2.3等差数列的前n项和(一)

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2.3.1 等差数列的前n项和(1)

2.3.1 等差数列的前n项和(1)
a1 an a2 an1 a3 an2 ......
两式相加得: 2Sn = (a1+an )×n 算 法 : 倒 序 相 加 法
n( a1 an ) Sn 2
推导公式 (教材):
Sn a1 (a1 d ) ... [a1 (n 1)d ]
2.3.1 等差数列的前n项和(1)
问题1: 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一 支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支, 最上面一层放 100 支,这个V形架上共放着多少 支铅笔?
化归: 1+2+3+…+99+100 = ?
观察归纳
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100 1+100=101 2+ 99=101 3+ 98=101 ……
4.预习教辅第32页 ~35页内容
n( n 1) 公式 2:Sn na1 d 2
通项公式: an a1 (n 1)d
知三可求二. 共5个量,由三个公式联系,
例1、计 算:
n( n 1) (1)1+2+3+…+n = ________. 2
(2)1+3+5+…+(2n-1) (3)2+4+6+…+2n
2 =________ . n
4m 8m 12m
化归:
60m
4+8+12+…+60=?3; 8 +12 +…+52+56+60=? S15 60+56+52 +…+12+ 8 +4 =? S15

2.3等差数列前n项和公式(1)

2.3等差数列前n项和公式(1)
n
nm
(3)在等差数列{an}中,由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
问题 1:
求和:1+2+3+4+‥ ‥ +99=?
问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:Sn= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 Sn = n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +
2Sn n(n 1)
2、利用 an:借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况, an 0且an 1 0
二.等差数列an 的首项a1 0, 公差d 0时,前n项和S n 有最小值
2 d 1、利用S n:S n d n ( a 1 2 )n.借助二次函数最值问题 2
2、利用 an:借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况, an 0且an 1 0
等差数列平均分组,各组之和仍为等差数列。
如果an 为等差数列 ,则S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等差数列。
新的等差数列首项为 Sk,公差为k d。
2
二、例题 例3.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项 变式.在等差数列 an 中 ,已知第 1 项到第 10 项的和为 310 , 的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项 第 11 项到第 20 项的和为 910 , 求第 21 项到第 30 项的和 . 和的公式吗? 解:依题意知,S10=310,S20=1220 得

第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和(一)

第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和(一)

