中考数学专题复习动态综合试题

动态综合专题动态综合型试题是近年来各级各类考试命题的热点和焦点，她集多个知识点于一体，综合性高，探究型强. 解决这类问题的主要思路是：在动中取静，在静中探动，也就是用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变量、不变关系和特殊位置关系.点动型例1（2015·凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），当EP＋BP最短时，点P 的坐标为______.图1分析：点B的对称点是点D，如图2，连接ED交OC于点P，易知ED的长度即为EP＋BP 的最短值.图2解：如图2，连接ED，因为点B的对称点是D，所以DP＝BP，所以ED的值即为EP＋BP 的最短值.因为四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，所以点D的坐标为（1，3），所以点C的坐标为（3，3），所以可得直线OC的解析式为xy33=.因为点E的坐标为（0，－1），所以可得直线ED的解析式为()131-+=xy.因为点P事直线OC和直线ED的交点，所以点P的坐标为方程组()⎪⎩⎪⎨⎧-+==13133xyxy的解，解方程组可得⎩⎨⎧-=-=32332yx，所以点P的坐标为（32-3,2-3），故填（32-3,2-3）.评注：本题中的变量是EP＋BP的值，不变量是点B与点D的位置关系，借助菱形的对称性将EP ＋BP 的值转化为ED 的值，由“两点间线段最短”即可知道此时EP ＋BP 的值最短，将变量转化为不变量是解决运动型问题常用的解题思路.跟踪训练：1.（2015·贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP 、OM. 若⊙O 的半径为2，OP ＝4，则线段OM 的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.3第1题图 第2题图2.如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是______.线动型例2 如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）.平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）.（1）点A 的坐标是______,点C 的坐标是_____；（2）当t=_____秒或____秒时，MN=21AC ； （3）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（4）在（3）中得到的函数S 有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由.图3分析：（1）根据B 点的坐标即可求出A 、C 点的坐标；（2）当MN=21AC 时，有两种情况：①Mn 是△OAC 的中位线，此时OM ＝21OA ＝2，因此t ＝2；②当MN 是△ABC 的中位线时，OM ＝23OA ＝6，因此t ＝6； （3）本题要分类讨论：①大直线m 在AC 下方或与AC 重合时，即当0＜t ≤4时，可根据△OMN ∽△OAC ，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S 与t 之间的函数关系式；②当直线m 在AC 上方时，即当4＜t ＜8时，可用矩形OABC 的面积-△BMN 的面积-△OCN 的面积-△OAM 的面积求得；（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S 的最大值及对应的t 的值.解：（1）A （4，0），C （0，3）； （2）当MN=21AC 时，有两种情况：①Mn 是△OAC 的中位线，此时OM ＝21OA ＝2，因此t ＝2；②当MN 是△ABC 的中位线时，AM ＝21AB ＝23，OA ＝4，AD ＝4323tan =∠EDO AM ＝2，所以OD ＝OA ＋AD ＝4＋2＝6，故t ＝6；（3）当0＜t ≤4时，OM ＝t ，因为△OMN ∽△OAC ，所以OC ON OA OM =，所以ON ＝43t ，S ＝283t .当4＜t ＜8时，如图4，因为OD ＝t ，所以AD ＝t-4，由△DAM ∽△AOC ，可得AM ＝()443-t ，所以BM ＝6-t 43；由△BMN ∽△BAC ，可得BN ＝34BM ＝8-t ，所以CN ＝t-4，所以S ＝矩形OABC 的面积-Rt △BMN 的面积-Rt △OCN 的面积-Rt △OAM 的面积＝12-23（t-4）-21（8-t ）（6-t 43）-23（t-4）＝-283t ＋3t ；图4（4）有最大值，当0＜t ≤4时，因为抛物线S ＝283t 的开口向上，在对称轴t ＝0的右边，S 随t 的增大而增大，所以当t ＝4时，S 可取到最大值83×42＝6；当4＜t ＜8时，因为抛物线S ＝-283t ＋3t 的开口向下，顶点是（4，6），所以S ≤6. 综上所述，当t ＝4时，S 有最大值6.