656））L 水，于是根据题意，得水，于是根据题意，得答：第一个容器的容量为63L 63L，第二个容器的容量为，第二个容器的容量为84L 84L．．（2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系式是：加工总量成比例．例2某车间有28名工人参加生产某种特制的螺丝和螺母，已知平均每人每天只能生产螺丝12个或螺母18个，个，一个螺丝一个螺丝一个螺丝装配装配两个螺母，两个螺母，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，才能使每天的才能使每天的产品正好配套？产品正好配套？解 设每天安排x 人生产螺丝，人生产螺丝，y y 人生产螺母，那么每天能生产螺丝12x 个，螺母18y 个，于是根据题意，得根据题意，得答：应安排12人生产螺丝，人生产螺丝，1616人生产螺母．人生产螺母．（3）速度问题： 解这类问题的基本关系式是：路程＝速度×时间．一般又分为相遇问题、追及问题及环形道路问题，现列表归纳如下：例3 3 某人从甲地骑车出发，先以某人从甲地骑车出发，先以12km/h 的速度下山坡，后以9km 9km／／h 的速度过公路到达乙地，共用55min 55min；返回时，按原路先以；返回时，按原路先以8km 8km／／h 的速度过公路，后以4km 4km／／h 的速度上山坡回到甲地，共用1h30min 1h30min，问甲地到乙地共多少千米？，问甲地到乙地共多少千米？，问甲地到乙地共多少千米？解 设甲地到乙地山坡路为x km x km，公路为，公路为y km y km．根据题意，得．根据题意，得．根据题意，得答：甲地到乙地共9km 9km．．例4 4 一列快车长一列快车长70m 70m，一列慢车长，一列慢车长80m 80m，若两车同向而行，快车从追上慢车开始到离开慢车，，若两车同向而行，快车从追上慢车开始到离开慢车，需要1min 1min；若两车相向而行，快车从与慢车；若两车相向而行，快车从与慢车；若两车相向而行，快车从与慢车相遇相遇到离开慢车，只需要12s 12s，问快车和慢车的，问快车和慢车的，问快车和慢车的速速度各是多少？各是多少？解 设快车的速度是x m x m／／s ，慢车的速度是y m y m／／s ，根据题意，得，根据题意，得答：快车的速度是7.5m 7.5m／／s ，慢车的速度是5m 5m／／s ．例5 5 甲、乙两人在甲、乙两人在200m 的环形跑道上练习竞走，乙的速度比甲快，当他们都从某地同时背向行走时，每隔30s 种相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，求甲、乙两人的竞走速度． 解 设甲的速度为xm xm／／min min，乙的速度为，乙的速度为ym ym／／min min，根据题意，得，根据题意，得，根据题意，得答：甲的速度为175m 175m／／min min，乙的速度为，乙的速度为225m/min 225m/min．．（4）航速问题：此类问题分水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速例6 6 甲轮从甲轮从A 码头顺流而下，乙轮从B 码头逆流而上，两轮同时相向而行，相遇于码头逆流而上，两轮同时相向而行，相遇于中点中点，而乙轮顺流航行的速度是甲轮逆水航行的速度的2倍，已知水流速度是4km 4km／／h ，求两轮在静水中的速度．速度．解 设甲轮在静水中的速度为x km/h x km/h，乙轮在静水中的速度为，乙轮在静水中的速度为y km y km／／h ，根据题意，得，根据题意，得答：甲轮在静水中的速度为20km 20km／／h ，乙轮在静水中的速度为28km 28km／／h ．（5）工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作量＝工作效率×工作时间． 一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题．例7 7 一批机器一批机器一批机器零件零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？ 解 设甲每天做x 个机器零件，乙每天做y 个机器零件，根据题意，得个机器零件，根据题意，得答：甲、乙两人每天做机器答：甲、乙两人每天做机器零件零件分别为50个、个、3030个．个．例8 .一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成，现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快天内完成，现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务．问甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？队加入后又做了多少天？解 设甲、乙两队先合做了x 天，丙队加入后又做了y 天，根据题意，得天，根据题意，得答：甲、乙两队先合做了4天，丙队加入后又做了2天．天．（6）增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×（1＋增长率）＝增长后的量，原量×（1－减少率）＝减少后的量．例9 9 某学校办工厂今年总某学校办工厂今年总某学校办工厂今年总收入收入比总支出多30000元，计划明年总收入比总支出多69600元，已知计划明年总收入比今年增加2020％，总支出比今年减少％，总支出比今年减少8％，求今年的总收入和总支出．％，求今年的总收入和总支出． 解 设今年的总收入为x 元，总支出为y 元，根据题意，得元，根据题意，得答：今年的总收入为150000元，总支出为120000元．元．（7）盈亏问题：解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量．例10为了迎接新学期开学，为了迎接新学期开学，某服装厂赶制一批校服，某服装厂赶制一批校服，某服装厂赶制一批校服，要求必须在规定时间内完成，要求必须在规定时间内完成，要求必须在规定时间内完成，在生产过程在生产过程中，如果每天生产50套，这将还差100套不能如期完成任务；如果每天生产56套，就可以超额完成80套，问原计划生产校服的套数及原计划规定多少天完成？解 设原计划生产x 套校服，原计划规定生产y 天，根据题意，得天，根据题意，得答：原计划生产1600套校服，原计划规定生产30天．天．（8）数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关数的概念、特征及其表示．