第二章 数列 2.3 等差数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2. 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1,d ,n ,a n ,S n 的关系,能够由其中三个求另外两个. 知识梳理1. 数列前n 项和的概念把a 1+a 2+…+a n 叫数列{a n }的前n 项和,记做S n .a 1+a 2+a 3+…+a n -1=S n -1(n ≥2). 2. 等差数列前n 项和公式(1)若{a n }是等差数列,则S n 能够用首项a 1和末项a n 表示为S n =n (a 1+a n )2;(2)若首项为a 1,公差为d ,则S n 能够表示为S n =na 1+12n (n -1)d .3. 等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列,且公差为d2.(2)S m ,S 2m ,S 3m 分别为{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 也成等差数列,公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,则a n b n =S 2n -1T 2n -1.[情境导学]“数学王子”高斯是德国数学家.在高斯10岁时,老师出一道数学题为1到100的所有整数的和为多少?很快高斯即得出答案为5 050.老师大吃一惊,而更使人吃惊的是高斯的算法,高斯的算法是老师未曾教过的方法,那么这是一个什么样的方法呢?它用于解决什么类型的问题呢?这种方法叫倒序相加法,是等差数列求和的一种重要方法,本节我们就来研究它. 探究点一 等差数列前n 项和公式思考1 高斯是用怎样的方法快速求出1+2+3+…+100=? .思考2 人们从“高斯的算法”受到启示,创造了“倒序相加法”,即设S =1+2+3+…99+100,把加数倒序写一遍:S =100+99+98+…+2+1.两式相加有2S =(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1)=100×101,∴S =50×101=5050.你能利用此种方法1+2+3+…+n 等于多少吗? 答思考3 如何用“倒序相加法”求首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢?答小结 (1)我们称a 1+a 2+a 3+…+a n 为数列{a n }的前n 项和,用S n 表示,即S n =a 1+a 2+a 3+…+a n . (2)等差数列{a n }的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d .例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?解依题意得,反思与感悟建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.本题是根据首项和公差选择前n项和公式实行求解.易错方面:把前n项和与最后一项混淆,忘记答或写单位.跟踪训练1 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?解例2 已知一个等差数列{a n}前10项的和是310,前20项的和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?解方法一;方法二:反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和相关的问题中,要注意方程思想和整体思想的使用;(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1,d,n,a n,S n,知其三能求其二.跟踪训练2 在等差数列{a n}中,已知d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.探究点二等差数列前n项和的性质思考1 设{a n }是等差数列,公差为d ,S n 是前n 项和,那么S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 也成等差数列吗?如果是,它们的公差是多少? 答思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和,那么a n b n 与S 2n -1T 2n -1有怎样的关系?请证明之.答例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =7n +2n +3,求a 5b 5的值.(3)解 (1)方法一 方法二反思与感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.跟踪训练3 设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和,求T n . 解当堂检测1. 在等差数列{a n }中,S 10=120,那么a 1+a 10的值是( )解析 由S 10=10(a 1+a 10)2,得a 1+a 10=S 105=1205=24.2. 记等差数列前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d 等于( )A .2B .3C .6D .7答案 B解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2=2a 1+d =4S 4=4a 1+6d =20,解得d =3.方法二 由S 4-S 2=a 3+a 4=a 1+2d +a 2+2d =S 2+4d ,所以20-4=4+4d ,解得d =3. 3. 在一个等差数列中,已知a 10=10,则S 19=________.答案 190解析 S 19=19(a 1+a 19)2=19(a 10+a 10)2=19a 10=19×10=190.4. 已知等差数列{a n }中,(1)a 1=32,d =-12,S n =-15,求n 及a n ;(2)a 1=1,a n =-512,S n =-1 022,求d . 解 (1)∵S n =n ·32+(-12)×n (n -1)2=-15,整理得n 2-7n -60=0,解之得n =12或n =-5(舍去), a 12=32+(12-1)×(-12)=-4.(2)由S n =n (a 1+a n )2=n (1-512)2=-1 022,解之得n =4.又由a n =a 1+(n -1)d ,即-512=1+(4-1)d , 解之得d =-171. [呈重点、现规律]1. 求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到.2. 等差数列的两个求和公式中,一共涉及a 1,a n ,S n ,n ,d 五个量,若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量,在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用:若m +n =p +q ,则a n +a m =a p +a q (n ,m ,p ,q ∈N *);若m +n =2p ,则a n +a m =2a p . 3. 本节基本思想:方程思想,函数思想,整体思想,分类讨论思想.一、基础过关1. 已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列的前9项和S 9等于( )解析 S 9=92(a 1+a 9)=92(a 2+a 8)=36.2. 