中考数学专题复习动态综合试题

动态综合专题

动态综合型试题是近年来各级各类考试命题的热点和焦点，她集多个知识点于一体，综合性高，探究型强. 解决这类问题的主要思路是：在动中取静，在静中探动，也就是用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变量、不变关系和特殊位置关系.

点动型

例1

（2015·凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），当EP＋BP最短时，点P 的坐标为______.

图1

分析：点B的对称点是点D，如图2，连接ED交OC于点P，易知ED的长度即为EP＋BP 的最短值.

图2

解：如图2，连接ED，因为点B的对称点是D，所以DP＝BP，所以ED的值即为EP＋BP 的最短值.

因为四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，所以点D的坐标为（1，3），所以点C的坐标为（3，3），所以可得直线OC的解析式为x

y

3

3

=.

因为点E的坐标为（0，－1），所以可得直线ED的解析式为()1

3

1-

+

=x

y.

因为点P事直线OC和直线ED的交点，所以点P的坐标为方程组

()

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

-

+

=

=

1

3

1

3

3

x

y

x

y

的解，

解方程组可得

⎩

⎨

⎧

-

=

-

=

3

2

3

3

2

y

x

，所以点P的坐标为（3

2-3,2-3），故填（3

2-3,2-3）.

评注：本题中的变量是EP＋BP的值，不变量是点B与点D的位置关系，借助菱形的对

称性将EP ＋BP 的值转化为ED 的值，由“两点间线段最短”即可知道此时EP ＋BP 的值最短，

将变量转化为不变量是解决运动型问题常用的解题思路.

跟踪训练：

1.（2015·贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，

连接OP 、OM. 若⊙O 的半径为2，OP ＝4，则线段OM 的最小值是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

第1题图 第2题图

2.如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、

向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点

D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是______.

线动型

例2 如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）.平行

于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直

线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）.

（1）点A 的坐标是______,点C 的坐标是_____；

（2）当t=_____秒或____秒时，MN=2

1AC ； （3）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；

（4）在（3）中得到的函数S 有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由.

图3

分析：（1）根据B 点的坐标即可求出A 、C 点的坐标；

（2）当MN=

21AC 时，有两种情况：①Mn 是△OAC 的中位线，此时OM ＝2

1OA ＝2，因此t ＝2；②当MN 是△ABC 的中位线时，OM ＝23OA ＝6，因此t ＝6； （3）本题要分类讨论：①大直线m 在AC 下方或与AC 重合时，即当0＜t ≤4时，可根

据△OMN ∽△OAC ，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S 与t 之间的函数关系式；②

当直线m 在AC 上方时，即当4＜t ＜8时，可用矩形OABC 的面积-△BMN 的面积-△OCN 的面

积-△OAM 的面积求得；

（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S 的最大值及对应

的t 的值.

解：（1）A （4，0），C （0，3）； （2）当MN=

21AC 时，有两种情况：①Mn 是△OAC 的中位线，此时OM ＝2

1OA ＝2，因此t ＝2；②当MN 是△ABC 的中位线时，AM ＝21AB ＝23，OA ＝4，AD ＝43

23

tan =∠EDO AM ＝2，所以OD ＝OA ＋AD ＝4＋2＝6，

故t ＝6；

（3）当0＜t ≤4时，OM ＝t ，因为△OMN ∽△OAC ，所以

OC ON OA OM =，所以ON ＝43t ，S ＝283t .

当4＜t ＜8时，如图4，因为OD ＝t ，所以AD ＝t-4，由△DAM ∽△AOC ，可得AM ＝

()443-t ，所以BM ＝6-t 43；由△BMN ∽△BAC ，可得BN ＝3

4BM ＝8-t ，所以CN ＝t-4，所以S ＝矩形OABC 的面积-Rt △BMN 的面积-Rt △OCN 的面积-Rt △OAM 的面积＝12-23（t-4）-2

1（8-t ）（6-t 43）-2

3（t-4）＝-283t ＋3t ；

图4

（4）有最大值，当0＜t ≤4时，因为抛物线S ＝283t 的开口向上，在对称轴t ＝0的右边，S 随t 的增大而增大，所以当t ＝4时，S 可取到最大值8

3×42＝6；当4＜t ＜8时，因为抛物线S ＝-2

83t ＋3t 的开口向下，顶点是（4，6），所以S ≤6. 综上所述，当t ＝4时，S 有最大值6.

评论：相对于点的运动来讲，线的运动在中考中相对要少点儿， 解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关系和变量