如当n 为整数时，奇数可表示为2n ＋1（或2n －1），偶数可表示为2n 等．有关两位数的基本等量关系式为：两位数＝十位数字×10＋个位数字．例11 11 一个两位数的个位数字比十位数字大一个两位数的个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对换，如果把个位数字与十位数字对换，所得的新两位所得的新两位数与原两位数相加的和为143143，求这个两位数．，求这个两位数．，求这个两位数．解 设这个两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，根据题意，得，根据题意，得答：这个两位数为4949．．（9）几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式．例12 12 有两个有两个有两个长方形长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm 112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm 6cm，求这两个长方形的面积．，求这两个长方形的面积．，求这两个长方形的面积．解 设第一个长方形的长与宽分别为5xcm 和4xcm 4xcm，，第二个长方形的长与宽分别为3ycm 和2ycm 2ycm，，根据题意，得根据题意，得答：这两个长方形的答：这两个长方形的面积分面积分别为别为 ．（10）年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等，两人的年龄差是永远不会变的．例13 13 师傅对徒弟说：师傅对徒弟说：“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的老人了”．问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？解 设现在师傅x 岁，徒弟y 岁，根据题意，得岁，根据题意，得答：现在师傅36岁，徒弟20岁．岁．。
二元一次方程组的应用--4课时
5. 工程问题 一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1 的工程问题。 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作 时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。 6. 行程问题 （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间、 顺水速度=船速+水速、逆水速度=船速-水速。 （2）基本类型有 ① 相遇问题；② 追及问题；常见的还有：相背而行；行 船问题；环形跑道问题。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走 的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画 草图来分析，理解行程问题。
例5.为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为 获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决 定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则 需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？
（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超 过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买支钢笔需要花元，
2.星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去 买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一 杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 3.为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动。某家电公司销售 给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台， 启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分 别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售 出1228台。 （1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰 箱分别为多少台？ （2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999 元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13% 给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农 户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果 保留2个有效数字）？
应用题二元一次方程组的解法
应用题二元一次方程组的解法二元一次方程组是数学中常见的问题，用于解决两个未知数的关系。
它可以表示为以下形式：方程1：ax + by = c方程2：dx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f是已知的数，x、y是要求解的未知数。
为了求解这个方程组，我们可以使用以下几种方法：1. 消元法：通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数从而得到另一个未知数的值。
具体步骤如下：- 将其中一个方程乘以适当的常数，使得两个方程的某个系数相等（通常是系数a或d）；- 将两个方程相加或相减，消去相同的系数所对应的未知数；- 解得消去后的方程，求解得到一个未知数的值；- 将求得的未知数代入其中一个原方程中，求解另一个未知数的值。
