2018湖南常德市中考数学试卷及答案解析

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21.某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克.
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
【答案】1
【详解】将数据从小到大进行排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，
所以这组数据的中位数为1，
故答案为：1．
13.若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的值可能是__________（只写一个）．
【答案】6
【详解】∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4×2×3＞0，
=x﹣3，
当x= 时，原式= ﹣3=﹣ ．
20.如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2） 请根据图象直接写出 时 的取值范围.
解：（1）∵反比例函数y2= （k2≠0）的图象过点A（4，1），
∴k2=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为y2= ，
=1﹣2 +1+2 ﹣4，
=﹣2．
18.求不等式组 的正整数解.
解： ，
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤ ，
不等式组的解集是﹣2＜x≤ ，
不等式组的正整数解是1，2，3，4．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19.先化简，再求值： ，其中 .
解：原式=[ + ]×（x﹣3）2
= ×（x﹣3）2Biblioteka Baidu
A.6B.5C.4D.
【答案】D
【详解】∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3 ，
故选D．
7.把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（ ）
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率= ．
24.如图，已知 是等边三角形 的外接圆，点 在圆上，在 的延长线上有一点 ,使 , 交 于 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： .
解：（1）连接OD，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
A. B. C. D.方程组的解为
【答案】C
【详解】A、D= =2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、Dx= =﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
C、Dy= =2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x= =2，y= =﹣3，故D选项正确，不符合题意，
∴∠EBG=∠EGB，
∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，
又∵AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC，
∴∠AGB=∠BGH，
∵∠DGH=30°，
∴∠AGH=150°，
∴∠AGB= ∠AGH=75°，
故答案为：75°．
16.5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是__________．
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y=2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，
解方程组 得 ，则N（ t， t），
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
= •4•t﹣ •t• t
=﹣ t2+2t
=﹣ （t﹣3）2+3，
当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
解得：b＜﹣2 或b＞2 ，
故答案可以为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
14.某校对初一全体学生进行一次视力普查，得到如下统计表，视力在 这个范围的频率为__________．
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得： ，
解得： ，
答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），
喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），
所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比= ×100%=28%，
补全条形统计图如下：
（2）500×12%=60，
所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；
（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴EM= ≈1.4，
∴B与C之间的距离约为1.4米．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23.校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图：
2018年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1. 的相反数是（ ）
A.2B. C. D.
【答案】A
2.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）
A.1B.2C.8D.11
【答案】C
3.已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
∴当 = 时，△PQO∽△CAO，即 = ，
∴PQ= PO，即| m2﹣ m|= |m|，
解方程 m2﹣ m= m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），
解方程 m2﹣ m=﹣ m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；
综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．
【答案】9
【详解】设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，所以有x﹣12+x=2×3，解得x=9，故答案为：9．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17.计算： .
【答案】-2.
【详解】原式=1﹣（2 ﹣1）+2 ﹣4，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
故选C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9. 的立方根是__________．
【答案】-2
10.分式方程 的解为 __________．
【答案】-1
11.已知太阳与地球之间的平均距离约为 千米，用科学记数法表示为______千米．
【答案】1.5×108
12.一组数据是3， ，2,4,1,0， 中位数是__________．
设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a= ，
∴抛物线解析式为y= x（x﹣6），即y= x2﹣ x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y= x，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，
【答案】0.35
【详解】视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，
则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为： =0.35，
故答案为：0.35．
15.如图，将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，点 落在点 处，已知 ，连接 ，则 __________．
【答案】75°
【详解】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2= 的图象上，
∴n=4÷（﹣2）=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，
，解得： ，
∴一次函数的解析式为y= x﹣1；
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．
A. B. C. D.
【答案】D
4.若一次函数 的函数值 随 的增大而增大，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5.从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是 ， ， ， ，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
【答案】A
6.如图，已知 是 的角平分线， 是 的垂直平分线， ， ，则 的长为（ ）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若 是 上的一点，作 交 于 ,当 面积最大时，求 的坐标；
（3） 是 轴上的点，过 作 轴，与抛物线交于 ,过 作 轴于 .当以 、 、 为顶点的三角形与 、 、 为顶点的三角形相似时，求 点的坐标.
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴 直线x=3，
∴B点坐标 （6，0），
（3）设Q（m， m2﹣ m），
∵∠OPQ=∠ACO，
∴当 = 时，△PQO∽△COA，即 = ，
∴PQ=2PO，即| m2﹣ m|=2|m|，
解方程 m2﹣ m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；
解方程 m2﹣ m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；
∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1，
在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8，
在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400，
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，
∴a≤3（120﹣a），
解得：a≤90，
∵k=﹣10＜0，
∴w随a值的增大而减小，
∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500，
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
请你根据统计图回答下列问题：
（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图；
（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？
（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？
（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25.如图，已知二次函数的图像过点 , ,与 轴交于另一点 ,且对称轴是直线 .
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，
观察只有D选项符合，
故选D．
8.阅读理解： ， ， ， 是实数，我们把符号 称为 阶行列式，并且规定： ，例如： .二元一次方程组 的解可以利用 阶行列式表示为： ；其中 ， ， .问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 时，下面说法错误的是（ ）
22.图1是一商场的推拉门，已知门的宽度 米，且两扇门的大小相同（即 ），将左边的门 绕门轴 向里面旋转 ，将右边的门 绕门轴 向外面旋转 ，其示意图如图2，求此时 与 之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数据： ， ， ）
解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示，