评论：相对于点的运动来讲，线的运动在中考中相对要少点儿， 解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关系和变量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系.跟踪训练：1.如图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（ ）AA B C D第1题图 2.如图，在平面直角坐标系xoy 中，二次函数32-+=bx ax y （a ，b 是常数）的图像与x 轴交于点A （-3.0）和点B （1，0），与y 轴交于点C. 动直线y ＝t （t 为常数）与抛物线交于不同的两点P 、Q.（1）求a 和b 的值；（2）求t 的取值范围；（3）若∠PCQ ＝90°，求t 的值.第2题图面动型例3 已知：把Rt △ABC 和Rt △ABC 按如图1摆放（点C 与点E 重合），点B 、C(E)、F 在同一直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm ，BC=6cm,EF=9cm. 如图2，△DEF 从图1的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止运动. DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t(s)(0＜t ＜4.5)，解答下列问题：①当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？②连接PE ，设四边形APEC 的面积为y(cm 2),求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使得面积y 最小？若存在，求出y 的最小值，若不存在，请说明理由. ③是否存在某一时刻t ，使得P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由.解析:①因为点A 在线段PQ 的垂直平分线上，所以AP=AQ. 因为∠DEF=45°,∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，所以∠EQC=45°，所以∠DEF=∠EQC ，所以CE=CQ. 又由题意得CE=t, BP=2t ，所以CQ=t ，所以AQ=8-t ，解得t=2；②过点P 作PM ⊥BE ，交BE 与点M ，所以∠BMP=90°，在Rt △ABC 和Rt △BPM 中，sinB=AC AB=PM BP ,代入，解得PM=85 t.因为BC=6cm,CE=t,所以BE=6-t ，所以y=S △ABC-S △BPE =12(BC ·AC-BE ·PM) 化简得y=45 (t-3)2+845 ，所以当t=3时，y 最小=845； ③假设存在某一时刻t ，使得点P 、Q 、F 三点在同一条直线上，过P 点作PN ⊥AC ，交A C 于点N ，所以∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°. 因为∠PAN=∠BAC 所以△PAN ∽△BAC ，所以PN 6=10-2t 10=AN 8 ，所以PN=6- 65 t, AN=8- 85 t. 因为NQ=AQ-AN ，所以NQ=8-t-(8- 85 t)=35t. 因为∠ACB=90°,B 、C(E)、F 在同一条直线上，所以∠QCF=90°∠QCF=∠PNQ. 因为∠FQC=∠PQN ，所以△QCF ∽△QNP ，所以PN FC =NQ CQ ，所以6-1.2t 9-t =35，因为0＜t ＜4.5，所以t=1. 解后反思：面的运动相对来说比较复杂，但也是中考的热点之一，许多创新题、探究题都源于此，解决此类型问题的关键：一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用特殊与一般的数学思想方法，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加明确.跟踪训练：已知，在矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，DE AE ⊥,AB=12,BE=16,F 为线段BE 上一点，EF=7，连接AF.如图1，现有一张硬质纸片GMN ∆,090=∠NGM ,NG=6,MG=8,斜边MN 与边BC 在同一直线上，点N 与点E 重合，点G 在线段DE 上.如图2，GMN ∆从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB 向点B 匀速移动，同时，点P 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 匀速移动，点Q 为直线GN 与线段AE 的交点，连接PQ.当点N 到达终点B 时，GMN ∆和点P 同时停止运动.设运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）在整个运动过程中，当点G 在线段AE 上时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P ，使APQ ∆是等腰三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设GMN ∆与AEF ∆重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围.