2. 代入法：通过将其中一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中求解未知数的值。
具体步骤如下：- 将其中一个方程表示为未知数的函数，如假设x = g(y)；- 将得到的函数代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程；- 解得代入后的方程，求解得到一个未知数的值；- 将求得的未知数代入原先的函数中，求解另一个未知数的值。
3. Cramer法则：Cramer法则利用矩阵理论求解二元一次方程组。
具体步骤如下： - 构建矩阵A，其中A的第一列为方程组中x的系数，第二列为y的系数；- 构建向量B，其中B为方程组的常数项组成的列向量；- 求解A的行列式D；- 将矩阵A中的第i列替换为B，得到新的矩阵Ai；- 求解Ai的行列式Di；- 未知数x的值等于Di除以D，未知数y的值等于Dy除以D。
以上是三种常用的解二元一次方程组的方法，通过这些方法可以准确地求得方程组的解。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来解决方程组，以满足问题的需求。
总结起来，二元一次方程组的解法包括消元法、代入法和Cramer法则，每种方法都有其独特的求解思路和步骤。
掌握这些方法，我们可以更好地解决实际问题中涉及到的二元一次方程组。
二元一次方程(组)应用题专题讲解及练习(附答案)
实际问题与二元一次方程组（一） 要点一.常见的一些等量关系 1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价. 要点二.实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案．例题讲解题型一.和差倍分问题例1.电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？【跟踪训练】根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（ ）A ．7元B ．35元C ．45元D ．50元题型二.配套问题例2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【跟踪训练】某家具厂生产一种方桌，设计时13m的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有103m的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）. 题型三.工程问题例3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?题型4.利润问题例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价销售价（元/箱）甲24 36乙33 48（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？【跟踪训练】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗专题练习（一）一、选择题1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( ) .A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（）A．300元 B．310元 C．320元 D．330元4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他( ) .A．赔了10元 B．赚了10元C．赔了约7元 D．赚了约7元5.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺帽和生产螺栓的数分别为（）A．50人，40人 B．30人，60人C．40人，50人 D．60人，30人6.某校七年级(2)班40名同学为四川地震灾区捐款，共捐了100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( ) .A.272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题7．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________．8．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是元和元．9．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.10．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．11．如图，3个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为9cm，8个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为14cm，则100个这样的纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ cm．12．“六一”儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天共售出门票3000张，共收入15600元，则这一天售出了成人票张儿童票张。
七年级二元一次方程组应用题解
七年级二元一次方程组应用题解在七年级数学学习中，二元一次方程组是一个重要的知识点。
通过解答应用题，我们可以更好地理解和应用这一概念。
本文将通过几个具体的实际问题，来解析二元一次方程组的应用解题方法。
问题一：小明买苹果和香蕉小明去菜市场买苹果和香蕉，已知苹果的价格是每斤2元，香蕉的价格是每斤1.5元，小明一共买了10斤水果，花了20元，请问苹果和香蕉各买了多少斤？解：设苹果的重量为x斤，香蕉的重量为y斤，根据题意可得出以下方程组：2x + 1.5y = 20x + y = 10通过联立方程组，我们可以解得：x = 6, y = 4因此，小明买了6斤苹果，4斤香蕉。
问题二：田园种菜小军在田园里种了番茄和黄瓜，已知番茄一棵产10个，黄瓜一棵产8个，小军一共收获了80个蔬菜，共有9棵植物，请问番茄和黄瓜各种了多少棵？解：设种植的番茄株数为x，黄瓜株数为y，根据题意得出以下方程组：10x + 8y = 80x + y = 9解方程组可得：x = 4, y = 5所以，小军种了4棵番茄，5棵黄瓜。