等差数列{a n }中,S 10=4S 5,则a 1d等于( )A.12 B .2C.14D .4答案 A解析 由题意得:10a 1+12×10×9d =4(5a 1+12×5×4d ),∴10a 1+45d =20a 1+40d ,∴10a 1=5d ,∴a 1d =12.3. 已知等差数列{a n }中,a 23+a 28+2a 3a 8=9,且a n <0,则S 10为( )A .-9B .-11C .-13D .-15答案 D解析 由a 23+a 28+2a 3a 8=9得(a 3+a 8)2=9,∵a n <0,∴a 3+a 8=-3,∴S 10=10(a 1+a 10)2=10(a 3+a 8)2=10×(-3)2=-15.4. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( )A .63B .45C .36D .27答案 B解析 数列{a n }为等差数列,则S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列,即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6), ∵S 3=9,S 6-S 3=27,则S 9-S 6=45. ∴a 7+a 8+a 9=S 9-S 6=45.5. 在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为( )A .765B .665C .763D .663答案 B解析 ∵a 1=2,d =7,2+(n -1)×7<100,∴n <15,∴n =14,S 14=14×2+12×14×13×7=665.6. 含2n +1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n +1nB.n +1nC.n -1nD.n +12n答案 B解析 S 奇=(n +1)(a 1+a 2n +1)2,S 偶=n (a 2+a 2n )2,∵a 1+a 2n +1=a 2+a 2n , ∴S 奇S 偶=n +1n .7. 设S n 为等差数列{a n }前n 项和,若S 3=3,S 6=24,求a 9.解 设等差数列的公差为d ,则S 3=3a 1+3×22d =3a 1+3d =3,即a 1+d =1,S 6=6a 1+6×52d =6a 1+15d =24,即2a 1+5d =8.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =1,2a 1+5d =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-1,d =2.故a 9=a 1+8d =-1+8×2=15. 二、能力提升8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m 等于( )A .38B .20C .10D .9答案 C解析 因为{a n }是等差数列,所以a m -1+a m +1=2a m ,由a m -1+a m +1-a 2m =0,得:2a m -a 2m =0,由S 2m-1=38知a m ≠0,所以a m =2,又S 2m -1=38,即(2m -1)(a 1+a 2m -1)2=38,即(2m -1)×2=38,解得m=10,故选C.9.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( )A .9B .10C .19D .29答案 B解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.∴钢管总数为:1+2+3+…+n =n (n +1)2.当n =19时,S 19=190.当n =20时,S 20=210>200. ∴n =19时,剩余钢管根数最少,为10根.10.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6S 12等于( )A.310 B.13C.18D.19答案 A 解析 方法一 S 3S 6=3a 1+3d 6a 1+15d =13, ∴a 1=2d ,S 6S 12=6a 1+15d 12a 1+66d =12d +15d 24d +66d =310. 方法二 由S 3S 6=13,得S 6=3S 3.S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9仍然是等差数列,公差为(S 6-S 3)-S 3=S 3,从而S 9-S 6=S 3+2S 3=3S 3⇒S 9=6S 3,S 12-S 9=S 3+3S 3=4S 3⇒S 12=10S 3,所以S 6S 12=310.11. 已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ,前k 项和S k =2 550,求a 及k .解 设等差数列{a n }的公差为d ,则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a +3a =2×4d =4-a ka +k (k -1)2d =2 550,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2d =2k =50.(注:k =-51舍)∴a =2,k =50.12.一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n , 则S n =na 1+n (n -1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1+10×92d =100, ①100a 1+100×992d =10. ②①×10-②整理得d =-1150,代入①,得a 1=1 099100,∴S 110=110a 1+110×1092d=110×1 099100+110×1092×⎝⎛⎭⎫-1150=110⎝⎛⎭⎫1 099-109×11100=-110.故此数列的前110项之和为-110.方法二 设S n =an 2+bn .∵S 10=100,S 100=10,∴⎩⎪⎨⎪⎧102a +10b =100,1002a +100b =10,解得⎩⎨⎧a =-11100,b =11110.∴S n =-11100n 2+11110n .∴S 110=-11100×1102+11110×110=-110.三、探究与拓展13.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 3a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)若数列{b n }是等差数列,且b n =S nn +c ,求非零常数c .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,且d >0. ∵a 3+a 4=a 2+a 5=22,又a 3a 4=117, ∴a 3,a 4是方程x 2-22x +117=0的两个根. 又公差d >0,∴a 3<a 4,∴a 3=9,a 4=13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =9a 1+3d =13,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1d =4,∴a n =4n -3. (2)由(1)知,S n =n ×1+n (n -1)2×4=2n 2-n ,∴b n =S nn +c =2n 2-n n +c.∴b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c .∵{b n }是等差数列,∴2b 2=b 1+b 3, ∴2c 2+c =0,∴c =-12 (c =0舍去).经检验,c =-12符合题意,∴c =-12.。