动态综合型专题点动型：1.B2.23线动型：1.A2.解：（1）将点A 、点B 的坐标代入可得⎩⎨⎧=--=-+033903b a b a ，解得⎩⎨⎧==21b a ； （2）抛物线的解析式为322-+=x x y ，直线y ＝t ，联立两解析式可得t x x =-+322，即()0322=+-+t x x . 因为动直线y ＝t （t 为常数）与抛物线交于不同的两点，所以△＝4＋4×（3＋t ）＞0，解得t ＞-4；（3）因为()413222-+=-+=x x x y ，所以抛物线的对称轴为直线x ＝1. 当x ＝0时，y ＝-3，所以C （0.-3). 设点Q 的坐标为（m ，t ），则P （-2-m ，t ）. 如图，设PQ 与y 轴交于点D ，则CD ＝t ＋3，DQ ＝m ，DP ＝m ＋2. 因为∠PCQ ＝∠PCD ＋∠QCD ＝90°，∠DPC ＋∠PCD ＝90°，所以∠QCD ＝∠DPC. 因为∠PDC ＝∠QDC ＝90°，所以△QCD ∽△CDP ，所以PD DC DC DQ =，即3+t m ＝23++m t ，整理得m m t t 29622+=+=. 因为Q （m ，t ）在抛物线上，所以t ＝322-=m m ，即322+=+t m m ，所以3962+=++t t t ，化简得0652=++t t ，解得21-=t ，32-=t .当t ＝-3时，动直线y ＝t 经过点C ，故不合题意，舍去，所以t ＝-2.面动型：解：（1）在Rt △GMN 中，GN ＝6，GM ＝8，所以MN ＝10. 由题意，易知点G 的运动线路平行于BC. 由题意易知点G 的运动线路平行于BC. 如答图1所示，过点G 作BC 的平行线，分别交AE 、AF 于点Q 、R. 因为∠AED ＝∠EGM ＝90°，所以AE ∥GM ，所以四边形QEMG 为平行四边形，所以QG ＝EM ＝10，所以t ＝110＝10秒；答图1（2）存在符合条件的点P ，在Rt △ABE 中，AB ＝12，BE ＝16，由勾股定理得AE ＝20. 设∠AEB ＝θ，则sin θ＝53，cos θ＝54. 因为NE ＝t ，所以QE ＝NE•cos θ＝t 54，AQ ＝AE-QE ＝20－t 54. △APQ 是等腰三角形，有三种可能的情形：①AP ＝PQ ，如答图2所示，过点P 作PK ⊥AE 于点K ，则AK ＝AP•cos θ＝t 54. 因为AQ ＝2AK ，所以20－t 54＝2×t 54，解得t ＝325； ②AP ＝AQ ，如答图3所示，有t ＝20－t 54，解得t ＝9100； ③AQ ＝PQ ，如答图4所示，过点Q 作QK ⊥AP 于点K ，则AK ＝AQ•cos θ＝（20－t 54）×54＝16－t 2516. 因为AP ＝2AK ，所以t ＝2×（16－t 2516），解得t ＝57800.综上所述，当t ＝325，9100或57800秒时，存在点P ，使△APQ 是等腰三角形. （3）如答图1所示，点N 到达点F 的时间为t ＝7；由（1）知，点G 到达点Q 的时间为t ＝10；QE ＝10×54＝8，AQ ＝20－8＝12，因为GR ∥BC ，所以AE AQ EF QR =，即20127=QR ，所以QR ＝521，所以点G 到达点R 的时间为t ＝10＋521＝571；点N 到达终点B 的时间为t ＝16. 在△GMN 运动的过程中：①当0≤t ＜7时，如答图5所示：QE ＝NE•co s θ＝t 54，QN ＝NE•sin θ＝t 53，S ＝21QE•QN ＝21•t 54•t 53＝2256t ； ②当7≤t ＜10时，如答图6所示：设QN 与AF 交于点I ，因为tan ∠INF ＝34=GN GM ，tan ∠IFN ＝34=BF AB ，所以∠INF ＝∠IFN ，△IFN 为等腰三角形. 底边NF 上的高h ＝21NF•tan ∠INF ＝21×（t －7）×34＝32（t －7）. S △INF ＝21（t －7）×32（t －7）＝()2731-t ，所以S ＝S △QNE －S △INF ＝2256t －()2731-t ＝3493147572-+-t t ；③当10≤t ＜571时，如答图7所示：由②得S △INF ＝()2731-t ，所以S ＝S △GMN －S △INF ＝24－()2731-t ＝323314312++-t t ； ④当571＜t ≤16时，如答图8所示：FM ＝FE －ME ＝FE －（NE －MN ）＝17－t. 设GM 与AF 交于点I ，过点I 作IK ⊥MN 于点K. 因为tan ∠IFK ＝34=BF AB ，所以可设IK ＝4x ，FK ＝3k ，则KM ＝3x ＋17－t.因为tan ∠IMF ＝431734=-+=t x x KM IK ，解得x ＝73(17－t ），所以IK ＝4x ＝712（17－x)，所以S ＝21FM•IK＝()21776-t .综上所述，S与t之间的函数关系式为：S＝()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛<≤++-<≤-+-<≤165711776571103233143110734931475772562222tttttttttt.。