问题三：班级篮球比赛某班级进行篮球比赛，男生队和女生队参加，男生队每场比赛能得到5分，女生队每场比赛能得到3分，该班级参加了10场比赛，一共得到了40分，请问男生队和女生队各获得了多少分？解：设男生队得分为x分，女生队得分为y分，题目转化为以下方程组：5x + 3y = 40x + y = 10通过解方程组得到：x = 6, y = 4男生队获得了6分，女生队获得了4分。
通过以上三个问题的解答，我们可以看到利用二元一次方程组进行实陵题的求解并不难。
希望通过这些实例的讲解，能帮助同学们更好地理解和应用这一知识点。
如何列二元一次方程组解应用题
如何列二元一次方程组解应用题众所周知，列方程解应用题既是学习方程的一个重点，又是学习方程的一个难点，而列方程组解应用题更是分析问题和解决问题的能力的具体体现，又中考中的常见题型，那么如何才能正确地列出方程组呢？具体地说，列方程组与列一元一次方程基本相似，即基本步骤是：审、设、列、解、答.常见题型有以下几种情形：①和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数；②行程类问题，即路程=速度×时间；③工程问题，即工作量=工作效率×工作时间；④浓度问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度；⑤分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系；⑥等积问题，即变形前后的质量（或体积）不变；⑦数字问题，即有若个位上数字为a ，十位上的数字为b ，百位上的数字为c ，则这三位数可表示为100c +10b +a ，等等；⑧经济问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品进价商品的利润×100％.等等.下面以列二元一次方程组解2006年中考应用题为例说明如下： 一、古代数学问题 例1（河北省）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423.x y x y +=⎧⎨+=⎩，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）A A.2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩，B.2114322x y x y +=⎧⎨+=⎩， C.3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩，D.264327x y x y +=⎧⎨+=⎩，分析 抓住由图1所列出来的方程是3219423.x y x y +=⎧⎨+=⎩，仔细分析系数3、2、19对应的图1中的第一行和系数1、4、23对应的图2中的第二行的意义即可解答问题.解 由图1所列出方程的意义，可知在图2中第一行表示的数分别为2、1、11，第二行表示的数分别为4、3、27.于是可以列出方程组2114327.x y x y +=⎧⎨+=⎩，故应选A .说明 求解本题一定要在图1的基础上弄清楚每一个图案所表示的具体数，才能准确地解答问题.二、学校学生就餐问题例2（济南市）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生图1 图2就餐.（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个大餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.分析（1）仔细分析题意，题目中提供了两个等量关系，即一是开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；二是开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.这样若设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，就可以列出二元一次方程组求解了.（2）有了第（1）小问，只要算一下5个大餐厅和2个小餐厅共容纳的人数，再与5300比较即可.解（1）设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得2168022280.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得960360.x y =⎧⎨=⎩，答 1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.（2）因为960×5+360×2＝5520＞5300，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐.说明 本题中的两个等量关系是比较明显的，只是在处理第（2）小问时要借助于第（1）小问的结果，通过适当的计算，才能加以判断.三、情景对话问题例3（娄底市）小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包．你能根据他们的对话内容（如图3），求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？分析 根据对话知道两个等量关系，一是随身听和书包的单价之和是452元，二是随身听的单价比书包的单价的4倍少8元，这样若设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元，就可以根据题意列出一元一次方程组求解.解 设他们看中的书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元.则根据题意，得452,48.x y y x +=⎧⎨=-⎩解得92,360.x y =⎧⎨=⎩答 他们看中的随身听和书包单价各是360元和92元. 四、奥运“福娃”和徽章例4（海南省）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据如图4提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？图3分析 通过观察分析图2所提供的信息可以知道两个等量关系：一是1盒“福娃”和2枚徽章共计价格是145元，二是2盒“福娃”和3枚徽章共计价格是280元，这样根据题意即可列出二元一次方程组求解.解 设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元.