2.3等差数列的前n项和公式

2.3等差数列的前n项和公式

2.3 等差数列的前n 项和(一)[学习目标]1.掌握等差数列前n 项和公式及其推导方法;2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的有关的问题 [预习导引]1.数列前n 项和的概念把a 1+a 2+…+a n 叫数列{a n }的前n 项和,记做S n . 即S n =a 1+a 2+…+a n 问题1:如何由数列的前n 项和n S 求出通项公式n a ?2.等差数列前n 项和公式问题2:如何快速计算1+2+…+n=?问题3:受上述算法的启示,如何推导等差数列前n 项和公式n S ,方法是什么?新知1:等差数列前n 项和1()2n n n a a S +=(常与性质“若m n k l +=+则m n k l a a a a +=+”使用) 问题4:将通项1(1)n a a n d =+-代入上式,你能得到怎样的前n 项和公式n S ?新知2:等差数列前n 项和21(1)A B 2n n n S na d n n -=+=+其中A ________,B __________==(常建立1,a d 的方程组或看成关于n 的函数)题型一 与前n 项和S n 有关的基本量的计算 例1 在等差数列{a n }中(1)a 1=56,a n =-32,S n =-5,求n 和d . (2)已知d =2,a n =11,S n =35,求a 1和n .跟踪演练1在等差数列{a n }中(1)已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 10;(2)已知a 3+a 15=40,求S 17.题型二 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427,347,…的前n 项和为S n ,求使得S n 最大的序号n 的值.跟踪演练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,且S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的范围; (2)问前几项的和最大,并说明理由.题型三 利用S n 与a n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+12n ,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n ,求a n .当堂达标A 组1. 在等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( ). A. 12 B. 24 C. 36 D. 482.在50和350之间,所有末位数字是1的整数之和是( ). A .5880 B .5684 C .4877 D .45663.一个五边形的内角度数成等差数列,且最小角是046,则最大角是( ) A.0108 B. 0139 C. 0144 D. 01704.在小于100的正整数中共有 个数能被3除余2? 这些数的和是 。

普通高中课程标准实验教科书必修5第二章数列 (数列的概念与简单的表示方法等17个) 人教课标版4最新优选公

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(1+100)+(2+99)+…+(50+51) =101×50 =5050
新课引入
这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢 于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和 寻找出某些规律性的东西。
(2)该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的 一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介 绍的“倒序相加”法。
在等差数列的通 与项 前 n项 公和 式公,式 含中 有 a1, d,n,an ,Sn 五个,只 量要已知其中,就 三可 个以 量求 出余下的两 . 个量
例题讲解
例 3在等 a n 差 中 ,已 数 1 知 项 列 第 1 到 项 0 第 的 31 ,和
第 1项 1 2 到 项 0 第 的 91 ,求 和 02项 第 为 1 3 到 项 0 第 .的
以后也许三里清风,三里路,步步清风再无你。可也无悔你来过!人生的路你陪我一程,我念你一生……… 谢谢你来过!往后余生愿安好!感恩相遇,感恩来过……“当花瓣离开花朵,暗香残留,香消在风起雨后,无人来嗅”忽然听到沙宝亮的这首《暗香》,似乎这香味把整间屋子浸染。我是如此迷恋香味,吸进的是花儿的味道,吐出来的是无尽的芬芳。轻轻一流转,无限风情,飘散,是香,是香,它永远不会在我的时光中走丢。
项数4为 0的 0 等差.数列 根据等差数列的求和公 式 , 得
S40 0404 0.0 1400 4 201 00.2 320 m 00 .m
320 m 0 m 1 00 m 0
答 满盘时卫生纸和长度为 约100m.
例题讲解
例6 已知数 {an}列 的前 n项和Sn为 n212n,求这个数 列的通项 .这 公个 式数列是等?差 如数 果,列 是 它吗 的 首项和公差分?别是什么

2.3 等差数列的前n项和(一)讲学稿

2.3 等差数列的前n项和(一)讲学稿

前置作业: 1、 已知数列 an 是等差数列, a1 4, a8 18, n 8 ,求 S n
2、已知数列 an 是等差数列, a1 10, d 2, n 20 ,求 S n
研讨探究: 探究一:等差求和公式的推导(预习) 问题 1:计算 1 2 3 100 (思考:计算 1 2 3
2、已知数列 an 是等差数列, d 2, n 15, an 10 ,求 a1 及 S n
3、设 S n 施等差数列 an 的前 n 项和,若 S 5 25, S 10 100 ,求 an
当堂检测: 1、 (1)设 S n 施等差数列 an 的前 n 项和,已知 a2 3, a6 11 ,则 S 7
d=
总结反思:
101)
问题 2:计算 1 2 3
n
探究:数列 an 是等差数列, S n 是前 n 项和,则 S n a1 a2
an 怎么求?
探究二:求和公式的灵活应用 1、已知数列 an 是等差数列, a2 4, a7 18, n 8 ,求 S n (比较一下前置 1)
(2)若 an 中存在 am , an , ap , aq ,满足 m n p q ,则 (3)求和公式: S n = =
2、方法提点:灵活应用通项公式和求和公式解题。
重要例题示范: 例 已知数列 an 是等差数列, a5 10, S 5 30 ,求 S n
an a1 n 1 d a1 4d 10 a1 2 解:方法一:根据 , n n 1 得: 5a 10d 30 ,解得 d d 2 1 S n a1n 2
数学学科讲学稿

