2.3等差数列的前n项和(一)

§2.3 等差数列的前n 项和(一)

学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路(重点)；2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个(重、难点).

预习教材P42－43完成下列问题： 知识点一 数列a n 与前n 项和S n 的关系 1.数列的前n 项和的概念

一般地，我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .

2.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系

当n ≥2时，有S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1，所以S n －S n －1＝a n ； 当n ＝1时，a 1＝S 1.

综上可得a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2.

【预习评价】

1.利用数列的前n 项和S n 求数列的通项公式时，能不能直接运用S n －S n －1＝a n 求解？

提示 不能.因为当n ＝1时，S 1－S 0没有意义. 2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n? 提示 a 1＝S 1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.

知识点二 等差数列的前n 项和公式 1.等差数列的前n 项和公式

2.两个公式的关系：把a n ＝a 1＋(n －1)d 代入S n ＝1n 2中，就可以得到S n

＝na 1＋n （n －1）

2d .

【预习评价】

1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？

提示 不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，

∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）

2

.

2.能否用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？

提示 由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n

＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；

S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1

＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]. 两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )×n ，

由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）

2.

根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ， 代入上式可得S n ＝na 1＋n （n －1）

2d .

知识点三 等差数列前n 项和的性质 1.若数列{a n }是公差为d

的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d

2.

2.若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .

3.设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1

T 2n －1.

4.若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)， S 偶－S 奇＝nd ，

S 偶S 奇＝a n ＋1a n

. 5.若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n

n ＋1.

【预习评价】

1.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A .－2 B.－1 C .0

D.1

解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 答案 B

2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3

＝59，则S 9

S 5

＝( )

A .1 B.－1 C.2

D.12

解析 由于S 2n －1＝(2n －1)a n ，则， S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 答案 A

题型一 数列的前n 项和S n 与通项a n 之间的关系

【例1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋1

2n (n －1)d (d 为常数).求证：数列{a n }是等差数列.

证明 根据S n ＝na 1＋1

2n (n －1)d ， a n ＋1＝S n ＋1－S n

＝(n ＋1)a 1＋12(n ＋1)[(n ＋1)－1]·d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤

na 1＋12n （n －1）d

＝a 1＋nd .① 当n ＞1时， a n ＝S n －S n －1

＝na 1＋12n (n －1)d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤

（n －1）a 1＋12（n －1）（n －2）d

＝a 1＋(n －1)d ，

当n ＝1时，a 1＝S 1，适合此式. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *).

∴a n ＋1－a n ＝(a 1＋nd )－[a 1＋(n －1)d ]＝d (常数)，对任意n ∈N *成立. ∴数列{a n }是等差数列.

规律方法 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2