则根据题意，得2145,23280.x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510.x y =⎧⎨=⎩ 答 一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元.说明 本来情景对话型的应用题已经让同学们感兴趣了，加之又赋予时代气息的奥运“福娃”和徽章，这样可以大大激发和提高同学们的解题能力. 五、表格信息例5（乐山市）经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容：.请你计算出小熊能赚多少钱？分析 要求小熊用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖能赚多少钱，就得先求出红辣椒和西红柿各批多少公斤，由表中提供的信息红辣椒和西红柿的价格分别是4元/公斤和1.6元/公斤，而红辣椒和西红柿共44公斤，这样即可根据题意即可列出二元一次方程组求解.解设小熊在市场上批发了红辣椒x 公斤，西红柿y 公斤.则根据题意，得444 1.6116x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得x ＝19，y ＝25. 25×2+19×5－116＝29（元）.答 他卖完这些西红柿和红辣椒能赚29元.说明 当一个问题直接求解有困难时，不妨换一种思维，间接求解.本题中通过先分别求出红辣椒和西红柿的重量即可使问题获解. 六、开放型问题例6（吉林省）如图5，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.（1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x ，y 的值；共计145元 共计280元 图4（2）把满足（1）的其它6个数填入图（2）中的方格内.分析 依题意可知图（1）中有两个等式：2x +3+2＝2+(－3)+y ，2x +3+2＝2x +y +4y .由此可以列出二元一次方程组求解.解（1）由已知条件可得：234345x y y y +=-⎧⎨+=⎩，．解得11x y =-⎧⎨=⎩，．（2）由（1）可得如图6所示的表.说明 本题列方程组时有不同的列法，具有一定开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果仍然是一的.练习题： 1，（益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：李小波：阿姨，您好！售货员：同学，你好，想买点什么？李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 2，（湘西自治州）在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益．今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4200亩．问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩？参考答案：1，设该村去年种植烟叶和蔬菜面积各为x 亩，y 亩，根据题意有：420080020%30%800x y x y +=-⎧⎨+=⎩ 解得22001200x y =⎧⎨=⎩答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是2200亩，1200亩.2，设钢笔每支为x 元，笔记本每本y 元，据题意得⎩⎨⎧-=++=510015102y x y x 解方程组得⎩⎨⎧==35y x 答：钢笔每支5元，笔记本每本3元.2 －3 4y2－3 （1） （2） 图53 2x y 3 2－3 3 －2 5 1 0－1 4图6。
二元一次方程组应用题-教师用
实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：本金与利息的和叫做本息和。
④期数：存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：利息的税款叫做利息税。
(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
二元一次方程组应用问题归纳
二元一次方程组应用问题归纳知识要点分析一：列二元一次方程组解应用题的步骤：( 审设列解答 )(1) 审：审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；(2) 设：找出能够表示题意的两个相等关系并设出方程；(3) 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；(4) 解：解方程组，求出两个未知数的值；(5) 答：写出答案（包括单位名称），注意求出的方程组的解要合理符合实际。
二：常见问题中的数量关系（重点、难点）㈠鸡兔同笼问题等量关系：鸡头+兔头=头数鸡脚+兔脚=足数㈡增收节支问题增（减）后的数量=基数×（1±增加（减少）后的百分数）；百分率问题：百分率=×100％；折扣问题：打折后的价格=原价×打折数；存（贷）款问题：利息=本金×利率×时间，本息和=本金+利息；盈利问题：销售额=售价×数量；总利润=销售额－总成本=每件的利润×数量=（售价－进价）×数量。
㈢里程碑上的数（1）数字问题1、用字母表示两位或两位以上的数．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b+a；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a+b．2、数的位置变换后怎样表示多位数．（1）两位数x 放在两位数y 的左边，组成一个四位数，这时，x 的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，而两位数y 在四位数中数位没有变化．因此用x 、y 表示这个四位数为100x+y ．同理，如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数为100y+x ．（2）一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果在它们之间添上零，十位上的n 便成了百位上的数．因此这个三位数是由n 个100，0个10，m 个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m ．