高中数学课件:第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和

高中数学课件:第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
99 an= 9×10n
n=1 n≥2.
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在等差数列{an}中,S10=100,S100=10.求S110.
[解] 法一:(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1,
1010-1 d=100, 10a1+ 2 公差为 d,则 100a +100100-1d=10. 1 2
2
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1 022,求公差d;
(2)已知等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,求a10.
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nn-1 解:(1)因为 an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ 2 d, 又 a1=1,an=-512,Sn=-1 022, 1+n-1d=-512, 所以 1 n+2nn-1d=-1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=
35,求a1和n.
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[自主解答]
an=a1+n-1d, 由 nn-1 Sn=na1+ 2 d,
பைடு நூலகம்
a1+2n-1=11, 得 nn-1 na1+ 2 ×2=35,
n=5, 解方程组得 a1=3, n=7, 或 a1=-1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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2.3 等差数列的前n项和(1)

2.3 等差数列的前n项和(1)
的元素的个数,并求这些元素的和.
解答:假设a1=7,则d=7, an=7n<100. 由7n<100得最大正整数n为14, 所以元素的个数是14. 故S14=14×7+½(14×13×7)=1911, 即这些元素的和是1911.
□范例讲解 例3. 等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S4=16,S8=64,求S12.
d 2 d S n n (a1 )n 2 2
用a1和an表示
☆能用基本量 a1和d表示吗?
二次函数形式
□范例讲解 例1. (1)已知等差数列{an}中,a1=4,S8=172,
求a8和d; (2)等差数列-10,-6,-2,2,…前多少 项的和是54? n(a1 an ) (1)答案:a8=39,d=5; Sn
2
S n na1 n( n 1)d 2
(2)解答:
因为a1=-10,d=4, Sn=54, 则 Sn=na1+½n(n-1)d,即得n² -6n-27=0, 解得n=9. 所以前9项的和是54.
□范例讲解 例2. 求集合
M {m | m 7n, n N * 且m 100}
orLeabharlann n( n 1)d S n na1 2
2.等差数列的前n项和的性质:
在等差数列中, Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也是等差数列.
课后作业
1. 课本P.40 第1题;
2. 作业本 1-9.
“倒序相加”法
□讲授新课 1. 数列的前n项和: 数列{an}中,
a1 a2 a3 an
称为数列{an}的前n项和,记为Sn.
Sn a1 a2 a3 an
2. 等差数列的前n项和公式
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§2.3 等差数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路(重点);2.经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思;3.熟练掌握等差数列的五个量a 1,d ,n ,a n ,S n 的关系,能够由其中三个求另外两个(重、难点).预习教材P42-43完成下列问题: 知识点一 数列a n 与前n 项和S n 的关系 1.数列的前n 项和的概念一般地,我们称a 1+a 2+a 3+…+a n 为数列{a n }的前n 项和,用S n 表示,即S n =a 1+a 2+a 3+…+a n .2.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系当n ≥2时,有S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,S n -1=a 1+a 2+a 3+…+a n -1,所以S n -S n -1=a n ; 当n =1时,a 1=S 1.综上可得a n =⎩⎨⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2.【预习评价】1.利用数列的前n 项和S n 求数列的通项公式时,能不能直接运用S n -S n -1=a n 求解?提示 不能.因为当n =1时,S 1-S 0没有意义. 2.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,怎样求a 1,a n? 提示 a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1, 又n =1时也适合上式,所以a n =2n -1,n ∈N *.知识点二 等差数列的前n 项和公式 1.等差数列的前n 项和公式2.两个公式的关系:把a n =a 1+(n -1)d 代入S n =1n 2中,就可以得到S n=na 1+n (n -1)2d .【预习评价】1.高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1+2+3+…+n ,不知道共有奇数项还是偶数项怎么办?提示 不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题:设S n =1+2+3+…+(n -1)+n , 又S n =n +(n -1)+(n -2)+…+2+1,∴2S n =(1+n )+[2+(n -1)]+…+[(n -1)+2]+(n +1), ∴2S n =n (n +1),∴S n =n (n +1)2.2.能否用“倒序相加法”求首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢?提示 由上节课学到的性质:在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和,其方法如下: S n =a 1+a 2+a 3+…+a n -1+a n=a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+…+[a 1+(n -2)d ]+[a 1+(n -1)d ];S n =a n +a n -1+a n -2+…+a 2+a 1=a n +(a n -d )+(a n -2d )+…+[a n -(n -2)d ]+[a n -(n -1)d ]. 两式相加,得2S n =(a 1+a n )×n ,由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2.根据等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d , 代入上式可得S n =na 1+n (n -1)2d .知识点三 等差数列前n 项和的性质 1.若数列{a n }是公差为d的等差数列,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列,且公差为d2.2.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 也成等差数列,公差为m 2d .3.设两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,则a n b n =S 2n -1T 2n -1.4.若等差数列的项数为2n ,则S 2n =n (a n +a n +1), S 偶-S 奇=nd ,S 偶S 奇=a n +1a n. 5.若等差数列的项数为2n +1,则S 2n +1=(2n +1)a n +1, S 偶-S 奇=-a n +1,S 偶S 奇=nn +1.【预习评价】1.数列{a n }为等差数列,它的前n 项和为S n ,若S n =(n +1)2+λ,则λ的值是( ) A .-2 B.-1 C .0D.1解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n =an 2+bn ,∴λ=-1. 答案 B2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S 9S 5=( )A .1 B.-1 C.2D.12解析 由于S 2n -1=(2n -1)a n ,则, S 9S 5=9a 55a 3=95×59=1. 答案 A题型一 数列的前n 项和S n 与通项a n 之间的关系【例1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n =na 1+12n (n -1)d (d 为常数).求证:数列{a n }是等差数列.证明 根据S n =na 1+12n (n -1)d , a n +1=S n +1-S n=(n +1)a 1+12(n +1)[(n +1)-1]·d -⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1+12n (n -1)d=a 1+nd .① 当n >1时, a n =S n -S n -1=na 1+12n (n -1)d -⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n -1)a 1+12(n -1)(n -2)d=a 1+(n -1)d ,当n =1时,a 1=S 1,适合此式. ∴a n =a 1+(n -1)d (n ∈N *).∴a n +1-a n =(a 1+nd )-[a 1+(n -1)d ]=d (常数),对任意n ∈N *成立. ∴数列{a n }是等差数列.规律方法 已知前n 项和S n 求通项a n ,先由n =1时,a 1=S 1求得a 1,再由n ≥2时,a n =S n -S n -1求a n ,最后验证a 1是否符合a n ,若符合则统一用一个解析式表示.【训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+12n ,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解 根据S n =a 1+a 2+…+a n -1+a n 可知S n -1=a 1+a 2+…+a n -1(n >1), 当n >1时,a n =S n -S n -1=n 2+12n -⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n -1)2+12(n -1)=2n -12,① 当n =1时,a 1=S 1=12+12×1=32,也满足①式.∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -12.由此可见:数列{a n }是以32为首项,2为公差的等差数列.题型二 等差数列前n 项和的有关运算 【例2】 在等差数列{a n }中, (1)a 1=56,a n =-32,S n =-5,求n 和d ;(2)a 1=4,S 8=172,求a 8和d .解 (1)由题意得,S n =n (a 1+a n )2=n ⎝ ⎛⎭⎪⎫56-322=-5,解得n =15.又a 15=56+(15-1)d =-32,∴d =-16.∴n =15,d =-16.(2)由已知得S 8=8(a 1+a 8)2=8(4+a 8)2=172,解得a 8=39,又∵a 8=4+(8-1)d =39,∴d =5. ∴a 8=39,d =5.规律方法 等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.【训练2】 在等差数列{a n }中, (1)已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 10; (2)已知a 3+a 15=40,求S 17.解(1)⎩⎨⎧S 5=5a 1+5×42d =5,a 6=a 1+5d =10,解得a 1=-5,d =3. ∴a 8=a 6+2d =10+2×3=16,S 10=10a 1+10×92d =10×(-5)+5×9×3=85.(2)S 17=17×(a 1+a 17)2=17×(a 3+a 15)2=17×402=340.