3、年龄问题：遇年龄问题时，注意两人年龄同时增长相同岁数．（2）行程问题行驶路程 = 行驶速度•行驶时间①相遇问题：甲乙相向而行，则甲走的路程+乙走的路程 = 总路程；②追及问题：甲乙同向不同地而行，则追者走的路程 = 被追者走的路程 + 两人最初相距的距离；小结：设总路程为S ，甲路程为甲S ，乙路程为乙S ，则相遇问题中的等量关系：甲S +乙S =S. 若甲、乙两人相距S ，甲速度快，在后面追乙，追及问题中的等量关系：甲S =乙S +S.③环形跑道问题：同时同地同向而行，首次相遇，路程差等于一圈；同时同地相背而行，首次相遇，路程和等于一圈；④飞行问题：顺风速度 = 无风速度 + 风速； 逆风速度 = 无风速度 — 风速；⑤航行问题：顺水速度 = 静水速度+水速；逆水速度 = 静水速度—水速；顺水速度—逆水速度 = 2水速.【典型例题】考点一：二元一次方程组与鸡兔同笼问题例 1. 鸡鸭共一栏，鸡为鸭之半.八鸭展翅飞，六鸡在下蛋，再点鸡鸭数，鸭为鸡倍三，请你算一算，鸡鸭各多少 如果设有鸡x 只，鸭有y 只，则由诗意可列二元一次方程组：_________________.例2.（2014辽宁）八年级学生开会，若每条长凳坐5人，则少10条长凳，若每条长凳坐6人，则多两条长凳，问学生多少长凳多少例3.（2013吉林）吉林人参是保健佳品，某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元.王叔叔用1200元在此特产商店购买这两种人参共15棵，求王叔叔购买每种人参的棵树.考点二：二元一次方程组与增收节支问题例1.（2013•乌鲁木齐）在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11kg苹果，5kg梨，老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少元例2.（2014•泰州）今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．例3.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：我乘这种出租车走了11千米，付了17元；乙说：我乘这种出租车走了23千米，付了35元.请你算一算这种出租车的起步价是多少元以及超过3千米后，每千米的车费是多少元考点三：用二元一次方程组解决数字问题—里程碑上的数例1.有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则得到的数比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，试求原来的三位数.例年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，求父亲和儿子现在的年龄．例3.(2014山西)甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数（列出方程组即可）例4.（2014陕西）有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数.考点四：二元一次方程组与行程问题—里程碑上的数例1.(2011恩施州)小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻12:0013:0014:30碑上的数是一个两位数，数字之和为6十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了比12:00时看到的两位数中间多了个0则12:00时看到的两位数是：A、24B、 42C、51D、15例2. (2013四川) 甲、乙二人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．（列方程组求解）例3.某体育场的一条环形跑道长400米，甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不同的速度练习长跑和自行车，如果背向而行，每隔21分钟他们相遇一次，如果同向而行，每隔321分钟甲追上乙一次，问甲、乙每分钟各行多少米。
二元一次方程组的8大解题方法,应用题的克星
二元一次方程组的8大解题方法，专治各类应用题！二元一次方程大战应用题一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。
（第一中考网）3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。
02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。
典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。
二元一次方程组应用题解题技巧
二元一次方程组应用题解题技巧
一、二元一次方程组的四种解法
1、消元法
用消元法求解二元一次方程组，是最常用的一种方法，它要求给定的二元一次方程组有唯一解，通常通过下列三步可以解出方程组的解：
（1）将方程组化为上三角形；
（2）从最下面开始，用逐步消元法；
（3）求出两个未知数的值。
2、代入法
当计算机不能解如何求解时，可以用代入法近似的求解，原理是：给定的方程组有个解，可以先猜测其中一个未知数的值，然后代入方程组，解出另一个未知数的值，再代入一个不同的初值，解出另一个未知数的值，再代入另一个不同的初值，如此反复，直到与初始初值一致。
3、特殊因式法
特殊因式法是根据一些特殊的性质来求解二元一次方程组的一
种方法，如满足同差定理的方程组的解，可以用同差定理来求解；如果满足等差数列的方程组的解，可以用等差数列的性质来求解，等等。
4、图像法
图像法是指把二元一次方程组的两个变量作图，找出图形上关于变量的判别规律，从而求出变量的确定值的一种方法，主要有三点：
（1）对二元一次方程组的两个变量，取候选值构成一定的点对；
（2）根据给出的方程组，绘制它们的点对；
（3）求出方程组的解。
二、解题技巧
1、先用考题的条件分析出这个问题的特点，然后确定用哪一种解法解决。
2、如果题目中给出条件，需要充分的利用这些条件，根据条件的特殊性选择相应的求解方法
3、对于增加便捷解决方程的繁琐操作和准确率，可采用计算机辅助处理。
4、一般情况，在解题过程中，要把问题抽象成几个简单的步骤。
5、解题的过程中要随时记录计算的步骤，以免出现书写漏洞的现象。
6、在解题过程中，要熟练掌握运用各种技巧。
二元一次方程组应用题怎么列方程