【例3】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( ) A.13 B.35 C.49D.63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ,已知S n T n =7n n +3,则a 5b 5等于( )A.7B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1(n ∈N *),其前n 项和为S n ,则数列{S nn }的前10项的和为________.解析 (1)S 7=72(a 1+a 7)=72(a 2+a 6)=72(3+11)=49. (2)a 5b 5=a 1+a 92b 1+b 92=S 9T 9=7×99+3=214.(3)∵S n =n (3+2n +1)2=n (n +2).∴S nn =n +2,∴数列{S nn }是以首项为3,公差为1的等差数列,∴{S nn }的前10项和为10×3+10×92×1=75. 答案 (1)C (2)D (3)75【迁移1】 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ,且S n ∶T n =(2n +1)∶(3n -2),求a 9b 9的值.解 法一 a 9b 9=2a 92b 9=a 1+a 17b 1+b 17=a 1+a 172×17b 1+b 172×17=S 17T 17=2×17+13×17-2=3549=57. 法二 ∵数列{a n },{b n }均为等差数列, ∴S n =A 1n 2+B 1n ,T n =A 2n 2+B 2n . 又S n T n =2n +13n -2,∴令S n =tn (2n +1),T n =tn (3n -2),t ≠0,且t ∈R . ∴a n =S n -S n -1=tn (2n +1)-t (n -1)(2n -2+1) =tn (2n +1)-t (n -1)(2n -1)=t (4n -1)(n ≥2), b n =T n -T n -1=tn (3n -2)-t (n -1)(3n -5) =t (6n -5)(n ≥2).∴a n b n =t (4n -1)t (6n -5)=4n -16n -5, ∴a 9b 9=4×9-16×9-5=3549=57. 【迁移2】 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ,且a n ∶b n =(2n +1)∶(3n -2),则S 9T 9=________.解析 ∵{a n },{b n }均为等差数列, 则S 9T 9=9a 59b 5=2×5+13×5-2=1113.答案1113规律方法 等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路:利用公式S n =n (a 1+a n )2,设法求出整体a 1+a n ,再代入求解.(2)待定系数法:利用S n 是关于n 的二次函数,设S n =An 2+Bn (A ≠0),列出方程组求出A ,B 即可,或利用S n n 是关于n 的一次函数,设S nn =an +b (a ≠0)进行计算. (3)利用S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列进行求解.课堂达标1.在等差数列{a n }中,S 10=120,那么a 1+a 10的值是( ) A.12 B.24 C.36D.48解析 S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 1+a 10)=120,∴a 1+a 10=24. 答案 B2.记等差数列前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6D.7解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2=2a 1+d =4,S 4=4a 1+6d =20,解得d =3.法二 由S 4-S 2=a 3+a 4=a 1+2d +a 2+2d =S 2+4d ,所以20-4=4+4d ,解得d =3. 答案 B3.等差数列{a n }的前四项之和为124,后四项之和为156,各项和为210,则此数列的项数为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 由题意知a 1+a 2+a 3+a 4=124, a n +a n -1+a n -2+a n -3=156, ∴4(a 1+a n )=280, ∴a 1+a n =70.又S =n (a 1+a n )2=n2×70=210,∴n =6.答案 B4.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -48,则S n 取得最小值时,n 为________. 解析 ∵a 24=0,∴a 1<0,a 2<0,…,a 23<0,故S 23=S 24最小. 答案 23或245.已知等差数列{a n }中,(1)a 1=32,d =-12,S n =-15,求n ; (2)a 1=1,a n =-512,S n =-1 022,求d . 解 (1)∵S n =n ×32+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×n (n -1)2=-15,整理得n 2-7n -60=0, 解之得n =12或n =-5(舍去).(2)由S n =n (a 1+a n )2=n (1-512)2=-1 022,解之得n =4.又由a n =a 1+(n -1)d ,即-512=1+(4-1)d , 解之得d =-171.课堂小结1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a 1,a n ,S n ,n ,d 五个量,若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量,在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用:若m +n =p +q ,则a n +a m =a p +a q (n ,m ,p ,q ∈N *),若m +n =2p ,则a n +a m =2a p .3.本节基本思想:方程思想、函数思想、整体思想、分类讨论思想.基础过关1.已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列的前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36D.45解析 S 9=92(a 1+a 9)=92(a 2+a 8)=36. 答案 C2.等差数列{a n }中,S 10=4S 5,则a 1d 等于( )A.12B.2C.14D.4解析 由题意得:10a 1+12×10×9d =4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1+12×5×4d ,∴10a 1+45d =20a 1+40d , ∴10a 1=5d ,∴a 1d =12.答案 A3.已知等差数列{a n }中,a 23+a 28+2a 3a 8=9,且a n <0,则S 10为( )A.-9B.-11C.-13D.-15解析 由a 23+a 28+2a 3a 8=9得(a 3+a 8)2=9,∵a n <0,∴a 3+a 8=-3,∴S 10=10(a 1+a 10)2=10(a 3+a 8)2=10×(-3)2=-15. 答案 D4.在一个等差数列中,已知a 10=10,则S 19=________.解析 S 19=19(a 1+a 19)2=19(a 10+a 10)2=19a 10=19×10=190. 答案 1905.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且6S 5-5S 3=5,则a 4=________. 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由6S 5-5S 3=5,得3(a 1+3d )=1,所以a 4=13. 答案 136.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,求a 9. 解 设等差数列的公差为d ,则S 3=3a 1+3×22d =3a 1+3d =3,即a 1+d =1,S 6=6a 1+6×52d =6a 1+15d =24,即2a 1+5d =8.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =1,2a 1+5d =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-1,d =2.故a 9=a 1+8d =-1+8×2=15.7.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 10=100,S 100=10,求S 110. 解 法一 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,∵S 10=100,S 100=10,∴⎩⎨⎧10a 1+10(10-1)2d =100,100a 1+100(100-1)2d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1 099100,d =-1150. ∴S 110=110a 1+110(110-1)2d =110×1 099100+110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1150=-110. 法二 ∵S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…,S 100-S 90,S 110-S 100,…成等差数列,设公差为d ,∴该数列的前10项和为10×100+10×92d =S 100=10,解得d =-22,∴前11项和S 110=11×100+11×102×(-22)=-110.能力提升8.在等差数列{a n }中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n 项之和是100,则项数n 为( )A.9B.10C.11D.12解析 由题意及等差数列的性质可得4(a 1+a n )=20+60=80,∴a 1+a n =20.∵前n 项之和是100=n (a 1+a n )2,解得n =10,故选B. 答案 B9.等差数列{a n }中,已知前15项的和S 15=90,则a 8等于( )A.452B.12C.6D.454解析 在等差数列{a n }中, ∵S 15=90,由S 15=15a 8=90,得a 8=6.故选C.答案 C10.已知{a n }为等差数列,a 2+a 8=43,则S 9等于________.解析 由等差数列的求和公式可得:S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 2+a 8)2=9×432=6. 答案 611.含2n +1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为________.解析 S 奇=(n +1)(a 1+a 2n +1)2,S 偶=n (a 2+a 2n )2. ∵a 1+a 2n +1=a 2+a 2n ,∴S 奇S 偶=n +1n . 答案 n +1n12.已知数列{a n }的前n 项和S n =32n -n 2+1,(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前多少项和最大.解 (1)当n =1时,a 1=S 1=32-1+1=32;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(32n -n 2+1)-[32(n -1)-(n -1)2+1]=33-2n ;所以:a n =⎩⎪⎨⎪⎧32,n =1,33-2n ,n ≥2;(2)S n =32n -n 2+1=-(n 2-32n )+1=-(n -16)2+162+1;所以,前16项的和最大.13.(选做题)已知数列{a n }的通项公式为a n =6n +5(n ∈N *),数列{b n }是等差数列,且a n =b n +b n +1.(1)求数列{a n }的前n 项和;(2)求数列{b n }的通项公式. 解 (1)∵a n =6n +5(n ∈N *), ∴a n +1-a n =[6(n +1)+5]-(6n +5)=6(n ∈N *). ∴数列{a n }是以公差为6的等差数列. 又∵a 1=11,∴数列{a n }的前n 项和:S n =n (a 1+a n )2=n [11+(6n +5)]2=3n 2+8n . (2)∵a n =b n +b n +1, ∴a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1+b 2=11,b 2+b 3=17. 设数列{b n }的公差为d , 则⎩⎪⎨⎪⎧2b 1+d =11,2b 1+3d =17,∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1=4,d =3. ∴数列{b n }的通项公式:b n =3n +1.。

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