二元一次方程组应用题怎么列方程
一、引言
在数学中，二元一次方程组是常见的问题类型之一。
解决这类问题，需要利用
代数知识来建立方程组，从而求解方程组的未知数值。
本文将以具体的应用题为例，演示如何逐步列出二元一次方程组。
二、问题描述
假设有一个包含苹果和梨的水果篮子，已知水果的总重量为1000克，苹果的
重量是梨的两倍。
已知苹果和梨的单位重量分别是a克和b克。
现求解苹果和梨
的具体重量。
三、问题分析
设苹果的重量为x克，梨的重量为y克，由题意可列出以下条件： 1. 水果的总重量为1000克：x + y = 1000 2. 苹果的重量是梨的两倍：x = 2y
四、构建方程组
根据问题分析中的条件，可以得到以下方程组： - x + y = 1000 - x = 2y
将第二个等式代入第一个等式中，得到： 2y + y = 1000 3y = 1000 y = 1000 / 3
y = 333.33
继续代入可得： x = 2 * 333.33 x = 666.66
五、解答
经过计算，苹果的重量为666.66克，梨的重量为333.33克。
六、总结
通过以上步骤，我们成功列出了二元一次方程组，进而求解出苹果和梨的具体
重量。
在解决实际问题时，可以根据题目中的条件逐步建立方程，然后利用代数方法求解未知数的值，从而得出最终结果。
通过本文的示例，希望读者能更好地理解如何在应用题中列出二元一次方程组，为解决类似问题提供参考。
列二元一次方程组解应用题的步骤列二元一次方程组解应用题设元四法
列二元一次方程组解应用题的步骤列二元一次方程组解应用题设元四法列二元一次方程组解应用题时，要根据不同的已知条件，不同的问题，采取恰当的设元方法，才能正确地列出方程组，使问题顺利获解。
下面通过四道例题的分析，帮助同学们掌握四种常用的设元方法。
一、直接设元例1夏季，为了节约空调用电，常采用调高设定温度和清洗设备两种方法。
宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再清洗乙种空调的设备，使得乙种空调每天的节电量是只将温度调高1℃时节电量的1、1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。
求只将温度调高1℃，两种空调每天各节电多少度？分析：本题有两个等量关系：只将温度调高1℃，甲种空调每天节电量－乙种空调每天节电量＝27度；将温度调高1℃，并清洗乙种空调的设备后，甲种空调每天节电量+乙种空调每天节电量＝405度。
根据这两个等量关系式，采取直接设元的方法列二元一次方程组求解比较简单。
解：设只将温度调高1℃，甲种空调每天节电度，乙种空调每天节电y度。
根据题意，得-y=27，+1、1y=405、解方程组，得=207，y=180。
即只将温度调高1℃，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。
二、间接设元例2太极体育器材厂今年上缴国家利税4600万元，与去年同期相比增加了15%，其中上半年减少了25%，下半年增加了25%。
问今年上半年和下半年各上缴国家利税多少万元？分析：本题已知今年上缴的利税总额，以及和去年同期、上半年、下半年相比变化的百分数，根据这样的等量关系，可以采用间接设元的方法，分别将去年上半年和下半年上缴的利税额设为未知数列方程组，能更方便地解决问题。
解：设去年上半年上缴国家利税万元，下半年上缴国家利税y万元。
根据题意，得（+y）（1+15％）=4600，（1-25％）+y（1+25％）=4600。
解方程组，得=800，y=3200。
则今年上半年上缴国家利税为800（1-25%）=600（万元），今年下半年上缴国家利税为3200（1+25%）=4000（万元）。
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如何列二元一次方程组解应用题
众所周知，列方程解应用题既是学习方程的一个重点，又是学习方程的一个难点，而列方程组解应用题更是分析问题和解决问题的能力的具体体现，又中考中的常见题型，那么如何才能正确地列出方程组呢？具体地说，列方程组与列一元一次方程基本相似，即基本步骤是：审、设、列、解、答.常见题型有以下几种情形：①和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数；②行程类问题，即路程=速度×时间；③工程问题，即工作量=工作效率×工作时间；④浓度问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度；⑤分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系；⑥等积问题，即变形前后的质量（或体积）不变；⑦数字问题，即有若个位上数字为a ，十位上的数字为b ，百位上的数字为c ，则这三位数可表示为100c +10b +a ，等等；⑧经济问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝
商品进价
商品的利润
×100％.等等.
下面以列二元一次方程组解中考应用题为例说明如下： 一、古代数学问题 例1（河北省）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
3219423.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）A A.2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
B.2114322x y x y +=⎧⎨
+=⎩， C.3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
D.264327x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
分析 抓住由图1所列出来的方程是3219423.x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
仔细分析系数3、2、19对应的图1
中的第一行和系数1、4、23对应的图2中的第二行的意义即可解答问题.
解 由图1所列出方程的意义，可知在图2中第一行表示的数分别为2、1、11，第二行表示的数分别为4、3、27.于是可以列出方程组2114327.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
故应选A .
说明 求解本题一定要在图1的基础上弄清楚每一个图案所表示的具体数，才能准确地解答问题.
二、学校学生就餐问题
例2（济南市）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生图1 图2
就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个大餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
分析（1）仔细分析题意，题目中提供了两个等量关系，即一是开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；二是开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.这样若设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，就可以列出二元一次方程组求解了.（2）有了第（1）小问，只要算一下5个大餐厅和2个小餐厅共容纳的人数，再与5300比较即可.
解（1）设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得2168022280.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
解这个方程组，得960360.x y =⎧⎨=⎩
，
答 1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.
（2）因为960×5+360×2＝5520＞5300，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐.
说明 本题中的两个等量关系是比较明显的，只是在处理第（2）小问时要借助于第（1）小问的结果，通过适当的计算，才能加以判断.
三、情景对话问题
例3、小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包．你能根据他们的对话内容（如图3），求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？
分析 根据对话知道两个等量关系，一是随身听和书包的单价之和是452元，二是随身听的单价比书包的单价的4倍少8元，这样若设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元，就可以根据题意列出一元一次方程组求解.
解 设他们看中的书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元.则根据题意，得
452,48.x y y x +=⎧⎨=-⎩解得92,
360.x y =⎧⎨
=⎩
答 他们看中的随身听和书包单价各是360元和92元. 四、奥运“福娃”和徽章 例4】、某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据如图4提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？ 我知道随身听的单价
比书包的单价的4倍
少8元.
我知道随身听和书包的单价之和是452元. 图3
分析通过观察分析图2所提供的信息可以知道两个等量关系：一是1盒“福娃”和2枚徽章共计价格是145元，二是2盒“福娃”和3枚徽章共计价格是280元，这样根据题意即可列出二元一次方程组求解.
解设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元.
则根据题意，得
2145,
23280.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解这个方程组，得
125
10.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元.
说明本来情景对话型的应用题已经让同学们感兴趣了，加之又赋予时代气息的奥运“福娃”和徽章，这样可以大大激发和提高同学们的解题能力.
五、表格信息
例5（乐山市）经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容：
蔬菜品种红辣椒黄瓜西红柿茄子
批发价(元/公斤) 4 1.2 1.6 1.1
零售价(元/公斤) 5 1.4 2.0 1.3
.请你计算出小熊能赚多少钱？
分析要求小熊用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖能赚多少钱，就得先求出红辣椒和西红柿各批多少公斤，由表中提供的信息红辣椒和西红柿的价格分别是4元/公斤和1.6元/公斤，而红辣椒和西红柿共44公斤，这样即可根据题意即可列出二元一次方程组求解.
解设小熊在市场上批发了红辣椒x公斤，西红柿y公斤.
则根据题意，得
44
4 1.6116
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解这个方程组，得x＝19，y＝25.
25×2+19×5－116＝29（元）.
答他卖完这些西红柿和红辣椒能赚29元.
说明当一个问题直接求解有困难时，不妨换一种思维，间接求解.本题中通过先分别求出红辣椒和西红柿的重量即可使问题获解.
六、开放型问题
例6、如图5，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.
（1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值；
共计145元共计280元
图4
（2）把满足（1）的其它6个数填入图（2）中的方格内.
分析 依题意可知图（1）中有两个等式：2x +3+2＝2+(－3)+y ，2x +3+2＝2x +y +4y .由此可以列出二元一次方程组求解.
解（1）由已知条件可得：234345x y y y +=-⎧⎨
+=⎩，．解得1
1x y =-⎧⎨=⎩
，．
（2）由（1）可得如图6所示的表.
说明 本题列方程组时有不同的列法，具有一定开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果仍然是一的.
练习题：
1，八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
2，在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益．今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4200亩．问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩？
参考答案：1，设该村去年种植烟叶和蔬菜面积各为x 亩，y 亩，根据题意有：
420080020%30%800x y x y +=-⎧⎨
+=⎩解得2200
1200x y =⎧⎨=⎩
答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是2200亩，1200亩.
2，设钢笔每支为x 元，笔记本每本y 元，据题意得⎩⎨⎧-=++=510015102y x y x 解方程组得⎩⎨
⎧==3
5
y x 答：钢笔每支5元，笔记本每本3元.
2 －
3 4y
2
－3 （1） （2） 图5
3 2x y 3 2
－3 3 －2 5 1 0
－1 4
图6。